(Continuació de "Fibonacci i cia" i "Fibonacci, punt i seguit".)
El següent dissabte, és a dir sis dies després que ens acomiadàrem i jo me les prometés molt felices, convençut que em deixaria tranquil almenys un mes, la trucada de Lluís em va pescar de tornada del meu passeig diari reglamentari, quan anava a entrar al súper. Volia venir a casa, per ensenyar-me els deures acabats, que segons em va dir mereixien qualificació amb nota. Li vaig dir que m'agafava en mal moment i que em deixés ben bé tres quarts d'hora per comprar, anar a casa i descarregar. Ja a casa, quan ja portava vint minuts tractant de relaxar-me amb aquell diàleg contrapuntístic de Paul Desmond al saxo alt i Gerry Mulligan al baríton en "Two of a mind", de 1962, va tornar a sonar el mòbil. Vam quedar que abans d'una hora estaria a casa meva, per variar, que havia quedat per dinar amb la meva filla, però que ja l'avisaria comentant-li que potser arribaria un pèl tard. Vaig amagar aquell whisky de malta que m'havia comprat a Andorra, i a la vista vaig deixar-ne un de més passador.
—Bon dia, Joan —va dir, entrant al pis sense més preàmbul i precedint-me mentre s'encaminava cap al menjador, com si fos ell l'amfitrió—. M'he endut el portàtil per si de cas, però no crec que el necessitem. Com que tampoc és cap patracol, ho he acabat de redactar i he imprès dos exemplars; un és per a tu i ja te'l pots quedar, per poder-nos entendre millor.
Vaig enretirar tot de trastos que tenia a la tauleta del tresillo i, ell a la butaca i jo al sofà, com si es tractés d'una recepció oficial, ens vam estirar de braços i cames gairebé a l'uníson, com fent-ho al dictat d'un monitor, per trencar el gel. Però de seguida va quedar clar que ell volia dur la iniciativa:
—Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.
—Aniria bé que posessis un exemple, no?
—És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
10···110, sense cap membre interposat, perquè són membres consecutius;
10···100···110, amb un únic membre interposat;
10···50···60···110, amb dos membres interposats;
10···30···40···70···110, amb tres membres interposats;
10···16···26···42···68···110, amb quatre membres interposats i
10··7,5··17,5··25···42,5···67,5···110, amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si hi hagués un precedent, seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
2···2···4···6···10··16··26··42··68··110··178··288··
Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquests consells pràctics en parlarem al final.
Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m ), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.
Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure en quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:
Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)
Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
···································
Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)
Aniré estudiant els casos segons el valor m.
Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
Famc1 = c – a
Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
[1] a + Famc1 = Famc2
[2] Famc1 + Famc2 = c
De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
Famc1 = (c – a)/2 i si les sumem: 2Famc2 = c + a
Famc2 = (c + a)/2
Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
Una vegada enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.
Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
[1] a + Famc1 = Famc2
[2] Famc1 + Famc2 = Famc3
[3] Famc2 + Famc3 = c
De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
Si multipliquem per 2 [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
Famc1 = (c – 2a)/3 i, substituint aquest valor a [1]:
Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3 i, substituint aquests valors a [2]:
Famc3 = (2c - a)/3
Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
[1] a + Famc1 = Famc2
[2] Famc1 + Famc2 = Famc3
[3] Famc2 + Famc3 = Famc4
[4] Famc3 + Famc4 = c
De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
Famc1 = (c – 3a)/5 i, substituint aquest valor a [1]:
Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5 i, substituint aquests valors a [2]:
Famc3 = (2c – a)/5 i, substituint aquests valors a [3]:
Famc4 = (3c + a)/5
Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
[1] a + Famc1 = Famc2
[2] Famc1 + Famc2 = Famc3
[3] Famc2 + Famc3 = Famc4
[4] Famc3 + Famc4 = Famc5
[5] Famc4 + Famc5 = c
De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
Famc1 = (c – 5a)/8 i, substituint aquest valor a [1]:
Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8 i, substituint aquests valors a [2]:
Famc3 = (2c – 2a)/8 i, substituint aquests valors a [3]:
Famc4 = (3c + a)/8 i, substituint aquests valors a [4]:
Famc5 = (5c – a)/8
I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.
n·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
La Succesió de Fibonacci F0+1 és l'enllaç entre les variables m i n i la fibonacciana Famcm,n, ponderant les constants a i c, segons aquesta expressió:
Famcm,n = (cF0+1n ± aF0+1m-n+1)/F0+1m+1
on el signe en el binomi numerador és + per a n parell i – per a n senar.
