Cercador
El nombre e i la mare que el va parir. [temps real de lectura: 40 minuts]
Un relat de: Joan Colom- Compartir:
—Recapitulem: els últims dies hem estat veient les successions: en general i dos tipus de successions molt particulars, les progressions aritmètiques i les geomètriques. També havíem vist les sèries, suma dels membres d'una successió. Avui us en seguiré parlant, centrant-me en els valors cap on convergeixen; això les que convergeixin, és clar.
Les progressions aritmètiques creixen indefinidament quan la diferència de la progressió és positiva, com aquesta —i seguí parlant mentre es girava i escrivia a la pissarra—; decreixen indefinidament quan la diferència és negativa, com aquesta, i no cal parlar de què passa quan la diferència és zero, perquè surt una ximpleria que no serveix per a res, amb tots els membres iguals.
Les progressions geomètriques creixen indefinidament quan el primer terme és positiu i la raó de progressió és més gran que u; creixen cap a zero quan el primer terme és negatiu i la raó està entre zero i u —i seguí parlant mentre esborrava la pissarra i tornava a escriure-hi—; decreixen indefinidament quan el primer terme és negatiu i la raó és més gran que u; creixen cap a zero quan el primer terme és positiu i la raó està entre zero i u. I no cal parlar de què passa quan la raó és u, perquè surt una ximpleria que no serveix per a res, amb tots els membres iguals. O de quan és negativa, perquè llavors els termes van alternant el signe, passant de positiu a negatiu i de negatiu a positiu.
Si voleu un exemple de progressió geomètrica que arrenca amb el nombre u i té una raó de progressió dos, recordeu la faula d'aquell rei que, volent recompensar l'inventor del joc d'escacs, va accedir a donar-li tants grans de blat com hi cabessin en un tauler, començant per posar-ne un a la primera casella, dos a la segona, i així posar a cada casella el doble de la precedent, fins a arribar a la seixanta-quatrena. Com sabeu, la successió seria dos elevat a la potència 0 (1), dos elevat a 1 (2), dos elevat a 2 (4), dos elevat a 3 (8)... i dos elevat a la 63 (més de nou trilions de grans de blat). Això, quedant-nos només amb els seixanta-quatre primers termes de la successió; ja us podeu imaginar si seguíssim...
Però, fora de les progressions, el comportament de les altres successions és bastant imprevisible. Algunes també es veu que creixen indefinidament, com la de Fibonacci, que, començant amb zero i un, els altres membres s'obtenen sumant els dos precedents —i, després d'esborrar un altre cop la pissarra, escriví 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144—. Però d'altres decreixen fins a convergir en zero, com la definida per una de les paradoxes de Zenó. Zenó era un filòsof de l'antiga Grècia, d'una escola que postulava que el moviment és una il·lusió dels sentits i que la raó ens du a concloure que, en realitat, res no es mou. Una de les paradoxes que es va empescar, per entabanar al personal, era que si algú pretén córrer una distància, dos-cents metres per exemple, no ho aconseguirà mai perquè, abans de poder-ne fer 200, ha de passar per la meitat del recorregut, és a dir, pels cent metres; però, abans de fer-ne 100, n'ha de fer cinquanta; abans de fer-ne 50 n'ha de fer vint-i-cinc, i així successivament fins a arribar a la conclusió que, per més temps que hi dediqués, no es podria moure ni un pam. Efectivament, si jo formo la successió de les distàncies que NO POT RECÓRRER, escrivint 200 100 50 25 12,50 6,25... m'adono que cada cop són més petites i convergeixen a 0.
Les successions també poder convergir a valors diferents de zero. I començarem amb un exemple en què aquest valor el veu a venir. Seguint amb Zenó, una altra de les seves paradoxes era la d'Aquil·les i la tortuga. Volies alguna cosa, Jaumet?
—Sí, profe: aquest Aquil·les és el Brad Pitt de la pel·lícula?
—Sí, el de la pel·lícula "Troia", que tenia fama de ser molt ràpid corrent, amb armadura i tot. Una tortuga més llesta que la fam repta a Aquil·les a una carrera, sabent que correrà deu vegades més ràpid que ella, a condició que li doni un avantatge de 100 m. Aquil·les ho accepta i, quan la tortuga comença a caminar, Aquil·les arrenca a córrer i de seguida fa 100 m. Però quan els ha fet, arribant a on era la tortuga, aquesta mentrestant n'haurà avançat deu; quan Aquil·les hagi cobert també aquests 10, la tortuga haurà fet un metre més; quan Aquil·les faci aquest metre, la tortuga haurà fet un decímetre més, i així successivament: Aquil·les estarà cada cop més a prop de la tortuga, però mai no podrà atrapar-la. Almenys això era el que deia Zenó, que es refiava més d'aquest fals raonament que del que veia. Però nosaltres sabem que Aquil·les atraparà la tortuga i la sobrepassarà, i podem calcular quan haurà recorregut cadascú en aquell moment, amb una senzilla equació. A veure, Quimeta, com es calcula la velocitat? Tu dicta'm, que jo ho aniré escrivint a la pissarra.
—Doncs la velocitat és l'espai recorregut dividit per temps que es triga a recórrer-lo.
-Molt bé —i el professor anà escrivint a la pissarra—, V = E/T, i concretant anomenarem Va = Ea/T la velocitat a què va Aquil·les i Vt = Et/T la velocitat a què va la tortuga. Quina relació hi ha entre les dues velocitats?
—Doncs la d'Aquil·les és 10 vegades la de la tortuga.
—Doncs posem-ho: Va = 10·Vt, és a dir, Ea/T = 10·Et/T i, eliminant el denominador comú, tindrem que Ea = 10·Et. Però també sabem una altra cosa, Carmeta: quina relació hi ha entre els espais recorreguts per Aquil·les i per la tortuga?
—Aquil·les haurà recorregut 100 m. més que la tortuga.
—Sí, senyora: Ea = Et + 100. I, si ara substituïm aquest valor en la igualtat d'abans: Ea = Et + 100 = 10 Et. Passant Et a l'altra banda, tindrem que 100 = 9·Et, així que Et = 100/9 = 11,111111. En realitat és 11,1 periòdic, però així, amb sis decimals ens adonem millor que no s'acaben mai. Substituint ara aquest valor en l'equivalència d'abans, tant és que fem Ea = 10·Et = 10·11,111111 = 111,111111 o que fem Ea = Et + 100 = 11,111111 + 100 = 111,111111, perquè dóna el mateix: 111,1 periòdic. Si ho volem resoldre d'una altra manera, la successió formada pels trams en què considerem descomposta la carrera d'Aquil·les, expressada en metres, és 100 10 1 0,1 0,01 0,001 ... i convergeix cap a 0, com en el cas de l'anterior paradoxa de Zenó, però si considerem el que porta corregut en cada instant hem d'anar a la sèrie d'aquesta successió, que és 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..., que convergeix cap a 111,111... Potser quedarà mes clara, aquesta convergència, si la representem com a successió de les sumes parcials d'aquesta sèrie: 100 100+10=110 110+1=111 111+0,1=111,1 111,1+0,01=111,11 111,11+0,001=111,111 ... En definitiva, convergeix cap al valor 111,1 periòdic que havíem trobat resolent aquella equació.
—Doncs no és pas tan complicat —se li escapà a Quimeta.
—Sí, però ara ve quan el maten, perquè després de veure el cas de convergència d'una successió cap a un valor fàcilment previsible, ara en veureu un altre no gens intuïtiu: la població d'un país augmenta vegetativament (naixements menys defuncions, suposant que no hi ha migració de cap mena) un 5 per cent cada any, equivalent a 0,05 per u; sabem que en un moment determinat és de 20 milions de persones i ens demanen quantes tindrà al cap d'un any, dos, tres, etc. Abans de seguir, però fixem-nos que, si al cap d'un any la població ha passat de 20.000.000 de persones a 21.000.000 i ens diuen que seguirà creixent al mateix ritme del 0,05 anual, podríem precipitar-nos i pensar que al segon any la població arribarà a 22.000.000 i al tercer any a 23.000.000. L'error rauria a calcular sempre el 0,05 d'increment anual sobre 20.000.000, quan cal aplicar-lo a la població existent en cada moment: només al cap del primer any és correcte aplicar-lo a 20.000.000 per obtenir 21.000.000; al cap del segon haurem d'aplicar-lo a aquests 21.000.000 per obtenir 22.050.000, i al cap del tercer haurem d'aplicar-lo a aquests 22.050.000 per obtenir 23.152.500.
Us ho escric: al cap d'un any hi haurà
20.000.000 + 0,05·20.000.000 = 20.000.000 (1 + 0,05) = 1,05·20.000.000 = 21.000.000,
al cap de dos, com he dit,
21.000.000 + 0,05·21.000.000 = 21.000.000 (1 + 0,05) = 1,05·21.000.000 = 22.050.000,
al cap de tres
22.050.000 + 0,05·22.050.000 = 22.050.000 (1 + 0,05) = 1,05·22.050.000 = 23.152.500,etcètera.
Però, si ens interessa calcular directament la població al cap de un, de dos o de tres anys (P1, P2 o P3), sense haver de calcular prèviament la d'anys precedents, hauríem de fer
P0 = 1,05^0·20.000.000 = 20.000.000
P1 = 1,05^1·20.000.000 = 21.000.000
P2 = 1,05^2·20.000.000 = 22.050.000
P3 = 1,05^3·20.000.000 = 23.152.500
I, si volguéssim generalitzar el sistema per a qualsevol població inicial (P0), índex de creixement anual (Ia) i anys transcorreguts (t), la població final seria
Pt = P0·(1 + Ia)^t.
(El profe ha anotat les potències a la pissarra en la forma habitual, però com que la transcripció aquí és problemàtica, he optat per representar-les fent ús del signe ^, que precedirà l'exponent.)
Fins aquí, com heu vist, calcular la població és bufar i fer ampolles. Però, si no en tinguéssim prou a conèixer-la al cap d'un, dos, tres ... t anys, podríem calcular-la per mesos, prenent un Im = Ia/12 que fos l'index de creixement per mesos i un exponent que fos el nombre de mesos considerat, 12·t; o per dies, prenent un Id = Ia/365 que fos l'index de creixement per dies i un exponent que fos el nombre de dies considerat, 365·t; per hores, prenent un Ih = Ia/8.760 que fos l'index de creixement per hores i un exponent que fos el nombre d'hores considerat, 8.760·t (on 8.760 = 24·365), o per minuts, prenent un Imi = Ia/525.600 que fos l'index de creixement per minuts i un exponent que fos el nombre de minuts considerat, 525.600·t (on 525.600 = 60·8.760)... Així, anomenant n el nombre de parts en què considerem dividit l'any, 1, 12, 365, 8.760 o 525.600, la fórmula següent serveix per a tots els casos:
Pnt = Pa·(1 + Ia/n)^n·t.
