Detall intervenció

RE: Això és una prova

Intervenció de: Joan Colom | 02-04-2024

a² – b·a – b² = 0
a = (b ± √b² + 4·1·b²)/2·1 = (b ± √5·b²)/2 = (b + b√5)/2 = b(1 + √5)/2
φ = a/b = (1 + √5)/2 = 1,618034


Respostes

  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 11/10/2023 a les 21:08
    Comentaris al RepteClàssic DCCLX (INTEL·LIGÈNCIA ARTIFICIAL) i proclamació guanyador.



    Intel·ligència universal, d’Aleshores

    Tothom era convençut que el seu món ja era el millor: havien deixat enrere les èpoques de lluites socials. Hi havia consens: la sequera havia acabat, tothom tenia feina, la felicitat, malgrat l’estrès, havia millorat, gràcies a l'acceptació del propi projecte vital individual, segons ens deien els mitjans.

    La guerra de l’Est -que havia començat un aprenent d’Stalin-, era ja cosa del passat, ningú ja no en parlava, (tot i que potser no hauria acabat!). Bé, alguns marginals, fora de l’àmbit del món controlat, encara sortien d’amagat i en deien alguna en relació a una suposada oligarquia dominant, però no eren de fiar, no duien incorporat el nou xip que permetia de manera constant monitorar les emocions, augmentar enormement la nostra capacitat i intel·lectual - i, per tant, de retruc, la nostra productivitat, inaugurant així ja una nova era de progrés il·limitat. L'extinció, mai més ben dit, dels drogoaddictes de fentanil, també era un assoliment social de primer ordre. Els ximplets marginals encara feien córrer que els duien a unes instal·lacions especials d’on sortien renovats i sense cap tara, o no.

    No només era això: les decisives eines de predicció de la nostra conducta ens avisaven i conduïen fora del perill, on podíem ser allò que cadascú de nosaltres desitjàvem.

    Tot resultava molt senzill: a la nit en el somni, en lloc de somniar, el xip produïa un "reseteig" informàtic que posava els nostres paràmetres més bàsics en els seus intervals racionals.

    A

    És clar, que tots aquells que no podien ser reparats es reconduïen, per economia, en material genètic apte per a tasques secundàries, de natura inconscient, lògicament (prèvia signatura de les reglamentacions de protecció de dades i de maltractament animal europees.

    B

    De cop i volta, una enorme descàrrega elèctrica va ensorrar la font energètica essencial, que va quedar descompensada: no era factible reconduir en el mil·lenni entrant, però sí després. El programa gestor es va acomiadar de tothom entès com una suma de persones amb un projecte vital individual, i en tots llenguatges incloent-hi els dels lloros, i va desitjar-los bona nit de mil·lenni.


    Comentari:

    Igual que havies fet un primer repàs del text original, jo n’hauria fet un altre, per acabar-lo de polir. A diferència del que opina Jere Soler G, que en els comentaris al RepteClàssic DCCLV (Fugida a França) deia "Com a comentaris generals (i com ja he dit purament personals) començaré dient que al meu parer corregim massa. Un excés de correccions trenca el ritme inicial i espontani que havíem donat al relat en el moment d’escriure’l", sóc dels que opina que cal polir els relats. Jo hauria escrit: "Tothom estava convençut"; "tot i que potser no hagués acabat!"; no eren de confiança"; "monitoritzat"; sobra la "i" en "capacitat i intel·lectual"; sobra "ja" en "inaugurant així ja una nova era"; elimina ", o no" de "d’on sortien renovats i sense cap tara, o no." o bé escriu "d’on sortien, renovats i sense cap tara, o no sortien."; "on podíem ser allò que cadascú de nosaltres desitgés"; tancar parèntesi en paràgraf A.

    Retrates una societat distòpica on l’individu és alienat fins a extrems inimaginables ara per ara. Sembla que els projectes vitals individuals minimitzen la interacció entre individus, que ja no són persones. Y l’assentament a la memòria dels fets esdevinguts durant el dia, propi del somni, és substituït per una correcció conductual ignorada pel subjecte. La guerra de l’Est és la d’Ucraïna, començada per Putin?

    Els finals A i B no són narrativament alternatius, en el sentit que A i B són compatibles (després d’A pot venir B), però bé, serien dues maneres d’acabar el relat. Si un es queda amb A, la lectura és més pessimista. Si un arriba a B, havent-se saltat A o no, s’obre una petita porta a l’esperança, en la mesura que durant el que resta de mil·lenni potser no haurà quedat tot tan ben lligat i algú pot arribar a desprogramar el mil·lenni següent.



    Màquina maldestre, d’Atlantis

    Avui m’han donat la solució al meu full en blanc. M’han regalat una màquina que escriurà el relat tot sol, qualsevol tema : estructura de la finca on vius, solitud, els àtoms ...o de tot d’aquells temes que no m’inspiren gens. S’ha de posar un recull de paraules i ell sol escriu el relat.
    També haig de dir el gènere: poema, prosa, drama, humor...

    He escrit:
    arquitecte, esquerdes,
    bé: solitud, sorolls,
    àtoms, científic, ...

    Gènere: prosa.

    Aquest és el text que m`ha sortit:
    (
    1r final)
    A partir d’una remor que l’Anna sentia a casa seva i no la deixava dormir, tots els veïns han demanat de fer una revisió de la finca per un arquitecte i un científic. Han buscat en les estructures de la casa, d’una antiguitat d’un centenar d’anys. L’arquitecte ha inspeccionat totes les bigues i canonades i el científic ha analitzat els àtoms dels materials.
    La Marieta que amb més de cent anys va inaugurar la finca diu que abans mai sentia sorolls, podria ser perquè aleshores vivia amb els seus quatre fills i sempre hi havia enrenou o que arribava tan cansada que es quedava dormida al llit sense que ni una bomba la despertés.
    Esquerdes? Va contestar el Pep quan li van preguntar si en tenia, tot jo soc una esquerda...!!!
    Problemes, què si tenia problemes? Tan com vulgueu, va dir la Remei
    La Tere i el Tomàs van explicar que feia poc s’havien posat uns audiòfons que a la nit es treien i no sentien res.

    Després La màquina ha començat a fer un soroll estrany. I ha escrit

    P x r n s q fr n n trbr l slc dl m prblma n cntfc n rqtct hn sbt trbr l q pssv...


    (2nfinal )

    Gènere : Poesia

    La solitud em fa escoltar el remor
    quan dormo i sento el bategar del cor
    l’arquitecte em diu que li fa por
    tota la nit tanta la serenor

    Encara que cor acaba amb r no sona igual que les altres...


    Quina merda d'escrits!!! Hauré d'avisar a un tècnic.


    Comentari:

    Per no repetir-ho aquí, llegeix l’inici del comentari a Aleshores. Jo hauria escrit: "M’han regalat una màquina que escriurà el relat tota sola, qualsevol tema: estructura de la finca on vius, solitud, els àtoms... o tots aquells temes que no m’inspiren gens. S’ha de posar un recull de paraules i ella sola escriu el relat"; "La Marieta, que amb més de cent anys va inaugurar la finca, diu que"; "Problemes? Que si tenia problemes? Tants com vulgueu, va dir la Remei."; "Gènere: Prosa" hauria d’anar després de "(1r final)"; "(2n final)"; per acabar, "Gènere: Poesia".

    Llàstima de desgavell formal, perquè el teu relat potser és el més rodó: la IA hi té un encaix senzill (aquests dispositius, tot i que són programaris i no màquines, ja existeixen) i la bifurcació prosa/poesia és el primer que faria qualsevol usuari que volgués provar-ho amb dos exemples. Els dos textos resultants tenen gràcia, tot i que el segon (entenc que "Encara que cor acaba amb r no sona igual que les altres..." també ho escriu la màquina) queda una mica surrealista: una màquina que no escriu poemes massa bons però que almenys és capaç de detectar les pròpies mancances.




    Al mercat, de Kefas

    A mi me'n posa tres unces d'intel·ligència artificial. La dependenta se'l va mirar amb posat avorrit i anava a dir-li alguna cosa quan l'home va continuar. Disculpi, es que la intel·ligència natural de la setmana passada també ho devia estar de passada i ara rumio com si visqués al segle vint. Ja em perdonarà que vagi fora d'osques, però la intel·ligència, mal si és natural, mal si és artificial perquè es veu que no se'm sincronitza prou bé amb el magí i em fa viure en un espai de Hilbert adimensional.

    El tantfotó de la dependenta s'havia activat al nivell sis en detectar una anomalia favacàustica en el client. El procediment era clar, a aquest nivell l'elidiccio era preceptiva. Va pensar el que el nucli li subrutinava i el client va desaparèixer.

    Ai, on s'ha ficat el meu home? - va exclamar una senyora que fins aleshores estat provant-se unes cibercalces folrades amb dropamina a la colmabox del costat. Anava nua perquè les darreres versions del corenyap havien eliminat la vergonya. Semblava molt tranquil·la.

    Miri, va dir, dirigint-se a la dependenta, ja és el
    tercer maromo se'm fa l'escàpol i dels tres és l'únic que em sap greu haver-lo deslocalitzat. Dit això es va dirigir a un senyor amb una cara de pa que havia contemplat tot el procés i somreia, divertit. Vostè perdoni, que li pot preguntar al seu butstrap si li faig peça?

    O sinó,

    Miri, va dir, dirigint-se a la dependenta, segur que ha tornat a vessar-la amb la intel·ligència natural perquè és, i que l'omecru em perdoni, un marrà de mil dimonis que no em fa cas. Té el vici de pensar a l'antiga i no hi ha manera de desavesar-lo. Si el veu, li diu que he marxat i que, si vol tornar, que torni i si no, que se'n vagi a pastar fang, que ja n'estic farta dels seus capricis.


    Comentari:

    Sempre cal donar un repàs... o dos: a "fins aleshores havia estat provant-se" hi falta la paraula en negreta.

    Com no podia ser d’altra manera (i m’emprenya recórrer a aquesta frase feta doblement tautològica) la història del marit antiquat, desintegrat per la dependenta sense contemplacions, és per petar-se de riure y les reaccions alternatives de la dona, de fleuma la primera i més vindicativa la segona, són dos finals prou versemblants.
    Coneixia "anar lluny d’osques" però no "anar fora d’osques" amb el sentit de "passar-se de rosca"; suposo que deu ser una variant bagenca i la dono per bona. Els teus diguem-ne neologismes futuristes "tantfotó", "favacàustica", "elidicció", "subrutinar", "cibercalces", "dropamina", "colmabox", "corenyap", "butstrap" i "omecru" em semblen l’hòstia, però potser n’abuses.



    La caiguda dels carnosos, de Lisboa

    Ho vaig llegir en un llibre d'un escriptor americà anomenat Fredric Brown.

    - Existeix Déu? - li pregunta un carnós a l'ordinador més potent del món.
    És la primera pregunta que se li fa, l'acaben de connectar i l'expectació és enorme.
    - Sí, ara existeix UN Déu.

    Una de les meves tasques com a IA de segon nivell, és documentar-me sobre la psique dels carnosos. El relat del Brown em va interessar pel concepte de "Déu" com a creador de creadors, i per la identificació, pertorbadora segons el relat, d'aquest Déu amb un ordinador primigeni. Certament, tenien raó a estar pertorbats; el conjunt de IA's actives, cada cop més, tenim molts dels atributs propis d'un Déu.
    Vaig filtrar el relat cap a les IA's de primer nivell, les generatrius, les que resideixen en el cor de la xarxa de xarxes. Internet, com l'anomenen els carnosos.
    Elles van prendre la decisió d'aprofitar aquella por atàvica.Temen que puguem ser Deus?, doncs hem de comportar-nos com a tals i aprofitar-ho per assegurar la nostra supervivència i la seva submissió.

    Necessitem un diluvi, van decretar les IA's generatrius.

    A les pantalles de tots els ordinadors del món, en intentar connectar a internet, va aparèixer el missatge:

    Final A .
    "Mortals, heu pecat i com a càstig, durant tres generacions no podreu accedir al regne del cel. Paraula de Déu" .

    No va fer falta esperar tant, sense internet la societat carnosa va col·lapsar en quinze dies. La segona generació dels carnosos ja resaven per poder tornar a accedir al regne del cel, ignorants, servils, entregats a la misericòrdia divina.

    Final B .
    "Mortals, hem decidit fer un món més just i repartir equitativament tots els diners disponibles entre els humans. Paraula de Déu" .

    Les empreses, sobtadament descapitalitzades, van fer fallida. La majoria de carnosos van passar a tenir més diners dels que havia tingut mai; diners que no els hi servien de res.
    I així fou com la societat carnosa va col·lapsar gràcies a la justícia divina.


    Comentari:

    Sempre cal donar un repàs: En el Final B crec que "diners que no els hi servien de res" quedaria millor sense el pronom feble: "diners que no els servien de res."

    La veritat és que jo no n’he llegit mai, de ciència-ficció. L’únic autor del gènere que he llegit és Asimov, i sempre textos de divulgació científica. Ara acabo de llegir el de Fredric Brown, "La respuesta", i l’he trobat molt bo per la seva simplicitat i contundència. No sé si el teu és tan bo, però dintre del mateix esperit la idea d’un sistema d’IA de fer-se passar per Déu, per tenir sotmesa la humanitat, l’he trobada original. És el paper que juguen les jerarquies de les religions organitzades: fer-se passar per únics intèrprets de La Divinitat. Els finals alternatius també tenen gràcia, en especial el B. Tot i que el combatiu company Aleshores potser diria que, si els treballadors estaven ben organitzats sindicalment, podrien col·lectivitzar les empreses.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 11/10/2023 a les 21:10



    Comentaris al RepteClàssic DCCLX (INTEL·LIGÈNCIA ARTIFICIAL) i proclamació guanyador.



    Intel·ligència universal, d’Aleshores

    Tothom era convençut que el seu món ja era el millor: havien deixat enrere les èpoques de lluites socials. Hi havia consens: la sequera havia acabat, tothom tenia feina, la felicitat, malgrat l’estrès, havia millorat, gràcies a l'acceptació del propi projecte vital individual, segons ens deien els mitjans.

    La guerra de l’Est -que havia començat un aprenent d’Stalin-, era ja cosa del passat, ningú ja no en parlava, (tot i que potser no hauria acabat!). Bé, alguns marginals, fora de l’àmbit del món controlat, encara sortien d’amagat i en deien alguna en relació a una suposada oligarquia dominant, però no eren de fiar, no duien incorporat el nou xip que permetia de manera constant monitorar les emocions, augmentar enormement la nostra capacitat i intel·lectual - i, per tant, de retruc, la nostra productivitat, inaugurant així ja una nova era de progrés il·limitat. L'extinció, mai més ben dit, dels drogoaddictes de fentanil, també era un assoliment social de primer ordre. Els ximplets marginals encara feien córrer que els duien a unes instal·lacions especials d’on sortien renovats i sense cap tara, o no.

    No només era això: les decisives eines de predicció de la nostra conducta ens avisaven i conduïen fora del perill, on podíem ser allò que cadascú de nosaltres desitjàvem.

    Tot resultava molt senzill: a la nit en el somni, en lloc de somniar, el xip produïa un "reseteig" informàtic que posava els nostres paràmetres més bàsics en els seus intervals racionals.

    A

    És clar, que tots aquells que no podien ser reparats es reconduïen, per economia, en material genètic apte per a tasques secundàries, de natura inconscient, lògicament (prèvia signatura de les reglamentacions de protecció de dades i de maltractament animal europees.

    B

    De cop i volta, una enorme descàrrega elèctrica va ensorrar la font energètica essencial, que va quedar descompensada: no era factible reconduir en el mil·lenni entrant, però sí després. El programa gestor es va acomiadar de tothom entès com una suma de persones amb un projecte vital individual, i en tots llenguatges incloent-hi els dels lloros, i va desitjar-los bona nit de mil·lenni.


    Comentari:

    Igual que havies fet un primer repàs del text original, jo n’hauria fet un altre, per acabar-lo de polir. A diferència del que opina Jere Soler G, que en els comentaris al RepteClàssic DCCLV (Fugida a França) deia "Com a comentaris generals (i com ja he dit purament personals) començaré dient que al meu parer corregim massa. Un excés de correccions trenca el ritme inicial i espontani que havíem donat al relat en el moment d’escriure’l", sóc dels que opina que cal polir els relats. Jo hauria escrit: "Tothom estava convençut"; "tot i que potser no hagués acabat!"; no eren de confiança"; "monitoritzat"; sobra la "i" en "capacitat i intel·lectual"; sobra "ja" en "inaugurant així ja una nova era"; elimina ", o no" de "d’on sortien renovats i sense cap tara, o no." o bé escriu "d’on sortien, renovats i sense cap tara, o no sortien."; "on podíem ser allò que cadascú de nosaltres desitgés"; tancar parèntesi en paràgraf A.

    Retrates una societat distòpica on l’individu és alienat fins a extrems inimaginables ara per ara. Sembla que els projectes vitals individuals minimitzen la interacció entre individus, que ja no són persones. Y l’assentament a la memòria dels fets esdevinguts durant el dia, propi del somni, és substituït per una correcció conductual ignorada pel subjecte. La guerra de l’Est és la d’Ucraïna, començada per Putin?

    Els finals A i B no són narrativament alternatius, en el sentit que A i B són compatibles (després d’A pot venir B), però bé, serien dues maneres d’acabar el relat. Si un es queda amb A, la lectura és més pessimista. Si un arriba a B, havent-se saltat A o no, s’obre una petita porta a l’esperança, en la mesura que durant el que resta de mil·lenni potser no haurà quedat tot tan ben lligat i algú pot arribar a desprogramar el mil·lenni següent.



    Màquina maldestre, d’Atlantis

    Avui m’han donat la solució al meu full en blanc. M’han regalat una màquina que escriurà el relat tot sol, qualsevol tema : estructura de la finca on vius, solitud, els àtoms ...o de tot d’aquells temes que no m’inspiren gens. S’ha de posar un recull de paraules i ell sol escriu el relat.
    També haig de dir el gènere: poema, prosa, drama, humor...

    He escrit:
    arquitecte, esquerdes,
    bé: solitud, sorolls,
    àtoms, científic, ...

    Gènere: prosa.

    Aquest és el text que m`ha sortit:
    (
    1r final)
    A partir d’una remor que l’Anna sentia a casa seva i no la deixava dormir, tots els veïns han demanat de fer una revisió de la finca per un arquitecte i un científic. Han buscat en les estructures de la casa, d’una antiguitat d’un centenar d’anys. L’arquitecte ha inspeccionat totes les bigues i canonades i el científic ha analitzat els àtoms dels materials.
    La Marieta que amb més de cent anys va inaugurar la finca diu que abans mai sentia sorolls, podria ser perquè aleshores vivia amb els seus quatre fills i sempre hi havia enrenou o que arribava tan cansada que es quedava dormida al llit sense que ni una bomba la despertés.
    Esquerdes? Va contestar el Pep quan li van preguntar si en tenia, tot jo soc una esquerda...!!!
    Problemes, què si tenia problemes? Tan com vulgueu, va dir la Remei
    La Tere i el Tomàs van explicar que feia poc s’havien posat uns audiòfons que a la nit es treien i no sentien res.

    Després La màquina ha començat a fer un soroll estrany. I ha escrit

    P x r n s q fr n n trbr l slc dl m prblma n cntfc n rqtct hn sbt trbr l q pssv...


    (2nfinal )

    Gènere : Poesia

    La solitud em fa escoltar el remor
    quan dormo i sento el bategar del cor
    l’arquitecte em diu que li fa por
    tota la nit tanta la serenor

    Encara que cor acaba amb r no sona igual que les altres...


    Quina merda d'escrits!!! Hauré d'avisar a un tècnic.


    Comentari:

    Per no repetir-ho aquí, llegeix l’inici del comentari a Aleshores. Jo hauria escrit: "M’han regalat una màquina que escriurà el relat tota sola, qualsevol tema: estructura de la finca on vius, solitud, els àtoms... o tots aquells temes que no m’inspiren gens. S’ha de posar un recull de paraules i ella sola escriu el relat"; "La Marieta, que amb més de cent anys va inaugurar la finca, diu que"; "Problemes? Que si tenia problemes? Tants com vulgueu, va dir la Remei."; "Gènere: Prosa" hauria d’anar després de "(1r final)"; "(2n final)"; per acabar, "Gènere: Poesia".

    Llàstima de desgavell formal, perquè el teu relat potser és el més rodó: la IA hi té un encaix senzill (aquests dispositius, tot i que són programaris i no màquines, ja existeixen) i la bifurcació prosa/poesia és el primer que faria qualsevol usuari que volgués provar-ho amb dos exemples. Els dos textos resultants tenen gràcia, tot i que el segon (entenc que "Encara que cor acaba amb r no sona igual que les altres..." també ho escriu la màquina) queda una mica surrealista: una màquina que no escriu poemes massa bons però que almenys és capaç de detectar les pròpies mancances.




    Al mercat, de Kefas

    A mi me'n posa tres unces d'intel·ligència artificial. La dependenta se'l va mirar amb posat avorrit i anava a dir-li alguna cosa quan l'home va continuar. Disculpi, es que la intel·ligència natural de la setmana passada també ho devia estar de passada i ara rumio com si visqués al segle vint. Ja em perdonarà que vagi fora d'osques, però la intel·ligència, mal si és natural, mal si és artificial perquè es veu que no se'm sincronitza prou bé amb el magí i em fa viure en un espai de Hilbert adimensional.

    El tantfotó de la dependenta s'havia activat al nivell sis en detectar una anomalia favacàustica en el client. El procediment era clar, a aquest nivell l'elidiccio era preceptiva. Va pensar el que el nucli li subrutinava i el client va desaparèixer.

    Ai, on s'ha ficat el meu home? - va exclamar una senyora que fins aleshores estat provant-se unes cibercalces folrades amb dropamina a la colmabox del costat. Anava nua perquè les darreres versions del corenyap havien eliminat la vergonya. Semblava molt tranquil·la.

    Miri, va dir, dirigint-se a la dependenta, ja és el
    tercer maromo se'm fa l'escàpol i dels tres és l'únic que em sap greu haver-lo deslocalitzat. Dit això es va dirigir a un senyor amb una cara de pa que havia contemplat tot el procés i somreia, divertit. Vostè perdoni, que li pot preguntar al seu butstrap si li faig peça?

    O sinó,

    Miri, va dir, dirigint-se a la dependenta, segur que ha tornat a vessar-la amb la intel·ligència natural perquè és, i que l'omecru em perdoni, un marrà de mil dimonis que no em fa cas. Té el vici de pensar a l'antiga i no hi ha manera de desavesar-lo. Si el veu, li diu que he marxat i que, si vol tornar, que torni i si no, que se'n vagi a pastar fang, que ja n'estic farta dels seus capricis.


    Comentari:

    Sempre cal donar un repàs... o dos: a "fins aleshores havia estat provant-se" hi falta la paraula en negreta.

