Cercador
Fibonacci i cia. [temps real de lectura: 14 minuts]
Un relat de: Joan Colom- Compartir:
M'estava afaitant quan sonà el telèfon.
—Sí?
—Bon dia, Joan, sóc Lluís. Que podries venir? —semblava excitat— Aquest cop crec que l'he encertada. No serà un fals eureka com altres vegades, però necessito que m'ho confirmis. T'espero...
—D'acord, Lluís, però no t'impacientis. Tingues present que els caps de setmana els autobusos van més espaiats. Deixa'm prendre un cafè amb llet i abans d'una hora hauré arribat. Vinga, fins ara.
Mentre l'autobús H creuava l'Eixample em preguntava quina en portaria de cap, en Lluís Mestre. Era molt bon nano, però la seva obsessió per passar a la posteritat com a matemàtic ja fregava els límits del que és patològic: inexplicablement ell, que havia pogut guanyar-se la vida treballant d'arquitecte i no pas com jo, que no me n'havia sortit i havia acabat de professor a la UPC, quan arran de les nostres jubilacions vam recuperar el contacte, un dia em va sorprendre confessant que de bon grat hauria renunciat a l'autoria dels projectes que li havien donat més nom, a canvi d'una ni que fos minsa aportació a les matemàtiques, posant els fonaments d'una nova branca, enunciant un nou teorema, a partir d'altres certeses o demostrant una conjectura, invalidant una conjectura mitjançant un contraexemple o enunciant-ne una de nova. M'havia deixat tant de pedra com si, sent pare de cinc fills, m'hagués revelat que era gai.
I m'havia demanat ser el seu conseller. Em devia tenir per un expert, d'ençà que li havia parlat de dos treballs postdoctorals publicats, Manipulació geomètrica dels blocs d'AutoCAD i El sudoku nostre de cada dia, per cortesia d'AutoCAD, i li havia ensenyat el blog Sudokus Hexagonals Simètrics (SHS): blog de Joan Colom / Juan Palomo on cada setmana, durant un any, havia estat publicant sis d'aquests sudokus de la meva invenció. Recordo que havia estat ell qui m'havia aconsellat que provés de publicitar aquest blog a Relats en Català, per veure si algun relataire s'animava a jugar amb els SHS, suggerint-me que després de cada relat afegís enllaços a posts concrets, perquè si em limitava a facilitar l'enllaç d'accés al blog la gent no sabria localitzar-los, però ho vaig fer durant més d'un any, crec recordar que des de febrer del 2019 a març del 2020, sense aconseguir interessar ningú.
La responsabilitat de conseller comportava que cada x mesos requerís la meva intervenció, perquè creia haver descobert algun nou principi matemàtic, i a mi em tocava l'ingrat paper d'advocat del diable, fent-li veure que allò era fals o ja estava inventat. I ara em preguntava si aquella ocasió n'era una més o si, per fi, hauria trobat la pedra filosofal.
En arribar a casa de Lluís, gairebé no em va donar temps de preguntar per la família o la seva salut, sinó que em va conduir directament a l'estudi, on em va fer seure al seu costat per mostrar-me uns fulls manuscrits escampats damunt la taula. Abordà directament la qüestió:
-Te'n recordes, dels nombres de Fibonacci?
En va costar uns segons reaccionar, com si m'estiguessin examinant:
—Home... és una successió de nombres naturals, cadascun d'ells la suma dels dos precedents. I crec recordar que tenen la tira de propietats...
—Doncs mira —no em deixà acabar—, n'he descobert una de nova. I ara comencem pel començament.