Calculem, doncs, la població al cap d'un any (t = 1), considerant 1 any, 12 mesos, 365 dies, 8.760 hores o 525.600 minuts:
P1a = 20.000.000·(1 + 0,05) = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,00
P12m = 20.000.000·(1 + 0,05/12)^12 = 20.000.000·1,00416666^12 = 21.023.237,96
P365d = 20.000.000·(1 + 0,05/365)^365 = 20.000.000·1,000136986^365 = 21.025.349,93
P8760h = 20.000.000·(1 + 0,05/8.760)^8.760 = 20.000.000·1,00000570776^365 = 21.025.418,93
P525600mi = 20.000.000·(1 + 0,05/525.600)^525.600 = 20.000.000·1,0000000951294^525.600 = 21.025.421,88, i encara considerarem els 60·525.600 = 31.536.000 segons de l'any, perquè no sigui dit:
P31536000s = 20.000.000·(1 + 0,05/31.536.000)^31.536.000 = 20.000.000·1,00000000158549^31.536.000 = 21.025.421,93.
El que faré ara serà reproduir aquests resultats en el trocet de pissarra neta, i dividir-los tots per 21.000.000:
Pa = 21.000.000,00, i 21.000.000,00/21.000.000,00 = 1,00000000
Pm = 21.023.237,96, i 21.023.237,96/21.000.000,00 = 1,00110657
Pd = 21.025.349,93, i 21.025.349,93/21.000.000,00 = 1,00120714
Ph = 21.025.418,93, i 21.025.418,93/21.000.000,00 = 1,00121043
Pmi= 21.025.421,88, i 21.025.421,88/21.000.000,00 = 1,00121057
Ps = 21.025.421,93, i 21.025.421,93/21.000.000,00 = 1,00121057
I ara us dono dos minuts perquè us els mireu i em digueu quines conclusions se us acudeixen.
—No sé si la pila de la calculadora li fa figa, profe, però em sembla que ha fet malament les operacions —va deixar anar en Rafelet, sense aixecar-se—, perquè la població al cap d'un any hauria de donar sempre 21.000.000, s'hagués comptat l'any en dies, hores o minuts, i totes les divisions haurien de donar la unitat...
—... I a més passa una cosa estranya —intervingué Quimeta amb contundència, sense deixar-lo acabar—: cada vegada que ho calculem fent servir espais de temps més petits, aquests quocients són més grans, però cada vegada menys grans. No sé si m'explico.
—Us expliqueu molt bé i tots dos teniu raó. Efectivament, totes les divisions haurien d'haver donat u, perquè al cap de l'any la població actualitzada hauria d'haver estat sempre 21.000.000, amb independència de la unitat de temps utilitzada i de quantes actualitzacions s'haguessin fet. Però el problema no són les piles ni que la calculadora estigui espatllada, sinó que hauria d'haver agafat uns valors una mica més petits que 1/12, 1/365, 1/8.760, 1/525.600 o 1/31.536.000. Ara bé —digué el professor, adreçant-se a Quimeta—, la veritat és que els errors, les desviacions respecte a 21.000.000, són petits, cada vegada creixen menys i, si us fixeu en les dues últimes línies, s'estanquen en el valor 1,00121057, o sigui que, dintre de l'ordre de valors en què ens movem, comuns en estudis demogràfics, la desviació no supera l'1,2 per mil, marge perfectament assumible perquè les dades estadístiques encara són menys fiables.
El que vull que tragueu de tot això és que el valor de convergència d'una successió no sempre està clar, com en la juguesca entre Aquil·les i la tortuga, però hi ha una sèrie de processos que es donen a la natura, entre ells el creixement de comunitats on ningú entra ni surt del territori i on, per tant, els nounats se sumen a la població, que tenen en comú la convergència en un valor anomenat e i també constant d'Euler. N'hi ha prou que l'índex de creixement Ia (augment de població per unitat de temps i persona) sigui constant al llarg del temps: llavors el creixement (augment de població per unitat de temps) serà proporcional a la població en cada moment i estarem en un cas de l'anomenat creixement exponencial. No us donaré el valor d'e perquè vull que el descobriu vosaltres mateixos. I, com que encara heu de menjar moltes sopes per estudiar teoria de límits, que és la porta d'entrada al càlcul infinitesimal, ho fareu empíricament.
La primera cosa és desempallegar-nos del que és accessori, reduint
Pnt = P0·(1 + Ia/n)^n·t
a un any,
Pn = P0·(1 + Ia/n)^n = P0·[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
i despullant l'últim terme de l'expressió en la forma
Pn/P0 = [(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
(Pn/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia,
perfecta per deixar-nos en el dubte de quina tendència prevaldrà; perquè, a mesura que n creixi, l'exponent n/Ia tendirà a infinit, però Ia/n tendirà a zero i la base de la potència, 1 + Ia/n, tendirà a u. Si voleu, us podeu estalviar de fer el càlcul complet per a n = 12, 365, 8.760, 525.600 i 31.536.000, aprofitant els sis valors d'abans:
com que 1/Ia = 1/0,05 = 20 i
Pn/P0 = (Pa/P0)·(Pn/Pa) = (21.000.000/20.000.000)·(Pn/Pa) = 1,05·Pn/Pa
nomès cal elevar a la potència 20 el producte de 1,05 i Pn/Pa, que són aquells valors, per tenir
(1,05·Pn/Pa)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia:
(1,05·1,00000000)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,653298, per a n = 1,
(1,05·1,00110657)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,712640, per a n = 12,
(1,05·1,00120714)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718096, per a n = 365,
(1,05·1,00121043)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718274, per a n = 8.760,
(1,05·1,00121057)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 525.600 i
(1,05·1,00121057)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 31.536.000.
Fixeu-vos que, entre n = 1 i n = 8.760, creix poquíssim, i que, entre aquest últim valor i n = 525.600, haurà assolit el valor 2,718282: si ja en tenim prou amb aquesta aproximació de sis xifres decimals, no cal anar més enllà. Doncs bé, anomenarem e el valor al qual s'estabilitza l'expressió
(Pn/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia
per a valors n creixents. En no estar ja lligat Pn a cap valor n concret, l'anomenarem P, i
(P/P0)^1/Ia = e
P/P0 = e^Ia
P = P0·e^Ia
i, generalitzant la fórmula a t anys,
Pt = P0·e^Ia·t
El nombre e té infinites xifres decimals, però se n'agafen de més o de menys segons la precisió requerida per a cada aplicació. En la nostra va que xuta amb sis, i serà e = 2,718282. Interessant, no?
—Qui el va parir! —se sentí a l'última fila.
Nota de l'autor:
Aquest relat està especialment dedicat a SrGarcia, que en un comentari a "Pi i la quadratura del cercle" venia a dir que, a "Fibonacci, punt final", jo parlava de l'interès compost i del nombre e quan, de fet, m'havia limitat a escriure que les funcions exponencials eren models matemàtics utilitzats per descriure, entre altres aplicacions, la capitalització periòdica d'interessos en règim d'interès compost. A més, tot i que el nombre e sols intervé en l'interès compost continu, com de seguida veureu, el present relat ja aborda el tema: el professor és un abusananos que, amb el pretext d'avançar uns conceptes que no s'estudien fins a quart d'ESO, està donant gat per llebre als alumnes de segon, amb la justificació implícita (es farà explícita, en boca de l'autor, en aquesta nota) que l'explicació real seria massa complicada i que tampoc s'adonaran de la tergiversació. D'altra banda, us haig d'advertir que, com que em feia mandra desempolsar els vells llibres de mates i a vosaltres encara us n'hauria fet més seguir els meus raonaments, en lloc d'explicar amb rigor els passos al límit, seguiré la via empírica d'aplicar valors progressius a les variables de les funcions.
També aprofito l'avinentesa per advertir als lectors que mai més no repetiré els recursos tipogràfics usats en la trilogia de Fibonacci, passant al tipus de lletra Courier per aconseguir que les columnes estiguin ben alineades verticalment i complicant-me la vida fins a extrems inimaginables per representar potències i arrels. Únicament mantindré l'ús de la negreta per distingir les expressions matemàtiques del text narratiu o discursiu, i una mida de caràcters més menuda per als subíndexs. Pel que fa a potències i arrels, faré servir la notació habitual en programació informàtica, base^exponent i arrel^1/grau, amb el benentès que al relat utilitzo aquesta notació de cara als lectors: en la ficció relatada haureu d'imaginar que el professor escriu a la pissarra les expressions matemàtiques com Déu mana, perquè ho entenguin els alumnes.
Pel que he vist a Internet, el creixement exponencial i el nombre e s'acostumen a introduir amb la primera aproximació que hi va fer Jakob Bernouilli (1654-1705) i la posterior categorització de Leonard Euler (1707-1783). El primer, interessat en els rendiments generats aplicant interès compost, va adonar-se que si, en comptes de capitalitzar un dipòsit per anys, amb un capital inicial P0 = 20.000.000 € i un interès anual Ia = 0,05, amb aquests capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys,
P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
P0(1 + Ia)^2
P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
P0(1 + Ia)^3
······················
Pta = P0(1 + Ia)^t,
és a dir,
P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 €
P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000 €
P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500 €
································
Pta = 20.000.000·1,05^t €,
ho feia per mesos, amb un interès mensual Im = Ia/12 = 0,05/12 = 0,004167 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 12 mesos,
P1m = P0 + P0·Im = P0(1 + Im)
P2m = P0(1 + Im) + P0·Im(1 + Im) = P0(1 + Im)(1 + Im) =
P0(1 + Im)^2
P3m = P0(1 + Im)^2 + P0·Im(1 + Im)^2 = P0(1 + Im)(1 + Im)^2 =
P0(1 + Im)^3
························
Pim = P0(1 + Im)^i
·····························
P12m = P0(1 + Im)^12,
és a dir,
P1m = 20.000.000·1,004167 = 20.167.013,89 €
P2m = 20.000.000·1,004167^2 = 20.251.043,11 €
P3m = 20.000.000·1,004167^3 = 20.335.422,46 €
··································································
P12m = 20.000.000·1,004167^12 = 21.023.237,96 €;
per dies, amb un interès diari Id = Ia/365 = 0,05/365 = 0,000137 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 365 dies,
P1d = P0 + P0·Id = P0(1 + Id)
P2d = P0(1 + Id) + P0·Id(1 + Id) = P0(1 + Id)(1 + Id) = P0(1 + Id)^2
P3d = P0(1 + Id)^2 + P0·Id(1 + Id)^2 = P0(1 + Id)(1 + Id)^2 =
P0(1 + Id)^3
························
Pid = P0(1 + Id)^i
······························
P365d = P0(1 + Id)^365,
és a dir,
P1d = 20.000.000·1,000137 = 20.002.739,73 €
P2d = 20.000.000·1,000137^2 = 20.005.479,83 €
P3d = 20.000.000·1,000137^3 = 20.008.220,30 €
·······························································
P365d = 20.000.000·1,000137^365 = 21.025.349,93 €,
o per fraccions milionèsimes d'any (gairebé el doble que fer-ho per minuts, i més rodó), amb un interès Imilionèsima = 0,05/1.000.000 = 0,00000005 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 1.000.000 milionèsimes d'any,
P1milionèsima = P0 + P0·Imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)
P2milionèsima = P0(1 + Imilionèsima) + P0·Imilionèsima(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)^2
P3milionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^2 + P0·Id(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)^3
··············································
Pimilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i
··············································
Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000,
és a dir,
P1milionèsima = 20.000.000·1,00000005 = 20.000.001,00 €
P2milionèsima = 20.000.000·1,00000005^2 = 20.000.002,00 €
P3milionèsima = 20.000.000·1,00000005^3 = 20.000.003,00 €
·········································································
Pmiliómilionèsima = 20.000.000·1,00000005^1.000.000 = 21.025.421,90 €,
els rendiments eren cada vegada més grans, ja que Pmiliómilionèsima = 21.025.421,90 € > P365d = 21.025.349,93 € > P12m = 21.023.237,96 € > P1a = 21.000.000 €.