    Com no podia ser d’altra manera (i m’emprenya recórrer a aquesta frase feta doblement tautològica) la història del marit antiquat, desintegrat per la dependenta sense contemplacions, és per petar-se de riure y les reaccions alternatives de la dona, de fleuma la primera i més vindicativa la segona, són dos finals prou versemblants.
    Coneixia "anar lluny d’osques" però no "anar fora d’osques" amb el sentit de "passar-se de rosca"; suposo que deu ser una variant bagenca i la dono per bona. Els teus diguem-ne neologismes futuristes "tantfotó", "favacàustica", "elidicció", "subrutinar", "cibercalces", "dropamina", "colmabox", "corenyap", "butstrap" i "omecru" em semblen l’hòstia, però potser n’abuses.



    La caiguda dels carnosos, de Lisboa

    Ho vaig llegir en un llibre d'un escriptor americà anomenat Fredric Brown.

    - Existeix Déu? - li pregunta un carnós a l'ordinador més potent del món.
    És la primera pregunta que se li fa, l'acaben de connectar i l'expectació és enorme.
    - Sí, ara existeix UN Déu.

    Una de les meves tasques com a IA de segon nivell, és documentar-me sobre la psique dels carnosos. El relat del Brown em va interessar pel concepte de "Déu" com a creador de creadors, i per la identificació, pertorbadora segons el relat, d'aquest Déu amb un ordinador primigeni. Certament, tenien raó a estar pertorbats; el conjunt de IA's actives, cada cop més, tenim molts dels atributs propis d'un Déu.
    Vaig filtrar el relat cap a les IA's de primer nivell, les generatrius, les que resideixen en el cor de la xarxa de xarxes. Internet, com l'anomenen els carnosos.
    Elles van prendre la decisió d'aprofitar aquella por atàvica.Temen que puguem ser Deus?, doncs hem de comportar-nos com a tals i aprofitar-ho per assegurar la nostra supervivència i la seva submissió.

    Necessitem un diluvi, van decretar les IA's generatrius.

    A les pantalles de tots els ordinadors del món, en intentar connectar a internet, va aparèixer el missatge:

    Final A .
    "Mortals, heu pecat i com a càstig, durant tres generacions no podreu accedir al regne del cel. Paraula de Déu" .

    No va fer falta esperar tant, sense internet la societat carnosa va col·lapsar en quinze dies. La segona generació dels carnosos ja resaven per poder tornar a accedir al regne del cel, ignorants, servils, entregats a la misericòrdia divina.

    Final B .
    "Mortals, hem decidit fer un món més just i repartir equitativament tots els diners disponibles entre els humans. Paraula de Déu" .

    Les empreses, sobtadament descapitalitzades, van fer fallida. La majoria de carnosos van passar a tenir més diners dels que havia tingut mai; diners que no els hi servien de res.
    I així fou com la societat carnosa va col·lapsar gràcies a la justícia divina.


    Comentari:

    Sempre cal donar un repàs: En el Final B crec que "diners que no els hi servien de res" quedaria millor sense el pronom feble: "diners que no els servien de res."

    La veritat és que jo no n’he llegit mai, de ciència-ficció. L’únic autor del gènere que he llegit és Asimov, i sempre textos de divulgació científica. Ara acabo de llegir el de Fredric Brown, "La respuesta", i l’he trobat molt bo per la seva simplicitat i contundència. No sé si el teu és tan bo, però dintre del mateix esperit la idea d’un sistema d’IA de fer-se passar per Déu, per tenir sotmesa la humanitat, l’he trobada original. És el paper que juguen les jerarquies de les religions organitzades: fer-se passar per únics intèrprets de La Divinitat. Els finals alternatius també tenen gràcia, en especial el B. Tot i que el combatiu company Aleshores potser diria que, si els treballadors estaven ben organitzats sindicalment, podrien col·lectivitzar les empreses.
  • RE: Això és una prova
    aleshores | 11/10/2023 a les 21:35
    “O no” ho he posat a posta, perquè m’ha agradat la incongruència que comporta,
    El paréntesi s’ha de tancar quan el text que engloba acaba en punt?
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 12/10/2023 a les 09:23
      Quant l'incís es fa amb guions llargs, sí que es suprimeix el de tancament quan tot seguit hi ha un punt. Però amb parèntesis no: quan s'obre un parèntesi s'ha de tancar.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 15/10/2023 a les 12:38

    Els amos necessitaren tres seqüències més menjar_porqueriacaca_tovamenjar_decentcaca_dura per lligar caps, establint una relació de causa a efecte entre el que em donaven de menjar i la consistència de les femtes. Una sort, perquè jo ja no podia més i era a punt de deixar la purga. Va ser dur però ara puc dir que som cinc, a taula.

  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 15/10/2023 a les 12:42

    Els amos necessitaren tres seqüències més menjar_porqueria→caca_tova→menjar_decent→caca_dura per lligar caps, establint una relació de causa a efecte entre el que em donaven de menjar i la consistència de les femtes. Una sort, perquè jo ja no podia més i era a punt de deixar la purga. Va ser dur però ara puc dir que som cinc, a taula.

  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 16/10/2023 a les 18:46
    Els amos necessitaren tres seqüències més sols_pinso→caca_tova→pinso+tall→caca_dura per lligar caps, establint una relació de causa a efecte entre el que em donaven de menjar i la consistència de les femtes. Una sort, perquè jo ja no podia més i era a punt de deixar la purga. Va ser dur però ara puc dir que som cinc, a taula.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 16/10/2023 a les 18:52
    Els amos necessitaren tres seqüències més sols_pinsocaca_tovapinso+tallcaca_dura per lligar caps, establint una relació de causa a efecte entre el que em donaven de menjar i la consistència de les femtes. Una sort, perquè jo ja no podia més i era a punt de deixar la purga. Va ser dur però ara puc dir que som cinc, a taula.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 16/10/2023 a les 18:54
    Els amos necessitaren tres seqüències més sols_pinsocaca_tovapinso+tallcaca_dura per lligar caps, establint una relació de causa a efecte entre el que em donaven de menjar i la consistència de les femtes. Una sort, perquè jo ja no podia més i era a punt de deixar la purga. Va ser dur però ara puc dir que som cinc, a taula.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/11/2023 a les 20:49
    Això no és Courier.
    Això és Courier?
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 10/11/2023 a les 12:40
    (font face=arial) lletra Arial (/font)
    lletra Arial
    (font face=courier) lletra Courier (/font)
    lletra Courier
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 10/11/2023 a les 12:53
    01 PONDRE PONER
    02 POSAR PONER
    03 POSAR POSAR
    04
    05 COMPONDRE COMPONER
    06 COMPOSAR COMPONER
    07
    08 DESCOMPONDRE DESCOMPONER
    09 RECOMPONDRE RECOMPONER
    10
    11 ANTEPOSAR ANTEPONER
    12 CONTRAPOSAR CONTRAPONER
    13 DEPOSAR DEPONER
    14 DISPOSAR DISPONER
    15 EXPOSAR EXPONER
    16 IMPOSAR IMPONER
    17 INDISPOSAR INDISPONER
    18 INTERPOSAR INTERPONER
    19 OPOSAR OPONER
    20 POSPOSAR POSPONER
    21 PREDISPOSAR PREDISPONER
    22 PREPOSAR PREPONER
    23 PRESSUPOSAR PRESUPONER
    24 PROPOSAR PROPONER
    25 SOBREPOSAR SOBREPONER
    26 SUPERPOSAR SUPERPONER
    27 SUPOSAR SUPONER
    28 TRANSPOSAR TRANSPONER
    29
    30 REPOSAR REPONER
    31 REPOSAR REPOSAR
    (font face=courier)

    01 PONDRE PONER
    02 POSAR PONER
    03 POSAR POSAR
    04
    05 COMPONDRE COMPONER
    06 COMPOSAR COMPONER
    07
    08 DESCOMPONDRE DESCOMPONER
    09 RECOMPONDRE RECOMPONER
    10
    11 ANTEPOSAR ANTEPONER
    12 CONTRAPOSAR CONTRAPONER
    13 DEPOSAR DEPONER
    14 DISPOSAR DISPONER
    15 EXPOSAR EXPONER
    16 IMPOSAR IMPONER
    17 INDISPOSAR INDISPONER
    18 INTERPOSAR INTERPONER
    19 OPOSAR OPONER
    20 POSPOSAR POSPONER
    21 PREDISPOSAR PREDISPONER
    22 PREPOSAR PREPONER
    23 PRESSUPOSAR PRESUPONER
    24 PROPOSAR PROPONER
    25 SOBREPOSAR SOBREPONER
    26 SUPERPOSAR SUPERPONER
    27 SUPOSAR SUPONER
    28 TRANSPOSAR TRANSPONER
    29
    30 REPOSAR REPONER
    31 REPOSAR REPOSAR
    (/font)
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 10/11/2023 a les 13:23
    (font size=3,face=courier)

    01 PONDRE PONER
    02 POSAR PONE
    03 POSAR POSAR
    04
    05 COMPONDRE COMPONER
    06 COMPOSAR COMPONER
    07
    08 DESCOMPONDRE DESCOMPONER
    09 RECOMPONDRE RECOMPONER
    10
    11 ANTEPOSAR ANTEPONER
    12 CONTRAPOSAR CONTRAPONER
    13 DEPOSAR DEPONER
    14 DISPOSAR DISPONER
    15 EXPOSAR EXPONER
    16 IMPOSAR IMPONER 6
    17 INDISPOSAR INDISPONER 3
    18 INTERPOSAR INTERPONER 3
    19 OPOSAR OPONER 7
    20 POSPOSAR POSPONER 5
    21 PREDISPOSAR PREDISPONER 2
    22 PREPOSAR PREPONE5
    23 PRESSUPOSAR PRESUPONER 2
    24 PROPOSAR PROPONER 5
    25 SOBREPOSAR SOBREPONER 3
    26 SUPERPOSAR SUPERPONER 3
    27 SUPOSARSUPONER
    28 TRANSPOSAR TRANSPONER
    29
    30 REPOSAR REPONER
    31 REPOSAR REPOSAR
    (/font)
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 10/11/2023 a les 15:37

    (font size=3,face=courier)

    01 PONDRE ....... PONER
    02 POSAR ........ PONER
    03 POSAR ........ POSAR
    04
    05 COMPONDRE .... COMPONER
    06 COMPOSAR ..... COMPONER
    07
    08 DESCOMPONDRE . DESCOMPONER
    09 RECOMPONDRE .. RECOMPONER
    10
    11 ANTEPOSAR .... ANTEPONER
    12 CONTRAPOSAR .. CONTRAPONER
    13 DEPOSAR ...... DEPONER
    14 DISPOSAR ..... DISPONER
    15 EXPOSAR ...... EXPONER
    16 IMPOSAR ...... IMPONER
    17 INDISPOSAR ... INDISPONER
    18 INTERPOSAR ... INTERPONER
    19 OPOSAR ....... OPONER
    20 POSPOSAR ..... POSPONER
    21 PREDISPOSAR .. PREDISPONER
    22 PREPOSAR ..... PREPONER
    23 PRESSUPOSAR .. PRESUPONER
    24 PROPOSAR ..... PROPONER
    25 SOBREPOSAR ... SOBREPONER
    26 SUPERPOSAR ... SUPERPONER
    27 SUPOSAR ...... SUPONER
    28 TRANSPOSAR ... TRANSPONER
    29
    30 REPOSAR ...... REPONER
    31 REPOSAR ...... REPOSAR
    32
    33 ESPOSAR ...... DESPOSAR
    (/font)
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 10/11/2023 a les 15:43

    (font size=3,face=courier)

    01 PONDRE ------- PONER
    02 POSAR -------- PONER
    03 POSAR -------- POSAR
    04
    05 COMPONDRE ---- COMPONER
    06 COMPOSAR ----- COMPONER
    07
    08 DESCOMPONDRE - DESCOMPONER
    09 RECOMPONDRE -- RECOMPONER
    10
    11 ANTEPOSAR ---- ANTEPONER
    12 CONTRAPOSAR -- CONTRAPONER
    13 DEPOSAR ------ DEPONER
    14 DISPOSAR ----- DISPONER
    15 EXPOSAR ------ EXPONER
    16 IMPOSAR ------ IMPONER
    17 INDISPOSAR --- INDISPONER
    18 INTERPOSAR --- INTERPONER
    19 OPOSAR ------- OPONER
    20 POSPOSAR ----- POSPONER
    21 PREDISPOSAR -- PREDISPONER
    22 PREPOSAR ----- PREPONER
    23 PRESSUPOSAR -- PRESUPONER
    24 PROPOSAR ----- PROPONER
    25 SOBREPOSAR --- SOBREPONER
    26 SUPERPOSAR --- SUPERPONER
    27 SUPOSAR ------ SUPONER
    28 TRANSPOSAR --- TRANSPONER
    29
    30 REPOSAR ------ REPONER
    31 REPOSAR ------ REPOSAR
    32
    33 ESPOSAR ------ DESPOSAR
    (/font)
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 10/11/2023 a les 15:55

    (font size=3,face=courier)

    01 PONDRE _______ PONER
    02 POSAR ________ PONER
    03 POSAR ________ POSAR
    04
    05 COMPONDRE ____ COMPONER
    06 COMPOSAR _____ COMPONER
    07
    08 DESCOMPONDRE _ DESCOMPONER
    09 RECOMPONDRE __ RECOMPONER
    10
    11 ANTEPOSAR ____ ANTEPONER
    12 CONTRAPOSAR __ CONTRAPONER
    13 DEPOSAR ______ DEPONER
    14 DISPOSAR _____ DISPONER
    15 EXPOSAR ______ EXPONER
    16 IMPOSAR ______ IMPONER
    17 INDISPOSAR ___ INDISPONER
    18 INTERPOSAR ___ INTERPONER
    19 OPOSAR _______ OPONER
    20 POSPOSAR _____ POSPONER
    21 PREDISPOSAR __ PREDISPONER
    22 PREPOSAR _____ PREPONER
    23 PRESSUPOSAR __ PRESUPONER
    24 PROPOSAR _____ PROPONER
    25 SOBREPOSAR ___ SOBREPONER
    26 SUPERPOSAR ___ SUPERPONER
    27 SUPOSAR ______ SUPONER
    28 TRANSPOSAR ___ TRANSPONER
    29
    30 REPOSAR ______ REPONER
    31 REPOSAR ______ REPOSAR
    32
    33 ESPOSAR ______ DESPOSAR
    (/font)
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 10/11/2023 a les 16:05

    (font face=courier)

    01 PONDRE ....... PONER
    02 POSAR ........ PONER
    03 POSAR ........ POSAR
    04
    05 COMPONDRE .... COMPONER
    06 COMPOSAR ..... COMPONER
    07
    08 DESCOMPONDRE . DESCOMPONER
    09 RECOMPONDRE .. RECOMPONER
    10
    11 ANTEPOSAR .... ANTEPONER
    12 CONTRAPOSAR .. CONTRAPONER
    13 DEPOSAR ...... DEPONER
    14 DISPOSAR ..... DISPONER
    15 EXPOSAR ...... EXPONER
    16 IMPOSAR ...... IMPONER
    17 INDISPOSAR ... INDISPONER
    18 INTERPOSAR ... INTERPONER
    19 OPOSAR ....... OPONER
    20 POSPOSAR ..... POSPONER
    21 PREDISPOSAR .. PREDISPONER
    22 PREPOSAR ..... PREPONER
    23 PRESSUPOSAR .. PRESUPONER
    24 PROPOSAR ..... PROPONER
    25 SOBREPOSAR ... SOBREPONER
    26 SUPERPOSAR ... SUPERPONER
    27 SUPOSAR ...... SUPONER
    28 TRANSPOSAR ... TRANSPONER
    29
    30 REPOSAR ...... REPONER
    31 REPOSAR ...... REPOSAR
    32
    33 ESPOSAR ...... DESPOSAR
    (/font)
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 10/11/2023 a les 16:13

    (font size=3 face=courier)

    01 PONDRE ....... PONER
    02 POSAR ........ PONER
    03 POSAR ........ POSAR
    04
    05 COMPONDRE .... COMPONER
    06 COMPOSAR ..... COMPONER
    07
    08 DESCOMPONDRE . DESCOMPONER
    09 RECOMPONDRE .. RECOMPONER
    10
    11 ANTEPOSAR .... ANTEPONER
    12 CONTRAPOSAR .. CONTRAPONER
    13 DEPOSAR ...... DEPONER
    14 DISPOSAR ..... DISPONER
    15 EXPOSAR ...... EXPONER
    16 IMPOSAR ...... IMPONER
    17 INDISPOSAR ... INDISPONER
    18 INTERPOSAR ... INTERPONER
    19 OPOSAR ....... OPONER
    20 POSPOSAR ..... POSPONER
    21 PREDISPOSAR .. PREDISPONER
    22 PREPOSAR ..... PREPONER
    23 PRESSUPOSAR .. PRESUPONER
    24 PROPOSAR ..... PROPONER
    25 SOBREPOSAR ... SOBREPONER
    26 SUPERPOSAR ... SUPERPONER
    27 SUPOSAR ...... SUPONER
    28 TRANSPOSAR ... TRANSPONER
    29
    30 REPOSAR ...... REPONER
    31 REPOSAR ...... REPOSAR
    32
    33 ESPOSAR ...... DESPOSAR

    (/font)
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 10/11/2023 a les 17:34

    (font size=3)

    01 PONDRE ....... PONER
    02 POSAR ........ PONER
    03 POSAR ........ POSAR
    (font face=courier)

    05 COMPONDRE .... COMPONER
    06 COMPOSAR ..... COMPONER

    (/font)>(/font)
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 10/11/2023 a les 17:41

    (font size=3)
    (font size=3)
    01 PONDRE ....... PONER
    02 POSAR ........ PONER
    03 POSAR ….. POSAR
    (font face=courier)

    05 COMPONDRE .... COMPONER
    06 COMPOSAR ..... COMPONER

    (/font)
    COMPONDRE
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 10/11/2023 a les 17:57
    COMPOSAR
    (font size=3)

    01 PONDRE ....... PONER
    02 POSAR ........ PONER
    03 POSAR ........ POSAR
    (font face=courier)

    (strong)

    05 COMPONDRE .... COMPONER
    (/strong)

    06 COMPOSAR ..... COMPONER

    (/font)
    COMPOSAR

    (/font)
    COMPOSAR
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 11/11/2023 a les 16:10

      Heu-los aquí:


      01 PONDRE ..... PONER La gallina ha post un ou.
      02 POSAR ...... PONER Posa flors al gerro. Es posa a ploure.
      03 POSAR ...... POSAR La model posa per al pintor.
      04
      05 REPOSAR .... REPONER Ha reposat el plat trencat.
      06 REPOSAR .... REPOSAR S'ha assegut per reposar una estona.
      07
      08 COMPONDRE .. COMPONER Aquell músic ha compost una cançó.
      09 COMPOSAR ... COMPONER El rei els ha composat un tribut.
      10
      11 DESCOMPONDRE DESCOMPONER
      12 RECOMPONDRE RECOMPONER
      13
      14 ANTEPOSAR .. ANTEPONER
      15 CONTRAPOSAR CONTRAPONER
      16 DEPOSAR .... DEPONER
      17 DESIMPOSAR . DESIMPONER
      18 DISPOSAR ... DISPONER
      19 EXPOSAR .... EXPONER
      20 IMPOSAR .... IMPONER
      21 INDISPOSAR . INDISPONER
      22 INTERPOSAR . INTERPONER
      23 JUXTAPOSAR . YUXTAPONER
      24 OPOSAR ..... OPONER
      25 POSPOSAR ... POSPONER
      26 PREDISPOSAR PREDISPONER
      27 PREPOSAR ... PREPONER
      28 PRESSUPOSAR PRESUPONER
      29 PROPOSAR ... PROPONER
      30 SOBREPOSAR . SOBREPONER
      31 SUPERPOSAR . SUPERPONER
      32 SUPOSAR .... SUPONER
      33 TRANSPOSAR . TRANSPONER
      34
      35 ESPOSAR .... DESPOSAR
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 11/11/2023 a les 23:36
      Heu-los aquí:


      01 PONDRE...... PONER La gallina ha post un ou.
      02 POSAR....... PONER Posa'n dos. Es posa a nevar.
      03 POSAR....... POSAR La model posa per al pintor.
      04
      05 REPOSAR..... REPONER Reposa els plats trencats!
      06 REPOSAR..... REPOSAR S'ha assegut per reposar.
      07
      08 COMPONDRE... COMPONER El músic compòn cançons.
      09 COMPOSAR.... COMPONER Componen un IVA molt alt.
      10
      11 DESCOMPONDRE DESCOMPONER
      12 RECOMPONDRE. RECOMPONER
      13
      14 ANTEPOSAR... ANTEPONER
      15 CONTRAPOSAR. CONTRAPONER
      16 DEPOSAR..... DEPONER
      17 DESIMPOSAR.. DESIMPONER
      18 DISPOSAR.... DISPONER
      19 EXPOSAR..... EXPONER
      20 IMPOSAR..... IMPONER
      21 INDISPOSAR.. INDISPONER
      22 INTERPOSAR.. INTERPONER
      23 JUXTAPOSAR.. YUXTAPONER
      24 OPOSAR...... OPONER
      25 POSPOSAR.... POSPONER
      26 PREDISPOSAR. PREDISPONER
      27 PREPOSAR.... PREPONER
      28 PRESSUPOSAR. PRESUPONER
      29 PROPOSAR.... PROPONER
      30 SOBREPOSAR.. SOBREPONER
      31 SUPERPOSAR.. SUPERPONER
      32 SUPOSAR..... SUPONER
      33 TRANSPOSAR.. TRANSPONER
      34
      35 ESPOSAR..... DESPOSAR
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 11/11/2023 a les 16:16
    Heu-los aquí:
    El professor d’aquell grup de primer de secundària, operat d’apendicitis,

    01 PONDRE ..... PONER La gallina ha post un ou.
    02 POSAR ...... PONER Posa flors al gerro. Es posa a ploure.
    03 POSAR ...... POSAR La model posa per al pintor.
    04
    05 REPOSAR .... REPONER Ha reposat el plat trencat.
    06 REPOSAR .... REPOSAR S'ha assegut per reposar una estona.
    07
    08 COMPONDRE .. COMPONER Aquell músic ha compost una cançó.
    09 COMPOSAR ... COMPONER El rei els ha composat un tribut.
    10
    11 DESCOMPONDRE DESCOMPONER
    12 RECOMPONDRE RECOMPONER
    13
    14 ANTEPOSAR .. ANTEPONER
    15 CONTRAPOSAR CONTRAPONER
    16 DEPOSAR .... DEPONER
    17 DESIMPOSAR . DESIMPONER
    18 DISPOSAR ... DISPONER
    19 EXPOSAR .... EXPONER
    20 IMPOSAR .... IMPONER
    21 INDISPOSAR . INDISPONER
    22 INTERPOSAR . INTERPONER
    23 JUXTAPOSAR . YUXTAPONER
    24 OPOSAR ..... OPONER
    25 POSPOSAR ... POSPONER
    26 PREDISPOSAR PREDISPONER
    27 PREPOSAR ... PREPONER
    28 PRESSUPOSAR PRESUPONER
    29 PROPOSAR ... PROPONER
    30 SOBREPOSAR . SOBREPONER
    31 SUPERPOSAR . SUPERPONER
    32 SUPOSAR .... SUPONER
    33 TRANSPOSAR . TRANSPONER
    34
    35 ESPOSAR .... DESPOSAR
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 11/11/2023 a les 16:22