Tot dient això, acostà un dels fulls, que en la part superior mostrava l'inici de la successió dels nombres naturals i, més avall, el de la de Fibonacci, arrenglerada verticalment amb la dels naturals, que feien d'ordinals de la segona:
····1···2···3···4···5···6···7···8···9··10··11··12
0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144
—Abans de seguir vull que et fixis en dues coses. La primera, que els dos primers nombres de la Successió de Fibonacci, 0 i 1, són els que determinen tots els altres, seguint la llei de generació establerta. Però en lloc de 0 i 1 podríem partir de dos nombres diferents, amb l'única condició que el segon no fos inferior al primer, com 3 i 3 o 2 i 4. Comparades amb la Successió de Fibonacci, veiem aquestes altres dues successions, que per no confondre amb la primera anomenarem successions tipus Fibonacci:
0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144
3···3···6···9··15··24··39··63·102·165·267·432·699
2···4···6··10··16··26··42··68·110·178·288·466·754
—Com a cas particular de successions tipus Fibonacci, si prenem com a nombres generadors els successius parells de membres de la Successió de Fibonacci, 1 i 1, 1 i 2, 2 i 3, 3 i 5, etc., obtindrem versions de la successió de Fibonacci desproveïdes d'un, dos, tres, quatre, etc. membres inicials. Veiem la Successió de Fibonacci i les quatre primeres d'aquestes versions escapçades:
0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144
1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233
1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377
2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377·610
3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377·610·987
—La segona cosa és que, a partir de la Successió de Fibonacci o, en general, de qualsevol successió tipus Fibonacci, podríem obtenir altres successions, aplicant diferents lleis de generació. Si cada membre de la successió el calculem sumant dos membres de la Successió de Fibonacci, l'homòleg i el precedent, la successió obtinguda serà una de les d'abans: la segona versió escapçada de la Successió de Fibonacci, sols que ara la presentem desfasada per tal que els membres homòlegs se situïn en columna. I si aquesta successió la prenem ara com a base per obtenir-ne una altra amb la mateixa llei de generació, coincidirà amb la quarta versió escapçada de la successió de Fibonacci:
0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144
····1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233
········3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377
—Podem provar amb una altra llei de generació, per exemple calcular cada membre sumant uns altres dos membres de la successió de base: l'homòleg i el precedent del precedent. Aquestes successions les anomenarem dependents; dir-ne derivades seria confós, perquè en anàlisi matemàtica aquest adjectiu ja s'utilitza per qualificar determinades funcions. La successió obtinguda de la successió de base l'anomenarem dependent primera, l'obtinguda de la dependent primera l'anomenarem dependent segona, etc. A títol d'exemple partirem de la Successió de Fibonacci, tot i que podríem partir de qualsevol successió tipus Fibonacci. Aquí la tenim, seguida de les successions dependents primera, segona i tercera:
0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144
········1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199
················5··10··15··25··40··65·105·170·275
·······················20··35··55··90·145·235·380
—I bé, Joan: ara ve quan el maten. Què et sembla?
—Què figura que m'ha de semblar? —vaig contestar, una mica desconcertat, sortint de l'ensopiment que m'havia entrat amb el numeret dels numerets, valgui la redundància.
—Home, vull dir... —i Lluís es mogué, neguitós, a la cadira— Vull dir: no et sembla que aquestes últimes successions, les que anomenava dependents primera, segona i tercera, tenen alguna particularitat?
—A veure, deixa'm un moment... Si és el que volies que veiés, jo diria que cada membre és la suma dels dos precedents; així que aquestes successions que tu anomenes dependents són successions... tipus Fibonacci, com també les anomenes, no?
—Ostres, i això et sembla poc?
—Doncs mira, què vols que digui: també ho eren les d'abans, les que es generaven sumant el membre de referència no pas amb el penúltim anterior sinó amb l'últim, no?
—Bé, jo més m'estimo parlar del membre precedent i del precedent del precedent, però ja ens entenem... La diferència és que les successions d'abans resultaven ser de tipus Fibonacci gairebé tautològicament, perquè quan dèiem que un membre de la successió dependent era la suma del membre homòleg i del membre precedent en la successió de base, anotàvem en la successió dependent el mateix valor del membre posterior a l'homòleg en la successió de base.
En realitat, en lloc d'aquesta verborrea incomprensible que m'acabo d'inventar, el que feia Lluís, molt més entenedor, era assenyalar sobre el paper les posicions al·ludides, amb la punta del llapis.
—En canvi —prosseguí Lluís—, entre la Successió de Fibonacci i les successions dependents hi ha poques coincidències numèriques. I entre les diverses successions dependents, cap ni una. No havent-hi cap evidència notòria, doncs, caldria una estratègia de demostració i aquest no és el meu terreny, Joan. Així que en donaré publicitat com a conjectura, i si hi ha algun cervellet que la vulgui demostrar, elevant-la a la categoria de teorema, endavant les atxes! De moment, ja tinc pensat l'enunciat, un cop hagi definit les successions tipus Fibonacci, que és una expressió que m'he tret de la butxaca per sortir del pas, però que em grinyola i que m'hauries d'ajudar a millorar: Conjectura de Mestre: Les successions numèriques obtingudes per recursions successives (potser millor reiterades?) de la Successió de Fibonacci o de qualsevol successió tipus Fibonacci, mitjançant la suma dels membres homòlegs i els que els precedeixen en segon lloc, són també successions tipus Fibonacci.