Resumint, per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
Pin = P0(1 + In)^i, on In = Ia/n.
Òbviament, Bernouilli no comptava els diners en euros, crec haver llegit que l'operació financera que estudiava no era un dipòsit sinó un crèdit i, pel que fa al capital inicial de 20.000.000 i a l'interès anual de 0,05, els he assignat aquests valors per fer-los coincidir amb la població i l'índex de creixement de l'exemple que el professor planteja a classe. Però tornant a Bernouilli, el descobriment que la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia), el va dur a preguntar-se si aquesta tendència tenia o no aturador, perquè s'adonava que multiplicant per 12 el nombre de capitalitzacions i disminuint l'interès en la mateixa proporció, la rendibilitat augmentava (21.023.321,70 – 21.000.000 = 23.321,70, cosa que representa passar de l'1,05 a l'1,051166), però que, procedint anàlogament amb 365, la rendibilitat seguia augmentant però no molt més (21.025.378,31 – 21.023.321,70 = 2.056,61, passant de l'1,051166 a l'1,051269) i que fent tres quarts del mateix amb 1.000.000, la rendibilitat gairebé no havia augmentat (21.025.421,90 – 21.025.378,31 = 43,59, passant de l'1,051269 a l'1,051271). Ho va sistematitzar, estudiant el comportament de l'expressió (1 + Ia/n)^n/Ia amb valors de n cada cop més elevats, perquè era difícil avançar-ne el comportament: prevaldria el contingut del parèntesi tendint a un o el de l'exponent tendint a infinit? Calia esperar Euler i el càlcul diferencial per passar-la al límit.
Retinguem el valor 1/Ia = 20, que sortirà en aquest paràgraf i en els dos següents, i comencem amb les capitalitzacions mensuals:
P12m = P0(1 + Im)^12 = P0(1 + Ia/12)^12 =
P0[(1 + Ia/12)^12/Ia]^Ia
(P12m/P0)^1/Ia = (1 + Ia/12)^12/Ia i, anomenant N12 = 12/Ia = 240,
(P12m/P0)^1/Ia = (1 + 1/N12N12
Substituint valors,
1,051166^20 = (1 + 1/240)^240 = 2,712640.
Continuem amb les capitalitzacions diàries:
P365d = P0(1 + Id)^365 = P0(1 + Ia/365)^365 =
P0[(1 + Ia/365)^365/Ia]^Ia
(P365d/P0)^1/Ia = (1 + Ia/365)^365/Ia i, anomenant N365 =
365/Ia = 7.300,
(P365d/P0)^1/Ia = (1 + 1/N365)^N365.
Substituint valors,
1,051269^20 = (1 + 1/7.300)^7.300 = 2,718096.
I acabem amb les capitalitzacions de milionèsima part d'any:
Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P0(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000 = P0[(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia]^Ia
(Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia i, anomenant Nmilionèsim = 1.000.000/Ia = 20.000.000,
(Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + 1/Nmilionèsim)^Nmilionèsim.
Substituint valors,
1,051271^20 = (1 + 1/20.000.000)^20.000.000 = 2,718282 ≈ e.
Tenint en compte que e = 2,718281828459045235360287471... es un nombre irracional, l'aproximació precedent amb sis xifres decimals és la que utilitzarem habitualment. No cal seguir aplicant valors més alts encara, per adonar-se que (Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia no creix indefinidament sinó que queda estabilitzat al valor e. Però si, per generalitzar, seguíssim fent créixer la partició de l'any a n períodes de capitalització i anomenéssim N = n/Ia i Pn el capital obtingut al cap de l'any amb aquest sistema, tindríem
(1 + 1/N)^N = e i
Pn = P0·e^Ia,
expressió que es transforma en
Pt = P0(e^Ia)^t = P0·e^Ia·t si considerem t anys.
La manera rigorosa d'enunciar-ho, seria:
Per a n tendint a infinit:
N = n/Ia tendeix a infinit,
(1 + 1/N)^N tendeix a e i
Pt = P0[(1 + 1/N)^N]^Ia·t tendeix a P0·e^Ia·t
Aquest interés compost s'anomena continu, perquè obeeix a la ràpida successió de "capitalitzacions instantànies".
Resumint, en l'exemple serà
Pt = 20.000.000·e^0,05·t €, considerant t anys en capitalització contínua, o bé
Pt = 20.000.000·1,05^t €, considerant t anys en capitalització anual,
Pim = 20.000.000·1,00416667^i €, considerant i mesos en capitalització mensual,
Pid = 20.000.000·1,000136986^i €, considerant i dies en capitalització diària o
Pimilionèsima = 20.000.000·1,00000005^i €, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.
Com que Bernouilli no disposava de calculadora, hem de suposar que va resoldre aquestes equacions traient logaritmes, tècnica ideada per John Napier (1550-1617) gairebé un segle abans. Si voleu construir la gràfica de la funció y = (1 + Ia/N)^N/Ia, amb aquesta variable en ordenades i x = N/Ia en abscisses, veureu que arrenca de (0 1), es corba cap amunt i cap a la dreta i s'aproxima asimptòticament a la recta horitzontal y = (1 + Ia/N)^N/Ia = e. Podeu servir-vos d'aquests quinze punts: (0,000001 1,000014), (0,001 1,006933), (0,0625 1,193722), (0,125 1,316074), (0,25 1,495349), (0,5 1,732051), (1 2), (1,5 2,151657), (2 2,25), (2,5 2,319103), (3 2,370370), (5 2,48832), (10 2,593742), (100 2,704814) i (1000 2,716924).
I ara ve quan el maten, perquè em proposo posar en qüestió gairebé tot aquest desenvolupament algebraic. Quan no fa massa escrivia "la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia)", referint-me a Bernouilli, posava en dubte que, capitalitzant 12, 365 o 1.000.000 vegades al cap de l'any, i prenent com a interès per a cadascun d'aquests períodes Ia/12, Ia/365 o Ia/1.000.000, que era l'INTERÈS SIMPLE mensual, diari o corresponent a una milionèsima part d'any, l'interès anual Ia no es veiés afectat de retruc, ja que s'acceptava que el rendiment anual havia augmentat. I, com que a partir d'ara caldrà filar prim, en lloc de seguir amb l'ús extensiu de la paraula "interès", parlarem de "rèdit" (rendiment relatiu al capital en tant per u, per unitat de temps), "interès" (rendiment absolut, per unitat de temps) i "guany" (rendiment absolut en el temps especificat).
Jo diria que la hipòtesi de treball hauria de ser justament la contrària: en lloc d'adoptar els rèdits propis de l'interès simple i calcular quins guanys produiran en interès compost al cap d'un temps, caldria calcular quins rèdits mensuals, diaris o milionèsims s'haurien d'utilitzar per tal que, després de 12, 365 o 1.000.000 capitalitzacions, el guany fos igual a l'interès generat pel rèdit Ia al cap d'un any.
Pel que fa als capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys, tot serà com abans,
P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
P0(1 + Ia)^2
P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
P0(1 + Ia)^3
·······················
Pta = P0(1 + Ia)^t,
és a dir,
P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 €
P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000 €
P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500 €
································
Pta = 20.000.000·1,05^t €.
Però, a diferència de l'anterior, en el mètode present haurà de ser Im < Ia/12, Id < Ia/365 i Imilionèsima < Ia/1.000.000. Segons aquesta premisa, el rèdit mensual, diari i milionèsim no vindrà donat sinó que l'haurem de deduir de les condicions d'arribada, considerant que P1a = P12m = P365d = Pmiliómilionèsima. Les equacions en P són les mateixes del mètode precedent, amb l'única particularitat que ara Im, Id i Imilionèsima seran les incògnites.
P12m = P0(1 + Im)^12 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Im)^12 = 1 + Ia
1 + Im = (1 + Ia)^1/12
Im = (1 + Ia)^1/12 – 1
Pim = P0(1 + Im)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/12 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/12
és a dir,
Im = 1,05^0,0833333 – 1 = 0,00407412
P1m = 20.000.000·1,00407412 = 20.081.482,4 €
P2m = 20.000.000·1,00407412^2 = 20.000.000·1,008165 = 20.163.296,77 €
P3m = 20.000.000·1,00407412^3 = 20.000.000·1,012272 = 20.245.444,46 €
···········································································
P12m = 20.000.000·1,00407412^12 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 €,
P365d = P0(1 + Id)^365 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Id)^365 = 1 + Ia
1 + Id = (1 + Ia)^1/365
Id = (1 + Ia)^1/365 – 1
Pid = P0(1 + Id)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/365 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/365
és a dir,
Id = 1,05^0,00273973 – 1 = 0,000133681
P1d = 20.000.000·1,000133681 = 20.002.673,62 €
P2d = 20.000.000·1,000133681^2 = 20.000.000·1,000267379 = 20.005.347,60 €
P3d = 20.000.000·1,000133681^3 = 20.000.000·1,000401095 = 20.008.021,93 €
···············································································
P365d = 20.000.000·1,000133681^365 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 €,
Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = 1 + Ia
1 + Imilionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000
Imilionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1
Pimilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/1.000.000
és a dir,
Imilionèsima = 1,05^0,000001 – 1 = 0,0000000487902
P1milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902 = 20.000.000,98 €
P2milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^2 = 20.000.000·1,0000000975804 = 20.000.001,95 €
P3milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^3 = 20.000.000·1,000000146371 = 20.000.002,93 €
·················································································
Pmiliómilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^1.000.000 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 €.
Resumint: per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
Pin = P0(1 + In)^i, on In = (1 + Ia)^1/n – 1
Pin = P0[1 + {(1 + Ia)^1/n} - 1]^i = P0[(1 + Ia)^1/n]^i =
P0(1 + Ia)^i/n.
Descrit aquest mètode alternatiu i recapitulant, en tots dos mètodes l'expressió
Pin = P0(1 + In)^i és idèntica, i només es diferencia en In: en el primer
In(1) = Ia/n, mentre que en el segon
In(2) = (1 + Ia)^1/n – 1, com acabem de veure.