Aquesta expressió és la formulació genèrica dels valors Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5 obtinguts fins ara, per a a i c donats i m = 1, 2, 3, 4 i 5, però a efectes de verificació de resultats he volgut extrapolar-los a m = 6 i 7, ampliant aquests resultats amb Famc6 i Famc7. A continuació tens totes les formulacions concretes en aquest domini:
· n · · m = 1 · · m = 2 · · · m = 3· · · · m = 4
Famc1 · c – a · (c – a)/2 · (c – 2a)/3 · (c – 3a)/5
Famc2 · · · · · (c + a)/2 · ·(c + a)/3 · (c + 2a)/5
Famc3 · · · · · · · · · · · (2c – a)/3 · (2c – a)/5
Famc4 · · · · · · · · · · · · · · · · · ·(3c + a)/5
· n · · · · m = 5 · · · · m = 6 · · · · m = 7
Famc1 · ·(c – 5a)/8 · ·(c – 8a)/13 · (c – 13a)/21 ·
Famc2 · ·(c + 3a)/8 · ·(c + 5a)/13 · ·(c + 8a)/21 ·
Famc3 · (2c – 2a)/8 · (2c – 3a)/13 · (2c – 5a)/21 ·
Famc4 · ·(3c + a)/8 · (3c + 2a)/13 · (3c + 3a)/21 ·
Famc5 · ·(5c - a)/8 · ·(5c – a)/13 · (5c – 2a)/21 ·
Famc6 · · · · · · · · ·(8c + a)/13 · ·(8c + a)/21 ·
Famc7 · · · · · · · · · · · · · · · ·(13c – a)/21 ·
Jo m'he limitat a calcular els resultats, utilitzant les últimes expressions, per a un nombre de membres interposats m = 6 i 7, comprovant que coincideixen amb els membres de la fibonacciana F7+11. Si tu tens ganes de comprovar-ho per a m = 1, 2, 3, 4 i 5, amb a i c donats, t'ho deixo preparat.
m = 1 · · · · m = 2 · · · · m = 3 · · · · m = 4
a =· · ·76 · a = · · ·47 · a = · · ·47 · a = · · ·29
Famc1= 123 · Famc1 = ·76 · Famc1 = ·76 · Famc1 = ·47
c =· · 199 · Famc2 = 123 · Famc2 = 123 · Famc2 = ·76
·· · · · · · c = · · 199 · Famc3 = 199 · Famc3 = 123
·· · · · · · · · · · · · · c = · · 322 · Famc4 = 199
·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · c = · · 322
m = 5 · · · · m = 6 · · · · · · · m = 7
a = · · ·29 · a = · ·18 · · · · · a = · ·18
Famc1 = ·47 · Famc1= 29= 377/13 · Famc1= 29= ·609/21
Famc2 = ·76 · Famc2= 47= 611/13 · Famc2= 47= ·987/21
Famc3 = 123 · Famc3= 76= 988/13 · Famc3= 76= 1596/21
Famc4 = 199 · Famc4=123=1599/13 · Famc4=123= 2583/21
Famc5 = 322 · Famc5=199=2587/13 · Famc5=199= 4179/21
c = · · 521 · Famc6=322=4186/13 · Famc6=322= 6762/21
· · · · · · · c = · 521 · · · · · Famc7=521=10941/21
· · · · · · · · · · · · · · · · · c = · 843
En la presentació de valors Famcn, per a m = 6 i 7, m'he limitat a representar la penúltima etapa d'un procés de càlcul laboriós, simplement per una qüestió tipogràfica, de manca d'espai: per a m = 7, per exemple, on he escrit
Famc5=199= 4179/21
en realitat hauria d'haver escrit
Famc5 = 199 = (5·843 – 2·18)/21 = (4215 – 36)/ 21 = 4179/21
Precisament perquè és laboriós, tret que tinguem motius per calcular Famc2, Famc3, Famc4, Famc5 o Famc6 abans que Famc1 o Famc7, surt més a compte calcular abans un d'aquests dos i la resta de forma recursiva ascendent:
Famc1 = (843 - 13·18)/21 = (843 – 234)/21 = 609/21 = 29
Famc2 = 18 + 29 = 47
Famc3 = 29 + 47 = 76
Famc4 = 47 + 76 = 123
Famc5 = 76 + 123 = 199
Famc6 = 123 + 199 = 322
Famc7 = 199 + 322 = 521
o descendent:
Famc7 = (13·843 – 18)/21 = (10959 – 18)/21 = 10941/21 = 521
Famc6 = 843 – 521 = 322
Famc5 = 521 – 322 = 199
Famc4 = 322 – 199 = 123
Famc3 = 199 – 123 = 76
Famc2 = 123 – 76 = 47
Famc1 = 76 – 47 = 29
I ara, Joan, deixa de fer aquest posat d'estupefacció i maravella'm proposant-me dos enters triats a l'atzar, a i c, que suposarem que són membres d'una fibonacciana, i el nombre m de membres que suposarem compresos entre aquests dos, i jugarem a veure com ens ho fem per afinar els valors resultants, perquè de segur que ens surten amb decimals.