    Heu-los aquí:
    El professor d’aquell grup de primer de secundària, operat d’apendicitis,

    01 PONDRE ..... PONER La gallina ha post un ou.
    02 POSAR ...... PONER Posa flors al gerro. Es posa a ploure.
    03 POSAR ...... POSAR La model posa per al pintor.
    04
    05 REPOSAR .... REPONER Ha reposat el plat trencat.
    06 REPOSAR .... REPOSAR S'ha assegut per reposar una estona.
    07
    08 COMPONDRE .. COMPONER Aquell músic ha compost una cançó.
    09 COMPOSAR ... COMPONER El rei els ha composat un tribut.
    10
    11 DESCOMPONDRE DESCOMPONER
    12 RECOMPONDRE RECOMPONER
    13
    14 ANTEPOSAR .. ANTEPONER
    15 CONTRAPOSAR CONTRAPONER
    16 DEPOSAR .... DEPONER
    17 DESIMPOSAR . DESIMPONER
    18 DISPOSAR ... DISPONER
    19 EXPOSAR .... EXPONER
    20 IMPOSAR .... IMPONER
    21 INDISPOSAR . INDISPONER
    22 INTERPOSAR . INTERPONER
    23 JUXTAPOSAR . YUXTAPONER
    24 OPOSAR ..... OPONER
    25 POSPOSAR ... POSPONER
    26 PREDISPOSAR PREDISPONER
    27 PREPOSAR ... PREPONER
    28 PRESSUPOSAR PRESUPONER
    29 PROPOSAR ... PROPONER
    30 SOBREPOSAR . SOBREPONER
    31 SUPERPOSAR . SUPERPONER
    32 SUPOSAR .... SUPONER
    33 TRANSPOSAR . TRANSPONER
    34
    35 ESPOSAR .... DESPOSAR
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 11/11/2023 a les 17:26

    Heu-los aquí:
    El professor d’aquell grup de primer de secundària, operat d’apendicitis,

    01 PONDRE...... PONER La gallina ha post un ou.
    02 POSAR....... PONER Posa-hi sal. Es posa a nevar.
    03 POSAR....... POSAR La model posa per al pintor.
    04
    05 REPOSAR..... REPONER Reposa els plats trencats!
    06 REPOSAR..... REPOSAR S'ha assegut per reposar.
    07
    08 COMPONDRE... COMPONER El músic compòn cançons.
    09 COMPOSAR.... COMPONER Componen un IVA molt alt.
    10
    11 DESCOMPONDRE DESCOMPONER
    12 RECOMPONDRE. RECOMPONER
    13
    14 ANTEPOSAR... ANTEPONER
    15 CONTRAPOSAR. CONTRAPONER
    16 DEPOSAR..... DEPONER
    17 DESIMPOSAR.. DESIMPONER
    18 DISPOSAR.... DISPONER
    19 EXPOSAR..... EXPONER
    20 IMPOSAR..... IMPONER
    21 INDISPOSAR.. INDISPONER
    22 INTERPOSAR.. INTERPONER
    23 JUXTAPOSAR.. YUXTAPONER
    24 OPOSAR...... OPONER
    25 POSPOSAR.... POSPONER
    26 PREDISPOSAR. PREDISPONER
    27 PREPOSAR.... PREPONER
    28 PRESSUPOSAR PRESUPONER
    29 PROPOSAR.... PROPONER
    30 SOBREPOSAR.. SOBREPONER
    31 SUPERPOSAR.. SUPERPONER
    32 SUPOSAR..... SUPONER
    33 TRANSPOSAR.. TRANSPONER
    34
    35 ESPOSAR..... DESPOSAR
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 11/11/2023 a les 17:36

    Heu-los aquí:
    El professor d’aquell grup de primer de secundària, operat d’apendicitis,

    01 PONDRE...... PONER La gallina ha post un ou.
    02 POSAR....... PONER Posa'n dos. Es posa a nevar.
    03 POSAR....... POSAR La model posa per al pintor.
    04
    05 REPOSAR..... REPONER Reposa els plats trencats!
    06 REPOSAR..... REPOSAR S'ha assegut per reposar.
    07
    08 COMPONDRE... COMPONER El músic compòn cançons.
    09 COMPOSAR.... COMPONER Componen un IVA molt alt.
    10
    11 DESCOMPONDRE DESCOMPONER
    12 RECOMPONDRE. RECOMPONER
    13
    14 ANTEPOSAR... ANTEPONER
    15 CONTRAPOSAR. CONTRAPONER
    16 DEPOSAR..... DEPONER
    17 DESIMPOSAR.. DESIMPONER
    18 DISPOSAR.... DISPONER
    19 EXPOSAR..... EXPONER
    20 IMPOSAR..... IMPONER
    21 INDISPOSAR.. INDISPONER
    22 INTERPOSAR.. INTERPONER
    23 JUXTAPOSAR.. YUXTAPONER
    24 OPOSAR...... OPONER
    25 POSPOSAR.... POSPONER
    26 PREDISPOSAR. PREDISPONER
    27 PREPOSAR.... PREPONER
    28 PRESSUPOSAR PRESUPONER
    29 PROPOSAR.... PROPONER
    30 SOBREPOSAR.. SOBREPONER
    31 SUPERPOSAR.. SUPERPONER
    32 SUPOSAR..... SUPONER
    33 TRANSPOSAR.. TRANSPONER
    34
    35 ESPOSAR..... DESPOSAR
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 11/11/2023 a les 23:37
    Heu-los aquí:


    01 PONDRE...... PONER La gallina ha post un ou.
    02 POSAR....... PONER Posa'n dos. Es posa a nevar.
    03 POSAR....... POSAR La model posa per al pintor.
    04
    05 REPOSAR..... REPONER Reposa els plats trencats!
    06 REPOSAR..... REPOSAR S'ha assegut per reposar.
    07
    08 COMPONDRE... COMPONER El músic compòn cançons.
    09 COMPOSAR.... COMPONER Componen un IVA molt alt.
    10
    11 DESCOMPONDRE DESCOMPONER
    12 RECOMPONDRE. RECOMPONER
    13
    14 ANTEPOSAR... ANTEPONER
    15 CONTRAPOSAR. CONTRAPONER
    16 DEPOSAR..... DEPONER
    17 DESIMPOSAR.. DESIMPONER
    18 DISPOSAR.... DISPONER
    19 EXPOSAR..... EXPONER
    20 IMPOSAR..... IMPONER
    21 INDISPOSAR.. INDISPONER
    22 INTERPOSAR.. INTERPONER
    23 JUXTAPOSAR.. YUXTAPONER
    24 OPOSAR...... OPONER
    25 POSPOSAR.... POSPONER
    26 PREDISPOSAR. PREDISPONER
    27 PREPOSAR.... PREPONER
    28 PRESSUPOSAR. PRESUPONER
    29 PROPOSAR.... PROPONER
    30 SOBREPOSAR.. SOBREPONER
    31 SUPERPOSAR.. SUPERPONER
    32 SUPOSAR..... SUPONER
    33 TRANSPOSAR.. TRANSPONER
    34
    35 ESPOSAR..... DESPOSAR
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 19/02/2024 a les 18:37

      I dient això acostà un dels fulls, que en la part superior mostrava l'inici de la successió dels nombres naturals i, més avall, el de la de Fibonacci, arrenglerada verticalment amb la dels naturals, que feien d'ordinals de la segona:

      ····1···2···3···4···5···6···7···8···9··10··11··12··13··14··15·

      0···1···1···2···
      3···5···8··13··
      21··34··55··89·
      144·233·377·610·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 19/02/2024 a les 18:42

    I dient això acostà un dels fulls, que en la part superior mostrava l'inici de la successió dels nombres naturals i, més avall, el de la de Fibonacci, arrenglerada verticalment amb la dels naturals, que feien d'ordinals de la segona:

    ····1···2···3···4···5···6···7···8···9··10··11··12

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 19/02/2024 a les 20:42

    I dient això acostà un dels fulls, que en la part superior mostrava l'inici de la successió dels nombres naturals i, més avall, el de la de Fibonacci, arrenglerada verticalment amb la dels naturals, que feien d'ordinals de la segona:

    ····1···2···3···4···5···6···7···8···9··10··11··12

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    —Abans de seguir vull que et fixis en dues coses. La primera, que els dos primers nombres de la successió de Fibonacci, 0 i 1, són els que determinen tots el altres, seguint la llei de generació establerta. Però en lloc de 0 i 1 podríem partir de dos nombres diferents, amb l'unica condició que el segon no sigui inferior al primer, com 3 i 3 o 2 i 4. Comparades amb la successió de Fibonacci, veiem aquestes dues altres successions, que per no confondre amb la primera anomenarem successions tipus Fibonacci:

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    3···3···6···9··15··24··39··63·102·165·267··432·699

    2···4···6··10··16··26··42··68·110·178·288·466·754

    La segona cosa és que
    I m'havia demanat ser el seu conseller. Em devia tenir per un expert, d'ençà que li havia parlat de dos treballs postdoctorals publicats, Manipulació geomètrica dels blocs d'AutoCAD y El sudoku nostre de cada dia, per cortesia d'AutoCAD, i li havia ensenyat el blog Sudokus Hexagonals Simètrics (SHS): blog de Joan Colom / Juan Palomo on cada setmana, durant un any, havia estat publicant sis d'aquests sudokus de la meva invenció. Recordo que havia estat ell qui m'havia
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 20/02/2024 a les 12:13

      0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

      ····1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 20/02/2024 a les 12:50

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    ····1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233

    —Podem provar amb un altre llei de generació, per exemple calcular cada membre sumant uns altres dos membres de la successió de referència: el membre homòleg i el precedent del precedent. Aquestes successions les anomenarem dependents; dir-ne derivades seria confós, perquè en anàlisi matemàtica aquest adjectiu ja s'utilitza per a determinades funcions. La successió obtinguda de la successió de referència l'anomenarem dependent primera, l'obtinguda de la dependent primera l'anomenarem dependent segona, etc. A títol d'exemple partirem de la successió de Fibonacci, tot i que podríem partir de qualsevol successió tipus Fibonacci. Aquí la tens, seguida de les successions dependents primera, segona i tercera:

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    ········1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 20/02/2024 a les 13:08

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    ········1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199

    ················5··10··15··25··40··65·105·170·275

    ················20··35··55··90·145·235·380
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 20/02/2024 a les 13:11

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    ········1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199

    ················5··10··15··25··40··65·105·170·275

    ························20··35··55··90·145·235·380
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 20/02/2024 a les 18:21

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233

    1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377

    2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377·610

    3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377·610·987

    —La segona cosa és que, a partir de la successió de Fibonacci o, en general, de qualsevol successió tipus Fibonacci, podríem obtenir altres successions, a base d'aplicar diferents lleis de generació. Si cada membre de la successió el calculem sumant dos membres de la successió de Fibonacci, l'homòleg i el precedent, la successió obtinguda serà una de les d'abans: la segona versió escapçada de la successió de Fibonacci, sols que ara la presentem desfasada per tal que els membres homòlegs se situïn en columna. I si aquesta successió la prenem ara com a base per obtenir-ne una altra amb la mateixa llei de generació, coincidirà amb la quarta versió escapçada de la successió de Fibonacci:

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    ····1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233

    ········3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 21/02/2024 a les 10:21

      Mirant de contenir la rialla, vaig demanar-li a Lluís que em dugués un didalet de whisky i em deixés una estona sol amb els papers; volia mirar si se m'acudia alguna mena de demostració. Al cap de deu minuts vaig cridar Lluís: em semblava que ja ho tenia, sense perjudici de formalitzacions posteriors que ajudessin a entendre el caràcter genèric dels conjunts i elements en joc, mitjancant notació amb variables subindexades.

      —Siguin cinc membres correlatius de la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
      primer membre SB: a
      segon membre SB: b
      tercer membre SB: a+b
      quart membre SB: b+a+b = a+2b
      cinquè membre SB: a+b+a+2b = 2a+3b
      Si ara en formem la successió dependent primera:
      tercer membre SD1: a+a+b = 2a+b
      quart membre SD1: b+a+2b = a+3b
      cinquè membre SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
      Comprovem que el cinquè membre SD1 és igual a la suma del tercer i el quart:
      (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant horitzontalment els membres d'ambdues successions:

      Successió de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b

      Successió dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b

      Lluís, que seguia les explicacions badant la boca i fent uns ulls com unes taronges, em tallà i prorrompé en exclamacions com un energumen:
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 21/02/2024 a les 10:34

      —Siguin cinc membres correlatius de la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
      primer membre SB: a
      segon membre SB: b
      tercer membre SB: a+b
      quart membre SB: b+a+b = a+2b
      cinquè membre SB: a+b+a+2b = 2a+3b
      Si ara en formem la successió dependent primera:
      tercer membre SD1: a+a+b = 2a+b
      quart membre SD1: b+a+2b = a+3b
      cinquè membre SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
      comprovem que el cinquè membre SD1 és igual a la suma del tercer i el quart: (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant horitzontalment els membres d'ambdues successions:

      S. de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b

      S. dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b

      Lluís, que seguia les explicacions badant la boca i fent uns ulls com unes taronges, em tallà i prorrompé en exclamacions com un energumen:
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 21/02/2024 a les 10:38

    —Siguin cinc membres correlatius de la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
    primer membre SB: a
    segon membre SB: b
    tercer membre SB: a+b
    quart membre SB: b+a+b = a+2b
    cinquè membre SB: a+b+a+2b = 2a+3b
    Si ara en formem la successió dependent primera:
    tercer membre SD1: a+a+b = 2a+b
    quart membre SD1: b+a+2b = a+3b
    cinquè membre SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
    comprovem que el cinquè membre SD1 és igual a la suma del tercer i el quart: (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant horitzontalment els membres d'ambdues successions:

    S. de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b

    S. dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b

    Lluís, que seguia les explicacions badant la boca i fent uns ulls com unes taronges, em tallà i prorrompé en exclamacions com un energumen:
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 21/02/2024 a les 12:50
    M'estava afaitant quan sonà el telèfon.

    —Sí?

    —Bon dia, Joan, sóc Lluís. Que podries venir? —semblava excitat— Aquest cop crec que l'he encertada. No serà un fals eureka com altres vegades, però necessito que m'ho confirmis. T'espero...

    —D'acord, Lluís, però no t'impacientis. Tingues present que els caps de setmana els autobusos van més espaiats. Deixa'm prendre un cafè amb llet i abans d'una hora hauré arribat. Vinga, fins ara.

    Mentre l'autobús H creuava l'Eixample em preguntava quina en portaria de cap, en Lluís Mestre. Era molt bon nano, però la seva obsessió per passar a la posteritat com a matemàtic ja fregava els límits del que és patològic: inexplicablement ell, que havia pogut guanyar-se la vida treballant d'arquitecte i no pas com jo, que no me n'havia sortit i havia acabat de professor a la UPC, quan arran de les nostres jubilacions vam recuperar el contacte, un dia em va sorprendre confessant que de bon grat hauria renunciat a l'autoria dels projectes que li havien donat més nom, a canvi d'una ni que fos minsa aportació a les matemàtiques, posant els fonaments d'una nova branca, enunciant un nou teorema, a partir d'altres certeses o demostrant una conjectura, invalidant una conjectura mitjançant un contraexemple o enunciant-ne una de nova. M'havia deixat tant de pedra com si, sent pare de cinc fills, m'hagués revelat que era gai.

    I m'havia demanat ser el seu conseller. Em devia tenir per un expert, d'ençà que li havia parlat de dos treballs postdoctorals publicats, Manipulació geomètrica dels blocs d'AutoCAD i El sudoku nostre de cada dia, per cortesia d'AutoCAD, i li havia ensenyat el blog Sudokus Hexagonals Simètrics (SHS): blog de Joan Colom / Juan Palomo on cada setmana, durant un any, havia estat publicant sis d'aquests sudokus de la meva invenció. Recordo que havia estat ell qui m'havia aconsellat que provés de publicitar aquest blog a Relats en Català, per veure si algun relataire s'animava a jugar amb els SHS, suggerint-me que després de cada relat afegís enllaços a posts concrets, perquè si em limitava a facilitar l'enllaç d'accés al blog la gent no sabria localitzar-los, però ho vaig fer durant més d'un any, crec recordar que des de febrer del 2019 a març del 2020, sense aconseguir interessar ningú.

    La responsabilitat de conseller comportava que cada x mesos requerís la meva intervenció, perquè creia haver descobert algun nou principi matemàtic, i a mi em tocava l'ingrat paper d'advocat del diable, fent-li veure que allò era fals o ja estava inventat. I ara em preguntava si aquella ocasió n'era una més o si, per fi, hauria trobat la pedra filosofal.

    En arribar a casa de Lluís, gairebé no em va donar temps de preguntar per la família o la seva salut, sinó que em va conduir directament a l'estudi, on em va fer seure al seu costat per mostrar-me uns fulls manuscrits escampats damunt la taula. Abordà directament la qüestió:

    -Te'n recordes, dels nombres de Fibonacci?

    En va costar uns segons reaccionar, com si m'estiguessin examinant:

    —Home... és una successió de nombres naturals, cadascun d'ells la suma dels dos precedents. I crec recordar que tenen la tira de propietats...

    —Doncs mira —no em deixà acabar—, n'he descobert una de nova. I ara comencem pel començament.

    Tot dient això, acostà un dels fulls, que en la part superior mostrava l'inici de la successió dels nombres naturals i, més avall, el de la de Fibonacci, arrenglerada verticalment amb la dels naturals, que feien d'ordinals de la segona:

    ····1···2···3···4···5···6···7···8···9··10··11··12

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    —Abans de seguir vull que et fixis en dues coses. La primera, que els dos primers nombres de la Successió de Fibonacci, 0 i 1, són els que determinen tots els altres, seguint la llei de generació establerta. Però en lloc de 0 i 1 podríem partir de dos nombres diferents, amb l'única condició que el segon no fos inferior al primer, com 3 i 3 o 2 i 4. Comparades amb la Successió de Fibonacci, veiem aquestes dues altres successions, que per no confondre amb la primera anomenarem successions tipus Fibonacci:

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    3···3···6···9··15··24··39··63·102·165·267·432·699

    2···4···6··10··16··26··42··68·110·178·288·466·754

    —Com a cas particular de successions tipus Fibonacci, si prenem com a nombres generadors els successius parells de membres de la Successió de Fibonacci, 1 i 1, 1 i 2, 2 i 3, 3 i 5, etc., obtindrem versions de la successió de Fibonacci desproveïdes d'un, dos, tres, quatre, etc. membres inicials. Veiem la Successió de Fibonacci i les quatre primeres d'aquestes versions escapçades:

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233

    1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377

    2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377·610

    3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377·610·987

    —La segona cosa és que, a partir de la Successió de Fibonacci o, en general, de qualsevol successió tipus Fibonacci, podríem obtenir altres successions, aplicant diferents lleis de generació. Si cada membre de la successió el calculem sumant dos membres de la Successió de Fibonacci, l'homòleg i el precedent, la successió obtinguda serà una de les d'abans: la segona versió escapçada de la Successió de Fibonacci, sols que ara la presentem desfasada per tal que els membres homòlegs se situïn en columna. I si aquesta successió la prenem ara com a base per obtenir-ne una altra amb la mateixa llei de generació, coincidirà amb la quarta versió escapçada de la successió de Fibonacci:

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    ····1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233

    ········3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377

    —Podem provar amb una altra llei de generació, per exemple calcular cada membre sumant uns altres dos membres de la successió de base: l'homòleg i el precedent del precedent. Aquestes successions les anomenarem dependents; dir-ne derivades seria confós, perquè en anàlisi matemàtica aquest adjectiu ja s'utilitza per qualificar determinades funcions. La successió obtinguda de la successió de base l'anomenarem dependent primera, l'obtinguda de la dependent primera l'anomenarem dependent segona, etc. A títol d'exemple partirem de la Successió de Fibonacci, tot i que podríem partir de qualsevol successió tipus Fibonacci. Aquí la tenim, seguida de les successions dependents primera, segona i tercera:

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    ········1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199

    ················5··10··15··25··40··65·105·170·275

    ·······················20··35··55··90·145·235·380

    —I bé, Joan: ara ve quan el maten. Què et sembla?

    —Què figura que m'ha de semblar? —vaig contestar, una mica desconcertat, sortint de l'ensopiment que m'havia entrat amb el numeret dels numerets, valgui la redundància.

    —Home, vull dir... —i Lluís es mogué, neguitós, a la cadira— Vull dir: no et sembla que aquestes últimes successions, les que anomenava dependents primera, segona i tercera, tenen alguna particularitat?

    —A veure, deixa'm un moment... Si és el que volies que veiés, jo diria que cada membre és la suma dels dos precedents; així que aquestes successions que tu anomenes dependents són successions... tipus Fibonacci, com també les anomenes, no?

    —Ostres, i això et sembla poc?

    —Doncs mira, què vols que digui: també ho eren les d'abans, les que es generaven sumant el membre de referència no pas amb el penúltim anterior sinó amb l'últim, no?

    —Bé, jo més m'estimo parlar del membre precedent i del precedent del precedent, però ja ens entenem... La diferència és que les successions d'abans resultaven ser de tipus Fibonacci gairebé tautològicament, perquè quan dèiem que un membre de la successió dependent era la suma del membre homòleg i del membre precedent en la successió de base, anotàvem en la successió dependent el mateix valor del membre posterior a l'homòleg en la successió de base.

    En realitat, en lloc d'aquesta verborrea incomprensible que m'acabo d'inventar, el que feia Lluís, molt més entenedor, era assenyalar sobre el paper les posicions al·ludides, amb la punta del llapis.

    —En canvi —prosseguí Lluís—, entre la Successió de Fibonacci i la primera successió dependent, a partir dels primers membres ja no hi ha coincidències numèriques. I entre les diverses successions dependents, cap ni una. No havent-hi cap evidència notòria, doncs, caldria una estratègia de demostració i aquest no és el meu terreny, Joan. Així que en donaré publicitat com a conjectura, i si hi ha algun cervellet que la vulgui demostrar, elevant-la a la categoria de teorema, endavant les atxes! De moment, ja tinc pensat l'enunciat, un cop hagi definit les successions tipus Fibonacci, que és una expressió que m'he tret de la butxaca per sortir del pas, però que em grinyola i que m'hauries d'ajudar a millorar: Conjectura de Mestre: Les successions numèriques obtingudes per recursions successives (potser millor reiterades?) de la Successió de Fibonacci o de qualsevol successió tipus Fibonacci, mitjançant la suma dels membres homòlegs i els que els precedeixen en segon lloc, són també successions tipus Fibonacci.