Si comparem els valors d'In en ambdós mètodes, per a n = 12, 365 i 1.000.000,
I12(1) = 0,00416667
I12(2) = 0,00407412
I365(1) = 0,000136986
I365(2) = 0,000133681
Imilionèsima(1) = 0,00000005
Imilionèsima(2) = 0,0000000487902,
no detectem res significatiu, a banda que els valors In(2) són lleugerament menors que In(1), com havíem previst.
Tornant al segon mètode i a diferència del primer, cal aclarir que no té massa sentit distingir entre aplicacions discretes i contínues: de fet, igual que en el primer
Pn = P0(1 + In)^n = P0(1 + Ia/n)^n = P0[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia, i
(1 + Ia/n)^n/Ia tendia a la constant e quan n tendia a infinit, en el segon
Pin = P0(1 + In)^i = P0(1 + Ia)^i/n, i
(1 + Ia)^i/n tendeix a la constant (1 + Ia) quan i tendeix a n, amb independència dels valors n i per la pròpia definició dels rèdits In, i en aquest sentit podem parlar d'aplicacions contínues. Així doncs,
Pt = P0(1 + Ia)^t, si considerem t anys, i
Pin = P0(1 + Ia)^i/n o
Pim = P0(1 + Ia)^i/12
Pid = P0(1 + Ia)^i/365 i
Pimilionèsima = P0(1 + Ia)^i/1.000.000.
Resumint, en l'exemple serà
Pt = 20.000.000·1,05^t €, considerant t anys en capitalització anual, o bé
Pim = 20.000.000·1,00407412^i €, considerant i mesos en capitalització mensual,
Pid = 20.000.000·1,000133681^i €, considerant i dies en capitalització diària,
Pimilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^i €, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.
Aquest segon model defineix un interès compost homogeni, on tant se val capitalitzar per fraccions milionèsimes d'any, dies, mesos o anys, perquè els rendiments obtinguts per un procediment o altre, en un mateix període de temps, són idèntics i sols depenen del capital inicial i d'aquest període. Però llavors un es pregunta: de què serveix capitalitzar per mesos, dies o milionèsimes d'any, podent-ho fer per anys? Doncs per calcular més còmodament els guanys quan el període impositiu, expressat en anys, mesos o dies no sigui enter, a banda que interessava fer-ho així per apreciar millor les diferències amb el primer mètode. També podríem adduir, a favor d'aquest model, que el tractament de les capitalitzacions, per fraccions d'any, per anys o per múltiples d'any, és únic. Així, si volguessin crear una imposició quinquennal a interès compost Iq, tindríem que: Imilionèsim < Ia/1.000.000, Id < Ia/365, Im < Ia/12 i Ia < Iq/5. I tant és calcular el rèdit quinquennal Iq a partir del rèdit anual Ia (Iq > 5·Ia), com procedir al revés (Ia < Iq/5):
Si volem conèixer el rèdit quinquennal Iq a partir de Ia, farem
Pq = P0(1 + I) = P5a = P0(1 + Ia)^5
1 + Iq = (1 + Ia)^5
Iq = (1 + Ia)^5 – 1
és a dir,
Iq = 1,05^5 – 1 = 1,276282 – 1 = 0,276282 i
Pq = P0(1 + Iq)^i = 20.000.000· 1,276282^i €, considerant i quinquennis en capitalització quinquennal.
Inversament, per conèixer Ia a partir de Iq,
1 + Iq = (1 + Ia)^5
(1 + Iq)^1/5 = 1 + Ia
Ia = [(1 + Iq)^1/5] – 1
és a dir
Ia = (1,276282^1/5) – 1 = 1,05.
El primer model és aplicable a processos depenents de paràmetres fixats arbitràriament, com els del món de les finances, on tot és possible si és negoci, però no serveix per reproduir lleis físiques o demogràfiques de formulació inamovible. Si intentem aplicar-lo, per exemple, al problema que el professor del relat proposa als alumnes, on les dades numèriques són les mateixes però canvia allò representat (el capital és població, el rendiment és increment demogràfic i el rèdit anual és l'índex anual de creixement vegetatiu), tot trontollarà. Mentre ens limitem a usar l'índex de creixement anual Ia = 0,05 anirem bé: al cap dels primers anys, la població inicial de P0 = 20.000.000 persones s'haurà transformat en
P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
P0(1 + Ia)^2
P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
·······················
Pta = P0(1 + Ia)^t,
és a dir,
P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 persones
P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000 persones
P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500 persones
································
Pta = 20.000.000·1,05^t persones.
Però no tindrà solta ni volta que, en comptar-la per mesos, aquesta població sigui més gran, que en comptar-la per dies encara sigui més gran ni que en comptar-la per milionèsimes d'any (i no diguem per parts infinitesimals!) encara ho sigui més: el creixement vegetatiu en un any és el que és, naixements menys defuncions, i el sistema de càlcul no pot modificar aquesta realitat objectiva. I, com que el segon mètode no presenta aquestes contradiccions, és el que cal adoptar.
Llavors, per què el professor del relat explica el primer model, venent-lo com si fos el segon? Doncs perquè fa trampa, o més ben dit, jo, que sóc el titellaire que en mou els fils, faig trampa. I en faig perquè ja trobo prou agafat pels pèls explicar aquest model i el descobriment de e a xavals de dotze anys, però no em veig amb cor d'explicar el segon, que és el que realment caldria utilitzar. Si us val com a circumstància atenuant, us haig de confessar que m'he tornat mico provant de trobar a Internet la justificació de les expressions matemàtiques utilitzades per calcular el creixement exponencial continu de la població, però ha estat en va: de justificacions de l'ínterès compost continu, les que vulgueu; però en aplicacions demogràfiques, que fan servir les mateixes fórmules i que per això mateix m'interessaven, cap ni una. De manera que m'he hagut d'espavilar sol, reinventant un cop més la sopa d'all, i m'ha semblat que, endinyar als pobres vailets de segon d'ESO aquest plus de dificultat i transmetre'ls les meves inseguretats, encara que fos en la ficció, ja era massa. Si havia d'acabar explicant el que aquí he anomenat "primer mètode", també pensareu que hauria pogut escollir l'interès continu com aplicació a comentar, en lloc del creixement demogràfic d'una població sense migrants. Potser sí, però em repugnava influir ideològicament sobre angelets innocents (innocents si ens oblidem de la roba i el calçat de marca, del mòbil i dels videojocs), iniciant-los en les males arts del capitalisme financer.
He parlat de les meves inseguretats, d'una banda, perquè no sé a què atribuir l'omissió demostrativa de Pt = P0·e^Ia·t quan s'enuncia en el camp de la demografia: És per no repetir la demostració de la fórmula, realitzada ja en l'apartat capitalització contínua, donant per fet que són processos paral·lels quan no ho són en absolut? És que, igual que el profe del relat, els internautas divulgadors saben perfectament que els dos processos no ho són, de paral·lels, però no volen exposar a la crítica una argumentació poc consistent? O és que, en aquest últim supòsit, no es vol desvelar que la unificació només obeeix a raons de conveniència, atès que els resultats d'aplicar Pt = P0·e^Ia·t i Pt = P0(1 + Ia)^t són acceptablement pròxims en el domini habitual de valors Ia (divergències menors que el 2 per mil: 20.506.302,41/20.493.901,53 = 1,0006, 21.025.421,93/21.000.000 = 1,0012 i 21.557.683,02/21.518.596,61 = 1,0018, obtingudes dividint valors homòlegs en el recull de dades final)? Com veieu, quan un no troba una resposta satisfactòria a allò que li sembla un despropòsit, tendeix a admetre autèntiques bajanades com a explicació.
N'he parlat, d'altra banda, perquè això de trobar arreu afirmacions no compartides condueix a la conclusió que qui s'enganya és un mateix. En què m'hauré equivocat?: no pot ser que tots errin i només jo estigui en possessió de la veritat, que a més té una formulació ben simple. Suposo que aquestes consideracions i un elemental sentit de la prudència m'han acabat d'ajudar a prendre la covarda decisió d'ensarronar els alumnes descrivint un fenomen i donant-li un tractament matemàtic que, en opinió meva, no li escau.
Ja us he marejat prou. Agrairé qualsevol comentari assenyalant-me les relliscades que hagi pogut cometre en aquesta llarga nota, que pretenia ser aclaridora.
Per acabar, tornarem als rendiments de l'interés compost (P0 = 20.000.000 € i rendiment Ia = 0,05 €, per € i any), continu o discret, per comparar els resultats d'aplicar els dos mètodes. Calcularem el capital final en tres períodes: 0,5 d'any (o 0,1 de quinquenni, o bé 6 mesos, 182,5 dies o 500.000 milionèsimes d'any), 1 any (o 0,2 de quinquenni, o bé 12 mesos, 356 dies o 1.000.000 milionèsimes d'any) i 1,5 anys (o 0,3 de quinquenni, o bé 18 mesos, 547,5 dies o 1.500.000 milionèsimes d'any).
Mètode I amb capitalització contínua:
Mig any: 20.506.302,41 €; un any: 21.025.421,93 €; un any i mig: 21.557.683,02 €.
Mètode I amb capitalització quinquennal:
Mig any: 20.493.901,53 €; un any: 21.000.000 €; un any i mig: 21.518.596,61 €.
Mètode I amb capitalització anual:
Mig any: 20.493.901,53 €; un any: 21.000.000 €; un any i mig: 21.518.596,61 €.
Mètode I amb capitalització mensual:
Mig any: 20.505.278,20 €; un any: 21.023.321,70 €; un any i mig: 21.554.453,01 €.
Mètode I amb capitalització diaria:
Mig any: 20.506.281,14 €; un any: 21.025.378,31 €; un any i mig: 21.557.615,93 €.
Mètode I amb capitalització per milionèsimas d'any:
Mig any: 20.506.302,40 €; un any: 21.025.421,90 €; un any i mig: 21.557.682,98 €.
Mètode II amb capitalització quinquennal (contínua):
Mig any: 20.493.901,53 €; un any: 21.000.000 €; un any i mig: 21.518.596,61 €.
Mètode II amb capitalització anual (contínua):
Mig any: 20.493.901,53 €; un any: 21.000.000 €; un any i mig: 21.518.596,61 €.
Mètode II amb capitalització mensual (contínua):
Mig any: 20.493.901,53 €; un any: 21.000.000 €; un any i mig: 21.518.596,61 €.
Mètode II amb capitalització diaria (contínua):
Mig any: 20.493.901,53 €; un any: 21.000.000 €; un any i mig: 21.518.596,61 €.
Les progressions aritmètiques creixen indefinidament quan la diferència de la progressió és positiva, com aquesta —i seguí parlant mentre es girava i escrivia a la pissarra—; decreixen indefinidament quan la diferència és negativa, com aquesta, i no cal parlar de què passa quan la diferència és zero, perquè surt una ximpleria que no serveix per a res, amb tots els membres iguals.