Mirant de contenir la rialla, vaig demanar-li a Lluís que em dugués un didalet de whisky i em deixés una estona sol amb els papers; volia mirar si se m'acudia alguna mena de demostració. Al cap de deu minuts vaig cridar Lluís: em semblava que ja ho tenia, sense perjudici de formalitzacions posteriors que ajudessin a entendre el caràcter genèric dels conjunts i elements en joc, mitjançant notació amb variables subindexades.
—Siguin cinc membres correlatius de la successió de base: la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
primer membre SB: a
segon membre SB: b
tercer membre SB: a+b
quart membre SB: b+a+b = a+2b
cinquè membre SB: a+b+a+2b = 2a+3b
Si ara en formem la successió dependent primera:
tercer membre SD1: a+a+b = 2a+b
quart membre SD1: b+a+2b = a+3b
cinquè membre SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
comprovem que el cinquè membre SD1 és igual a la suma del tercer i el quart: (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant horitzontalment els membres d'ambdues successions:
S. de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b
S. dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b
Lluís, que seguia les explicacions badant la boca i fent uns ulls com unes taronges, em tallà i prorrompé en exclamacions com un energumen:
—Hòstia, això és formidable! Res de conjectura: teorema! El Teorema de Mestre...! No, perdona, Joan: El Teorema de Mestre-Colom! Faltaria més...
Aleshores vaig haver de tallar-lo jo, perquè fins i tot la dona va venir corrents i tregué el cap a l'estudi, alarmada per la cridòria. Vaig fer-lo seure i vaig ser jo qui li serví un didalet de whisky, mentre intentava calmar-lo i reconduir l'esclat d'alegria des del paroxisme a una consciència mínimament crítica. Aquella troballa era molt meritòria però potser havia redescobert la sopa d'all: en un camp tan transitat com la Successió de Fibonacci i les seves implicacions i aplicacions, era quasi segur que algú ja havia plantat bandera; a hores d'ara, Fibonacci era Fibonacci i cia. Però, fins i tot si no era així, l'evidència de l'enunciat no era immediata però gairebé: es demostrava d'una manera massa directa per tenir entitat de teorema; corol·lari, a tot estirar.
La lluïssor dels ulls es va anar apagant i el somriure es transformà en un rictus d'amargura. El vaig deixar relativament tranquil i a l'autobús, de tornada a casa, em preguntava quant de temps passaria fins a tornar a tenir notícies seves.
—Sí?
—Bon dia, Joan, sóc Lluís. Que podries venir? —semblava excitat— Aquest cop crec que l'he encertada. No serà un fals eureka com altres vegades, però necessito que m'ho confirmis. T'espero...
—D'acord, Lluís, però no t'impacientis. Tingues present que els caps de setmana els autobusos van més espaiats. Deixa'm prendre un cafè amb llet i abans d'una hora hauré arribat. Vinga, fins ara.
Mentre l'autobús H creuava l'Eixample em preguntava quina en portaria de cap, en Lluís Mestre. Era molt bon nano, però la seva obsessió per passar a la posteritat com a matemàtic ja fregava els límits del que és patològic: inexplicablement ell, que havia pogut guanyar-se la vida treballant d'arquitecte i no pas com jo, que no me n'havia sortit i havia acabat de professor a la UPC, quan arran de les nostres jubilacions vam recuperar el contacte, un dia em va sorprendre confessant que de bon grat hauria renunciat a l'autoria dels projectes que li havien donat més nom, a canvi d'una ni que fos minsa aportació a les matemàtiques, posant els fonaments d'una nova branca, enunciant un nou teorema, a partir d'altres certeses o demostrant una conjectura, invalidant una conjectura mitjançant un contraexemple o enunciant-ne una de nova. M'havia deixat tant de pedra com si, sent pare de cinc fills, m'hagués revelat que era gai.