    Mirant de contenir la rialla, vaig demanar-li a Lluís que em dugués un didalet de whisky i em deixés una estona sol amb els papers; volia mirar si se m'acudia alguna mena de demostració. Al cap de deu minuts vaig cridar Lluís: em semblava que ja ho tenia, sense perjudici de formalitzacions posteriors que ajudessin a entendre el caràcter genèric dels conjunts i elements en joc, mitjançant notació amb variables subindexades.

    —Siguin cinc membres correlatius de la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
    primer membre SB: a
    segon membre SB: b
    tercer membre SB: a+b
    quart membre SB: b+a+b = a+2b
    cinquè membre SB: a+b+a+2b = 2a+3b
    Si ara en formem la successió dependent primera:
    tercer membre SD1: a+a+b = 2a+b
    quart membre SD1: b+a+2b = a+3b
    cinquè membre SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
    comprovem que el cinquè membre SD1 és igual a la suma del tercer i el quart: (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant horitzontalment els membres d'ambdues successions:

    S. de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b

    S. dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b

    Lluís, que seguia les explicacions badant la boca i fent uns ulls com unes taronges, em tallà i prorrompé en exclamacions com un energumen:

    —Hòstia, això és formidable! Res de conjectura: teorema! El Teorema de Mestre...! No, perdona, Joan: El Teorema de Mestre-Colom! Faltaria més...

    Aleshores vaig haver de tallar-lo jo, perquè fins i tot la dona va venir corrents i tregué el cap a l'estudi, alarmada per la cridòria. Vaig fer-lo seure i vaig ser jo qui li serví un didalet de whisky, mentre intentava calmar-lo i reconduir l'esclat d'alegria des del paroxisme a una consciència mínimament crítica. Aquella troballa era molt meritòria però potser havia redescobert la sopa d'all: en un camp tan transitat com la Successió de Fibonacci i les seves implicacions i aplicacions, era quasi segur que algú ja havia plantat bandera; a hores d'ara, Fibonacci era Fibonacci i cia. Però, fins i tot si no era així, l'evidència de l'enunciat no era immediata però gairebé: es demostrava d'una manera massa directa per tenir entitat de teorema; corol·lari, a tot estirar.

    La lluïssor dels ulls es va anar apagant i el somriure es transformà en un rictus d'amargura. El vaig deixar relativament tranquil i a l'autobús, de tornada a casa, em preguntava quant de temps passaria fins a tenir notícies seves.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 21/02/2024 a les 16:11
    M'estava afaitant quan sonà el telèfon.

    —Sí?

    —Bon dia, Joan, sóc Lluís. Que podries venir? —semblava excitat— Aquest cop crec que l'he encertada. No serà un fals eureka com altres vegades, però necessito que m'ho confirmis. T'espero...

    —D'acord, Lluís, però no t'impacientis. Tingues present que els caps de setmana els autobusos van més espaiats. Deixa'm prendre un cafè amb llet i abans d'una hora hauré arribat. Vinga, fins ara.

    Mentre l'autobús H creuava l'Eixample em preguntava quina en portaria de cap, en Lluís Mestre. Era molt bon nano, però la seva obsessió per passar a la posteritat com a matemàtic ja fregava els límits del que és patològic: inexplicablement ell, que havia pogut guanyar-se la vida treballant d'arquitecte i no pas com jo, que no me n'havia sortit i havia acabat de professor a la UPC, quan arran de les nostres jubilacions vam recuperar el contacte, un dia em va sorprendre confessant que de bon grat hauria renunciat a l'autoria dels projectes que li havien donat més nom, a canvi d'una ni que fos minsa aportació a les matemàtiques, posant els fonaments d'una nova branca, enunciant un nou teorema, a partir d'altres certeses o demostrant una conjectura, invalidant una conjectura mitjançant un contraexemple o enunciant-ne una de nova. M'havia deixat tant de pedra com si, sent pare de cinc fills, m'hagués revelat que era gai.

    I m'havia demanat ser el seu conseller. Em devia tenir per un expert, d'ençà que li havia parlat de dos treballs postdoctorals publicats, Manipulació geomètrica dels blocs d'AutoCAD i El sudoku nostre de cada dia, per cortesia d'AutoCAD, i li havia ensenyat el blog Sudokus Hexagonals Simètrics (SHS): blog de Joan Colom / Juan Palomo on cada setmana, durant un any, havia estat publicant sis d'aquests sudokus de la meva invenció. Recordo que havia estat ell qui m'havia aconsellat que provés de publicitar aquest blog a Relats en Català, per veure si algun relataire s'animava a jugar amb els SHS, suggerint-me que després de cada relat afegís enllaços a posts concrets, perquè si em limitava a facilitar l'enllaç d'accés al blog la gent no sabria localitzar-los, però ho vaig fer durant més d'un any, crec recordar que des de febrer del 2019 a març del 2020, sense aconseguir interessar ningú.

    La responsabilitat de conseller comportava que cada x mesos requerís la meva intervenció, perquè creia haver descobert algun nou principi matemàtic, i a mi em tocava l'ingrat paper d'advocat del diable, fent-li veure que allò era fals o ja estava inventat. I ara em preguntava si aquella ocasió n'era una més o si, per fi, hauria trobat la pedra filosofal.

    En arribar a casa de Lluís, gairebé no em va donar temps de preguntar per la família o la seva salut, sinó que em va conduir directament a l'estudi, on em va fer seure al seu costat per mostrar-me uns fulls manuscrits escampats damunt la taula. Abordà directament la qüestió:

    -Te'n recordes, dels nombres de Fibonacci?

    En va costar uns segons reaccionar, com si m'estiguessin examinant:

    —Home... és una successió de nombres naturals, cadascun d'ells la suma dels dos precedents. I crec recordar que tenen la tira de propietats...

    —Doncs mira —no em deixà acabar—, n'he descobert una de nova. I ara comencem pel començament.

    Tot dient això, acostà un dels fulls, que en la part superior mostrava l'inici de la successió dels nombres naturals i, més avall, el de la de Fibonacci, arrenglerada verticalment amb la dels naturals, que feien d'ordinals de la segona:

    ····1···2···3···4···5···6···7···8···9··10··11··12

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    —Abans de seguir vull que et fixis en dues coses. La primera, que els dos primers nombres de la Successió de Fibonacci, 0 i 1, són els que determinen tots els altres, seguint la llei de generació establerta. Però en lloc de 0 i 1 podríem partir de dos nombres diferents, amb l'única condició que el segon no fos inferior al primer, com 3 i 3 o 2 i 4. Comparades amb la Successió de Fibonacci, veiem aquestes altres dues successions, que per no confondre amb la primera anomenarem successions tipus Fibonacci:

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    3···3···6···9··15··24··39··63·102·165·267·432·699

    2···4···6··10··16··26··42··68·110·178·288·466·754

    —Com a cas particular de successions tipus Fibonacci, si prenem com a nombres generadors els successius parells de membres de la Successió de Fibonacci, 1 i 1, 1 i 2, 2 i 3, 3 i 5, etc., obtindrem versions de la successió de Fibonacci desproveïdes d'un, dos, tres, quatre, etc. membres inicials. Veiem la Successió de Fibonacci i les quatre primeres d'aquestes versions escapçades:

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233

    1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377

    2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377·610

    3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377·610·987

    —La segona cosa és que, a partir de la Successió de Fibonacci o, en general, de qualsevol successió tipus Fibonacci, podríem obtenir altres successions, aplicant diferents lleis de generació. Si cada membre de la successió el calculem sumant dos membres de la Successió de Fibonacci, l'homòleg i el precedent, la successió obtinguda serà una de les d'abans: la segona versió escapçada de la Successió de Fibonacci, sols que ara la presentem desfasada per tal que els membres homòlegs se situïn en columna. I si aquesta successió la prenem ara com a base per obtenir-ne una altra amb la mateixa llei de generació, coincidirà amb la quarta versió escapçada de la successió de Fibonacci:

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    ····1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233

    ········3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377

    —Podem provar amb una altra llei de generació, per exemple calcular cada membre sumant uns altres dos membres de la successió de base: l'homòleg i el precedent del precedent. Aquestes successions les anomenarem dependents; dir-ne derivades seria confós, perquè en anàlisi matemàtica aquest adjectiu ja s'utilitza per qualificar determinades funcions. La successió obtinguda de la successió de base l'anomenarem dependent primera, l'obtinguda de la dependent primera l'anomenarem dependent segona, etc. A títol d'exemple partirem de la Successió de Fibonacci, tot i que podríem partir de qualsevol successió tipus Fibonacci. Aquí la tenim, seguida de les successions dependents primera, segona i tercera:

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    ········1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199

    ················5··10··15··25··40··65·105·170·275

    ·······················20··35··55··90·145·235·380

    —I bé, Joan: ara ve quan el maten. Què et sembla?

    —Què figura que m'ha de semblar? —vaig contestar, una mica desconcertat, sortint de l'ensopiment que m'havia entrat amb el numeret dels numerets, valgui la redundància.

    —Home, vull dir... —i Lluís es mogué, neguitós, a la cadira— Vull dir: no et sembla que aquestes últimes successions, les que anomenava dependents primera, segona i tercera, tenen alguna particularitat?

    —A veure, deixa'm un moment... Si és el que volies que veiés, jo diria que cada membre és la suma dels dos precedents; així que aquestes successions que tu anomenes dependents són successions... tipus Fibonacci, com també les anomenes, no?

    —Ostres, i això et sembla poc?

    —Doncs mira, què vols que digui: també ho eren les d'abans, les que es generaven sumant el membre de referència no pas amb el penúltim anterior sinó amb l'últim, no?

    —Bé, jo més m'estimo parlar del membre precedent i del precedent del precedent, però ja ens entenem... La diferència és que les successions d'abans resultaven ser de tipus Fibonacci gairebé tautològicament, perquè quan dèiem que un membre de la successió dependent era la suma del membre homòleg i del membre precedent en la successió de base, anotàvem en la successió dependent el mateix valor del membre posterior a l'homòleg en la successió de base.

    En realitat, en lloc d'aquesta verborrea incomprensible que m'acabo d'inventar, el que feia Lluís, molt més entenedor, era assenyalar sobre el paper les posicions al·ludides, amb la punta del llapis.

    —En canvi —prosseguí Lluís—, entre la Successió de Fibonacci i les successions dependents hi ha poques coincidències numèriques. I entre les diverses successions dependents, cap ni una. No havent-hi cap evidència notòria, doncs, caldria una estratègia de demostració i aquest no és el meu terreny, Joan. Així que en donaré publicitat com a conjectura, i si hi ha algun cervellet que la vulgui demostrar, elevant-la a la categoria de teorema, endavant les atxes! De moment, ja tinc pensat l'enunciat, un cop hagi definit les successions tipus Fibonacci, que és una expressió que m'he tret de la butxaca per sortir del pas, però que em grinyola i que m'hauries d'ajudar a millorar: Conjectura de Mestre: Les successions numèriques obtingudes per recursions successives (potser millor reiterades?) de la Successió de Fibonacci o de qualsevol successió tipus Fibonacci, mitjançant la suma dels membres homòlegs i els que els precedeixen en segon lloc, són també successions tipus Fibonacci.

    Mirant de contenir la rialla, vaig demanar-li a Lluís que em dugués un didalet de whisky i em deixés una estona sol amb els papers; volia mirar si se m'acudia alguna mena de demostració. Al cap de deu minuts vaig cridar Lluís: em semblava que ja ho tenia, sense perjudici de formalitzacions posteriors que ajudessin a entendre el caràcter genèric dels conjunts i elements en joc, mitjançant notació amb variables subindexades.

    —Siguin cinc membres correlatius de la successió de base: la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
    primer membre SB: a
    segon membre SB: b
    tercer membre SB: a+b
    quart membre SB: b+a+b = a+2b
    cinquè membre SB: a+b+a+2b = 2a+3b
    Si ara en formem la successió dependent primera:
    tercer membre SD1: a+a+b = 2a+b
    quart membre SD1: b+a+2b = a+3b
    cinquè membre SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
    comprovem que el cinquè membre SD1 és igual a la suma del tercer i el quart: (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant horitzontalment els membres d'ambdues successions:

    S. de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b

    S. dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b

    Lluís, que seguia les explicacions badant la boca i fent uns ulls com unes taronges, em tallà i prorrompé en exclamacions com un energumen:

    —Hòstia, això és formidable! Res de conjectura: teorema! El Teorema de Mestre...! No, perdona, Joan: El Teorema de Mestre-Colom! Faltaria més...

    Aleshores vaig haver de tallar-lo jo, perquè fins i tot la dona va venir corrents i tregué el cap a l'estudi, alarmada per la cridòria. Vaig fer-lo seure i vaig ser jo qui li serví un didalet de whisky, mentre intentava calmar-lo i reconduir l'esclat d'alegria des del paroxisme a una consciència mínimament crítica. Aquella troballa era molt meritòria però potser havia redescobert la sopa d'all: en un camp tan transitat com la Successió de Fibonacci i les seves implicacions i aplicacions, era quasi segur que algú ja havia plantat bandera; a hores d'ara, Fibonacci era Fibonacci i cia. Però, fins i tot si no era així, l'evidència de l'enunciat no era immediata però gairebé: es demostrava d'una manera massa directa per tenir entitat de teorema; corol·lari, a tot estirar.

    La lluïssor dels ulls es va anar apagant i el somriure es transformà en un rictus d'amargura. El vaig deixar relativament tranquil i a l'autobús, de tornada a casa, em preguntava quant de temps passaria fins a tornar a tenir notícies seves.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 09:17

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    ····1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    ········1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    ············2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    ················3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    ····················5···9··14··23··37··60··97·157·

    ························8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    ······························21··35··56··91·147·

    ·································34··56··90·146·

    ····································55··90·145·

    ·······································89·145·

    ·········································144·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 09:23


    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    ····1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    ········1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    ············2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    ················3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    ····················5···9··14··23··37··60··97·157·

    ························8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    ·······························21··35··56··91·147·

    ···································34··56··90·146·

    ·······································55··90·145·

    ···········································89·145·

    ··············································144·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 13:19


    ····1···2···3···4···5···6·········n-2·n-1···n

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    ·······························21··35··56··91·147·

    ···································34··56··90·146·

    m-2····································55··90·145·

    m-1········································89·145·

    m·············································144·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 13:30


    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    ·······························21··35··56··91·147·

    ···································34··56··90·146·

    m-2····································55··90·145·

    m-1········································89·145·

    m·············································144·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 13:47


    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    ·······························21··35··56··91·147·

    ···································34··56··90·146·

    m-2····································55··90·145·

    m-1········································89·145·

    m·············································144·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 13:55


    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    ·······························21··35··56··91·147·

    ···································34··56··90·146·

    m-2····································55··90·145·

    m-1········································89·145·

    m·············································144·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 20:07

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 20:13

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 21:03

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n+F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1+F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2+F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint en compte que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2:
    Fm,n-1+Fm,n-2 = (F0,n-1+F0,n-2) + (F0,n-m-1+F0,n-m-2) = F0,n+F0,n-m = Fm,n
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 21:09

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n+F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1+F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2+F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint en compte que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2:

    Fm,n-1+Fm,n-2 = (F0,n-1+F0,n-2)+(F0,n-m-1+F0,n-m-2) = F0,n+F0,n-m = Fm,n
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 21:15

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n+F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1+F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2+F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint en compte que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2:

    Fm,n-1+Fm,n-2 = (F0,n-1+F0,n-2)+(F0,n-m-1+F0,n-m-2) = F0,n+F0,n-m = Fm,n
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 21:26

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint en compte que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 21:34

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint en compte que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 21:44


    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3 ... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3 ... els de la resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3 ... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3 ... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint en compte que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 21:48

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3 ... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3 ... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3 ... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint en compte que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 21:53

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint en compte que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 21:57

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint en compte que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 22:00
    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint en compte que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 22:06

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 22/02/2024 a les 22:10

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 13:11

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    ·······························21··35··56··91·147·

    ···································34··56··90·146·

    m-2····································55··90·145·

    m-1········································89·145·

    m·············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió parafibonacci resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 13:17

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    ·······························21··35··56··91·147·

    ···································34··56··90·146·

    m-2····································55··90·145·

    m-1········································89·145·

    m·············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió parafibonacci resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    Si sumem la segona i tercera igualtat
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 13:21

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    ·······························21··35··56··91·147·

    ···································34··56··90·146·

    m-2····································55··90·145·

    m-1········································89·145·

    m·············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió parafibonacci resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    Si sumem la segona i tercera igualtat
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 13:22

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    ·······························21··35··56··91·147·

    ···································34··56··90·146·

    m-2····································55··90·145·

    m-1········································89·145·

    m·············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió parafibonacci resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    Si sumem la segona i tercera igualtat
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 17:07

    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerre de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són successions parafibonacci, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors:

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    m-2····························21··35··56··91·147·

    m-1································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    ···········································89·145·

    ··············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió parafibonacci resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    Si sumem la segona i tercera igualtat
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 17:08

    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerre de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són successions parafibonacci, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors:

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    m-2····························21··35··56··91·147·

    m-1································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    ···········································89·145·

    ··············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió parafibonacci resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., tenim

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    Si sumem la segona i tercera igualtat
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 18:39

    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 18:42

    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 18:43

    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 18:44
    font size=3>
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 18:46

    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 20:53

    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són successions parafibonacci, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors:

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    m-2····························21··35··56··91·147·

    m-1································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    ···········································89·145·

    ··············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions parafibonacci:

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    —Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem anar a la cruïlla m = 10 i n = 12:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,0 = 144 + 1 = 145
    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. Una altra cosa seran les aplicacions pràctiques que puguin tenir aquestes especulacions.

    —En realitat, Lluís,
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 21:13

    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són successions parafibonacci, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors:

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    m-2····························21··35··56··91·147·

    m-1································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    ···········································89·145·

    ··············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions parafibonacci:

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    —Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem anar a la cruïlla m = 10 i n = 12:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,0 = 144 + 1 = 145
    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. Una altra

    —En realitat, Lluís,
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 22:02


    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són successions parafibonacci, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors:

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    m-2····························21··35··56··91·147·

    m-1································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    ···········································89·145·

    ··············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions parafibonacci:

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    —Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem anar a la cruïlla m = 10 i n = 12:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,0 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. Una altra

    —En realitat, Lluís,
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 22:17


    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem anar a la cruïlla m = 10 i n = 12:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar.

    —En realitat, Lluís,
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 22:36

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem anar a la cruïlla m = 10 i n = 12:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145
    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 22:39


    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem anar a la cruïlla m = 10 i n = 12:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145
    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 22:45


    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem anar a la cruïlla m = 10 i n = 12:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145
    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12


    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 22:58


    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem anar a la cruïlla m = 10 i n = 12:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12


    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 23:05


    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem anar a la cruïlla m = 10, n = 12:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12


    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 23:11


    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem anar a la posició m = 10, n = 12:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12


    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 23:14
    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són successions parafibonacci, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors:

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    m-2····························21··35··56··91·147·

    m-1································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    ···········································89·145·

    ··············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions parafibonacci:

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    —Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem anar a la intersecció m = 10, n = 12:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12


    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. Una altra cosa seran les aplicacions pràctiques que puguin tenir aquestes especulacions. Perquè, no ens enganyem: això que acabem de veure només és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver, de generar successions basades en la de Fibonacci i que resulten ser parafibonacci... Pobre Leonardo de Pisa, sort que això de la vida eterna és una ximpleria, si no ja ens hauria fulminat amb un llamp per maltractar el seu renom d'aquesta manera! Però tornant al fil de les successions parafibonacci, quan venia cap aquí pensant en la família de successions que acabem de veure, partint del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci i sumant-hi un membre anterior, se m'ha ocorregut què passaria capgirant-ho: sumant al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?


  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 23/02/2024 a les 23:16

    En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no el feia el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "succesions parafibonacci". Si la dones per bona, podem passar a una altra que no em feia el pes a mi: allò de "dependent", per referir-nos a una successió obtinguda combinant d'alguna manera els membres de la Succesió de Fibonacci (o d'una parafibonacci), exclòs "derivada", que té un significat ja oficialitzat. En lloc de "dependent" se m'havia ocorregut "deduïda": la successió deduïda primera de la de Fibonacci (o d'una parafibonacci), la deduïda segona, la deduïda tercera, etc.


    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són successions parafibonacci, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors:

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    m-2····························21··35··56··91·147·

    m-1································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    ···········································89·145·

    ··············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions parafibonacci:

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtat, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    —Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem anar a la intersecció m = 10, n = 12:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12


    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. Una altra cosa seran les aplicacions pràctiques que puguin tenir aquestes especulacions. Perquè, no ens enganyem: això que acabem de veure només és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver, de generar successions basades en la de Fibonacci i que resulten ser parafibonacci... Pobre Leonardo de Pisa, sort que això de la vida eterna és una ximpleria, si no ja ens hauria fulminat amb un llamp per maltractar el seu renom d'aquesta manera! Però tornant al fil de les successions parafibonacci, quan venia cap aquí pensant en la família de successions que acabem de veure, partint del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci i sumant-hi un membre anterior, se m'ha ocorregut què passaria capgirant-ho: sumant al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?


    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 24/02/2024 a les 15:36

      En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no et feia el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "succesions parafibonacci". Si la dones per bona, podem passar a una altra que no em feia el pes a mi: allò de "dependent", per referir-nos a una successió obtinguda combinant d'alguna manera els membres de la Succesió de Fibonacci (o d'una parafibonacci) exclòs "derivada", que té un significat ja oficialitzat. En lloc de "dependent i-ena," se m'havia ocorregut "i-ena generació": la successió de primera generació G de la de Fibonacci (o d'una parafibonacci), la de segona generació, la de tercera generació, etc.


      —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són successions parafibonacci, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Estrenant el nomenclàtor modificat que t'acabo de proposar, diríem que aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn-m de Fibonacci:
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 24/02/2024 a les 15:39

      En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no et feia el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "succesions parafibonacci". Si la dones per bona, podem passar a una altra que no em feia el pes a mi: allò de "dependent", per referir-nos a una successió obtinguda combinant d'alguna manera els membres de la Succesió de Fibonacci (o d'una parafibonacci) exclòs "derivada", que té un significat ja oficialitzat. En lloc de "dependent i-ena," se m'havia ocorregut "i-ena generació": la successió de primera generació G de la de Fibonacci (o d'una parafibonacci), la de segona generació, la de tercera generació, etc.