Les progressions geomètriques creixen indefinidament quan el primer terme és positiu i la raó de progressió és més gran que u; creixen cap a zero quan el primer terme és negatiu i la raó està entre zero i u —i seguí parlant mentre esborrava la pissarra i tornava a escriure-hi—; decreixen indefinidament quan el primer terme és negatiu i la raó és més gran que u; creixen cap a zero quan el primer terme és positiu i la raó està entre zero i u. I no cal parlar de què passa quan la raó és u, perquè surt una ximpleria que no serveix per a res, amb tots els membres iguals. O de quan és negativa, perquè llavors els termes van alternant el signe, passant de positiu a negatiu i de negatiu a positiu.
Si voleu un exemple de progressió geomètrica que arrenca amb el nombre u i té una raó de progressió dos, recordeu la faula d'aquell rei que, volent recompensar l'inventor del joc d'escacs, va accedir a donar-li tants grans de blat com hi cabessin en un tauler, començant per posar-ne un a la primera casella, dos a la segona, i així posar a cada casella el doble de la precedent, fins a arribar a la seixanta-quatrena. Com sabeu, la successió seria dos elevat a la potència 0 (1), dos elevat a 1 (2), dos elevat a 2 (4), dos elevat a 3 (8)... i dos elevat a la 63 (més de nou trilions de grans de blat). Això, quedant-nos només amb els seixanta-quatre primers termes de la successió; ja us podeu imaginar si seguíssim...
Però, fora de les progressions, el comportament de les altres successions és bastant imprevisible. Algunes també es veu que creixen indefinidament, com la de Fibonacci, que, començant amb zero i un, els altres membres s'obtenen sumant els dos precedents —i, després d'esborrar un altre cop la pissarra, escriví 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144—. Però d'altres decreixen fins a convergir en zero, com la definida per una de les paradoxes de Zenó. Zenó era un filòsof de l'antiga Grècia, d'una escola que postulava que el moviment és una il·lusió dels sentits i que la raó ens du a concloure que, en realitat, res no es mou. Una de les paradoxes que es va empescar, per entabanar al personal, era que si algú pretén córrer una distància, dos-cents metres per exemple, no ho aconseguirà mai perquè, abans de poder-ne fer 200, ha de passar per la meitat del recorregut, és a dir, pels cent metres; però, abans de fer-ne 100, n'ha de fer cinquanta; abans de fer-ne 50 n'ha de fer vint-i-cinc, i així successivament fins a arribar a la conclusió que, per més temps que hi dediqués, no es podria moure ni un pam. Efectivament, si jo formo la successió de les distàncies que NO POT RECÓRRER, escrivint 200 100 50 25 12,50 6,25... m'adono que cada cop són més petites i convergeixen a 0.
Les successions també poder convergir a valors diferents de zero. I començarem amb un exemple en què aquest valor el veu a venir. Seguint amb Zenó, una altra de les seves paradoxes era la d'Aquil·les i la tortuga. Volies alguna cosa, Jaumet?
—Sí, profe: aquest Aquil·les és el Brad Pitt de la pel·lícula?
—Sí, el de la pel·lícula "Troia", que tenia fama de ser molt ràpid corrent, amb armadura i tot. Una tortuga més llesta que la fam repta a Aquil·les a una carrera, sabent que correrà deu vegades més ràpid que ella, a condició que li doni un avantatge de 100 m. Aquil·les ho accepta i, quan la tortuga comença a caminar, Aquil·les arrenca a córrer i de seguida fa 100 m. Però quan els ha fet, arribant a on era la tortuga, aquesta mentrestant n'haurà avançat deu; quan Aquil·les hagi cobert també aquests 10, la tortuga haurà fet un metre més; quan Aquil·les faci aquest metre, la tortuga haurà fet un decímetre més, i així successivament: Aquil·les estarà cada cop més a prop de la tortuga, però mai no podrà atrapar-la. Almenys això era el que deia Zenó, que es refiava més d'aquest fals raonament que del que veia. Però nosaltres sabem que Aquil·les atraparà la tortuga i la sobrepassarà, i podem calcular quan haurà recorregut cadascú en aquell moment, amb una senzilla equació. A veure, Quimeta, com es calcula la velocitat? Tu dicta'm, que jo ho aniré escrivint a la pissarra.
—Doncs la velocitat és l'espai recorregut dividit per temps que es triga a recórrer-lo.
-Molt bé —i el professor anà escrivint a la pissarra—, V = E/T, i concretant anomenarem Va = Ea/T la velocitat a què va Aquil·les i Vt = Et/T la velocitat a què va la tortuga. Quina relació hi ha entre les dues velocitats?
—Doncs la d'Aquil·les és 10 vegades la de la tortuga.
—Doncs posem-ho: Va = 10·Vt, és a dir, Ea/T = 10·Et/T i, eliminant el denominador comú, tindrem que Ea = 10·Et. Però també sabem una altra cosa, Carmeta: quina relació hi ha entre els espais recorreguts per Aquil·les i per la tortuga?
—Aquil·les haurà recorregut 100 m. més que la tortuga.
—Sí, senyora: Ea = Et + 100. I, si ara substituïm aquest valor en la igualtat d'abans: Ea = Et + 100 = 10 Et. Passant Et a l'altra banda, tindrem que 100 = 9·Et, així que Et = 100/9 = 11,111111. En realitat és 11,1 periòdic, però així, amb sis decimals ens adonem millor que no s'acaben mai. Substituint ara aquest valor en l'equivalència d'abans, tant és que fem Ea = 10·Et = 10·11,111111 = 111,111111 o que fem Ea = Et + 100 = 11,111111 + 100 = 111,111111, perquè dóna el mateix: 111,1 periòdic. Si ho volem resoldre d'una altra manera, la successió formada pels trams en què considerem descomposta la carrera d'Aquil·les, expressada en metres, és 100 10 1 0,1 0,01 0,001 ... i convergeix cap a 0, com en el cas de l'anterior paradoxa de Zenó, però si considerem el que porta corregut en cada instant hem d'anar a la sèrie d'aquesta successió, que és 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..., que convergeix cap a 111,111... Potser quedarà mes clara, aquesta convergència, si la representem com a successió de les sumes parcials d'aquesta sèrie: 100 100+10=110 110+1=111 111+0,1=111,1 111,1+0,01=111,11 111,11+0,001=111,111 ... En definitiva, convergeix cap al valor 111,1 periòdic que havíem trobat resolent aquella equació.
—Doncs no és pas tan complicat —se li escapà a Quimeta.
—Sí, però ara ve quan el maten, perquè després de veure el cas de convergència d'una successió cap a un valor fàcilment previsible, ara en veureu un altre no gens intuïtiu: la població d'un país augmenta vegetativament (naixements menys defuncions, suposant que no hi ha migració de cap mena) un 5 per cent cada any, equivalent a 0,05 per u; sabem que en un moment determinat és de 20 milions de persones i ens demanen quantes tindrà al cap d'un any, dos, tres, etc. Abans de seguir, però fixem-nos que, si al cap d'un any la població ha passat de 20.000.000 de persones a 21.000.000 i ens diuen que seguirà creixent al mateix ritme del 0,05 anual, podríem precipitar-nos i pensar que al segon any la població arribarà a 22.000.000 i al tercer any a 23.000.000. L'error rauria a calcular sempre el 0,05 d'increment anual sobre 20.000.000, quan cal aplicar-lo a la població existent en cada moment: només al cap del primer any és correcte aplicar-lo a 20.000.000 per obtenir 21.000.000; al cap del segon haurem d'aplicar-lo a aquests 21.000.000 per obtenir 22.050.000, i al cap del tercer haurem d'aplicar-lo a aquests 22.050.000 per obtenir 23.152.500.
Us ho escric: al cap d'un any hi haurà
20.000.000 + 0,05·20.000.000 = 20.000.000 (1 + 0,05) = 1,05·20.000.000 = 21.000.000,
al cap de dos, com he dit,
21.000.000 + 0,05·21.000.000 = 21.000.000 (1 + 0,05) = 1,05·21.000.000 = 22.050.000,
al cap de tres
22.050.000 + 0,05·22.050.000 = 22.050.000 (1 + 0,05) = 1,05·22.050.000 = 23.152.500,etcètera.
Però, si ens interessa calcular directament la població al cap de un, de dos o de tres anys (P1, P2 o P3), sense haver de calcular prèviament la d'anys precedents, hauríem de fer
P0 = 1,05^0·20.000.000 = 20.000.000
P1 = 1,05^1·20.000.000 = 21.000.000
P2 = 1,05^2·20.000.000 = 22.050.000
P3 = 1,05^3·20.000.000 = 23.152.500
I, si volguéssim generalitzar el sistema per a qualsevol població inicial (P0), índex de creixement anual (Ia) i anys transcorreguts (t), la població final seria
Pt = P0·(1 + Ia)^t.
(El profe ha anotat les potències a la pissarra en la forma habitual, però com que la transcripció aquí és problemàtica, he optat per representar-les fent ús del signe ^, que precedirà l'exponent.)
Fins aquí, com heu vist, calcular la població és bufar i fer ampolles. Però, si no en tinguéssim prou a conèixer-la al cap d'un, dos, tres ... t anys, podríem calcular-la per mesos, prenent un Im = Ia/12 que fos l'index de creixement per mesos i un exponent que fos el nombre de mesos considerat, 12·t; o per dies, prenent un Id = Ia/365 que fos l'index de creixement per dies i un exponent que fos el nombre de dies considerat, 365·t; per hores, prenent un Ih = Ia/8.760 que fos l'index de creixement per hores i un exponent que fos el nombre d'hores considerat, 8.760·t (on 8.760 = 24·365), o per minuts, prenent un Imi = Ia/525.600 que fos l'index de creixement per minuts i un exponent que fos el nombre de minuts considerat, 525.600·t (on 525.600 = 60·8.760)... Així, anomenant n el nombre de parts en què considerem dividit l'any, 1, 12, 365, 8.760 o 525.600, la fórmula següent serveix per a tots els casos:
Pnt = Pa·(1 + Ia/n)^n·t.
Calculem, doncs, la població al cap d'un any (t = 1), considerant 1 any, 12 mesos, 365 dies, 8.760 hores o 525.600 minuts:
P1a = 20.000.000·(1 + 0,05) = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,00
P12m = 20.000.000·(1 + 0,05/12)^12 = 20.000.000·1,00416666^12 = 21.023.237,96
P365d = 20.000.000·(1 + 0,05/365)^365 = 20.000.000·1,000136986^365 = 21.025.349,93
P8760h = 20.000.000·(1 + 0,05/8.760)^8.760 = 20.000.000·1,00000570776^365 = 21.025.418,93
P525600mi = 20.000.000·(1 + 0,05/525.600)^525.600 = 20.000.000·1,0000000951294^525.600 = 21.025.421,88, i encara considerarem els 60·525.600 = 31.536.000 segons de l'any, perquè no sigui dit:
P31536000s = 20.000.000·(1 + 0,05/31.536.000)^31.536.000 = 20.000.000·1,00000000158549^31.536.000 = 21.025.421,93.