I m'havia demanat ser el seu conseller. Em devia tenir per un expert, d'ençà que li havia parlat de dos treballs postdoctorals publicats, Manipulació geomètrica dels blocs d'AutoCAD i El sudoku nostre de cada dia, per cortesia d'AutoCAD, i li havia ensenyat el blog Sudokus Hexagonals Simètrics (SHS): blog de Joan Colom / Juan Palomo on cada setmana, durant un any, havia estat publicant sis d'aquests sudokus de la meva invenció. Recordo que havia estat ell qui m'havia aconsellat que provés de publicitar aquest blog a Relats en Català, per veure si algun relataire s'animava a jugar amb els SHS, suggerint-me que després de cada relat afegís enllaços a posts concrets, perquè si em limitava a facilitar l'enllaç d'accés al blog la gent no sabria localitzar-los, però ho vaig fer durant més d'un any, crec recordar que des de febrer del 2019 a març del 2020, sense aconseguir interessar ningú.
La responsabilitat de conseller comportava que cada x mesos requerís la meva intervenció, perquè creia haver descobert algun nou principi matemàtic, i a mi em tocava l'ingrat paper d'advocat del diable, fent-li veure que allò era fals o ja estava inventat. I ara em preguntava si aquella ocasió n'era una més o si, per fi, hauria trobat la pedra filosofal.
En arribar a casa de Lluís, gairebé no em va donar temps de preguntar per la família o la seva salut, sinó que em va conduir directament a l'estudi, on em va fer seure al seu costat per mostrar-me uns fulls manuscrits escampats damunt la taula. Abordà directament la qüestió:
-Te'n recordes, dels nombres de Fibonacci?
En va costar uns segons reaccionar, com si m'estiguessin examinant:
—Home... és una successió de nombres naturals, cadascun d'ells la suma dels dos precedents. I crec recordar que tenen la tira de propietats...
—Doncs mira —no em deixà acabar—, n'he descobert una de nova. I ara comencem pel començament.
Tot dient això, acostà un dels fulls, que en la part superior mostrava l'inici de la successió dels nombres naturals i, més avall, el de la de Fibonacci, arrenglerada verticalment amb la dels naturals, que feien d'ordinals de la segona:
····1···2···3···4···5···6···7···8···9··10··11··12
0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144
—Abans de seguir vull que et fixis en dues coses. La primera, que els dos primers nombres de la Successió de Fibonacci, 0 i 1, són els que determinen tots els altres, seguint la llei de generació establerta. Però en lloc de 0 i 1 podríem partir de dos nombres diferents, amb l'única condició que el segon no fos inferior al primer, com 3 i 3 o 2 i 4. Comparades amb la Successió de Fibonacci, veiem aquestes altres dues successions, que per no confondre amb la primera anomenarem successions tipus Fibonacci:
0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144
3···3···6···9··15··24··39··63·102·165·267·432·699
2···4···6··10··16··26··42··68·110·178·288·466·754
—Com a cas particular de successions tipus Fibonacci, si prenem com a nombres generadors els successius parells de membres de la Successió de Fibonacci, 1 i 1, 1 i 2, 2 i 3, 3 i 5, etc., obtindrem versions de la successió de Fibonacci desproveïdes d'un, dos, tres, quatre, etc. membres inicials. Veiem la Successió de Fibonacci i les quatre primeres d'aquestes versions escapçades:
0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144
1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233
1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377
2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377·610
3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377·610·987
—La segona cosa és que, a partir de la Successió de Fibonacci o, en general, de qualsevol successió tipus Fibonacci, podríem obtenir altres successions, aplicant diferents lleis de generació. Si cada membre de la successió el calculem sumant dos membres de la Successió de Fibonacci, l'homòleg i el precedent, la successió obtinguda serà una de les d'abans: la segona versió escapçada de la Successió de Fibonacci, sols que ara la presentem desfasada per tal que els membres homòlegs se situïn en columna. I si aquesta successió la prenem ara com a base per obtenir-ne una altra amb la mateixa llei de generació, coincidirà amb la quarta versió escapçada de la successió de Fibonacci:
0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144
····1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233
········3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·377
—Podem provar amb una altra llei de generació, per exemple calcular cada membre sumant uns altres dos membres de la successió de base: l'homòleg i el precedent del precedent. Aquestes successions les anomenarem dependents; dir-ne derivades seria confós, perquè en anàlisi matemàtica aquest adjectiu ja s'utilitza per qualificar determinades funcions. La successió obtinguda de la successió de base l'anomenarem dependent primera, l'obtinguda de la dependent primera l'anomenarem dependent segona, etc. A títol d'exemple partirem de la Successió de Fibonacci, tot i que podríem partir de qualsevol successió tipus Fibonacci. Aquí la tenim, seguida de les successions dependents primera, segona i tercera:
0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144
········1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199
················5··10··15··25··40··65·105·170·275
·······················20··35··55··90·145·235·380
—I bé, Joan: ara ve quan el maten. Què et sembla?