      —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són successions parafibonacci, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Estrenant el nomenclàtor modificat que t'acabo de proposar, diríem que aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn-m de Fibonacci:
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 24/02/2024 a les 09:59
    Quan no són faltes d'ortografia, són relacions mal expressades. On diu:

    —Siguin cinc membres correlatius de la successió de base: la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
    primer membre SB: a
    segon membre SB: b
    tercer membre SB: a+b
    quart membre SB: b+a+b = a+2b
    cinquè membre SB: a+b+a+2b = 2a+3b
    Si ara en formem la successió dependent primera:
    tercer membre SD1: a+a+b = 2a+b
    quart membre SD1: b+a+2b = a+3b
    cinquè membre SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
    comprovem que el cinquè membre SD1 és igual a la suma del tercer i el quart: (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant horitzontalment els membres d'ambdues successions:

    S. de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b

    S. dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b


    hauria de dir:

    —Siguin cinc membres correlatius de la successió de base: la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
    primer membre representat SB: a
    segon membre representat SB: b
    tercer membre representat SB: a+b
    quart membre representat SB: b+a+b = a+2b
    cinquè membre representat SB: a+b+a+2b = 2a+3b
    Si ara en formem la successió dependent primera:
    primer membre representat SD1: a+a+b = 2a+b
    segon membre representat SD1: b+a+2b = a+3b
    tercer membre representat SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
    comprovem que el tercer membre representat SD1 és igual a la suma del primer i el segon: (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant verticalment els membres homòlegs d'ambdues successions:

    S. de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b

    S. dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 24/02/2024 a les 10:02
    Quan no són faltes d'ortografia, són relacions mal expressades. On diu:

    —Siguin cinc membres correlatius de la successió de base: la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
    primer membre SB: a
    segon membre SB: b
    tercer membre SB: a+b
    quart membre SB: b+a+b = a+2b
    cinquè membre SB: a+b+a+2b = 2a+3b
    Si ara en formem la successió dependent primera:
    tercer membre SD1: a+a+b = 2a+b
    quart membre SD1: b+a+2b = a+3b
    cinquè membre SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
    comprovem que el cinquè membre SD1 és igual a la suma del tercer i el quart: (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant horitzontalment els membres d'ambdues successions:

    S. de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b

    S. dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b


    hauria de dir:

    —Siguin cinc membres correlatius de la successió de base: la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
    primer membre representat SB: a
    segon membre representat SB: b
    tercer membre representat SB: a+b
    quart membre representat SB: b+a+b = a+2b
    cinquè membre representat SB: a+b+a+2b = 2a+3b
    Si ara en formem la successió dependent primera:
    primer membre representat SD1: a+a+b = 2a+b
    segon membre representat SD1: b+a+2b = a+3b
    tercer membre representat SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
    comprovem que el tercer membre representat SD1 és igual a la suma del primer i el segon: (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant verticalment els membres homòlegs d'ambdues successions:

    S. de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b

    S. dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 24/02/2024 a les 15:40

    En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no et feia el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "succesions parafibonacci". Si la dones per bona, podem passar a una altra que no em feia el pes a mi: allò de "dependent", per referir-nos a una successió obtinguda combinant d'alguna manera els membres de la Succesió de Fibonacci (o d'una parafibonacci) exclòs "derivada", que té un significat ja oficialitzat. En lloc de "dependent i-ena," se m'havia ocorregut "i-ena generació": la successió de primera generació G de la de Fibonacci (o d'una parafibonacci), la de segona generació, la de tercera generació, etc.


    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són successions parafibonacci, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Estrenant el nomenclàtor modificat que t'acabo de proposar, diríem que aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn-m de Fibonacci:
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 24/02/2024 a les 15:53

    En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no et feia el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "succesions parafibonacci". Si la dones per bona, podem passar a una altra que no em feia el pes a mi: allò de "dependent", per referir-nos a una successió obtinguda combinant d'alguna manera els membres de la Succesió de Fibonacci (o d'una parafibonacci), exclòs "derivada", que té un significat ja oficialitzat. En lloc de "dependent i-ena," se m'ha ocorregut "i-ena generació": la successió de primera generació G de la de Fibonacci (o d'una parafibonacci), la de segona generació, la de tercera generació, etc.


    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són successions parafibonacci, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Estrenant el nomenclàtor modificat que t'acabo de proposar, diríem que aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn-m de Fibonacci:
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 24/02/2024 a les 15:55
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 25/02/2024 a les 20:57

      —La primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci, en caràcters numèrics en negreta i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, una part en negreta i la resta en caràcters normals. Doncs bé, també en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci (segons que aquest segon sumand quedi a la vista o fora de camp, per la dreta, el membre de la successió s'ha escrit en negreta o en caràcters normals). Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n+1 + Fm,n+2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Com abans, aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn+m de Fibonacci:


      ·····1···2····3····4····5···6·········n··n+1··n+2·

      0····1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·
      1····2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·
      2····3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·
      3····4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·
      4····6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·
      ·····9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·
      m···14··22···36···58···94··152·246··398··644·1042·
      m+1·22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·
      m+2·35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·
      ····56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 25/02/2024 a les 12:47

    inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Estrenant el nomenclàtor modificat que t'acabo de proposar, diríem que aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn-m de Fibonacci:

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 25/02/2024 a les 21:57

    —La primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci, en caràcters numèrics en negreta i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, una part en negreta i la resta en caràcters normals. Doncs bé, també en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci (segons que aquest segon sumand quedi a la vista o fora de camp per la dreta, el membre de la successió s'ha escrit en negreta o en caràcters normals). Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n, és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Com abans, aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn+m de Fibonacci:


    ·····1···2····3····4····5···6·········n··n+1··n+2·
    0····1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·
    1····2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·
    2····3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·
    3····4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·
    4····6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·
    ·····9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·
    m···14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·
    m+1·22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·
    m+2·35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·
    ····56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 25/02/2024 a les 22:03

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtats, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n

  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 16:33

    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Estrenant el nomenclàtor modificat que t'acabo de proposar, diríem que aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn-m de Fibonacci:

    ····1···2···3···4···5···6·············n-2·n-1···n·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    ···························13··22··35··57··92·149·

    ·······························21··35··56··91·147·

    ···································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    ···········································89·145·

    ··············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtats, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fm,n = F10,12, F0,n = F0,12 i Fm,n-m = F0,2:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12


    —Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. Una altra cosa seran les aplicacions pràctiques que puguin tenir aquestes especulacions. Perquè, no ens enganyem: això que acabem de veure només és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver, de generar successions basades en la de Fibonacci i que resulten ser fibonaccianes... Pobre Leonardo de Pisa, sort que això de la vida eterna és una ximpleria, si no ja ens hauria fulminat amb un llamp per maltractar el seu renom d'aquesta manera! Però tornant al fil de les fibonaccianes, quan venia cap aquí pensant en la família de successions que acabem de veure, partint del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci i sumant-hi un membre anterior, se m'ha ocorregut què passaria capgirant-ho: sumant al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?



    —La primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci, en caràcters numèrics en negreta i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, una part en negreta i la resta en caràcters normals. Doncs bé, també en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci (segons que aquest segon sumand quedi a la vista o fora de camp per la dreta, el membre de la successió s'ha escrit en negreta o en caràcters normals). Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n, és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Com abans, aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn+m de Fibonacci:


    ·····1···2····3····4····5···6·······n-2··n-1····n·
    0····1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·
    1····2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·
    2····3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·
    3····4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·
    ·····6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·
    m····9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·
    ····14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·
    ····22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·
    ····35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·
    ····56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer successor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon successor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer successor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n+m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1+m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2+m

    Si sumem la segona i tercera igualtats, tenint present que F0,n-1+m = F0,n+m-1 i F0,n-2+m = F0,n+m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n+m-1 + F0,n+m-2) = F0,n + F0,n+m = Fm,n


    —Ara, si com hem fet abans vols un exemple, sobre posicions i valors concrets, podríem situar-nos en la intersecció m = 5, n = 5, amb Fm,n = F5,5, F0,n = F0,5 i F0,n+m = F0,10:
    F5,3 = F0,3 + F0,8 = 2 + 21 =23
    F5,4 = F0,4 + F0,9 = 3 + 34 = 37
    F5,5 = F0,5 + F0,10 = 5 + 55 = 60

    I, efectivament:
    F5,3 + F5,4 = 23 + 37 = 60 = F5,5

  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 17:34

    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Estrenant el nomenclàtor modificat que t'acabo de proposar, diríem que aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn-m de Fibonacci:

    ····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    7··························13··22··35··57··92·149·

    8······························21··35··56··91·147·

    9··································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    11·········································89·145·

    12············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtats, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fm,n = F10,12, F0,n = F0,12 i Fm,n-m = F0,2:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12


    —Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. Una altra cosa seran les aplicacions pràctiques que puguin tenir aquestes especulacions. Perquè, no ens enganyem: això que acabem de veure només és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver, de generar successions basades en la de Fibonacci i que resulten ser fibonaccianes... Pobre Leonardo de Pisa, sort que això de la vida eterna és una ximpleria, si no ja ens hauria fulminat amb un llamp per maltractar el seu renom d'aquesta manera! Però tornant al fil de les fibonaccianes, quan venia cap aquí pensant en la família de successions que acabem de veure, partint del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci i sumant-hi un membre anterior, se m'ha ocorregut què passaria capgirant-ho: sumant al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?



    —La primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci, en caràcters numèrics en negreta i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, una part en negreta i la resta en caràcters normals. Doncs bé, també en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci (segons que aquest segon sumand quedi a la vista o fora de camp per la dreta, el membre de la successió s'ha escrit en negreta o en caràcters normals). Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n, és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Com abans, aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn+m de Fibonacci:


    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·
    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·
    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·
    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·
    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·
    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·
    m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·
    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·
    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·
    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·
    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer successor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon successor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer successor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n+m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1+m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2+m

    Si sumem la segona i tercera igualtats, tenint present que F0,n-1+m = F0,n+m-1 i F0,n-2+m = F0,n+m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n+m-1 + F0,n+m-2) = F0,n + F0,n+m = Fm,n


    —Ara, si com hem fet abans vols un exemple, sobre posicions i valors concrets, podríem situar-nos en la intersecció m = 5, n = 5, amb Fm,n = F5,5, F0,n = F0,5 i F0,n+m = F0,10:
    F5,3 = F0,3 + F0,8 = 2 + 21 =23
    F5,4 = F0,4 + F0,9 = 3 + 34 = 37
    F5,5 = F0,5 + F0,10 = 5 + 55 = 60

    I, efectivament:
    F5,3 + F5,4 = 23 + 37 = 60 = F5,5

  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 18:52

    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Estrenant el nomenclàtor modificat que t'acabo de proposar, diríem que aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn-m de Fibonacci:

    ····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    7··························13··22··35··57··92·149·

    8······························21··35··56··91·147·

    9··································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    11·········································89·145·

    12············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtats, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n

  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 19:33

    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Estrenant el nomenclàtor modificat que t'acabo de proposar, diríem que aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn-m de Fibonacci:

    ····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    7··························13··22··35··57··92·149·

    8······························21··35··56··91·147·

    9··································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    11·········································89·145·

    12············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtats, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fm,n = F10,12, F0,n = F0,12 i F0,n-m = F0,2:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12


    —Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. Una altra cosa seran les aplicacions pràctiques que puguin tenir aquestes especulacions. Perquè, no ens enganyem: això que acabem de veure només és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver, de generar successions basades en la de Fibonacci i que resulten ser fibonaccianes... Pobre Leonardo de Pisa, sort que això de la vida eterna és una ximpleria, si no ja ens hauria fulminat amb un llamp per maltractar el seu renom d'aquesta manera! Però tornant al fil de les fibonaccianes, quan venia cap aquí pensant en la família de successions que acabem de veure, partint del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci i sumant-hi un membre anterior, se m'ha ocorregut què passaria capgirant-ho: sumant al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?



    —La primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci, en caràcters numèrics en negreta i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, una part en negreta i la resta en caràcters normals. Doncs bé, també en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci (segons que aquest segon sumand quedi a la vista o fora de camp per la dreta, el membre de la successió s'ha escrit en negreta o en caràcters normals). Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n, és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Com abans, aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn+m de Fibonacci:


    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·
    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·
    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·
    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·
    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·
    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·
    m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·
    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·
    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·
    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·
    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer successor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon successor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer successor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n+m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1+m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2+m

    Si sumem la segona i tercera igualtats, tenint present que F0,n-1+m = F0,n+m-1 i F0,n-2+m = F0,n+m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n+m-1 + F0,n+m-2) = F0,n + F0,n+m = Fm,n


    —Ara, si com hem fet abans vols un exemple, sobre posicions i valors concrets, podríem situar-nos en la intersecció m = 5, n = 5, amb Fm,n = F5,5, F0,n = F0,5 i F0,n+m = F0,10:
    F5,3 = F0,3 + F0,8 = 2 + 21 = 23
    F5,4 = F0,4 + F0,9 = 3 + 34 = 37
    F5,5 = F0,5 + F0,10 = 5 + 55 = 60

    I, efectivament:
    F5,3 + F5,4 = 23 + 37 = 60 = F5,5

  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 19:56

    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Estrenant el nomenclàtor modificat que t'acabo de proposar, diríem que aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn-m de Fibonacci:

    ····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    7··························13··22··35··57··92·149·

    8······························21··35··56··91·147·

    9··································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    11·········································89·145·

    12············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtats, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fm,n = F10,12, F0,n = F0,12 i F0,n-m = F0,2:
    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12


    —Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. Una altra cosa seran les aplicacions pràctiques que puguin tenir aquestes especulacions. Perquè, no ens enganyem: això que acabem de veure només és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver, de generar successions basades en la de Fibonacci i que resulten ser fibonaccianes... Pobre Leonardo de Pisa, sort que això de la vida eterna és una ximpleria, si no ja ens hauria fulminat amb un llamp per maltractar el seu renom d'aquesta manera! Però tornant al fil de les fibonaccianes, quan venia cap aquí pensant en la família de successions que acabem de veure, partint del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci i sumant-hi un membre anterior, se m'ha ocorregut què passaria capgirant-ho: sumant al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?



    —La primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci, en caràcters numèrics en negreta i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, una part en negreta i la resta en caràcters normals. Doncs bé, també en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci (segons que aquest segon sumand quedi a la vista o fora de camp per la dreta, el membre de la successió s'ha escrit en negreta o en caràcters normals). Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n, és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Com abans, aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn+m de Fibonacci:


    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·
    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·
    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·
    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·
    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·
    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·
    m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·
    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·
    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·
    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·
    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer successor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon successor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer successor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n+m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1+m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2+m

    Si sumem la segona i tercera igualtats, tenint present que F0,n-1+m = F0,n+m-1 i F0,n-2+m = F0,n+m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n+m-1 + F0,n+m-2) = F0,n + F0,n+m = Fm,n


    —Ara, si com hem fet abans vols un exemple, sobre posicions i valors concrets, podríem situar-nos en la intersecció m = 5, n = 5, amb Fm,n = F5,5, F0,n = F0,5 i F0,n+m = F0,10:
    F5,3 = F0,3 + F0,8 = 2 + 21 = 23
    F5,4 = F0,4 + F0,9 = 3 + 34 = 37
    F5,5 = F0,5 + F0,10 = 5 + 55 = 60

    I, efectivament:
    F5,3 + F5,4 = 23 + 37 = 60 = F5,5

  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 20:12

    —Si no m'equivoco, la primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions enrere, totes en caràcters numèrics en negreta. Doncs bé, en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a l'esquerra de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci. Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Estrenant el nomenclàtor modificat que t'acabo de proposar, diríem que aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn-m de Fibonacci:

    ····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    7··························13··22··35··57··92·149·

    8······························21··35··56··91·147·

    9··································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    11·········································89·145·

    12············································144·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer predecessor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon predecessor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer predecessor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n-m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1-m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2-m

    Si sumem la segona i tercera igualtats, tenint present que F0,n-1-m = F0,n-m-1 i F0,n-2-m = F0,n-m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n-m-1 + F0,n-m-2) = F0,n + F0,n-m = Fm,n


    Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fm,n = F10,12, F0,n = F0,12 i F0,n-m = F0,2:

    F10,10 = F0,10 + F0,0 = 55 + 0 = 55
    F10,11 = F0,11 + F0,1 = 89 + 1 = 90
    F10,12 = F0,12 + F0,2 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    F10,10 + F10,11 = 55 + 90 = 145 = F10,12


    —Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat sense llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. Una altra cosa seran les aplicacions pràctiques que puguin tenir aquestes especulacions. Perquè, no ens enganyem: això que acabem de veure només és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver, de generar successions basades en la de Fibonacci i que resulten ser fibonaccianes... Pobre Leonardo de Pisa, sort que això de la vida eterna és una ximpleria, si no ja ens hauria fulminat amb un llamp per maltractar el seu renom d'aquesta manera! Però tornant al fil de les fibonaccianes, quan venia cap aquí pensant en la família de successions que acabem de veure, partint del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci i sumant-hi un membre anterior, se m'ha ocorregut què passaria capgirant-ho: sumant al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?



    —La primera fila ens mostra l'inici de la Successió de Fibonacci, en caràcters numèrics en negreta i, anant cap avall, l'inici de les successions que resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, una part en negreta i la resta en caràcters normals. Doncs bé, també en caràcters normals ara numeraré aquestes posicions n, a dalt de tot, i a l'esquerra numeraré les successions. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci (segons que aquest segon sumand quedi a la vista o fora de camp per la dreta, el membre de la successió s'ha escrit en negreta o en caràcters normals). Es tracta de demostrar que aquestes altres successions són fibonaccianes, és a dir, que Fm,n = Fm,n-1 + Fm,n-2, on Fm,n, és qualsevol membre de la successió Fm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0,0 = 0 i F0,1 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors. Com abans, aquesta taula representa la família de successions m = 1, 2, 3... de primera generació Fn + Fn+m de Fibonacci:


    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·
    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·
    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·
    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·
    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·
    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·
    m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·
    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·
    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·
    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·
    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer successor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon successor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer successor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n+m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1+m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2+m

    Si sumem la segona i tercera igualtats, tenint present que F0,n-1+m = F0,n+m-1 i F0,n-2+m = F0,n+m-2 :

    Fm,n-1 + Fm,n-2 = (F0,n-1 + F0,n-2) + (F0,n+m-1 + F0,n+m-2) = F0,n + F0,n+m = Fm,n


    —Ara, si com hem fet abans vols un exemple, sobre posicions i valors concrets, podríem situar-nos en la intersecció m = 5, n = 5, amb Fm,n = F5,5, F0,n = F0,5 i F0,n+m = F0,10:

    F5,3 = F0,3 + F0,8 = 2 + 21 = 23
    F5,4 = F0,4 + F0,9 = 3 + 34 = 37
    F5,5 = F0,5 + F0,10 = 5 + 55 = 60

    I, efectivament:
    F5,3 + F5,4 = 23 + 37 = 60 = F5,5

  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 20:59

    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    12············································144·

    11·········································89·145·

    10·····································55··90·145·

    9··································34··56··90·146·

    8······························21··35··56··91·147·

    7··························13··22··35··57··92·149·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    0···2····2····4····6···10···16···26··42··68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·


    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 21:25

    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    10·····································55·

    9··································34··56·

    8······························21··35··56·

    7··························13··22··35··57·

    6·······················8··14··22··36··58·

    5···················5···9··14··23··37··60·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·

    0···2····2····4····6···10···16···26··42··68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·


    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 21:47

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    10·····································55·

    9··································34··56·

    8······························21··35··56·

    7··························13··22··35··57·

    6·······················8··14··22··36··58·

    5···················5···9··14··23··37··60·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·

    1···1···2····3····5··8··13···21··34··55···89·

    0···2···2····4····6···10··16···26···42···68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 21:55

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    10·····································55·

    9··································34··56·

    8······························21··35··56·

    7··························13··22··35··57·

    6·······················8··14··22··36··58·

    5···················5···9··14··23··37··60·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·

    2·······1····3····4···7··11··18···29···47···76·

    1···1···2····3····5···8··13···21···34···55···89·

    0···2···2····4····6···10··16···26···42···68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 21:59

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    10·····································55·

    9··································34··56·

    8······························21··35··56·

    7··························13··22··35··57·

    6·······················8··14··22··36··58·

    5···················5···9··14··23··37··60·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·

    3············2····4···6··10··16···26···42···68·

    2·······1····3····4···7··11··18···29···47···76·

    1···1···2····3····5···8··13···21···34···55···89·

    0···2···2····4····6···10··16···26···42···68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 22:06

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    10·····································55·

    9··································34··56·

    8······························21··35··56·

    7··························13··22··35··57·

    6·······················8··14··22··36··58·

    5···················5···9··14··23··37··60·

    4················3···6··9··15··24··39··63·

    3············2····4····6··10··16···26···42···68·

    2·······1····3····4····7··11··18···29···47···76·

    1···1···2····3····5····8··13···21···34···55···89·

    0···2···2····4····6···10··16···26···42···68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 22:13

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    10·····································55·

    9··································34··56·

    8······························21··35··56·

    7··························13··22··35··57·

    6·······················8··14··22··36··58·

    5···················5···9··14··23··37··60·

    4·················3····6··9···15···24···39···63·

    3············2····4····6··10···16···26···42···68·

    2·······1····3····4····7··11···18···29···47···76·

    1···1···2····3····5····8··13···21···34···55···89·

    0···2···2····4····6···10··16···26···42···68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 22:20

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    10·····································55·

    9··································34··56·

    8······························21··35··56·

    7··························13··22··35··57·

    6·······················8··14··22··36··58·

    5······················5···9···14···23···37···60·

    4·················3····6···9···15···24···39···63·

    3············2····4····6··10···16···26···42···68·

    2·······1····3····4····7··11···18···29···47···76·

    1···1···2····3····5····8··13···21···34···55···89·

    0···2···2····4····6···10··16···26···42···68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 22:27

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    10·····································55·

    9··································34··56·

    8······························21··35··56·

    7··························13··22··35··57·

    6··························8···14···22···36···58·

    5······················5···9···14···23···37···60·

    4·················3····6···9···15···24···39···63·

    3············2····4····6··10···16···26···42···68·

    2·······1····3····4····7··11···18···29···47···76·

    1···1···2····3····5····8··13···21···34···55···89·

    0···2···2····4····6···10··16···26···42···68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 22:31

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    10·····································55·

    9··································34··56·

    8··································21···35···56·

    7······························13···22···35···57·

    6··························8···14···22···36···58·

    5······················5···9···14···23···37···60·

    4·················3····6···9···15···24···39···63·

    3············2····4····6··10···16···26···42···68·

    2·······1····3····4····7··11···18···29···47···76·

    1···1···2····3····5····8··13···21···34···55···89·

    0···2···2····4····6···10··16···26···42···68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 22:36

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    10············································55·

    9·······································34···56·

    8···································21···35···56·

    7······························13···22···35···57·

    6··························8···14···22···36···58·

    5······················5···9···14···23···37···60·

    4·················3····6···9···15···24···39···63·

    3············2····4····6··10···16···26···42···68·

    2·······1····3····4····7··11···18···29···47···76·

    1···1···2····3····5····8··13···21···34···55···89·

    0···2···2····4····6···10··16···26···42···68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 22:41

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    -10···········································55·