El que faré ara serà reproduir aquests resultats en el trocet de pissarra neta, i dividir-los tots per 21.000.000:
Pa = 21.000.000,00, i 21.000.000,00/21.000.000,00 = 1,00000000
Pm = 21.023.237,96, i 21.023.237,96/21.000.000,00 = 1,00110657
Pd = 21.025.349,93, i 21.025.349,93/21.000.000,00 = 1,00120714
Ph = 21.025.418,93, i 21.025.418,93/21.000.000,00 = 1,00121043
Pmi= 21.025.421,88, i 21.025.421,88/21.000.000,00 = 1,00121057
Ps = 21.025.421,93, i 21.025.421,93/21.000.000,00 = 1,00121057
I ara us dono dos minuts perquè us els mireu i em digueu quines conclusions se us acudeixen.
—No sé si la pila de la calculadora li fa figa, profe, però em sembla que ha fet malament les operacions —va deixar anar en Rafelet, sense aixecar-se—, perquè la població al cap d'un any hauria de donar sempre 21.000.000, s'hagués comptat l'any en dies, hores o minuts, i totes les divisions haurien de donar la unitat...
—... I a més passa una cosa estranya —intervingué Quimeta amb contundència, sense deixar-lo acabar—: cada vegada que ho calculem fent servir espais de temps més petits, aquests quocients són més grans, però cada vegada menys grans. No sé si m'explico.
—Us expliqueu molt bé i tots dos teniu raó. Efectivament, totes les divisions haurien d'haver donat u, perquè al cap de l'any la població actualitzada hauria d'haver estat sempre 21.000.000, amb independència de la unitat de temps utilitzada i de quantes actualitzacions s'haguessin fet. Però el problema no són les piles ni que la calculadora estigui espatllada, sinó que hauria d'haver agafat uns valors una mica més petits que 1/12, 1/365, 1/8.760, 1/525.600 o 1/31.536.000. Ara bé —digué el professor, adreçant-se a Quimeta—, la veritat és que els errors, les desviacions respecte a 21.000.000, són petits, cada vegada creixen menys i, si us fixeu en les dues últimes línies, s'estanquen en el valor 1,00121057, o sigui que, dintre de l'ordre de valors en què ens movem, comuns en estudis demogràfics, la desviació no supera l'1,2 per mil, marge perfectament assumible perquè les dades estadístiques encara són menys fiables.
El que vull que tragueu de tot això és que el valor de convergència d'una successió no sempre està clar, com en la juguesca entre Aquil·les i la tortuga, però hi ha una sèrie de processos que es donen a la natura, entre ells el creixement de comunitats on ningú entra ni surt del territori i on, per tant, els nounats se sumen a la població, que tenen en comú la convergència en un valor anomenat e i també constant d'Euler. N'hi ha prou que l'índex de creixement Ia (augment de població per unitat de temps i persona) sigui constant al llarg del temps: llavors el creixement (augment de població per unitat de temps) serà proporcional a la població en cada moment i estarem en un cas de l'anomenat creixement exponencial. No us donaré el valor d'e perquè vull que el descobriu vosaltres mateixos. I, com que encara heu de menjar moltes sopes per estudiar teoria de límits, que és la porta d'entrada al càlcul infinitesimal, ho fareu empíricament.
La primera cosa és desempallegar-nos del que és accessori, reduint
Pnt = P0·(1 + Ia/n)^n·t
a un any,
Pn = P0·(1 + Ia/n)^n = P0·[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
i despullant l'últim terme de l'expressió en la forma
Pn/P0 = [(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
(Pn/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia,
perfecta per deixar-nos en el dubte de quina tendència prevaldrà; perquè, a mesura que n creixi, l'exponent n/Ia tendirà a infinit, però Ia/n tendirà a zero i la base de la potència, 1 + Ia/n, tendirà a u. Si voleu, us podeu estalviar de fer el càlcul complet per a n = 12, 365, 8.760, 525.600 i 31.536.000, aprofitant els sis valors d'abans:
com que 1/Ia = 1/0,05 = 20 i
Pn/P0 = (Pa/P0)·(Pn/Pa) = (21.000.000/20.000.000)·(Pn/Pa) = 1,05·Pn/Pa
nomès cal elevar a la potència 20 el producte de 1,05 i Pn/Pa, que són aquells valors, per tenir
(1,05·Pn/Pa)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia:
(1,05·1,00000000)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,653298, per a n = 1,
(1,05·1,00110657)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,712640, per a n = 12,
(1,05·1,00120714)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718096, per a n = 365,
(1,05·1,00121043)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718274, per a n = 8.760,
(1,05·1,00121057)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 525.600 i
(1,05·1,00121057)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 31.536.000.
Fixeu-vos que, entre n = 1 i n = 8.760, creix poquíssim, i que, entre aquest últim valor i n = 525.600, haurà assolit el valor 2,718282: si ja en tenim prou amb aquesta aproximació de sis xifres decimals, no cal anar més enllà. Doncs bé, anomenarem e el valor al qual s'estabilitza l'expressió
(Pn/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia
per a valors n creixents. En no estar ja lligat Pn a cap valor n concret, l'anomenarem P, i
(P/P0)^1/Ia = e
P/P0 = e^Ia
P = P0·e^Ia
i, generalitzant la fórmula a t anys,
Pt = P0·e^Ia·t
El nombre e té infinites xifres decimals, però se n'agafen de més o de menys segons la precisió requerida per a cada aplicació. En la nostra va que xuta amb sis, i serà e = 2,718282. Interessant, no?
—Qui el va parir! —se sentí a l'última fila.
Nota de l'autor:
Aquest relat està especialment dedicat a SrGarcia, que en un comentari a "Pi i la quadratura del cercle" venia a dir que, a "Fibonacci, punt final", jo parlava de l'interès compost i del nombre e quan, de fet, m'havia limitat a escriure que les funcions exponencials eren models matemàtics utilitzats per descriure, entre altres aplicacions, la capitalització periòdica d'interessos en règim d'interès compost. A més, tot i que el nombre e sols intervé en l'interès compost continu, com de seguida veureu, el present relat ja aborda el tema: el professor és un abusananos que, amb el pretext d'avançar uns conceptes que no s'estudien fins a quart d'ESO, està donant gat per llebre als alumnes de segon, amb la justificació implícita (es farà explícita, en boca de l'autor, en aquesta nota) que l'explicació real seria massa complicada i que tampoc s'adonaran de la tergiversació. D'altra banda, us haig d'advertir que, com que em feia mandra desempolsar els vells llibres de mates i a vosaltres encara us n'hauria fet més seguir els meus raonaments, en lloc d'explicar amb rigor els passos al límit, seguiré la via empírica d'aplicar valors progressius a les variables de les funcions.
També aprofito l'avinentesa per advertir als lectors que mai més no repetiré els recursos tipogràfics usats en la trilogia de Fibonacci, passant al tipus de lletra Courier per aconseguir que les columnes estiguin ben alineades verticalment i complicant-me la vida fins a extrems inimaginables per representar potències i arrels. Únicament mantindré l'ús de la negreta per distingir les expressions matemàtiques del text narratiu o discursiu, i una mida de caràcters més menuda per als subíndexs. Pel que fa a potències i arrels, faré servir la notació habitual en programació informàtica, base^exponent i arrel^1/grau, amb el benentès que al relat utilitzo aquesta notació de cara als lectors: en la ficció relatada haureu d'imaginar que el professor escriu a la pissarra les expressions matemàtiques com Déu mana, perquè ho entenguin els alumnes.
Pel que he vist a Internet, el creixement exponencial i el nombre e s'acostumen a introduir amb la primera aproximació que hi va fer Jakob Bernouilli (1654-1705) i la posterior categorització de Leonard Euler (1707-1783). El primer, interessat en els rendiments generats aplicant interès compost, va adonar-se que si, en comptes de capitalitzar un dipòsit per anys, amb un capital inicial P0 = 20.000.000 € i un interès anual Ia = 0,05, amb aquests capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys,
P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
P0(1 + Ia)^2
P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
P0(1 + Ia)^3
······················
Pta = P0(1 + Ia)^t,
és a dir,
P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 €
P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000 €
P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500 €
································
Pta = 20.000.000·1,05^t €,
ho feia per mesos, amb un interès mensual Im = Ia/12 = 0,05/12 = 0,004167 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 12 mesos,
P1m = P0 + P0·Im = P0(1 + Im)
P2m = P0(1 + Im) + P0·Im(1 + Im) = P0(1 + Im)(1 + Im) =
P0(1 + Im)^2
P3m = P0(1 + Im)^2 + P0·Im(1 + Im)^2 = P0(1 + Im)(1 + Im)^2 =
P0(1 + Im)^3
························
Pim = P0(1 + Im)^i
·····························
P12m = P0(1 + Im)^12,
és a dir,
P1m = 20.000.000·1,004167 = 20.167.013,89 €
P2m = 20.000.000·1,004167^2 = 20.251.043,11 €
P3m = 20.000.000·1,004167^3 = 20.335.422,46 €
··································································
P12m = 20.000.000·1,004167^12 = 21.023.237,96 €;
per dies, amb un interès diari Id = Ia/365 = 0,05/365 = 0,000137 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 365 dies,
P1d = P0 + P0·Id = P0(1 + Id)
P2d = P0(1 + Id) + P0·Id(1 + Id) = P0(1 + Id)(1 + Id) = P0(1 + Id)^2
P3d = P0(1 + Id)^2 + P0·Id(1 + Id)^2 = P0(1 + Id)(1 + Id)^2 =
P0(1 + Id)^3
························
Pid = P0(1 + Id)^i
······························
P365d = P0(1 + Id)^365,
és a dir,
P1d = 20.000.000·1,000137 = 20.002.739,73 €
P2d = 20.000.000·1,000137^2 = 20.005.479,83 €
P3d = 20.000.000·1,000137^3 = 20.008.220,30 €
·······························································
P365d = 20.000.000·1,000137^365 = 21.025.349,93 €,
o per fraccions milionèsimes d'any (gairebé el doble que fer-ho per minuts, i més rodó), amb un interès Imilionèsima = 0,05/1.000.000 = 0,00000005 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 1.000.000 milionèsimes d'any,
P1milionèsima = P0 + P0·Imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)
P2milionèsima = P0(1 + Imilionèsima) + P0·Imilionèsima(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)^2
P3milionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^2 + P0·Id(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)^3
··············································
Pimilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i
··············································
Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000,
és a dir,
P1milionèsima = 20.000.000·1,00000005 = 20.000.001,00 €
P2milionèsima = 20.000.000·1,00000005^2 = 20.000.002,00 €
P3milionèsima = 20.000.000·1,00000005^3 = 20.000.003,00 €
·········································································
Pmiliómilionèsima = 20.000.000·1,00000005^1.000.000 = 21.025.421,90 €,
els rendiments eren cada vegada més grans, ja que Pmiliómilionèsima = 21.025.421,90 € > P365d = 21.025.349,93 € > P12m = 21.023.237,96 € > P1a = 21.000.000 €.
Resumint, per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
Pin = P0(1 + In)^i, on In = Ia/n.