—Què figura que m'ha de semblar? —vaig contestar, una mica desconcertat, sortint de l'ensopiment que m'havia entrat amb el numeret dels numerets, valgui la redundància.
—Home, vull dir... —i Lluís es mogué, neguitós, a la cadira— Vull dir: no et sembla que aquestes últimes successions, les que anomenava dependents primera, segona i tercera, tenen alguna particularitat?
—A veure, deixa'm un moment... Si és el que volies que veiés, jo diria que cada membre és la suma dels dos precedents; així que aquestes successions que tu anomenes dependents són successions... tipus Fibonacci, com també les anomenes, no?
—Ostres, i això et sembla poc?
—Doncs mira, què vols que digui: també ho eren les d'abans, les que es generaven sumant el membre de referència no pas amb el penúltim anterior sinó amb l'últim, no?
—Bé, jo més m'estimo parlar del membre precedent i del precedent del precedent, però ja ens entenem... La diferència és que les successions d'abans resultaven ser de tipus Fibonacci gairebé tautològicament, perquè quan dèiem que un membre de la successió dependent era la suma del membre homòleg i del membre precedent en la successió de base, anotàvem en la successió dependent el mateix valor del membre posterior a l'homòleg en la successió de base.
En realitat, en lloc d'aquesta verborrea incomprensible que m'acabo d'inventar, el que feia Lluís, molt més entenedor, era assenyalar sobre el paper les posicions al·ludides, amb la punta del llapis.
—En canvi —prosseguí Lluís—, entre la Successió de Fibonacci i les successions dependents hi ha poques coincidències numèriques. I entre les diverses successions dependents, cap ni una. No havent-hi cap evidència notòria, doncs, caldria una estratègia de demostració i aquest no és el meu terreny, Joan. Així que en donaré publicitat com a conjectura, i si hi ha algun cervellet que la vulgui demostrar, elevant-la a la categoria de teorema, endavant les atxes! De moment, ja tinc pensat l'enunciat, un cop hagi definit les successions tipus Fibonacci, que és una expressió que m'he tret de la butxaca per sortir del pas, però que em grinyola i que m'hauries d'ajudar a millorar: Conjectura de Mestre: Les successions numèriques obtingudes per recursions successives (potser millor reiterades?) de la Successió de Fibonacci o de qualsevol successió tipus Fibonacci, mitjançant la suma dels membres homòlegs i els que els precedeixen en segon lloc, són també successions tipus Fibonacci.
Mirant de contenir la rialla, vaig demanar-li a Lluís que em dugués un didalet de whisky i em deixés una estona sol amb els papers; volia mirar si se m'acudia alguna mena de demostració. Al cap de deu minuts vaig cridar Lluís: em semblava que ja ho tenia, sense perjudici de formalitzacions posteriors que ajudessin a entendre el caràcter genèric dels conjunts i elements en joc, mitjançant notació amb variables subindexades.
—Siguin cinc membres correlatius de la successió de base: la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
primer membre SB: a
segon membre SB: b
tercer membre SB: a+b
quart membre SB: b+a+b = a+2b
cinquè membre SB: a+b+a+2b = 2a+3b
Si ara en formem la successió dependent primera:
tercer membre SD1: a+a+b = 2a+b
quart membre SD1: b+a+2b = a+3b
cinquè membre SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
comprovem que el cinquè membre SD1 és igual a la suma del tercer i el quart: (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant horitzontalment els membres d'ambdues successions:
S. de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b
S. dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b
Lluís, que seguia les explicacions badant la boca i fent uns ulls com unes taronges, em tallà i prorrompé en exclamacions com un energumen:
—Hòstia, això és formidable! Res de conjectura: teorema! El Teorema de Mestre...! No, perdona, Joan: El Teorema de Mestre-Colom! Faltaria més...
Aleshores vaig haver de tallar-lo jo, perquè fins i tot la dona va venir corrents i tregué el cap a l'estudi, alarmada per la cridòria. Vaig fer-lo seure i vaig ser jo qui li serví un didalet de whisky, mentre intentava calmar-lo i reconduir l'esclat d'alegria des del paroxisme a una consciència mínimament crítica. Aquella troballa era molt meritòria però potser havia redescobert la sopa d'all: en un camp tan transitat com la Successió de Fibonacci i les seves implicacions i aplicacions, era quasi segur que algú ja havia plantat bandera; a hores d'ara, Fibonacci era Fibonacci i cia. Però, fins i tot si no era així, l'evidència de l'enunciat no era immediata però gairebé: es demostrava d'una manera massa directa per tenir entitat de teorema; corol·lari, a tot estirar.