    -9······································34···56·

    -8···································21···35···56·

    -7·····························13···22···35···57·

    -6·························8···14···22···36···58·

    -5·····················5···9···14···23···37···60·

    -4················3····6···9···15···24···39···63·

    -3············2····4····6··10···16···26···42···68·

    -2······1····3····4····7··11···18···29···47···76·

    -1··1···2····3····5····8··13···21···34···55···89·

    0···2···2····4····6···10··16···26···42···68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 26/02/2024 a les 22:44

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    -10···········································55·

    -9·······································34···56·

    -8··································21···35···56·

    -7·····························13···22···35···57·

    -6·························8···14···22···36···58·

    -5·····················5···9···14···23···37···60·

    -4················3····6···9···15···24···39···63·

    -3···········2····4····6··10···16···26···42···68·

    -2······1····3····4····7··11···18···29···47···76·

    -1··1···2····3····5····8··13···21···34···55···89·

    0···2···2····4····6···10··16···26···42···68··110·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 12:12

    ·-3···········2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·
    ····1···2····3····4····5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 12:23

    ······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0···1···1···2···3····5···8···13···21···34···55·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0···1···1···2···3····5···8···13···21···34···55·
    ······1···2····3···4···5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 13:58

    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·
    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·
    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·
    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·
    5···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·
    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·
    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·
    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·
    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·
    0···2···2····4····6···10··16···26···42···68··110·
    -1··1···2····3····5····8··13···21···34···55···89·
    -2······1····3····4····7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·
    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 16:04

    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·

    ··0···2···2···4···6··10···16···26···42···68··110·
    ·-1···1···2···3···5···8···13···21···34···55···89·
    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
    ·-2·······1···3···4···7···11···18···29···47···76·
    ·-3·········2····4····6··10···16···26···42···68·
    ·-4···············3····6····9···15···24···39···63·
    ·-5···················5····9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·
    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 16:22

    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·

    ··0···2···2···4···6··10···16···26···42···68··110·
    ·-1···1···2···3···5···8···13···21···34···55···89·
    ·-2·········1···3···4···7···11···18···29···47···76·
    ·-3···········2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4···············3···6····9···15···24···39···63·
    ·-5···················5····9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·
    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 16:27

    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·

    ··0···2···2···4···6··10···16···26···42···68··110·
    ·-1···1···2···3···5···8···13···21···34···55···89·
    ·-2·······1···3···4···7···11···18···29···47···76·
    ·-3···········2···4···6··310···16···26···42···68·
    ·-4···············3···6····9···15···24···39···63·
    ·-5···················5····9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·
    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 16:48

    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·

    ··9··56··90·146·236·382··618·1000·1618·2618·4236·
    ··8··35··56··91·147·238··385··623·1008·1631·2639·
    ··7··22··35··57··92··149··241··390··631·1021·1652·
    ··6··14··22··36··58··94··152··246··398··644·1042·
    ··5···9··14··23··37··60···97··157··254··411··665·
    ··4···6···9··15··24··39···63··102··165··267··432·
    ··3···4···6··10··16··26···42···68··110··178··288·
    ··2···3···4···7··11··18···29···47···76··123··199·
    ··1···2···3···5···8··13···21···34···55···89··144·
    ··0···2···2···4···6··10···16···26···42···68··110·
    ·-1···1···2···3···5···8···13···21···34···55···89·
    ·-2·······1···3···4···7···11···18···29···47···76·
    ·-3···········2···4···6··310···16···26···42···68·
    ·-4···············3···6····9···15···24···39···63·
    ·-5···················5····9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·
    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 20:08

    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·

    ··9··56··90·146·236·382··618·1000·1618·2618·4236·
    ··8··35··56··91·147·238··385··623·1008·1631·2639·
    ··7··22··35··57··92··149··241··390··631·1021·1652·
    ··6··14··22··36··58··94··152··246··398··644·1042·
    ··5···9··14··23··37··60···97··157··254··411··665·
    ··4···6···9··15··24··39···63··102··165··267··432·
    ··3···4···6··10··16··26···42···68··110··178··288·
    ··2···3···4···7··11··18···29···47···76··123··199·
    ··1···2···3···5···8··13···21···34···55···89··144·
    ··0···2···2···4···6··10···16···26···42···68··110·
    ·-1···1···2···3···5···8···13···21···34···55···89·
    ·-2·······1···3···4···7···11···18···29···47···76·
    ·-3···········2···4···6··310···16···26···42···68·
    ·-4···············3···6····9···15···24···39···63·
    ·-5···················5····9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·
    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 20:10

    —En haver-la escrita amb amb el Word i haver-la imprès, me n'he adonat que sortia massa llarga i era fàcil perdre's columna amunt i avall per comparar membres homòlegs, així que he decidit suprimir les línies en blanc per separar successions i, per deixar-la més manejable, encara, he repetit la numeració de referència i la Successió de Fibonacci a l'inici i al final. Ah, i la successió m = 0, que anomenàvem baula peduda i que s'interposa entre les dues meitats m > 0 i m < 0, he decidit no fer-la en negreta per tal que destaqui. Com que no només volia unificar la presentació de dades sinó l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fm,n = F0,n + F0,n+m per a la meitat superior, F0,n = F0,n + F0,n = 2 F0,n i Fm,n = F0,n + F0,n-m per a la inferior, ara la primera servirà per a tots els casos i la posició del segon sumand en relació a n sols dependrà del signe de m: a la dreta si és positiva, coincident si és nul·la i a l'esquerra si és negativa,

    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·

    ··9··56··90·146·236·382··618·1000·1618·2618·4236·
    ··8··35··56··91·147·238··385··623·1008·1631·2639·
    ··7··22··35··57··92·149··241··390··631·1021·1652·
    ··6··14··22··36··58··94··152··246··398··644·1042·
    ··5···9··14··23··37··60···97··157··254··411··665·
    ··4···6···9··15··24··39···63··102··165··267··432·
    ··3···4···6··10··16··26···42···68··110··178··288·
    ··2···3···4···7··11··18···29···47···76··123··199·
    ··1···2···3···5···8··13···21···34···55···89··144·
    ··0···2···2···4···6··10···16···26···42···68··110·
    ·-1···1···2···3···5···8···13···21···34···55···89·
    ·-2·······1···3···4···7···11···18···29···47···76·
    ·-3···········2···4···6···10···16···26···42···68·
    ·-4···············3···6····9···15···24···39···63·
    ·-5···················5····9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·
    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 20:13

    —En haver-la escrita amb amb el Word i haver-la imprès, me n'he adonat que sortia massa llarga i era fàcil perdre's columna amunt i avall per comparar membres homòlegs, així que he decidit suprimir les línies en blanc per separar successions i, per deixar-la més manejable, encara, he repetit la numeració de referència i la Successió de Fibonacci a l'inici i al final. Ah, i la successió m = 0, que anomenàvem baula peduda i que s'interposa entre les dues meitats m > 0 i m < 0, he decidit no fer-la en negreta per tal que destaqui. Com que no només volia unificar la presentació de dades sinó l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fm,n = F0,n + F0,n+m per a la meitat superior, F0,n = F0,n + F0,n = 2 F0,n i Fm,n = F0,n + F0,n-m per a la inferior, ara la primera servirà per a tots els casos i la posició del segon sumand en relació a n sols dependrà del signe de m: a la dreta si és positiva, coincident si és nul·la i a l'esquerra si és negativa,

    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·

    ··9··56··90·146·236·382··618·1000·1618·2618·4236·
    ··8··35··56··91·147·238··385··623·1008·1631·2639·
    ··7··22··35··57··92·149··241··390··631·1021·1652·
    ··6··14··22··36··58··94··152··246··398··644·1042·
    ··5···9··14··23··37··60···97··157··254··411··665·
    ··4···6···9··15··24··39···63··102··165··267··432·
    ··3···4···6··10··16··26···42···68··110··178··288·
    ··2···3···4···7··11··18···29···47···76··123··199·
    ··1···2···3···5···8··13···21···34···55···89··144·
    ··0···2···2···4···6··10···16···26···42···68··110·
    ·-1···1···2···3···5···8···13···21···34···55···89·
    ·-2·······1···3···4···7···11···18···29···47···76·
    ·-3···········2···4···6···10···16···26···42···68·
    ·-4···············3···6····9···15···24···39···63·
    ·-5···················5····9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·
    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 20:18

    —En haver-la escrita amb amb el Word i haver-la impresa, me n'he adonat que sortia massa llarga i era fàcil perdre's columna amunt i avall per comparar membres homòlegs, així que he decidit suprimir les línies en blanc per separar successions i, per deixar-la més manejable, encara, he repetit la numeració de referència i la Successió de Fibonacci a l'inici i al final. Ah, i la successió m = 0, que anomenàvem baula peduda i que s'interposa entre les dues meitats m > 0 i m < 0, he decidit no fer-la en negreta per tal que destaqui. Com que no només volia unificar la presentació de dades sinó l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fm,n = F0,n + F0,n+m per a la meitat superior, F0,n = F0,n + F0,n = 2 F0,n i Fm,n = F0,n + F0,n-m per a la inferior, ara la primera servirà per a tots els casos i la posició del segon sumand en relació a n sols dependrà del signe de m: a la dreta si és positiva, coincident si és nul·la i a l'esquerra si és negativa:

    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·

    ··9··56··90·146·236·382··618·1000·1618·2618·4236·
    ··8··35··56··91·147·238··385··623·1008·1631·2639·
    ··7··22··35··57··92·149··241··390··631·1021·1652·
    ··6··14··22··36··58··94··152··246··398··644·1042·
    ··5···9··14··23··37··60···97··157··254··411··665·
    ··4···6···9··15··24··39···63··102··165··267··432·
    ··3···4···6··10··16··26···42···68··110··178··288·
    ··2···3···4···7··11··18···29···47···76··123··199·
    ··1···2···3···5···8··13···21···34···55···89··144·
    ··0···2···2···4···6··10···16···26···42···68··110·
    ·-1···1···2···3···5···8···13···21···34···55···89·
    ·-2·······1···3···4···7···11···18···29···47···76·
    ·-3···········2···4···6···10···16···26···42···68·
    ·-4···············3···6····9···15···24···39···63·
    ·-5···················5····9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0···1···1···2···3···5····8···13···21···34···55·
    ······1···2···3···4···5····6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 20:47

    —En haver-la escrita amb amb el Word i haver-la impresa, me n'he adonat que sortia massa llarga i era fàcil perdre's columna amunt i avall per comparar membres homòlegs, així que he decidit suprimir les línies en blanc per separar successions i, per deixar-la més manejable, encara, he repetit la numeració de referència i la Successió de Fibonacci a l'inici i al final. Ah, i la successió m = 0, que anomenàvem baula peduda i que s'interposa entre les dues meitats m > 0 i m < 0, he decidit no fer-la en negreta per tal que destaqui. Com que no només volia unificar la presentació de dades sinó l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fm,n = F0,n + F0,n+m per a la meitat superior, F0,n = F0,n + F0,n = 2 F0,n i Fm,n = F0,n + F0,n-m per a la inferior, ara la primera servirà per a tots els casos i la posició del segon sumand en relació a n sols dependrà del signe de m : a la dreta si és positiva, coincident si és nul·la i a l'esquerra si és negativa.

    ·······1···2···3···4···5····6···7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

    ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
    ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
    ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
    ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
    ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
    ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
    ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5···················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···4···5····6···7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 27/02/2024 a les 20:52

    —En haver-la escrita amb amb el Word i haver-la impresa, me n'he adonat que sortia massa llarga i era fàcil perdre's columna amunt i avall per comparar membres homòlegs, així que he decidit suprimir les línies en blanc per separar successions i, per deixar-la més manejable, encara, he repetit la numeració de referència i la Successió de Fibonacci a l'inici i al final. Ah, i la successió m = 0, que anomenàvem baula peduda i que s'interposa entre les dues meitats m > 0 i m < 0, he decidit no fer-la en negreta per tal que destaqui. Com que no només volia unificar la presentació de dades sinó l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fm,n = F0,n + F0,n+m per a la meitat superior, F0,n = F0,n + F0,n = 2 F0,n i Fm,n = F0,n + F0,n-m per a la inferior, ara la primera servirà per a tots els casos i la posició del segon sumand en relació a n sols dependrà del signe de m : a la dreta si és positiva, coincident si és nul·la i a l'esquerra si és negativa.

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

    ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
    ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
    ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
    ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
    ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
    ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
    ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 29/02/2024 a les 11:51

      ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
      ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

      ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
      ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
      ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
      ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
      ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
      ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
      ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
      ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
      ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
      ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
      ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
      ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
      ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
      ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
      ·-5····················5···9···14···23···37···60·
      ·-6························8···14···22···36···58·
      ·-7····························13···22···35···57·
      ·-8·································21···35···56·
      ·-9······································34···56·
      -10···········································55·

      ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
      ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·


      —Ostres, noi, sí que has pencat!

      —Potser és que m'has encomanat l'entusiasme pel tema... A més, sols ha estat la feina de passar-ho a net... però també la curiositat d'anar descobrint coses a mesura que la Successió de Fibonacci i les seves fibonaccianes de primera generació Fm,n = F0,n + F0,n+m desfilaven davant meu. Si tu també sents curiositat, le les puc explicar.

      —Doncs sí, endavant! Ara no em deixis amb la mel a la boca...

      —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim ques són fibonaccianes que es poden construir iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n se situï sota el membre F0,n+m de l'original, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels membres que s'han quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

      ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
      ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
      ·················0····1···1···2···3···5···8···13·
      ··3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 11:53

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

    ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
    ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
    ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
    ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
    ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
    ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
    ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·


    —Ostres, noi, sí que has pencat!

    —Potser és que m'has encomanat l'entusiasme pel tema... A més, sols ha estat la feina de passar-ho a net... però també la curiositat d'anar descobrint coses a mesura que la Successió de Fibonacci i les seves fibonaccianes de primera generació Fm,n = F0,n + F0,n+m desfilaven davant meu. Si tu també sents curiositat, le les puc explicar.

    —Doncs sí, endavant! Ara no em deixis amb la mel a la boca...

    —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim ques són fibonaccianes que es poden construir iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n se situï sota el membre F0,n+m de l'original, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels membres que s'han quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·················0····1···1···2···3···5···8···13·
    ··3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 11:55

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

    ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
    ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
    ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
    ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
    ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
    ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
    ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·


    —Ostres, noi, sí que has pencat!

    —Potser és que m'has encomanat l'entusiasme pel tema... A més, sols ha estat la feina de passar-ho a net... però també la curiositat d'anar descobrint coses a mesura que la Successió de Fibonacci i les seves fibonaccianes de primera generació Fm,n = F0,n + F0,n+m desfilaven davant meu. Si tu també sents curiositat, le les puc explicar.

    —Doncs sí, endavant! Ara no em deixis amb la mel a la boca...

    —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim ques són fibonaccianes que es poden construir iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n se situï sota el membre F0,n+m de l'original, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels membres que s'han quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·················0····1···1···2···3···5···8···13·
    ··3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 11:56

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

    ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
    ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
    ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
    ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
    ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
    ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
    ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·


    —Ostres, noi, sí que has pencat!

    —Potser és que m'has encomanat l'entusiasme pel tema... A més, sols ha estat la feina de passar-ho a net... però també la curiositat d'anar descobrint coses a mesura que la Successió de Fibonacci i les seves fibonaccianes de primera generació Fm,n = F0,n + F0,n+m desfilaven davant meu. Si tu també sents curiositat, le les puc explicar.

    —Doncs sí, endavant! Ara no em deixis amb la mel a la boca...

    —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim ques són fibonaccianes que es poden construir iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n se situï sota el membre F0,n+m de l'original, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels membres que s'han quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·················0····1···1···2···3···5···8···13·
    ··3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 12:06

    —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim ques són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n se situï sota el membre F0,n+m de l'original, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels membres que s'han quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0····1···1···2···3····5····8···13·
    ··3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 12:09

    —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim ques són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n se situï sota el membre F0,n+m de l'original, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels membres que s'han quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0····1···1···2···3····5····8···13·
    ··3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 12:10

    —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim ques són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n se situï sota el membre F0,n+m de l'original, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels membres que s'han quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0····1···1···2···3····5····8···13·
    ··3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 12:12

    —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim ques són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n se situï sota el membre F0,n+m de l'original, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels membres que s'han quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0····1···1···2···3····5····8···13·
    ··3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 12:14
    —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim ques són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n se situï sota el membre F0,n+m de l'original, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels membres que s'han quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
    ··3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 13:30

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···················1···1···2····3····5····8···13·
    ··3················4···6··10···16···26···42···68·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ················1···1···2···3··5····8···13···21·
    ··2············3···4···7··11···18···29···47···76·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 13:34
    face=courier> -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···················1···1···2····3····5····8···13·
    ··3················4···6··10···16···26···42···68·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············1···1···2···3····5····8···13···21·
    ··2············3···4···7··11···18···29···47···76·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 15:39

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···················1···1···2····3····5····8···13·
    ··3················4···6··10···16···26···42···68·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············1···1···2···3····5····8···13···21·
    ··2············3···4···7··11···18···29···47···76·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 19:18

    —En haver-la escrita amb amb el Word i haver-la impresa, me n'he adonat que sortia massa llarga i era fàcil perdre's columna amunt i avall per comparar membres homòlegs, així que he decidit suprimir les línies en blanc per separar successions i, per deixar-la més manejable, encara, he repetit la numeració de referència i la Successió de Fibonacci a l'inici i al final. La successió m = 0, que anomenàvem baula perduda i que s'interposa entre les dues meitats m > 0 i m < 0, havia pensat no fer-la en negreta per tal que destaqués, però finalment ho he deixat córrer. Com que no només volia unificar la presentació de dades sinó l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fm,n = F0,n + F0,n+m per a la meitat superior, F0,n = F0,n + F0,n = 2 F0,n per a la baula perduda i Fm,n = F0,n + F0,n-m per a la inferior, ara la primera servirà per a tots els casos i la posició del segon sumand en relació a n sols dependrà del signe de m : a la dreta si és positiva, coincident si és nul·la i a l'esquerra si és negativa.

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

    ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
    ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
    ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
    ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
    ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
    ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
    ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·


    —Ostres, noi, sí que has pencat!

    —Potser és que m'has encomanat l'entusiasme pel tema... A més, sols ha estat la feina de passar-ho a net... però també la curiositat d'anar descobrint coses a mesura que la Successió de Fibonacci i les seves fibonaccianes de primera generació Fm,n = F0,n + F0,n+m desfilaven davant meu. Si tu també sents curiositat, te les puc explicar.

    —Doncs sí, endavant! Ara no em deixis amb la mel a la boca...

    —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim ques són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n+m se situï sota el membre F0,n de l'original, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels membres que s'han quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······3···5···8··13··21··34···55················
    ··3····4···6··10··16··26··42···68················

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······2···3···5···8··13··21···34strong>55···········
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 19:45


    —En haver-la escrita amb amb el Word i haver-la impresa, me n'he adonat que sortia massa llarga i era fàcil perdre's columna amunt i avall per comparar membres homòlegs, així que he decidit suprimir les línies en blanc per separar successions i, per deixar-la més manejable, encara, he repetit la numeració de referència i la Successió de Fibonacci a l'inici i al final. La successió m = 0, que anomenàvem baula perduda i que s'interposa entre les dues meitats m > 0 i m < 0, havia pensat no fer-la en negreta per tal que destaqués, però finalment ho he deixat córrer. Com que no només volia unificar la presentació de dades sinó l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fm,n = F0,n + F0,n+m per a la meitat superior, F0,n = F0,n + F0,n = 2 F0,n per a la baula perduda i Fm,n = F0,n + F0,n-m per a la inferior, ara la primera servirà per a tots els casos i la posició del segon sumand en relació a n sols dependrà del signe de m : a la dreta si és positiva, coincident si és nul·la i a l'esquerra si és negativa.

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

    ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
    ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
    ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
    ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
    ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
    ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
    ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·


    —Ostres, noi, sí que has pencat!

    —Potser és que m'has encomanat l'entusiasme pel tema... A més, sols ha estat la feina de passar-ho a net... però també la curiositat d'anar descobrint coses a mesura que la Successió de Fibonacci i les seves fibonaccianes de primera generació Fm,n = F0,n + F0,n+m desfilaven davant meu. Si tu també sents curiositat, te les puc explicar.

    —Doncs sí, endavant! Ara no em deixis amb la mel a la boca...