Òbviament, Bernouilli no comptava els diners en euros, crec haver llegit que l'operació financera que estudiava no era un dipòsit sinó un crèdit i, pel que fa al capital inicial de 20.000.000 i a l'interès anual de 0,05, els he assignat aquests valors per fer-los coincidir amb la població i l'índex de creixement de l'exemple que el professor planteja a classe. Però tornant a Bernouilli, el descobriment que la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia), el va dur a preguntar-se si aquesta tendència tenia o no aturador, perquè s'adonava que multiplicant per 12 el nombre de capitalitzacions i disminuint l'interès en la mateixa proporció, la rendibilitat augmentava (21.023.321,70 – 21.000.000 = 23.321,70, cosa que representa passar de l'1,05 a l'1,051166), però que, procedint anàlogament amb 365, la rendibilitat seguia augmentant però no molt més (21.025.378,31 – 21.023.321,70 = 2.056,61, passant de l'1,051166 a l'1,051269) i que fent tres quarts del mateix amb 1.000.000, la rendibilitat gairebé no havia augmentat (21.025.421,90 – 21.025.378,31 = 43,59, passant de l'1,051269 a l'1,051271). Ho va sistematitzar, estudiant el comportament de l'expressió (1 + Ia/n)^n/Ia amb valors de n cada cop més elevats, perquè era difícil avançar-ne el comportament: prevaldria el contingut del parèntesi tendint a un o el de l'exponent tendint a infinit? Calia esperar Euler i el càlcul diferencial per passar-la al límit.
Retinguem el valor 1/Ia = 20, que sortirà en aquest paràgraf i en els dos següents, i comencem amb les capitalitzacions mensuals:
P12m = P0(1 + Im)^12 = P0(1 + Ia/12)^12 =
P0[(1 + Ia/12)^12/Ia]^Ia
(P12m/P0)^1/Ia = (1 + Ia/12)^12/Ia i, anomenant N12 = 12/Ia = 240,
(P12m/P0)^1/Ia = (1 + 1/N12N12
Substituint valors,
1,051166^20 = (1 + 1/240)^240 = 2,712640.
Continuem amb les capitalitzacions diàries:
P365d = P0(1 + Id)^365 = P0(1 + Ia/365)^365 =
P0[(1 + Ia/365)^365/Ia]^Ia
(P365d/P0)^1/Ia = (1 + Ia/365)^365/Ia i, anomenant N365 =
365/Ia = 7.300,
(P365d/P0)^1/Ia = (1 + 1/N365)^N365.
Substituint valors,
1,051269^20 = (1 + 1/7.300)^7.300 = 2,718096.
I acabem amb les capitalitzacions de milionèsima part d'any:
Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P0(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000 = P0[(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia]^Ia
(Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia i, anomenant Nmilionèsim = 1.000.000/Ia = 20.000.000,
(Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + 1/Nmilionèsim)^Nmilionèsim.
Substituint valors,
1,051271^20 = (1 + 1/20.000.000)^20.000.000 = 2,718282 ≈ e.
Tenint en compte que e = 2,718281828459045235360287471... es un nombre irracional, l'aproximació precedent amb sis xifres decimals és la que utilitzarem habitualment. No cal seguir aplicant valors més alts encara, per adonar-se que (Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia no creix indefinidament sinó que queda estabilitzat al valor e. Però si, per generalitzar, seguíssim fent créixer la partició de l'any a n períodes de capitalització i anomenéssim N = n/Ia i Pn el capital obtingut al cap de l'any amb aquest sistema, tindríem
(1 + 1/N)^N = e i
Pn = P0·e^Ia,
expressió que es transforma en
Pt = P0(e^Ia)^t = P0·e^Ia·t si considerem t anys.
La manera rigorosa d'enunciar-ho, seria:
Per a n tendint a infinit:
N = n/Ia tendeix a infinit,
(1 + 1/N)^N tendeix a e i
Pt = P0[(1 + 1/N)^N]^Ia·t tendeix a P0·e^Ia·t
Aquest interés compost s'anomena continu, perquè obeeix a la ràpida successió de "capitalitzacions instantànies".
Resumint, en l'exemple serà
Pt = 20.000.000·e^0,05·t €, considerant t anys en capitalització contínua, o bé
Pt = 20.000.000·1,05^t €, considerant t anys en capitalització anual,
Pim = 20.000.000·1,00416667^i €, considerant i mesos en capitalització mensual,
Pid = 20.000.000·1,000136986^i €, considerant i dies en capitalització diària o
Pimilionèsima = 20.000.000·1,00000005^i €, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.
Com que Bernouilli no disposava de calculadora, hem de suposar que va resoldre aquestes equacions traient logaritmes, tècnica ideada per John Napier (1550-1617) gairebé un segle abans. Si voleu construir la gràfica de la funció y = (1 + Ia/N)^N/Ia, amb aquesta variable en ordenades i x = N/Ia en abscisses, veureu que arrenca de (0 1), es corba cap amunt i cap a la dreta i s'aproxima asimptòticament a la recta horitzontal y = (1 + Ia/N)^N/Ia = e. Podeu servir-vos d'aquests quinze punts: (0,000001 1,000014), (0,001 1,006933), (0,0625 1,193722), (0,125 1,316074), (0,25 1,495349), (0,5 1,732051), (1 2), (1,5 2,151657), (2 2,25), (2,5 2,319103), (3 2,370370), (5 2,48832), (10 2,593742), (100 2,704814) i (1000 2,716924).
I ara ve quan el maten, perquè em proposo posar en qüestió gairebé tot aquest desenvolupament algebraic. Quan no fa massa escrivia "la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia)", referint-me a Bernouilli, posava en dubte que, capitalitzant 12, 365 o 1.000.000 vegades al cap de l'any, i prenent com a interès per a cadascun d'aquests períodes Ia/12, Ia/365 o Ia/1.000.000, que era l'INTERÈS SIMPLE mensual, diari o corresponent a una milionèsima part d'any, l'interès anual Ia no es veiés afectat de retruc, ja que s'acceptava que el rendiment anual havia augmentat. I, com que a partir d'ara caldrà filar prim, en lloc de seguir amb l'ús extensiu de la paraula "interès", parlarem de "rèdit" (rendiment relatiu al capital en tant per u, per unitat de temps), "interès" (rendiment absolut, per unitat de temps) i "guany" (rendiment absolut en el temps especificat).
Jo diria que la hipòtesi de treball hauria de ser justament la contrària: en lloc d'adoptar els rèdits propis de l'interès simple i calcular quins guanys produiran en interès compost al cap d'un temps, caldria calcular quins rèdits mensuals, diaris o milionèsims s'haurien d'utilitzar per tal que, després de 12, 365 o 1.000.000 capitalitzacions, el guany fos igual a l'interès generat pel rèdit Ia al cap d'un any.
Pel que fa als capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys, tot serà com abans,
P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
P0(1 + Ia)^2
P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
P0(1 + Ia)^3
·······················
Pta = P0(1 + Ia)^t,
és a dir,
P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 €
P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000 €
P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500 €
································
Pta = 20.000.000·1,05^t €.
Però, a diferència de l'anterior, en el mètode present haurà de ser Im < Ia/12, Id < Ia/365 i Imilionèsima < Ia/1.000.000. Segons aquesta premisa, el rèdit mensual, diari i milionèsim no vindrà donat sinó que l'haurem de deduir de les condicions d'arribada, considerant que P1a = P12m = P365d = Pmiliómilionèsima. Les equacions en P són les mateixes del mètode precedent, amb l'única particularitat que ara Im, Id i Imilionèsima seran les incògnites.
P12m = P0(1 + Im)^12 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Im)^12 = 1 + Ia
1 + Im = (1 + Ia)^1/12
Im = (1 + Ia)^1/12 – 1
Pim = P0(1 + Im)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/12 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/12
és a dir,
Im = 1,05^0,0833333 – 1 = 0,00407412
P1m = 20.000.000·1,00407412 = 20.081.482,4 €
P2m = 20.000.000·1,00407412^2 = 20.000.000·1,008165 = 20.163.296,77 €
P3m = 20.000.000·1,00407412^3 = 20.000.000·1,012272 = 20.245.444,46 €
···········································································
P12m = 20.000.000·1,00407412^12 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 €,
P365d = P0(1 + Id)^365 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Id)^365 = 1 + Ia
1 + Id = (1 + Ia)^1/365
Id = (1 + Ia)^1/365 – 1
Pid = P0(1 + Id)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/365 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/365
és a dir,
Id = 1,05^0,00273973 – 1 = 0,000133681
P1d = 20.000.000·1,000133681 = 20.002.673,62 €
P2d = 20.000.000·1,000133681^2 = 20.000.000·1,000267379 = 20.005.347,60 €
P3d = 20.000.000·1,000133681^3 = 20.000.000·1,000401095 = 20.008.021,93 €
···············································································
P365d = 20.000.000·1,000133681^365 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 €,
Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = 1 + Ia
1 + Imilionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000
Imilionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1
Pimilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/1.000.000
és a dir,
Imilionèsima = 1,05^0,000001 – 1 = 0,0000000487902
P1milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902 = 20.000.000,98 €
P2milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^2 = 20.000.000·1,0000000975804 = 20.000.001,95 €
P3milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^3 = 20.000.000·1,000000146371 = 20.000.002,93 €
·················································································
Pmiliómilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^1.000.000 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 €.
Resumint: per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
Pin = P0(1 + In)^i, on In = (1 + Ia)^1/n – 1
Pin = P0[1 + {(1 + Ia)^1/n} - 1]^i = P0[(1 + Ia)^1/n]^i =
P0(1 + Ia)^i/n.
Descrit aquest mètode alternatiu i recapitulant, en tots dos mètodes l'expressió
Pin = P0(1 + In)^i és idèntica, i només es diferencia en In: en el primer
In(1) = Ia/n, mentre que en el segon
In(2) = (1 + Ia)^1/n – 1, com acabem de veure.
Si comparem els valors d'In en ambdós mètodes, per a n = 12, 365 i 1.000.000,
I12(1) = 0,00416667
I12(2) = 0,00407412
I365(1) = 0,000136986
I365(2) = 0,000133681
Imilionèsima(1) = 0,00000005
Imilionèsima(2) = 0,0000000487902,
no detectem res significatiu, a banda que els valors In(2) són lleugerament menors que In(1), com havíem previst.
Tornant al segon mètode i a diferència del primer, cal aclarir que no té massa sentit distingir entre aplicacions discretes i contínues: de fet, igual que en el primer
Pn = P0(1 + In)^n = P0(1 + Ia/n)^n = P0[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia, i
(1 + Ia/n)^n/Ia tendia a la constant e quan n tendia a infinit, en el segon
Pin = P0(1 + In)^i = P0(1 + Ia)^i/n, i
(1 + Ia)^i/n tendeix a la constant (1 + Ia) quan i tendeix a n, amb independència dels valors n i per la pròpia definició dels rèdits In, i en aquest sentit podem parlar d'aplicacions contínues. Així doncs,
Pt = P0(1 + Ia)^t, si considerem t anys, i
Pin = P0(1 + Ia)^i/n o
Pim = P0(1 + Ia)^i/12
Pid = P0(1 + Ia)^i/365 i
Pimilionèsima = P0(1 + Ia)^i/1.000.000.