La lluïssor dels ulls es va anar apagant i el somriure es transformà en un rictus d'amargura. El vaig deixar relativament tranquil i a l'autobús, de tornada a casa, em preguntava quant de temps passaria fins a tornar a tenir notícies seves.
Comentaris
-
Esmenes:[Ofensiu]Joan Colom | 24-02-2024
Quan no són faltes d'ortografia, són relacions mal expressades. On diu:
—Siguin cinc membres correlatius de la successió de base: la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
primer membre SB: a
segon membre SB: b
tercer membre SB: a+b
quart membre SB: b+a+b = a+2b
cinquè membre SB: a+b+a+2b = 2a+3b
Si ara en formem la successió dependent primera:
tercer membre SD1: a+a+b = 2a+b
quart membre SD1: b+a+2b = a+3b
cinquè membre SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
comprovem que el cinquè membre SD1 és igual a la suma del tercer i el quart: (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant horitzontalment els membres d'ambdues successions:
S. de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b
S. dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b
hauria de dir:
—Siguin cinc membres correlatius de la successió de base: la Successió de Fibonacci o d'una successió tipus Fibonacci qualsevol. Anomenant a i b els dos primers, tenim:
primer membre representat SB: a
segon membre representat SB: b
tercer membre representat SB: a+b
quart membre representat SB: b+a+b = a+2b
cinquè membre representat SB: a+b+a+2b = 2a+3b
Si ara en formem la successió dependent primera:
primer membre representat SD1: a+a+b = 2a+b
segon membre representat SD1: b+a+2b = a+3b
tercer membre representat SD1: a+b+2a+3b = 3a+4b
comprovem que el tercer membre representat SD1 és igual a la suma del primer i el segon: (2a+b)+(a+3b) = 3a+4b, és a dir que la successió dependent és tipus Fibonacci. Ho veurem més clar alineant verticalment els membres homòlegs d'ambdues successions:
S. de base: ··· a ··· b ··· a+b ··· a+2b ··· 2a+3b
S. dependent primera: ···· 2a+b ··· a+3b ··· 3a+4b -
Un deu![Ofensiu]llpages | 24-02-2024 | Valoració: 10
Amb el que m'agraden les matemàtiques, aquest relat l'he assaborit molt bé! Haig de reconèixer el mèrit de l'autor: una narració de més d'un quart de lectura (si us entreteniu amb els números, un xic més), de matemàtiques i amb el llenguatge difícil de seguir si no estàs avesat al raonament lògic, tot un repte!
PD: no pots donar més referències personals, àlies Joan Colom, hahaha! Com és que fas servir aquest pseudònim fins i tot en texts on apareix el teu nom vertader? Ho trobo curiós. Enhorabona! -
Relat mestre[Ofensiu]Ginebreda | 23-02-2024
M'he quedat de quadros... m'has encuriosit tant, que he preguntat a l'amic Google i m'ha informat en relació al Leonardo de Pisa, i més he flipat quan, com diu la història és amic del Juan Palomo i prenen whisky junts.
És un relat mestre que em fa recordar alguns fragments de l'Andahazi o del Umberto Eco.
Com has pogut inventar les explicacions incomprensibles, però que semblen reals?.
Felicitacions.
l´Autor
Últims relats de l'autor
- Mentider! [temps real de lectura: 2 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre ESGLAONS I GRAONS [temps real de lectura: 3 minuts]
- Fibonacci, punt final. [temps real de lectura: 42 minuts]
- Fibonacci, punt i seguit. [temps real de lectura: 26 minuts]
- Crim i càstig.
- Santa innocència. [temps real de lectura: 2 minuts]
- Un lletraferit malastruc. [temps real de lectura: 3 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre LLEPAR [temps real de lectura: 3 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre SEXE [temps real de lectura: 3 minuts]
- DEP, germana.
- Vint nanoocurrències sobre PA AMB TOMÀQUET [temps real de lectura: 3 minuts]
- Esferes.
- TOC, TOC. [temps real de lectura: 4 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre EL PEREPUNYETES. [temps real de lectura: 3 minuts]
- No és fàcil anar d'original o Els experiments, amb gasosa. [temps real de lectura: 2 minuts]