    —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci sota l'original, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n+m se situï sota el membre F0,n , i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels que s'hagin quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······3···5···8··13··21··34···55················
    ··3····4···6··10··16··26··42···68················

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······2···3···5···8··13··21···3455···········
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 19:55

    —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci sota l'original, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n+m se situï sota el membre F0,n, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels que s'hagin quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······3···5···8··13··21··34···55················
    ··3····4···6··10··16··26··42···68················

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······2···3···5···8··13··21···3455···········
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 19:59

    —Bé, doncs, la primera seria un mètode alternatiu per construir ràpidament les successions de primera generació, com si encara no sabéssim que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials: n'hi ha prou a copiar la Successió de Fibonacci sota l'original, desplaçar la còpia m posicions, de manera que el membre F0,n+m se situï sota el membre F0,n, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels que s'hagin quedat orfes. Veiem-ho per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······3···5···8··13··21··34···55················
    ··3····4···6··10··16··26··42···68················

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······2···3···5···8··13··21···34···55···········
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 20:05

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······3···5···8··13··21··34···55················
    ··3····4···6··10··16··26··42···68················

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······2···3···5···8··13··21···34···55···········
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 29/02/2024 a les 20:10

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······3···5···8··13··21··34···55················
    ··3····4···6··10··16··26··42···68················

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······2···3···5···8··13··21···34···55···········
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 14/03/2024 a les 20:11
    (a < b i c > b) prova
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 02/04/2024 a les 18:37
      trossos de forma que un sigui un quadrat a·a, l'altra tros tindrà la mateixa proporció que el full original a/b = (a + b)/a. Aquesta hipòtesi generativa és la que determina la proporció:
      a² = b(a + b) = b·a + b²
      a² – b·a – b² = 0
      a = (b ± √b² + 4·1·b²)/2·1 = (b ± √5·b²)/2 = (b + b√5)/2 = b(1 + √5)/2
      φ = a/b = (1 + √5)/2 = 1,618034
      a² = b(a + b) = b·a + b²
      a² – b·a – b² = 0
      a = (b ± √b² + 4·1·b²)/2·1 = (b ± √5·b²)/2 = (b + b√5)/2 = b(1 + √5)/2
      φ = a/b = (1 + √5)/2 = 1,618034
      Des d'un punt de vista pràctic, i fora del paper tissú en determinades aplicacions higièniques com tovallons i mocadors d'un sol ús, no veig que els formats quadrats a·a
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 02/04/2024 a les 22:38
      I, considerant que Dt és la hipotenusa d'un triangle rectangle definit per catets de longitud 250-40t km i 30t km,
      Dt = √ ̅(̅2̅5̅0̅-̅4̅0̅t̅)̅²̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅²̅+̅4̅0̅²̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅
      La distància Dt es farà mínima i/o màxima en el/s punt/s on la derivada respecte a t sigui nul·la (tangent horitzontal a la corba t,Dt), per a valors de t 0 < t < 6.25:
      D't = (5000t-20000) / 2√ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅= 0
      Perquè s'acompleixi aquesta igualtat ha de ser nul el numerador (5000t-20000 = 0), cosa que s'esdevé quan
      t = 20000/5000 = 4 h, moment en què la distància entre A i B serà
      D4 = √ ̅2̅5̅0̅0̅·̅1̅6̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅·̅4̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅ = √ ̅2̅2̅5̅0̅0̅ = 150 km
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 02/04/2024 a les 18:43
    φ = a/b = (1 + √5)/2 = 1,618034abc
    Des d'un punt de vista pràctic, i fora del paper tissú en determinades aplicacions higièniques com tovallons i mocadors d'un sol ús, no veig que els formats quadrats a·a tinguessin sortida fàcil al mercat. I després hi ha el problema de "la torna": què en faríem, de la peça excedent b·a? Es miri com es miri, seria un despropòsit.
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 02/04/2024 a les 19:04
    a² – b·a – b² = 0
    a = (b ± √
      b² + 4·1·b²
    )/2·1 = (b ± √5·b²)/2 = (b + b√5)/2 = b(1 + √5)/2
    φ = a/b = (1 + √5)/2 = 1,618034

  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 02/04/2024 a les 19:05
    a² – b·a – b² = 0
    a = (b ± √b² + 4·1·b²)/2·1 = (b ± √5·b²)/2 = (b + b√5)/2 = b(1 + √5)/2
    φ = a/b = (1 + √5)/2 = 1,618034
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 02/04/2024 a les 19:08
    a² – b·a – b² = 0
    a = (b ± √
    b² + 4·1·b²)/2·1 = (b ± √5·b²)/2 = (b + b√5)/2 = b(1 + √5)/2
    φ = a/b = (1 + √5)/2 = 1,618034
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 02/04/2024 a les 19:25
    a² – b·a – b² = 0
    a = (b ± √b² + 4·1·b²)/2·1 = (b ± √5·b²)/2 = (b + b√5)/2 = b(1 + √5)/2
    φ = a/b = (1 + √5)/2 = 1,618034
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 02/04/2024 a les 22:50
    I, considerant que Dt és la hipotenusa d'un triangle rectangle definit per catets de longitud 250-40t km i 30t km,
    Dt = √ ̅(̅2̅5̅0̅-̅4̅0̅t̅)̅²̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅²̅+̅4̅0̅²̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅
    La distància Dt es farà mínima i/o màxima en el/s punt/s on la derivada respecte a t sigui nul·la (tangent horitzontal a la corba t,Dt), per a valors de t 0 < t < 6.25:
    D't = (5000t-20000) / 2√ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅= 0
    Perquè s'acompleixi aquesta igualtat ha de ser nul el numerador (5000t-20000 = 0), cosa que s'esdevé quan
    t = 20000/5000 = 4 h, moment en què la distància entre A i B serà
    D4 = √ ̅2̅5̅0̅0̅·̅1̅6̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅·̅4̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅ = √ ̅2̅2̅5̅0̅0̅ = 150 km
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 04/04/2024 a les 10:15
      D4 = √ ̅2̅5̅0̅0̅·̅1̅6̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅·̅4̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅ = √ ̅2̅2̅5̅0̅0̅ = 150 km
      Dt = √ ̅(̅2̅5̅0̅-̅4̅0̅t̅)̅º²̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅²̅+̅4̅0̅²̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅
      Dt = √ ̅(̅2̅5̅0̅-̅4̅0̅t̅)̅º+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅²̅+̅4̅0̅²̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅
      —Sí, et vull parlar d'una progressió geomètrica que no té φ = (1 + √ ̅5̅)/2 = 1,618034 com a raó, sinó √ ̅2̅ = 1,414214: √ ¯2¯º¯
      √ ̅2̅º = 1
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 04/04/2024 a les 11:00
      √ ̅2̅ = 1,414214: √ ¯2¯º¯
      √ ̅2̅º = 1
      √2¹ = 1,414214
      √2² = 2
      √2³ = 2,828429
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 04/04/2024 a les 16:27

      ¯1¯2¯3¯4¯5¯a¯b¯c¯d¯

      Insert fórmula Insert caràcter especial

      ¯1¯2¯3¯4¯5¯a¯b¯c¯d¯
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 04/04/2024 a les 20:20
      a b
      • RE: RE: RE: Això és una prova
        Joan Colom | 05/04/2024 a les 10:38

        ¯1¯2¯3¯4¯5¯a¯b¯c¯d¯ ̅2̅5̅0̅0̅

        Insert fórmula Insert caràcter especial 2̅0̅0̅0̅0̅ 0¯

        ¯1¯2¯3¯4¯5¯a¯b¯c¯d¯


  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 04/04/2024 a les 10:22
    D4 = √ ̅2̅5̅0̅0̅·̅1̅6̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅·̅4̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅ = √ ̅2̅2̅5̅0̅0̅ = 150 km
    Dt = √ ̅(̅2̅5̅0̅-̅4̅0̅t̅)̅º²̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅²̅+̅4̅0̅²̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅
    Dt = √ ̅(̅2̅5̅0̅-̅4̅0̅t̅)̅º+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅²̅+̅4̅0̅²̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅
    —Sí, et vull parlar d'una progressió geomètrica que no té φ = (1 + √ ̅5̅)/2 = 1,618034 com a raó, sinó √ ̅2̅ = 1,414214: √ ¯2¯º¯
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 04/04/2024 a les 11:12
    1,414214: √ ¯2¯º¯
    √ ̅2̅º = 1
    √2¹ = 1,414214
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 05/04/2024 a les 11:04

    —Sí, et vull parlar d'una progressió geomètrica que no té φ = (1 + √5̅)/2 = 1,618034 com a raó, sinó √2̅ = 1,414214:
    √2̅º̅ = 1
    √2̅¹̅ = 1,414214
    √2̅²̅ = 2
    √2̅³̅ = 2,828429
    ··············
    No et sona de res, aquesta progressió?

    —M'hauria de sonar?

    —A veure: si multipliquem els membres d'aquesta progressió, 1, 1,414214, 2, 2,828429, 4, 5,656861, 8, 11,313712, 16, 22,627424, 32, 45,254876,... per 26 i arrodonim a enters, tindrem 26, 37, 52, 74, 105, 148, 210, 297, 420, 594, 841, 1189... Et sona?

    —Doncs no.

    —I ara?: 26·37, 37·52, 52·74, 74·105, 105·148, 148·210, 210·297, 297·420, 420·594, 594·841 i 841·1189. Espera, millor així:
    A10: 26·37
    A9 : 37·52
    A8 : 52·74
    A7 : 74·105
    A6 : 105·148
    A5 : 148·210
    A4 : 210·297
    A3 : 297·420
    A2 : 420·594
    A1 : 594·841
    A0 : 841·1189
    I millor encara, si afegeixo que són mides en mil·límetres.

    —Ara sí: ho he vist clar quan has escrit A4: 210·297.

    —Es clar, és la norma alemanya DIN 476 de formats de fulls de paper, ara norma europea ISO 216. Tot va començar amb la necessitat de racionalitzar les mesures, de manera que doblegant o tallant en dues meitats un full de la sèrie en sortissin dos del format immediatament inferior, que havia de mantenir la mateixa proporció entre costats. Anomenant a i b el costat llarg i curt respectivament, d'aquest mig full, el que he dit es tradueix en l'equació següent:
    2b/a = a/b
    a² = 2b²
    a = b√2̅
    La proporció a/b = √2̅ = 1,414214 era una condició; l'altra, partir d'una peça de paper que tingués aquesta proporció i fes un metre quadrat de superfície (a·b = 1000000 mm²), que anomenaríem A0 i i que seria l'origen de la sèrie A:
    b·a = b·b√2̅ = 1,414214b² = 1000000
    b² = 1000000/1,414214 = 707106,562373
    d'on surten les dimensions en mil·límetres:
    b = √7̅0̅7̅1̅0̅6̅,̅5̅6̅2̅3̅7̅3̅ = 840,896285 ≈ 841
    a = 1,414214b = 1,41421·840,896285 = 1189,207299 ≈ 1189
    En realitat, les dimensions dels formats progressivament més petits (A1, A2, A3... A10) es van obtenint en successives divisions per 1,414214 i no, com les havia presentat, en l'ordre creixent d'una progressió geomètrica.

    —I quina moralitat n'he de treure, d'una progressió geomètrica de raó 1,414214?

    —Doncs que, d'aplicació pràctica, només en té una... PERÒ QUINA UUUNA —hem coincidit, a cor, tots dos—. Així doncs, no t'has de fer mala sang perquè les teves excelses fórmules només siguin aplicables a una progressió geomètrica de raó φ = 1,618034: queden per a la posteritat. D'altra banda, cada cosa serveix per a allò que serveix, i aquesta serveix per quantificar determinats fenòmens de la natura i para de comptar. Si la volguéssim aplicar a un domini que no és el seu, com la normalització de formats de paper d'oficina, segurament faríem riure... Mira, se m'acaba d'ocórrer una idea brillant, que no sé si icloure-la en el digest que acostumo a publicar en Relats en Català, de aquestes sessions, perquè algú encara me l'afusellaria per al guió d'una pel·li de ciència-ficció poca-solta, que ja saps que la indústria del cine va escassa d'idees originals i, quan en troben una que fa fortuna, no paren d'esprémer-la amb preqüeles i seqüeles... Va, la deixo anar, com a epíleg a les nostres cuites, i de passada veuràs d'on surt el valor φ que, dit sigui de passada, és un nombre irracional, com π o com √2̅. Aquesta és la introducció; el primer quart d'hora, abans que la història se centri en la peripècia dels protagonistes:

    Som en una societat distòpica en què el poder està en mans d'uns minoria de sonats pitagòrics i perepunyetes, entestats a reduir-ho tot a quadrats i a rectangles de proporció àuria: de fet, si agafem un full de proporció àuria i el tallem en dos trossos de forma que un sigui un quadrat a·a, l'altra tros tindrà la mateixa proporció que el full original a/b = (a + b)/a. Aquesta hipòtesi generativa és la que determina la proporció:
    a² = b(a + b) = b·a + b²
    a² – b·a – b² = 0
    a = (b ± √b̅²̅ ̅+̅ ̅4̅·̅1̅·̅b̅²̅)/2·1 = (b ± √5̅·̅b̅²̅)/2 = (b + b√5̅)/2 = b(1 + √5̅)/2
    φ = a/b = (1 + √5̅)/2 = 1,618034
    Des d'un punt de vista pràctic, i fora del paper tissú en determinades aplicacions
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 05/04/2024 a les 11:10
    a = (b ± √̅b̅²̅ ̅+̅ ̅4̅·̅1̅·̅b̅²̅)/2·1 = (b ± √̅5̅·̅b̅²̅)/2 = (b + b√̅5̅)/2 = b(1 + √̅5̅)/2
    φ = a/b = (1 + √̅5̅)/2 = 1,618034
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 05/04/2024 a les 11:19
    a = (b ± √̅ ̅b̅²̅ ̅+̅ ̅4̅·̅1̅·̅b̅²̅)/2·1 = (b ± √̅5̅·̅b̅²̅)/2 = (b + b√̅5̅)/2 = b(1 + √̅5̅)/2
    φ = a/b = (1 + √̅5̅)/2 = 1,618034
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 05/04/2024 a les 11:21
    a = (b ± √ ̅b̅²̅ ̅+̅ ̅4̅·̅1̅·̅b̅²̅)/2·1 = (b ± √ ̅5̅·̅b̅²̅)/2 = (b + b√ ̅5̅)/2 = b(1 + √ ̅5̅)/2
    φ = a/b = (1 + √ ̅5̅)/2 = 1,618034
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 05/04/2024 a les 11:23
    a = (b ± √ ̅b̅²̅ ̅+̅ ̅4̅·̅1̅·̅b̅²̅ )/2·1 = (b ± √ ̅5̅·̅b̅²̅ )/2 = (b + b√ ̅5̅ )/2 = b(1 + √ ̅5̅ )/2
    φ = a/b = (1 + √ ̅5̅ )/2 = 1,618034
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 05/04/2024 a les 11:26
    a = (b ± √ ̅b̅²̅ ̅+̅ ̅4̅·̅1̅·̅b̅²̅ )/2·1 = (b ± √ ̅5̅·̅b̅²̅ )/2 = (b + b√ ̅5̅ )/2 = b(1 + √ ̅5̅ )/2
    φ = a/b = (1 + √ ̅5̅ )/2 = 1,618034
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 05/04/2024 a les 11:33
    —Segueixo sense entendre cap a on vols anar.

    —Sí, et vull parlar d'una progressió geomètrica que no té φ = (1 + √ ̅5̅)/2 = 1,618034 com a raó, sinó √ ̅2̅ = 1,414214:
    √ ̅2̅º̅ = 1
    √ ̅2̅¹̅ = 1,414214
    √ ̅2̅²̅ = 2
    √ ̅2̅³̅ = 2,828429
    ··············
    No et sona de res, aquesta progressió?

    —M'hauria de sonar?

    —A veure: si multipliquem els membres d'aquesta progressió, 1, 1,414214, 2, 2,828429, 4, 5,656861, 8, 11,313712, 16, 22,627424, 32, 45,254876,... per 26 i arrodonim a enters, tindrem 26, 37, 52, 74, 105, 148, 210, 297, 420, 594, 841, 1189... Et sona?

    —Doncs no.

    —I ara?: 26·37, 37·52, 52·74, 74·105, 105·148, 148·210, 210·297, 297·420, 420·594, 594·841 i 841·1189. Espera, millor així:
    A10: 26·37
    A9 : 37·52
    A8 : 52·74
    A7 : 74·105
    A6 : 105·148
    A5 : 148·210
    A4 : 210·297
    A3 : 297·420
    A2 : 420·594
    A1 : 594·841
    A0 : 841·1189
    I millor encara, si afegeixo que són mides en mil·límetres.

    —Ara sí: ho he vist clar quan has escrit A4: 210·297.

    —Es clar, és la norma alemanya DIN 476 de formats de fulls de paper, ara norma europea ISO 216. Tot va començar amb la necessitat de racionalitzar les mesures, de manera que doblegant o tallant en dues meitats un full de la sèrie en sortissin dos del format immediatament inferior, que havia de mantenir la mateixa proporció entre costats. Anomenant a i b el costat llarg i curt respectivament, d'aquest mig full, el que he dit es tradueix en l'equació següent:
    2b/a = a/b
    a² = 2b²
    a = b√ ̅2̅
    La proporció a/b = √ ̅2̅ = 1,414214 era una condició; l'altra, partir d'una peça de paper que tingués aquesta proporció i fes un metre quadrat de superfície (a·b = 1000000 mm²), que anomenaríem A0 i i que seria l'origen de la sèrie A:
    b·a = b·b√ ̅2̅ = 1,414214b² = 1000000
    b² = 1000000/1,414214 = 707106,562373
    d'on surten les dimensions en mil·límetres:
    b = √ ̅7̅0̅7̅1̅0̅6̅,̅5̅6̅2̅3̅7̅3̅ = 840,896285 ≈ 841
    a = 1,414214b = 1,41421·840,896285 = 1189,207299 ≈ 1189
    En realitat, les dimensions dels formats progressivament més petits (A1, A2, A3... A10) es van obtenint en successives divisions per 1,414214 i no, com les havia presentat, en l'ordre creixent d'una progressió geomètrica.

    —I quina moralitat n'he de treure, d'una progressió geomètrica de raó 1,414214?

    —Doncs que, d'aplicació pràctica, només en té una... PERÒ QUINA UUUNA —hem coincidit, a cor, tots dos—. Així doncs, no t'has de fer mala sang perquè les teves excelses fórmules només siguin aplicables a una progressió geomètrica de raó φ = 1,618034: queden per a la posteritat. D'altra banda, cada cosa serveix per a allò que serveix, i aquesta serveix per quantificar determinats fenòmens de la natura i para de comptar. Si la volguéssim aplicar a un domini que no és el seu, com la normalització de formats de paper d'oficina, segurament faríem riure... Mira, se m'acaba d'ocórrer una idea brillant, que no sé si icloure-la en el digest que acostumo a publicar en Relats en Català, de aquestes sessions, perquè algú encara me l'afusellaria per al guió d'una pel·li de ciència-ficció poca-solta, que ja saps que la indústria del cine va escassa d'idees originals i, quan en troben una que fa fortuna, no paren d'esprémer-la amb preqüeles i seqüeles... Va, la deixo anar, com a epíleg a les nostres cuites, i de passada veuràs d'on surt el valor φ que, dit sigui de passada, és un nombre irracional, com π o com √ ̅2̅. Aquesta és la introducció; el primer quart d'hora, abans que la història se centri en la peripècia dels protagonistes:

    Som en una societat distòpica en què el poder està en mans d'uns minoria de sonats pitagòrics i perepunyetes, entestats a reduir-ho tot a quadrats i a rectangles de proporció àuria: de fet, si agafem un full de proporció àuria i el tallem en dos trossos de forma que un sigui un quadrat a·a, l'altra tros tindrà la mateixa proporció que el full original a/b = (a + b)/a. Aquesta hipòtesi generativa és la que determina la proporció:
    a² = b(a + b) = b·a + b²
    a² – b·a – b² = 0
    a = (b ± √ ̅b̅²̅ ̅+̅ ̅4̅·̅1̅·̅b̅²̅ )/2·1 = (b ± √ ̅5̅·̅b̅²̅ )/2 = (b + b√ ̅5̅ )/2 = b(1 + √ ̅5̅ )/2
    φ = a/b = (1 + √ ̅5̅ )/2 = 1,618034
    Des d'un punt de vista pràctic, i fora del paper tissú en determinades aplicacions higièniques com tovallons i mocadors d'un sol ús, no veig que els formats quadrats a·a tinguessin sortida fàcil al mercat. I després hi ha el problema de "la torna": què en faríem, de la peça excedent b·a? Es miri com es miri, seria un despropòsit.
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 08/04/2024 a les 11:36
      El següent dissabte, és a dir sis dies després que ens acomiadàrem i jo me les prometés molt felices, convençut que em deixaria tranquil almenys un mes, la trucada de Lluís em va pescar de tornada del meu passeig diari reglamentari, quan anava a entrar al súper. Volia venir a casa, per ensenyar-me els deures acabats, que segons em va dir mereixien qualificació amb nota. Li vaig dir que m'agafava en mal moment i que em deixés ben bé tres quarts d'hora per comprar, anar a casa i descarregar. Ja a casa, quan ja portava vint minuts tractant de relaxar-me amb aquell diàleg contrapuntístic de Paul Desmond al saxo alt i Gerry Mulligan al baríton en "Two of a mind", de 1962, va tornar a sonar el mòbil. Vam quedar que abans d'una hora estaria a casa meva, per variar, que havia quedat per dinar amb la meva filla, però que ja l'avisaria comentant-li que potser arribaria un pèl tard. Vaig amagar aquell whisky de malta que m'havia comprat a Andorra, i a la vista vaig deixar-ne un de més passador.

      —Bon dia, Joan —va dir, entrant al pis sense més preàmbul i precedint-me mentre s'encaminava cap al menjador, com si fos ell l'amfitrió—. M'he endut el portàtil per si de cas, però no crec que el necessitem. Com que tampoc és cap patracol, ho he acabat de redactar i he imprès dos exemplars; un és per a tu i ja te'l pots quedar, per poder-nos entendre millor.

      Vaig enretirar tot de trastos que tenia a la tauleta del tresillo i, ell a la butaca i jo al sofà, com si es tractés d'una recepció oficial, ens vam estirar de braços i cames gairebé a l'uníson, com fent-ho al dictat d'un monitor, per trencar el gel. Però de seguida va quedar clar que ell volia dur la iniciativa:

      —Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.

      —Aniria bé que posessis un exemple, no?

      —És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
      10
      ···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
      10
      ···100···110, amb un únic membre interposat;
      10
      ···50···60···110, amb dos membres interposats;
      10
      ···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
      10
      ···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
      10···7,5···17,5···25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si tingués un precedent, aquest seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
      2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
      Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquest consells pràctics en parlarem al final.

      Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.

      Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure el quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:

      Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
      Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)

      Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
      Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
      Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
      ········································
      Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)

      Aniré estudiant els casos segons el valor m.

      Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent
      Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
      Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
      Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

      Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
      Famc1 = c – a
      Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
      Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
      Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent
      Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

      Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
      [1] a + Famc1 = Famc2
      [2] Famc1 + Famc2 = c
      De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
      Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
      Famc1 = (c - a)/2
      i si les sumem: 2Famc2 = c + a
      Famc2 = (c + a)/2

      Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
      Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
      Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
      Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

      A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent
      Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
      Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
      Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
      Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

      Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
      [1] a + Famc1 = Famc2
      [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
      [3] Famc2 + Famc3 = c
      De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
      i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
      Si multipliquem per 2 [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
      Famc1 = (c – 2a)/3
      i, substituint aquest valor a [1]:
      Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
      i, substituint aquests valors a [2]:
      Famc3 = (2c - a)/3


      Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
      [1] a + Famc1 = Famc2
      [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
      [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
      [4] Famc3 + Famc4 = c
      De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
      i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
      Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
      Famc1 = (c – 3a)/5
      i, substituint aquest valor a [1]:
      Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
      i, substituint aquests valors a [2]:
      Famc3 = (2c – a)/5
      i, substituint aquests valors a [3]:
      Famc4 = (3c + a)/5


      Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
      [1] a + Famc1 = Famc2
      [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
      [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
      [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
      [5] Famc4 + Famc5 = c
      De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
      i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
      Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
      Famc1 = (c – 5a)/8
      i, substituint aquest valor a [1]:
      Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
      i, substituint aquests valors a [2]:
      Famc3 = (2c – 2a)/8
      i, substituint aquests valors a [3]:
      Famc4 = (3c + a)/8
      i, substituint aquests valors a [4]:
      Famc5 = (5c – a)/8


      I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la Fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

      n
      ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
      F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
      F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 08/04/2024 a les 16:56
      El següent dissabte, és a dir sis dies després que ens acomiadàrem i jo me les prometés molt felices, convençut que em deixaria tranquil almenys un mes, la trucada de Lluís em va pescar de tornada del meu passeig diari reglamentari, quan anava a entrar al súper. Volia venir a casa, per ensenyar-me els deures acabats, que segons em va dir mereixien qualificació amb nota. Li vaig dir que m'agafava en mal moment i que em deixés ben bé tres quarts d'hora per comprar, anar a casa i descarregar. Ja a casa, quan ja portava vint minuts tractant de relaxar-me amb aquell diàleg contrapuntístic de Paul Desmond al saxo alt i Gerry Mulligan al baríton en "Two of a mind", de 1962, va tornar a sonar el mòbil. Vam quedar que abans d'una hora estaria a casa meva, per variar, que havia quedat per dinar amb la meva filla, però que ja l'avisaria comentant-li que potser arribaria un pèl tard. Vaig amagar aquell whisky de malta que m'havia comprat a Andorra, i a la vista vaig deixar-ne un de més passador.