Resumint, en l'exemple serà
Pt = 20.000.000·1,05^t €, considerant t anys en capitalització anual, o bé
Pim = 20.000.000·1,00407412^i €, considerant i mesos en capitalització mensual,
Pid = 20.000.000·1,000133681^i €, considerant i dies en capitalització diària,
Pimilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^i €, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.
Aquest segon model defineix un interès compost homogeni, on tant se val capitalitzar per fraccions milionèsimes d'any, dies, mesos o anys, perquè els rendiments obtinguts per un procediment o altre, en un mateix període de temps, són idèntics i sols depenen del capital inicial i d'aquest període. Però llavors un es pregunta: de què serveix capitalitzar per mesos, dies o milionèsimes d'any, podent-ho fer per anys? Doncs per calcular més còmodament els guanys quan el període impositiu, expressat en anys, mesos o dies no sigui enter, a banda que interessava fer-ho així per apreciar millor les diferències amb el primer mètode. També podríem adduir, a favor d'aquest model, que el tractament de les capitalitzacions, per fraccions d'any, per anys o per múltiples d'any, és únic. Així, si volguessin crear una imposició quinquennal a interès compost Iq, tindríem que: Imilionèsim < Ia/1.000.000, Id < Ia/365, Im < Ia/12 i Ia < Iq/5. I tant és calcular el rèdit quinquennal Iq a partir del rèdit anual Ia (Iq > 5·Ia), com procedir al revés (Ia < Iq/5):
Si volem conèixer el rèdit quinquennal Iq a partir de Ia, farem
Pq = P0(1 + I) = P5a = P0(1 + Ia)^5
1 + Iq = (1 + Ia)^5
Iq = (1 + Ia)^5 – 1
és a dir,
Iq = 1,05^5 – 1 = 1,276282 – 1 = 0,276282 i
Pq = P0(1 + Iq)^i = 20.000.000· 1,276282^i €, considerant i quinquennis en capitalització quinquennal.
Inversament, per conèixer Ia a partir de Iq,
1 + Iq = (1 + Ia)^5
(1 + Iq)^1/5 = 1 + Ia
Ia = [(1 + Iq)^1/5] – 1
és a dir
Ia = (1,276282^1/5) – 1 = 1,05.
El primer model és aplicable a processos depenents de paràmetres fixats arbitràriament, com els del món de les finances, on tot és possible si és negoci, però no serveix per reproduir lleis físiques o demogràfiques de formulació inamovible. Si intentem aplicar-lo, per exemple, al problema que el professor del relat proposa als alumnes, on les dades numèriques són les mateixes però canvia allò representat (el capital és població, el rendiment és increment demogràfic i el rèdit anual és l'índex anual de creixement vegetatiu), tot trontollarà. Mentre ens limitem a usar l'índex de creixement anual Ia = 0,05 anirem bé: al cap dels primers anys, la població inicial de P0 = 20.000.000 persones s'haurà transformat en
P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
P0(1 + Ia)^2
P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
·······················
Pta = P0(1 + Ia)^t,
és a dir,
P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 persones
P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000 persones
P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500 persones
································
Pta = 20.000.000·1,05^t persones.
Però no tindrà solta ni volta que, en comptar-la per mesos, aquesta població sigui més gran, que en comptar-la per dies encara sigui més gran ni que en comptar-la per milionèsimes d'any (i no diguem per parts infinitesimals!) encara ho sigui més: el creixement vegetatiu en un any és el que és, naixements menys defuncions, i el sistema de càlcul no pot modificar aquesta realitat objectiva. I, com que el segon mètode no presenta aquestes contradiccions, és el que cal adoptar.
Llavors, per què el professor del relat explica el primer model, venent-lo com si fos el segon? Doncs perquè fa trampa, o més ben dit, jo, que sóc el titellaire que en mou els fils, faig trampa. I en faig perquè ja trobo prou agafat pels pèls explicar aquest model i el descobriment de e a xavals de dotze anys, però no em veig amb cor d'explicar el segon, que és el que realment caldria utilitzar. Si us val com a circumstància atenuant, us haig de confessar que m'he tornat mico provant de trobar a Internet la justificació de les expressions matemàtiques utilitzades per calcular el creixement exponencial continu de la població, però ha estat en va: de justificacions de l'ínterès compost continu, les que vulgueu; però en aplicacions demogràfiques, que fan servir les mateixes fórmules i que per això mateix m'interessaven, cap ni una. De manera que m'he hagut d'espavilar sol, reinventant un cop més la sopa d'all, i m'ha semblat que, endinyar als pobres vailets de segon d'ESO aquest plus de dificultat i transmetre'ls les meves inseguretats, encara que fos en la ficció, ja era massa. Si havia d'acabar explicant el que aquí he anomenat "primer mètode", també pensareu que hauria pogut escollir l'interès continu com aplicació a comentar, en lloc del creixement demogràfic d'una població sense migrants. Potser sí, però em repugnava influir ideològicament sobre angelets innocents (innocents si ens oblidem de la roba i el calçat de marca, del mòbil i dels videojocs), iniciant-los en les males arts del capitalisme financer.
He parlat de les meves inseguretats, d'una banda, perquè no sé a què atribuir l'omissió demostrativa de Pt = P0·e^Ia·t quan s'enuncia en el camp de la demografia: És per no repetir la demostració de la fórmula, realitzada ja en l'apartat capitalització contínua, donant per fet que són processos paral·lels quan no ho són en absolut? És que, igual que el profe del relat, els internautas divulgadors saben perfectament que els dos processos no ho són, de paral·lels, però no volen exposar a la crítica una argumentació poc consistent? O és que, en aquest últim supòsit, no es vol desvelar que la unificació només obeeix a raons de conveniència, atès que els resultats d'aplicar Pt = P0·e^Ia·t i Pt = P0(1 + Ia)^t són acceptablement pròxims en el domini habitual de valors Ia (divergències menors que el 2 per mil: 20.506.302,41/20.493.901,53 = 1,0006, 21.025.421,93/21.000.000 = 1,0012 i 21.557.683,02/21.518.596,61 = 1,0018, obtingudes dividint valors homòlegs en el recull de dades final)? Com veieu, quan un no troba una resposta satisfactòria a allò que li sembla un despropòsit, tendeix a admetre autèntiques bajanades com a explicació.
N'he parlat, d'altra banda, perquè això de trobar arreu afirmacions no compartides condueix a la conclusió que qui s'enganya és un mateix. En què m'hauré equivocat?: no pot ser que tots errin i només jo estigui en possessió de la veritat, que a més té una formulació ben simple. Suposo que aquestes consideracions i un elemental sentit de la prudència m'han acabat d'ajudar a prendre la covarda decisió d'ensarronar els alumnes descrivint un fenomen i donant-li un tractament matemàtic que, en opinió meva, no li escau.
Ja us he marejat prou. Agrairé qualsevol comentari assenyalant-me les relliscades que hagi pogut cometre en aquesta llarga nota, que pretenia ser aclaridora.
Per acabar, tornarem als rendiments de l'interés compost (P0 = 20.000.000 € i rendiment Ia = 0,05 €, per € i any), continu o discret, per comparar els resultats d'aplicar els dos mètodes. Calcularem el capital final en tres períodes: 0,5 d'any (o 0,1 de quinquenni, o bé 6 mesos, 182,5 dies o 500.000 milionèsimes d'any), 1 any (o 0,2 de quinquenni, o bé 12 mesos, 356 dies o 1.000.000 milionèsimes d'any) i 1,5 anys (o 0,3 de quinquenni, o bé 18 mesos, 547,5 dies o 1.500.000 milionèsimes d'any).
Mètode I amb capitalització contínua:
Mig any: 20.506.302,41 €; un any: 21.025.421,93 €; un any i mig: 21.557.683,02 €.
Mètode I amb capitalització quinquennal:
Mig any: 20.493.901,53 €; un any: 21.000.000 €; un any i mig: 21.518.596,61 €.
Mètode I amb capitalització anual:
Mig any: 20.493.901,53 €; un any: 21.000.000 €; un any i mig: 21.518.596,61 €.
Mètode I amb capitalització mensual:
Mig any: 20.505.278,20 €; un any: 21.023.321,70 €; un any i mig: 21.554.453,01 €.
Mètode I amb capitalització diaria:
Mig any: 20.506.281,14 €; un any: 21.025.378,31 €; un any i mig: 21.557.615,93 €.
Mètode I amb capitalització per milionèsimas d'any:
Mig any: 20.506.302,40 €; un any: 21.025.421,90 €; un any i mig: 21.557.682,98 €.
Mètode II amb capitalització quinquennal (contínua):
Mig any: 20.493.901,53 €; un any: 21.000.000 €; un any i mig: 21.518.596,61 €.
Mètode II amb capitalització anual (contínua):
Mig any: 20.493.901,53 €; un any: 21.000.000 €; un any i mig: 21.518.596,61 €.
Mètode II amb capitalització mensual (contínua):
Mig any: 20.493.901,53 €; un any: 21.000.000 €; un any i mig: 21.518.596,61 €.
Mètode II amb capitalització diaria (contínua):
Mig any: 20.493.901,53 €; un any: 21.000.000 €; un any i mig: 21.518.596,61 €.
Comentaris
-
Interés compost[Ofensiu]SrGarcia | 17-06-2024
Qui et va parir, Joan Colom! (això ho diuen els teus alumnes)
Moltes gràcies per la dedicatòria, la veritat és que m'ho he llegit molt per damunt i Déu me'n guard d'assenyalar cap error, que suposo que no hi és.
Sobre això d'introduir els nens a les belleses del capitalisme, potser millor que ho faci un professor que aquests que ara en diuen "criptobro" i que no són altra cosa que una colla d'estafadors.
Per cert, he escrit un relat sobre el noi baixet, prim i escanyolit que vas proposar, com que no m'has dit ni ase ni bèstia, el pujaré algun any d'aquests.
l´Autor
Últims relats de l'autor
- Aquella i moltes més. [Temps real de lectura: 2 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre SÍ O NO? [temps real de lectura: 2 minuts]
- El nombre e i la mare que el va parir. [temps real de lectura: 40 minuts]
- Maleïts malparits! [Temps real de lectura: 3 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre ARA BAIXO!
- Doris Day.
- Vint nanoocurrències sobre EL DARRER o LA DARRERA VEGADA [temps real de lectura: 3 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre PRIMERENC/NOVELL [temps real de lectura: 3 minuts]
- Pi i la quadratura del cercle. [temps real de lectura = 4 minuts]
- Hem begut oli.
- Llegir i escriure.
- Divagacions macabres. [temps real de lectura: 1 minut]
- Mentider! [temps real de lectura: 2 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre ESGLAONS I GRAONS [temps real de lectura: 3 minuts]
- Fibonacci, punt final. [temps real de lectura: 42 minuts]