      —Bon dia, Joan —va dir, entrant al pis sense més preàmbul i precedint-me mentre s'encaminava cap al menjador, com si fos ell l'amfitrió—. M'he endut el portàtil per si de cas, però no crec que el necessitem. Com que tampoc és cap patracol, ho he acabat de redactar i he imprès dos exemplars; un és per a tu i ja te'l pots quedar, per poder-nos entendre millor.

      Vaig enretirar tot de trastos que tenia a la tauleta del tresillo i, ell a la butaca i jo al sofà, com si es tractés d'una recepció oficial, ens vam estirar de braços i cames gairebé a l'uníson, com fent-ho al dictat d'un monitor, per trencar el gel. Però de seguida va quedar clar que ell volia dur la iniciativa:

      —Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.

      —Aniria bé que posessis un exemple, no?

      —És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10
      i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
      10
      ···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
      10
      ···100···110, amb un únic membre interposat;
      10
      ···50···60···110, amb dos membres interposats;
      10
      ···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
      10
      ···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
      10···7,5···17,5···25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si tingués un precedent, aquest seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
      2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
      Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquest consells pràctics en parlarem al final.

      Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.

      Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure el quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 08/04/2024 a les 11:40
    El següent dissabte, és a dir sis dies després que ens acomiadàrem i jo me les prometés molt felices, convençut que em deixaria tranquil almenys un mes, la trucada de Lluís em va pescar de tornada del meu passeig diari reglamentari, quan anava a entrar al súper. Volia venir a casa, per ensenyar-me els deures acabats, que segons em va dir mereixien qualificació amb nota. Li vaig dir que m'agafava en mal moment i que em deixés ben bé tres quarts d'hora per comprar, anar a casa i descarregar. Ja a casa, quan ja portava vint minuts tractant de relaxar-me amb aquell diàleg contrapuntístic de Paul Desmond al saxo alt i Gerry Mulligan al baríton en "Two of a mind", de 1962, va tornar a sonar el mòbil. Vam quedar que abans d'una hora estaria a casa meva, per variar, que havia quedat per dinar amb la meva filla, però que ja l'avisaria comentant-li que potser arribaria un pèl tard. Vaig amagar aquell whisky de malta que m'havia comprat a Andorra, i a la vista vaig deixar-ne un de més passador.

    —Bon dia, Joan —va dir, entrant al pis sense més preàmbul i precedint-me mentre s'encaminava cap al menjador, com si fos ell l'amfitrió—. M'he endut el portàtil per si de cas, però no crec que el necessitem. Com que tampoc és cap patracol, ho he acabat de redactar i he imprès dos exemplars; un és per a tu i ja te'l pots quedar, per poder-nos entendre millor.

    Vaig enretirar tot de trastos que tenia a la tauleta del tresillo i, ell a la butaca i jo al sofà, com si es tractés d'una recepció oficial, ens vam estirar de braços i cames gairebé a l'uníson, com fent-ho al dictat d'un monitor, per trencar el gel. Però de seguida va quedar clar que ell volia dur la iniciativa:

    —Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.

    —Aniria bé que posessis un exemple, no?

    —És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
    10
    ···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
    10
    ···100···110, amb un únic membre interposat;
    10
    ···50···60···110, amb dos membres interposats;
    10
    ···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
    10
    ···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
    10···7,5···17,5···25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si tingués un precedent, aquest seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
    2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
    Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquest consells pràctics en parlarem al final.

    Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.

    Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure el quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:

    Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
    Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)

    Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
    Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a,
    perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
    Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
    ········································
    Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)

    Aniré estudiant els casos segons el valor m.

    Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
    Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
    Famc1 = c – a
    Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent
    Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
    Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
    Famc1 = (c - a)/2
    i si les sumem: 2Famc2 = c + a
    Famc2 = (c + a)/2

    Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
    Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2 [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la Fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 08/04/2024 a les 11:42
    El següent dissabte, és a dir sis dies després que ens acomiadàrem i jo me les prometés molt felices, convençut que em deixaria tranquil almenys un mes, la trucada de Lluís em va pescar de tornada del meu passeig diari reglamentari, quan anava a entrar al súper. Volia venir a casa, per ensenyar-me els deures acabats, que segons em va dir mereixien qualificació amb nota. Li vaig dir que m'agafava en mal moment i que em deixés ben bé tres quarts d'hora per comprar, anar a casa i descarregar. Ja a casa, quan ja portava vint minuts tractant de relaxar-me amb aquell diàleg contrapuntístic de Paul Desmond al saxo alt i Gerry Mulligan al baríton en "Two of a mind", de 1962, va tornar a sonar el mòbil. Vam quedar que abans d'una hora estaria a casa meva, per variar, que havia quedat per dinar amb la meva filla, però que ja l'avisaria comentant-li que potser arribaria un pèl tard. Vaig amagar aquell whisky de malta que m'havia comprat a Andorra, i a la vista vaig deixar-ne un de més passador.

    —Bon dia, Joan —va dir, entrant al pis sense més preàmbul i precedint-me mentre s'encaminava cap al menjador, com si fos ell l'amfitrió—. M'he endut el portàtil per si de cas, però no crec que el necessitem. Com que tampoc és cap patracol, ho he acabat de redactar i he imprès dos exemplars; un és per a tu i ja te'l pots quedar, per poder-nos entendre millor.

    Vaig enretirar tot de trastos que tenia a la tauleta del tresillo i, ell a la butaca i jo al sofà, com si es tractés d'una recepció oficial, ens vam estirar de braços i cames gairebé a l'uníson, com fent-ho al dictat d'un monitor, per trencar el gel. Però de seguida va quedar clar que ell volia dur la iniciativa:

    —Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.

    —Aniria bé que posessis un exemple, no?

    —És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
    10
    ···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
    10
    ···100···110, amb un únic membre interposat;
    10
    ···50···60···110, amb dos membres interposats;
    10
    ···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
    10
    ···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
    10···7,5···17,5···25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si tingués un precedent, aquest seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
    2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
    Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquest consells pràctics en parlarem al final.

    Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.

    Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure el quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:

    Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
    Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)

    Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
    Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
    Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
    ········································
    Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)

    Aniré estudiant els casos segons el valor m.

    Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
    Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
    Famc1 = c – a
    Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent
    Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
    Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
    Famc1 = (c - a)/2
    i si les sumem: 2Famc2 = c + a
    Famc2 = (c + a)/2

    Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
    Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2 [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la Fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 08/04/2024 a les 11:45
    El següent dissabte, és a dir sis dies després que ens acomiadàrem i jo me les prometés molt felices, convençut que em deixaria tranquil almenys un mes, la trucada de Lluís em va pescar de tornada del meu passeig diari reglamentari, quan anava a entrar al súper. Volia venir a casa, per ensenyar-me els deures acabats, que segons em va dir mereixien qualificació amb nota. Li vaig dir que m'agafava en mal moment i que em deixés ben bé tres quarts d'hora per comprar, anar a casa i descarregar. Ja a casa, quan ja portava vint minuts tractant de relaxar-me amb aquell diàleg contrapuntístic de Paul Desmond al saxo alt i Gerry Mulligan al baríton en "Two of a mind", de 1962, va tornar a sonar el mòbil. Vam quedar que abans d'una hora estaria a casa meva, per variar, que havia quedat per dinar amb la meva filla, però que ja l'avisaria comentant-li que potser arribaria un pèl tard. Vaig amagar aquell whisky de malta que m'havia comprat a Andorra, i a la vista vaig deixar-ne un de més passador.

    —Bon dia, Joan —va dir, entrant al pis sense més preàmbul i precedint-me mentre s'encaminava cap al menjador, com si fos ell l'amfitrió—. M'he endut el portàtil per si de cas, però no crec que el necessitem. Com que tampoc és cap patracol, ho he acabat de redactar i he imprès dos exemplars; un és per a tu i ja te'l pots quedar, per poder-nos entendre millor.

    Vaig enretirar tot de trastos que tenia a la tauleta del tresillo i, ell a la butaca i jo al sofà, com si es tractés d'una recepció oficial, ens vam estirar de braços i cames gairebé a l'uníson, com fent-ho al dictat d'un monitor, per trencar el gel. Però de seguida va quedar clar que ell volia dur la iniciativa:

    —Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.

    —Aniria bé que posessis un exemple, no?

    —És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
    10
    ···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
    10
    ···100···110, amb un únic membre interposat;
    10
    ···50···60···110, amb dos membres interposats;
    10
    ···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
    10
    ···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
    10···7,5···17,5···25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si tingués un precedent, aquest seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
    2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
    Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquest consells pràctics en parlarem al final.

    Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.

    Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure el quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:

    Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
    Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)

    Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
    Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a,
    perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
    Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
    ········································
    Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)

    Aniré estudiant els casos segons el valor m.

    Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
    Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
    Famc1 = c – a
    Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent
    Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
    Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
    Famc1 = (c - a)/2
    i si les sumem: 2Famc2 = c + a
    Famc2 = (c + a)/2

    Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
    Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2 [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la Fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 08/04/2024 a les 11:48
    El següent dissabte, és a dir sis dies després que ens acomiadàrem i jo me les prometés molt felices, convençut que em deixaria tranquil almenys un mes, la trucada de Lluís em va pescar de tornada del meu passeig diari reglamentari, quan anava a entrar al súper. Volia venir a casa, per ensenyar-me els deures acabats, que segons em va dir mereixien qualificació amb nota. Li vaig dir que m'agafava en mal moment i que em deixés ben bé tres quarts d'hora per comprar, anar a casa i descarregar. Ja a casa, quan ja portava vint minuts tractant de relaxar-me amb aquell diàleg contrapuntístic de Paul Desmond al saxo alt i Gerry Mulligan al baríton en "Two of a mind", de 1962, va tornar a sonar el mòbil. Vam quedar que abans d'una hora estaria a casa meva, per variar, que havia quedat per dinar amb la meva filla, però que ja l'avisaria comentant-li que potser arribaria un pèl tard. Vaig amagar aquell whisky de malta que m'havia comprat a Andorra, i a la vista vaig deixar-ne un de més passador.

    —Bon dia, Joan —va dir, entrant al pis sense més preàmbul i precedint-me mentre s'encaminava cap al menjador, com si fos ell l'amfitrió—. M'he endut el portàtil per si de cas, però no crec que el necessitem. Com que tampoc és cap patracol, ho he acabat de redactar i he imprès dos exemplars; un és per a tu i ja te'l pots quedar, per poder-nos entendre millor.

    Vaig enretirar tot de trastos que tenia a la tauleta del tresillo i, ell a la butaca i jo al sofà, com si es tractés d'una recepció oficial, ens vam estirar de braços i cames gairebé a l'uníson, com fent-ho al dictat d'un monitor, per trencar el gel. Però de seguida va quedar clar que ell volia dur la iniciativa:

    —Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.

    —Aniria bé que posessis un exemple, no?

    —És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
    10
    ···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
    10
    ···100···110, amb un únic membre interposat;
    10
    ···50···60···110, amb dos membres interposats;
    10
    ···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
    10
    ···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
    10···7,5···17,5···25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si tingués un precedent, aquest seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
    2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
    Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquest consells pràctics en parlarem al final.

    Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.

    Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure el quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:

    Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
    Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)

    Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
    Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
    Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
    ········································
    Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)

    Aniré estudiant els casos segons el valor m.

    Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
    Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
    Famc1 = c – a
    Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent
    Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
    Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
    Famc1 = (c - a)/2
    i si les sumem: 2Famc2 = c + a
    Famc2 = (c + a)/2

    Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
    Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2 [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la Fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 08/04/2024 a les 17:03
    El següent dissabte, és a dir sis dies després que ens acomiadàrem i jo me les prometés molt felices, convençut que em deixaria tranquil almenys un mes, la trucada de Lluís em va pescar de tornada del meu passeig diari reglamentari, quan anava a entrar al súper. Volia venir a casa, per ensenyar-me els deures acabats, que segons em va dir mereixien qualificació amb nota. Li vaig dir que m'agafava en mal moment i que em deixés ben bé tres quarts d'hora per comprar, anar a casa i descarregar. Ja a casa, quan ja portava vint minuts tractant de relaxar-me amb aquell diàleg contrapuntístic de Paul Desmond al saxo alt i Gerry Mulligan al baríton en "Two of a mind", de 1962, va tornar a sonar el mòbil. Vam quedar que abans d'una hora estaria a casa meva, per variar, que havia quedat per dinar amb la meva filla, però que ja l'avisaria comentant-li que potser arribaria un pèl tard. Vaig amagar aquell whisky de malta que m'havia comprat a Andorra, i a la vista vaig deixar-ne un de més passador.

    —Bon dia, Joan —va dir, entrant al pis sense més preàmbul i precedint-me mentre s'encaminava cap al menjador, com si fos ell l'amfitrió—. M'he endut el portàtil per si de cas, però no crec que el necessitem. Com que tampoc és cap patracol, ho he acabat de redactar i he imprès dos exemplars; un és per a tu i ja te'l pots quedar, per poder-nos entendre millor.

    Vaig enretirar tot de trastos que tenia a la tauleta del tresillo i, ell a la butaca i jo al sofà, com si es tractés d'una recepció oficial, ens vam estirar de braços i cames gairebé a l'uníson, com fent-ho al dictat d'un monitor, per trencar el gel. Però de seguida va quedar clar que ell volia dur la iniciativa:

    —Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.

    —Aniria bé que posessis un exemple, no?

    —És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10
    i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
    10
    ···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
    10
    ···100···110, amb un únic membre interposat;
    10
    ···50···60···110, amb dos membres interposats;
    10
    ···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
    10
    ···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
    10···7,5···17,5···25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si tingués un precedent, aquest seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
    2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
    Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquest consells pràctics en parlarem al final.

    Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.

    Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure el quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 08/04/2024 a les 17:08
    El següent dissabte, és a dir sis dies després que ens acomiadàrem i jo me les prometés molt felices, convençut que em deixaria tranquil almenys un mes, la trucada de Lluís em va pescar de tornada del meu passeig diari reglamentari, quan anava a entrar al súper. Volia venir a casa, per ensenyar-me els deures acabats, que segons em va dir mereixien qualificació amb nota. Li vaig dir que m'agafava en mal moment i que em deixés ben bé tres quarts d'hora per comprar, anar a casa i descarregar. Ja a casa, quan ja portava vint minuts tractant de relaxar-me amb aquell diàleg contrapuntístic de Paul Desmond al saxo alt i Gerry Mulligan al baríton en "Two of a mind", de 1962, va tornar a sonar el mòbil. Vam quedar que abans d'una hora estaria a casa meva, per variar, que havia quedat per dinar amb la meva filla, però que ja l'avisaria comentant-li que potser arribaria un pèl tard. Vaig amagar aquell whisky de malta que m'havia comprat a Andorra, i a la vista vaig deixar-ne un de més passador.

    —Bon dia, Joan —va dir, entrant al pis sense més preàmbul i precedint-me mentre s'encaminava cap al menjador, com si fos ell l'amfitrió—. M'he endut el portàtil per si de cas, però no crec que el necessitem. Com que tampoc és cap patracol, ho he acabat de redactar i he imprès dos exemplars; un és per a tu i ja te'l pots quedar, per poder-nos entendre millor.

    Vaig enretirar tot de trastos que tenia a la tauleta del tresillo i, ell a la butaca i jo al sofà, com si es tractés d'una recepció oficial, ens vam estirar de braços i cames gairebé a l'uníson, com fent-ho al dictat d'un monitor, per trencar el gel. Però de seguida va quedar clar que ell volia dur la iniciativa:

    —Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.

    —Aniria bé que posessis un exemple, no?

    —És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
    10
    ···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
    10
    ···100···110, amb un únic membre interposat;
    10
    ···50···60···110, amb dos membres interposats;
    10
    ···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
    10
    ···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
    10···7,5···17,5···25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si tingués un precedent, aquest seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
    2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
    Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquest consells pràctics en parlarem al final.

    Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.

    Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure el quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 08/04/2024 a les 17:20
    —Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.

    —Aniria bé que posessis un exemple, no?

    —És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
    10
    ···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
    10
    ···100···110, amb un únic membre interposat;
    10
    ···50···60···110, amb dos membres interposats;
    10
    ···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
    10
    ···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
    10···7,5···17,5···25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si tingués un precedent, aquest seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
    2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
    Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquest consells pràctics en parlarem al final.

    Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.

    Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure el quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 08/04/2024 a les 17:44
    —Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.

    —Aniria bé que posessis un exemple, no?

    —És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
    10
    ···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
    10
    ···100···110, amb un únic membre interposat;
    10
    ···50···60···110, amb dos membres interposats;
    10
    ···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
    10
    ···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
    10···7,5···17,5···25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si hi hagués un precedent, seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
    2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
    Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquest consells pràctics en parlarem al final.

    Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.

    Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure en quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 08/04/2024 a les 18:23
    —Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.

    —Aniria bé que posessis un exemple, no?

    —És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
    10
    ···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
    10
    ···100···110, amb un únic membre interposat;
    10
    ···50···60···110, amb dos membres interposats;
    10
    ···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
    10
    ···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
    10··7,5··17,5··25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si hi hagués un precedent, seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
    2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
    Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquest consells pràctics en parlarem al final.

    Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.

    Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure en quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 09/04/2024 a les 10:26
      Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
      Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)

      Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
      Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
      Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
      ········································
      Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)

      Aniré estudiant els casos segons el valor m.

      Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent
      Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0
      , fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
      Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
      Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

      Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
      Famc1 = c – a
      Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
      Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
      Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent
      Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

      Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
      [1] a + Famc1 = Famc2
      [2] Famc1 + Famc2 = c
      De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
      Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
      Famc1 = (c - a)/2
      i si les sumem: 2Famc2 = c + a
      Famc2 = (c + a)/2

      Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
      Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
      Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
      Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

      A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a
      els podem obtenir recursivament, fent
      Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
      Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
      Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
      Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

      Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
      [1] a + Famc1 = Famc2
      [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
      [3] Famc2 + Famc3 = c
      De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
      i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
      Si multipliquem per 2
      [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
      Famc1 = (c – 2a)/3
      i, substituint aquest valor a [1]:
      Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
      i, substituint aquests valors a [2]:
      Famc3 = (2c - a)/3


      Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
      [1] a + Famc1 = Famc2
      [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
      [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
      [4] Famc3 + Famc4 = c
      De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
      i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
      Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
      Famc1 = (c – 3a)/5
      i, substituint aquest valor a [1]:
      Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
      i, substituint aquests valors a [2]:
      Famc3 = (2c – a)/5
      i, substituint aquests valors a [3]:
      Famc4 = (3c + a)/5


      Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
      [1] a + Famc1 = Famc2
      [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
      [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
      [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
      [5] Famc4 + Famc5 = c
      De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
      i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
      Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
      Famc1 = (c – 5a)/8
      i, substituint aquest valor a [1]:
      Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
      i, substituint aquests valors a [2]:
      Famc3 = (2c – 2a)/8
      i, substituint aquests valors a [3]:
      Famc4 = (3c + a)/8
      i, substituint aquests valors a [4]:
      Famc5 = (5c – a)/8


      I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la Fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

      n
      ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
      F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
      F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
    • RE: RE: Això és una prova
      Joan Colom | 09/04/2024 a les 15:29

      2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 10:43
    Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
    Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)
    Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
    Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
    Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
    ···································
    Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3
    , llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)

    Aniré estudiant els casos segons el valor m.

    Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
    Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
    Famc1 = c – a
    Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent
    Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
    Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
    Famc1 = (c - a)/2
    i si les sumem: 2Famc2 = c + a
    Famc2 = (c + a)/2

    Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
    Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a
    els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2
    [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la Fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 10:50
    Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
    Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)
    Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
    Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
    Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
    ···································
    Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)

    Aniré estudiant els casos segons el valor m.

    Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
    Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
    Famc1 = c – a
    Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent
    Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
    Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
    Famc1 = (c - a)/2
    i si les sumem: 2Famc2 = c + a
    Famc2 = (c + a)/2

    Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
    Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a
    els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2
    [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la Fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 10:54
    Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
    Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)
    Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
    Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
    Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
    ···································
    Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)

    Aniré estudiant els casos segons el valor m.

    Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
    Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
    Famc1 = c – a
    Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent
    Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
    Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
    Famc1 = (c - a)/2
    i si les sumem: 2Famc2 = c + a
    Famc2 = (c + a)/2

    Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
    Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a
    els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a
    , Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2
    [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la Fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 11:02
    Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
    Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)
    Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
    Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
    Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
    ···································
    Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)

    Aniré estudiant els casos segons el valor m.

    Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
    Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
    Famc1 = c – a
    Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent
    Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
    Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
    Famc1 = (c - a)/2
    i si les sumem: 2Famc2 = c + a
    Famc2 = (c + a)/2

    Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
    Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a
    els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2
    [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 11:07
    Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
    Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)
    Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
    Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
    Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
    ···································
    Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)

    Aniré estudiant els casos segons el valor m.

    Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
    Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
    Famc1 = c – a
    Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent
    Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
    Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
    Famc1 = (c - a)/2
    i si les sumem: 2Famc2 = c + a
    Famc2 = (c + a)/2

    Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
    Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a
    , Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2
    [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 11:17
    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2
    [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 11:21
    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2
    [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 11:53
    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 11:58
    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 12:01
    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 12:04
    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 12:09

    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 12:13

    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 12:22

    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 12:32
    >—Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.

    —Aniria bé que posessis un exemple, no?

    —És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
    10
    ···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
    10
    ···100···110, amb un únic membre interposat;
    10
    ···50···60···110, amb dos membres interposats;
    10
    ···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
    10
    ···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
    10··7,5··17,5··25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si hi hagués un precedent, seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
    2···2···4···6···10···16···26···42···68···110···178···288···
    Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquests consells pràctics en parlarem al final.

    Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.

    Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure en quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:

    Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
    Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)
    Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
    Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
    Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
    ···································
    Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)

    Aniré estudiant els casos segons el valor m.

    Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
    Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
    Famc1 = c – a
    Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent
    Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
    Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
    Famc1 = (c - a)/2
    i si les sumem: 2Famc2 = c + a
    Famc2 = (c + a)/2

    Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
    Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Un cop enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2
    [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 12:47
    m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
    Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
    Famc1 = (c - a)/2
    i si les sumem: 2Famc2 = c + a
    Famc2 = (c + a)/2

    Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent
    Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.

    A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent
    Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
    Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent
    Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
    Una vegada enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.

    Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2
    [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.

    n
    ·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
  • RE: Això és una prova
    Joan Colom | 09/04/2024 a les 12:54
    m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
    i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
    Si multipliquem per 2 [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
    Famc1 = (c – 2a)/3
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c - a)/3


    Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
    i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
    Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
    Famc1 = (c – 3a)/5
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – a)/5
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/5


    Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
    [1] a + Famc1 = Famc2
    [2] Famc1 + Famc2 = Famc3
    [3] Famc2 + Famc3 = Famc4
    [4] Famc3 + Famc4 = Famc5
    [5] Famc4 + Famc5 = c
    De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
    i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
    Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
    Famc1 = (c – 5a)/8
    i, substituint aquest valor a [1]:
    Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8
    i, substituint aquests valors a [2]:
    Famc3 = (2c – 2a)/8
    i, substituint aquests valors a [3]:
    Famc4 = (3c + a)/8
    i, substituint aquests valors a [4]:
    Famc5 = (5c – a)/8


    I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural