Cercador
Fibonacci, punt i seguit. [temps real de lectura: 26 minuts]
Un relat de: Joan Colom- Compartir:
(Continuació de "Fibonacci i cia".)
Aquell cop m'agafà a la dutxa. De primer va sonar el telèfon de la saleta i, poc després, el mòbil que havia deixat al prestatge del quarto de bany. Així que vaig estirar el braç per prendre'l i vaig tornar-lo a deixar en veure que era en Lluís.
Deu minuts més tard, ja vestit i planxat, el trucà jo:
—Hola, maco. Sóc Joan...
—Sí, és clar. Espero no haver-te tret del llit...
—No, home; els diumenges em llevo una mica més tard, però no tant. No em diguis que encara estàs remenant allò del Fibonacci...
—Doncs sí, i és per això que et trucava. El cas és que no em vaig donar per vençut, després de l'última trobada, i mirant-me i remirant-me els papers, vaig adonar-me que les dues successions tipus Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13..., obtinguda primer escapçant la Successió de Fibonacci però també sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent, i 1, 3, 4, 7, 11, 18..., obtinguda sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent del precedent, eren generalitzables... Vull dir que podien ser considerades com a casos particulars d'una família de successions...
—Eeep, para el carro, Lluís!!! Suposo que vols que miri les maravelles que has descobert i, de passada, voldràs fer-me unes preguntes, no? Doncs, si vols que vingui a casa teva, digues-li a la Carme que avui tindrà un convidat a dinar. El vi el porto jo.
—Espera un moment, que li ho dic... Joan? Sí, mira: em diu la Carme que els caps de setmana ho compra tot justet, per menjar, però això no és problema perquè anirem al restaurant. Tu, convidat, per descomptat...
Un cop a casa de Lluís, i abans que m'exposés les seves diguem-ne troballes, vaig insistir en què em deixés proposar un parell de qüestions de forma:
—En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no t'acabava de fer el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "successions fibonaccianes" o simplement "fibonaccianes", a la manera de les suites bachianes d'Heitor Villa-Lobos. I quant a la notació, ja que havíem vist que els dos primers membres d'una successió tipus Fibonacci —perdó: successió fibonacciana—, determinaven tota la resta, una que comenci per a i b, la podríem anomenar Fa+b; i, com a cas particular, la Successió de Fibonacci seria la F0+1. Així, a més, podrem prescindir d'aquell equívoc adjectivat de "dependent primera, segona... i-ena", que volia il·lustrar el nombre de transformacions aplicades a la Successió de Fibonacci per tal d'obtenir una fibonacciana determinada, una perquè de segur que hi ha més d'un camí que porta a Roma, i dues perquè l'únic que ens pot interessar és la fibonacciana en si, perfectament identificada, com acabo de dir, pels dos primers membres. Et sembla bé?
—Del tot. I ara mira, això és el que he fet: generalitzar el que havia fet la setmana passada.
I, sense més preàmbul, em va passar un full quadriculat:
····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·
0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·
1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·
2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·
3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·
4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·
5···················5···9··14··23··37··60··97·157·
6·······················8··14··22··36··58··94·152·
7··························13··22··35··57··92·149·
8······························21··35··56··91·147·
9··································34··56··90·146·
m······································55··90·145·
11·········································89·145·
12············································144·
—Com fèiem fa una setmana, dalt de tot tens la successió dels nombres naturals n seguida de la de Fibonacci, com si fos l'eix d'abscisses, i a l'esquerra, augmentant cap avall la dimensió m, l'eix d'ordenades. Començant per m = 1 i m = 2, que eren dues de les successions que ens havien sortit, i generalitzant el joc, cada línia horitzontal és l'inici d'una successió on cada membre d'ordre n s'obté de la Successió de Fibonacci, sumant l'homòleg amb el situat en primer, segon, ... m-èsim lloc a l'esquerra. Jo anomenava aquestes successions Fm,n = F0,n + F0,n-m, però després del que has proposat crec que hauria de ser Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m, no? Això, genèricament, perquè els noms específics serien F1+2, F1+3, F2+4, F3+6, etc. Ah, i com és lògic, la meitat de les posicions, en què n < m, queden buides. Dit això, què hi trobes de particular, Joan?
—Suposo que et refereixes a que totes aquestes successions són fibonaccianes...
—Efectivament, em referia a això: cada membre és suma dels dos precedents. Ho podem comprovar fins a m = 10, i amb els membres que figuren a la taula, però caldria demostrar-ho.
—I aquí és on entro jo, no? A veure... es tractaria de demostrar que
Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2
a partir d'aquestes tres equacions:
Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m
Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1-m
Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2-m
Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1-m = F0+1n-m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n-m-2:
Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n-m-1 + F0+1n-m-2) = F0+1n + F0+1n-m = Fa+bm,n
Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?
—Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?
—I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fa+bm,n = Fa+b10,12, F0+1n = F0+112 i F0+1n-m = F0+12:
Fa+b10,10 = F0+110 + F0+10 = 55 + 0 = 55
Fa+b10,11 = F0+111 + F0+11 = 89 + 1 = 90
Fa+b10,12 = F0+112 + F0+12 = 144 + 1 = 145
I, efectivament:
Fa+b10,10 + Fa+b10,11 = 55 + 90 = 145 = Fa+b10,12
—Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.
—En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil, per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat per llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. I, no ens enganyem, segur que això que acabes de descobrir sols és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver de generar successions, basades en la de Fibonacci, que resulten ser fibonaccianes, i encara tractada de forma parcial: quan venia cap aquí, pensant en la generalització que m'havies anunciat per telèfon, suposava que tindria més volada; en veure el que havies preparat, m'ha semblat que t'havies quedat a mig camí. Però ara podem completar-ho: les teves successions partien del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci, sumant-n'hi un d'anterior; doncs bé, ara ho podem capgirar i sumar al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?
—Ès clar que sí. Tot el que sigui millorar és benvingut.
—Doncs som-hi: porta paper i posem-nos-hi... Com abans, començarem amb la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions, que ara resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, tot i que alguns d'aquests segons sumands se situarien a la dreta del full de paper i per tant no hi figuren escrits. Com abans, numerarem aquestes posicions n a dalt de tot i m a l'esquerra. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci:
····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·
0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·
1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·
2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·
3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·
4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·
m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·
6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·
7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·
8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·
9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·
També com abans, es tracta de demostrar que aquestes altres successions, genèricament Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m i individualment F2+3, F3+4, F4+6, F6+9, etc., són fibonaccianes, és a dir, que Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2, on Fa+bm,n és qualsevol membre de la successió Fa+bm, tret dels dos primers que, com els de la Successió de Fibonacci, F0+10 = 0 i F0+11 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors.
Partirem d'aquestes tres equacions:
Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m
Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1+m
Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2+m
Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1+m = F0+1n+m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n+m-2:
Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n+m-1 + F0+1n+m-2) = F0+1n + F0+1n+m = Fa+bm,n
I ara, si com hem fet abans vols un exemple, sobre posicions i valors concrets, podríem situar-nos en la intersecció m = 5, n = 5, amb Fa+bm,n = Fa+b5,5, F0+1n = F0+15 i F0+1n+m = F0+110:
Fa+b5,3 = F0+13 + F0+18 = 2 + 21 = 23
Fa+b5,4 = F0+14 + F0+19 = 3 + 34 = 37
Fa+b5,5 = F0+15 + F0+110 = 5 + 55 = 60
I, efectivament:
Fa+b5,3 + Fa+b5,4 = 23 + 37 = 60 = Fa+b5,5
—Ja ho entenc: ara uniràs les dues taules.
—No encara. Abans hem de trobar la frontisa m = 0 entre aquestes dues taules; la baula perduda, si t'ho estimes més: la fibonacciana que hi faltava per restaurar la solució de continuïtat. Escriurem
·····1····2····3····4····5····6····7···8···9···10·
0····1····1····2····3····5····8···13··21··34···55·
··················································
2n-1·1····2····3····5····8···13···21··34··55···89·
2n···2····2····4····6···10···16···26··42··68··110·
2n+1·2····3····5····8···13···21···34··55··89··144·
··················································
—I ara, com que encara és d'hora, fem les coses bé: editem el contingut d'aquests tres fulls en el portàtil i imprimim-lo. Per fer més via, si vols, jo dicto i tu escrius.
Al cap de mitja hora havíem unificat els resultats, suprimint les línies en blanc perquè el conjunt quedés més compacte, repetint a l'inici i al final la numeració de referència i la Successió de Fibonacci, per facilitar el seguiment en columna, i deixant sense remarcar en negreta els valors de generació inverificable, disposant d'aquesta taula tan coquetona:
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
·-4················3···6···9···15···24···39···63·
·-5····················5···9···14···23···37···60·
·-6························8···14···22···36···58·
·-7····························13···22···35···57·
·-8·································21···35···56·
·-9······································34···56·
-10···········································55·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
Com que no es tractava només d'unificar la presentació de dades sinó també l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m per a la meitat superior, Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n = 2F0+1n per a la baula perduda i Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m per a la inferior, ara era la primera la qui servia per a tots els casos i, a l'esquerra, els valors m de l'eix d'ordenades, anul·lant-se i canviant de signe, tenien continuïtat.
En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i, si després de la migdiada estava d'humor, meditaria sobre el que havíem fet, per veure si en treia conclusions. Si li anava bé, l'endemà al matí tornaria a passar.
Així ho vaig fer i, només obrir-me la porta, Lluís em preguntà si les meves cavil·lacions havien estat profitoses i m'anuncià que tornava a estar convidat a dinar. Ja a l'estudi, mentre connectava el pendrive al seu portàtil, vaig contestar, fent-me el misteriós:
—Bé, segons com es miri... He anat fent proves que m'han reafirmat en allò que ahir intuíem: que hi ha molts camins per construir una fibonacciana a partir de la Successió de Fibonacci F0+1, però no sé si val la pena que t'ho comenti...
—Home, és clar que sí. Ara no em deixaràs amb la mel a la boca...
—Bé, doncs centrant-nos en la sèrie de vint fibonaccianes d'ahir, de generació Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m, la primera cosa a destacar seria que el seu aspecte és, en general, bastant irrellevant a l'hora de deduir-ne la procedència. Limitant-nos a les set centrals, F4+6, F3+4, F2+3, F2+2, F1+2, F1+3 i F2+4, és a dir, a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3: F1+2 (m = -1) resultaria d'escapçar els dos primers membres de la Successió de Fibonacci, i F2+3 (m = 1) d'escapçar els tres primers; F2+2 (m = 0) resultaria d'escapçar el primer membre, F2+4 (m = -3) d'escapçar els dos primers i F4,6 (m = 3) d'escapçar els tres primers, multiplicant la resta per 2 en tots tres casos; finalment, F1+3 (m = -2) no guarda cap semblança amb F0+1, i F3+4 (m = 2) resultaria de l'anterior escapçant el primer membre.
—D'acord, però no deies que hi havia maneres diferents d'arribar a un mateix resultat?
—Si, home, si no m'interromps te n'explicaré uns quants. Un mètode alternatiu als que t'acabo d'explicar i que permet obtenir ràpidament aquestes successions, com si encara no haguéssim descobert que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials, consistiria a copiar la Successió de Fibonacci F0+1 sota l'original, desplaçar la còpia Fa+b m posicions, de manera que el membre Fa+bn+m se situï sota el membre F0+1n, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels que s'hagin quedat orfes. Veiem-ho, com abans, per a les fibonaccianes centrals m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3. En primer lloc l'ordenacio numérica seguida de la Successió de Fibonacci F0+1 en negreta, com de costum; en tercer lloc, la copia Famb desplaçada i escapçada, també en negreta, i en quart lloc, la fibonacciana resultant de sumar les dues anteriors, membre a membre:
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
·······3···5···8··13··21··34···55················
··3····4···6··10··16··26··42···68················
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
·······2···3···5···8··13··21···34···55···········
··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
···············0···1···1···2····3····5····8···13·
·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
—Molt rebé, Joan. Alguna cosa més?
—Sí: que la principal propietat de la Successió de Fibonacci —que el quocient entre membres consecutius F0+1n i F0+1n-1 convergeix cap a la proporció àuria, φ = 1,618034...—, s'acompleix en les fibonaccianes...
—Vols dir? Centrant-nos en les que m'ensenyaves fa un moment, que l'acompleixin fibonaccianes com F2+4, F1+2, F2+2, F2+3 o F4+6 (m = -3, -1, 0, 1 o 3), on és fàcil veure que procedeixen de manipular la Successió de Fibonacci F0+1, encara ho entenc, però aquelles que no s'hi assemblen gens, com F1+3 o F3+4 (m = -2 o 2) no ho acabo de veure.
—Fixa-t'hi: tu mateix acabes d'acceptar implícitament que aquestes dues últimes també procedeixen de F0+1, encara que no s'hi assemblin gens. I és que, com veuràs d'aquí un moment, fins i tot aquelles fiboaccianes que s'han estat muntades de manera independent, amb dos primers membres qualssevol, poden construir-se a partir de F0+1, per escapçament, producte per un nombre i suma membre a membre. Però abans vull parlar precisament d'aquestes tres operacions, ja conegudes perquè les hem utilitzat àmpliament. I, per no fer-ho massa llarg, repetint sempre "la Successió de Fibonacci i, en general, qualsevol altra successió fibonacciana...", d'ara endavant em limitaré a dir "qualsevol fibonacciana...", ja que la Successió de Fibonacci no és més que una fibonacciana que comença per 0 i 1: la fibonacciana F0+1. D'acord? Doncs vinga, pren nota d'aquestes tres propietats:
1) Escapçant qualsevol fibonacciana obtindrem una altra fibonacciana.
2) Multiplicant els membres de qualsevol fibonacciana per un enter positiu obtindrem una altra fibonacciana.
3) Sumant ordenadament els membres de dues fibonaccianes obtindrem una altra fibonacciana.
Ja es comprèn que aquestes manipulacions poden combinar-se i repetir-se ad infinitum.
—Ja està?
—Una última cosa, per rematar, i ja pots cridar la Carme que es vagi arreglant per anar a dinar. De vegades pot interessar conèixer l'n-èsim membre d'una fibonacciana Fa+b sense haver de calcular recursivament tota la seqüència de membres precedents: per exemple, quan no disposem d'un dispositiu programable i n és elevat. Aquests últims dies se m'ha ocorregut un mètode senzill per calcular directament aquest valor: només necessitem conèixer els dos primers membres, n0 = a i n1 = b, i tenir a mà una llista prou llarga de nombres de Fibonacci —a Internet trobaràs fàcilment llistes de fins a 300 nombres— o obtenir els valors (n-1)-èsim i n-èsim amb la fórmula de Binet —que trobaràs a l'article "Nombres de Fibonacci" de la Viquipèdia—. A més, a cavall de la justificació d'aquest mètode, veurem que els membres d'una fibonacciana qualsevol Fa+b es poden expressar com la suma dels productes de dos enters per sengles successions de Fibonacci F0+1 escapçades. (Per cert, havent mencionat la fórmula de Binet, on crec recordar que hi surt una arrel quadrada de cinc, ens hauríem de posar d'acord sobre com representem, si és donés el cas, les arrels quadrades: mentre ens ho maneguem tu i jo a llapis no hi ha problema, però si hem d'imprimir-ho haurem de buscar la manera de com donar continuïtat al símbol √, amb una línia horitzontal elevada que doni cobertura a la base.)
A partir dels elements inicials Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, formem la fibonacciana Fa+b:
Fa+b2 = Fa+b0 + Fa+b1 = a + b
Fa+b3 = Fa+b1 + Fa+b2 = a + 2b
Fa+b4 = Fa+b2 + Fa+b3 = 2a + 3b
Fa+b5 = Fa+b3 + Fa+b4 = 3a + 5b
Fa+b6 = Fa+b4 + Fa+b5 = 5a + 8b
Fa+b7 = Fa+b5 + Fa+b6 = 8a + 13b
Fa+b8 = Fa+b6 + Fa+b7 = 13a + 21b
·································
Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n
Perquè vegis que la fórmula funciona, calculem, per exemple, el membre novè de la fibonacciana F7+11 (n = 9, a = 7 i b = 11):
n·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
F7+11 = 7·21 + 11·34 = 147 + 374 = 521
I ara tornem a les set expressions Fa+b2 a Fa+b8 per fixar-nos en els tercers membres de les igualtats, que són binomis: els primers termes són els productes de l'enter a per uns membres de la fibonacciana F1+1 (F0+1 amb el membre 0 escapçat) i els segons són els productes de l'enter b per uns altres membres de la fibonacciana F1+2 (F0+1 amb els membres 0 i 1 escapçats), avançats una posició respecte els primers. Dit d'una altra manera, els termes de la primera columna són els productes de la constant a pels coeficients 1, 1, 2, 3, 5, 8 i 13, i els de la segona columna són els productes de la constant b pels coeficients 1, 2, 3, 5, 8, 13 i 21.
Fixa't que cada coeficient de la segona columna F0+1n té l'immediat inferior F0+1n-1 repetit damunt (el coeficient precedent, en la mateixa columna) i a l'esquerra (el coeficient de la primera columna). Vull dir que, prenent per exemple l'element 8b de la segona columna, a sobre hi té 5b i a l'esquerra 5a, i que, en ser aquests coeficients nombres consecutius de versions escapçades de la Successió de Fibonacci, 8/5 = 1,6 ≈ 1,618034... = φ. Provant-ho amb nombres consecutius més elevats, com 13/8 = 1,625 o 21/13 = 1,615385..., veureu que l'aproximació a la proporció àuria és cada cop més gran. Però, sabent que F0+1n/F0+1n-1 ≈ φ, el que volem esbrinar és si també tot Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ φ.
D'una banda: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n ≈ aF0+1n-1 + φbF0+1n-1 = F0+1n-1(a + φb)
De l'altra: Fa+bn-1 = Fa+bn-3 + Fa+bn-2 = aF0+1n-2 + bF0+1n-1 ≈ aF0+1n-2 + φbF0+1n-2 = F0+1n-2(a + φb)
Substituint aquestes equivalències: Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ F0+1n-1(a + φb)/F0+1n-2(a + φb) = F0+1n-1/F0+1n-2 ≈ φ
És a dir, que el quocient entre membres consecutius de qualsevol successió fibonaccioana Fa+b tendeix a la proporció àuria φ, com el de la Successió de Fibonacci F0+1. D'acord?
—Si, home. Però després d'aquest patracol, què deixes per a mi? —exclamà Lluís, amb posat abatut i veu compungida.
—No t'amoïnis, que també havia pensat amb els teus deures... Vols que te'ls expliqui ara o ho deixem per després de dinar, mentre prenem cafè i copa?
—Res de deixar-ho per després de dinar, que si ens sent la Carme pensarà que estem bojos. Digues-m'ho ara i així en prendré nota perquè no se m'oblidi.
—Doncs mira, no cal que t'apuntis res, perquè és molt senzill d'entendre: ara que sabem construir una fibonacciana a partir dels dos primers membres, i també obtenir-la d'altres fibonaccianes mitjançant les operacions que hem descrit, no aniria malament definir una fibonacciana a partir de dos membres qualssevol. Vols pensar-t'ho?
—Bé, suposo que no deus voler únicament que m'ho pensi, sinó que arribi a uns resultats, a uns procediments d'actuació, no?
—És clar, Lluís. Tampoc crec que costi tant. En fi, tu mateix...
—D'acord, doncs. Recullo el guant i em comprometo a tenir resultats abans d'una setmana.
—Tranquil, no cal exagerar... Recorda la dita italiana: "piano, piano, si va lontano".
Aquell cop m'agafà a la dutxa. De primer va sonar el telèfon de la saleta i, poc després, el mòbil que havia deixat al prestatge del quarto de bany. Així que vaig estirar el braç per prendre'l i vaig tornar-lo a deixar en veure que era en Lluís.
Deu minuts més tard, ja vestit i planxat, el trucà jo:
—Hola, maco. Sóc Joan...
—Sí, és clar. Espero no haver-te tret del llit...
—No, home; els diumenges em llevo una mica més tard, però no tant. No em diguis que encara estàs remenant allò del Fibonacci...
—Doncs sí, i és per això que et trucava. El cas és que no em vaig donar per vençut, després de l'última trobada, i mirant-me i remirant-me els papers, vaig adonar-me que les dues successions tipus Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13..., obtinguda primer escapçant la Successió de Fibonacci però també sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent, i 1, 3, 4, 7, 11, 18..., obtinguda sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent del precedent, eren generalitzables... Vull dir que podien ser considerades com a casos particulars d'una família de successions...
—Eeep, para el carro, Lluís!!! Suposo que vols que miri les maravelles que has descobert i, de passada, voldràs fer-me unes preguntes, no? Doncs, si vols que vingui a casa teva, digues-li a la Carme que avui tindrà un convidat a dinar. El vi el porto jo.
—Espera un moment, que li ho dic... Joan? Sí, mira: em diu la Carme que els caps de setmana ho compra tot justet, per menjar, però això no és problema perquè anirem al restaurant. Tu, convidat, per descomptat...
Un cop a casa de Lluís, i abans que m'exposés les seves diguem-ne troballes, vaig insistir en què em deixés proposar un parell de qüestions de forma:
—En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no t'acabava de fer el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "successions fibonaccianes" o simplement "fibonaccianes", a la manera de les suites bachianes d'Heitor Villa-Lobos. I quant a la notació, ja que havíem vist que els dos primers membres d'una successió tipus Fibonacci —perdó: successió fibonacciana—, determinaven tota la resta, una que comenci per a i b, la podríem anomenar Fa+b; i, com a cas particular, la Successió de Fibonacci seria la F0+1. Així, a més, podrem prescindir d'aquell equívoc adjectivat de "dependent primera, segona... i-ena", que volia il·lustrar el nombre de transformacions aplicades a la Successió de Fibonacci per tal d'obtenir una fibonacciana determinada, una perquè de segur que hi ha més d'un camí que porta a Roma, i dues perquè l'únic que ens pot interessar és la fibonacciana en si, perfectament identificada, com acabo de dir, pels dos primers membres. Et sembla bé?
—Del tot. I ara mira, això és el que he fet: generalitzar el que havia fet la setmana passada.
I, sense més preàmbul, em va passar un full quadriculat:
····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·
0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·
1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·
2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·
3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·
4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·
5···················5···9··14··23··37··60··97·157·
6·······················8··14··22··36··58··94·152·
7··························13··22··35··57··92·149·
8······························21··35··56··91·147·
9··································34··56··90·146·
m······································55··90·145·
11·········································89·145·
12············································144·
—Com fèiem fa una setmana, dalt de tot tens la successió dels nombres naturals n seguida de la de Fibonacci, com si fos l'eix d'abscisses, i a l'esquerra, augmentant cap avall la dimensió m, l'eix d'ordenades. Començant per m = 1 i m = 2, que eren dues de les successions que ens havien sortit, i generalitzant el joc, cada línia horitzontal és l'inici d'una successió on cada membre d'ordre n s'obté de la Successió de Fibonacci, sumant l'homòleg amb el situat en primer, segon, ... m-èsim lloc a l'esquerra. Jo anomenava aquestes successions Fm,n = F0,n + F0,n-m, però després del que has proposat crec que hauria de ser Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m, no? Això, genèricament, perquè els noms específics serien F1+2, F1+3, F2+4, F3+6, etc. Ah, i com és lògic, la meitat de les posicions, en què n < m, queden buides. Dit això, què hi trobes de particular, Joan?
—Suposo que et refereixes a que totes aquestes successions són fibonaccianes...
—Efectivament, em referia a això: cada membre és suma dels dos precedents. Ho podem comprovar fins a m = 10, i amb els membres que figuren a la taula, però caldria demostrar-ho.
—I aquí és on entro jo, no? A veure... es tractaria de demostrar que
Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2
a partir d'aquestes tres equacions:
Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m
Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1-m
Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2-m
Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1-m = F0+1n-m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n-m-2:
Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n-m-1 + F0+1n-m-2) = F0+1n + F0+1n-m = Fa+bm,n
Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?
—Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?
—I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fa+bm,n = Fa+b10,12, F0+1n = F0+112 i F0+1n-m = F0+12:
Fa+b10,10 = F0+110 + F0+10 = 55 + 0 = 55
Fa+b10,11 = F0+111 + F0+11 = 89 + 1 = 90
Fa+b10,12 = F0+112 + F0+12 = 144 + 1 = 145
I, efectivament:
Fa+b10,10 + Fa+b10,11 = 55 + 90 = 145 = Fa+b10,12
—Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.
—En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil, per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat per llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. I, no ens enganyem, segur que això que acabes de descobrir sols és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver de generar successions, basades en la de Fibonacci, que resulten ser fibonaccianes, i encara tractada de forma parcial: quan venia cap aquí, pensant en la generalització que m'havies anunciat per telèfon, suposava que tindria més volada; en veure el que havies preparat, m'ha semblat que t'havies quedat a mig camí. Però ara podem completar-ho: les teves successions partien del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci, sumant-n'hi un d'anterior; doncs bé, ara ho podem capgirar i sumar al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?
—Ès clar que sí. Tot el que sigui millorar és benvingut.
—Doncs som-hi: porta paper i posem-nos-hi... Com abans, començarem amb la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions, que ara resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, tot i que alguns d'aquests segons sumands se situarien a la dreta del full de paper i per tant no hi figuren escrits. Com abans, numerarem aquestes posicions n a dalt de tot i m a l'esquerra. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci:
····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·
0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·
1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·
2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·
3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·
4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·
m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·
6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·
7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·
8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·
9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·
També com abans, es tracta de demostrar que aquestes altres successions, genèricament Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m i individualment F2+3, F3+4, F4+6, F6+9, etc., són fibonaccianes, és a dir, que Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2, on Fa+bm,n és qualsevol membre de la successió Fa+bm, tret dels dos primers que, com els de la Successió de Fibonacci, F0+10 = 0 i F0+11 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors.
Partirem d'aquestes tres equacions:
Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m
Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1+m
Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2+m
Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1+m = F0+1n+m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n+m-2:
Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n+m-1 + F0+1n+m-2) = F0+1n + F0+1n+m = Fa+bm,n
I ara, si com hem fet abans vols un exemple, sobre posicions i valors concrets, podríem situar-nos en la intersecció m = 5, n = 5, amb Fa+bm,n = Fa+b5,5, F0+1n = F0+15 i F0+1n+m = F0+110:
Fa+b5,3 = F0+13 + F0+18 = 2 + 21 = 23
Fa+b5,4 = F0+14 + F0+19 = 3 + 34 = 37
Fa+b5,5 = F0+15 + F0+110 = 5 + 55 = 60
I, efectivament:
Fa+b5,3 + Fa+b5,4 = 23 + 37 = 60 = Fa+b5,5
—Ja ho entenc: ara uniràs les dues taules.
—No encara. Abans hem de trobar la frontisa m = 0 entre aquestes dues taules; la baula perduda, si t'ho estimes més: la fibonacciana que hi faltava per restaurar la solució de continuïtat. Escriurem
·····1····2····3····4····5····6····7···8···9···10·
0····1····1····2····3····5····8···13··21··34···55·
··················································
2n-1·1····2····3····5····8···13···21··34··55···89·
2n···2····2····4····6···10···16···26··42··68··110·
2n+1·2····3····5····8···13···21···34··55··89··144·
··················································
—I ara, com que encara és d'hora, fem les coses bé: editem el contingut d'aquests tres fulls en el portàtil i imprimim-lo. Per fer més via, si vols, jo dicto i tu escrius.
Al cap de mitja hora havíem unificat els resultats, suprimint les línies en blanc perquè el conjunt quedés més compacte, repetint a l'inici i al final la numeració de referència i la Successió de Fibonacci, per facilitar el seguiment en columna, i deixant sense remarcar en negreta els valors de generació inverificable, disposant d'aquesta taula tan coquetona:
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
·-4················3···6···9···15···24···39···63·
·-5····················5···9···14···23···37···60·
·-6························8···14···22···36···58·
·-7····························13···22···35···57·
·-8·································21···35···56·
·-9······································34···56·
-10···········································55·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
Com que no es tractava només d'unificar la presentació de dades sinó també l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m per a la meitat superior, Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n = 2F0+1n per a la baula perduda i Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m per a la inferior, ara era la primera la qui servia per a tots els casos i, a l'esquerra, els valors m de l'eix d'ordenades, anul·lant-se i canviant de signe, tenien continuïtat.
En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i, si després de la migdiada estava d'humor, meditaria sobre el que havíem fet, per veure si en treia conclusions. Si li anava bé, l'endemà al matí tornaria a passar.
Així ho vaig fer i, només obrir-me la porta, Lluís em preguntà si les meves cavil·lacions havien estat profitoses i m'anuncià que tornava a estar convidat a dinar. Ja a l'estudi, mentre connectava el pendrive al seu portàtil, vaig contestar, fent-me el misteriós:
—Bé, segons com es miri... He anat fent proves que m'han reafirmat en allò que ahir intuíem: que hi ha molts camins per construir una fibonacciana a partir de la Successió de Fibonacci F0+1, però no sé si val la pena que t'ho comenti...
—Home, és clar que sí. Ara no em deixaràs amb la mel a la boca...
—Bé, doncs centrant-nos en la sèrie de vint fibonaccianes d'ahir, de generació Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m, la primera cosa a destacar seria que el seu aspecte és, en general, bastant irrellevant a l'hora de deduir-ne la procedència. Limitant-nos a les set centrals, F4+6, F3+4, F2+3, F2+2, F1+2, F1+3 i F2+4, és a dir, a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3: F1+2 (m = -1) resultaria d'escapçar els dos primers membres de la Successió de Fibonacci, i F2+3 (m = 1) d'escapçar els tres primers; F2+2 (m = 0) resultaria d'escapçar el primer membre, F2+4 (m = -3) d'escapçar els dos primers i F4,6 (m = 3) d'escapçar els tres primers, multiplicant la resta per 2 en tots tres casos; finalment, F1+3 (m = -2) no guarda cap semblança amb F0+1, i F3+4 (m = 2) resultaria de l'anterior escapçant el primer membre.
—D'acord, però no deies que hi havia maneres diferents d'arribar a un mateix resultat?
—Si, home, si no m'interromps te n'explicaré uns quants. Un mètode alternatiu als que t'acabo d'explicar i que permet obtenir ràpidament aquestes successions, com si encara no haguéssim descobert que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials, consistiria a copiar la Successió de Fibonacci F0+1 sota l'original, desplaçar la còpia Fa+b m posicions, de manera que el membre Fa+bn+m se situï sota el membre F0+1n, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels que s'hagin quedat orfes. Veiem-ho, com abans, per a les fibonaccianes centrals m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3. En primer lloc l'ordenacio numérica seguida de la Successió de Fibonacci F0+1 en negreta, com de costum; en tercer lloc, la copia Famb desplaçada i escapçada, també en negreta, i en quart lloc, la fibonacciana resultant de sumar les dues anteriors, membre a membre:
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
·······3···5···8··13··21··34···55················
··3····4···6··10··16··26··42···68················
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
·······2···3···5···8··13··21···34···55···········
··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
···············0···1···1···2····3····5····8···13·
·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
—Molt rebé, Joan. Alguna cosa més?
—Sí: que la principal propietat de la Successió de Fibonacci —que el quocient entre membres consecutius F0+1n i F0+1n-1 convergeix cap a la proporció àuria, φ = 1,618034...—, s'acompleix en les fibonaccianes...
—Vols dir? Centrant-nos en les que m'ensenyaves fa un moment, que l'acompleixin fibonaccianes com F2+4, F1+2, F2+2, F2+3 o F4+6 (m = -3, -1, 0, 1 o 3), on és fàcil veure que procedeixen de manipular la Successió de Fibonacci F0+1, encara ho entenc, però aquelles que no s'hi assemblen gens, com F1+3 o F3+4 (m = -2 o 2) no ho acabo de veure.
—Fixa-t'hi: tu mateix acabes d'acceptar implícitament que aquestes dues últimes també procedeixen de F0+1, encara que no s'hi assemblin gens. I és que, com veuràs d'aquí un moment, fins i tot aquelles fiboaccianes que s'han estat muntades de manera independent, amb dos primers membres qualssevol, poden construir-se a partir de F0+1, per escapçament, producte per un nombre i suma membre a membre. Però abans vull parlar precisament d'aquestes tres operacions, ja conegudes perquè les hem utilitzat àmpliament. I, per no fer-ho massa llarg, repetint sempre "la Successió de Fibonacci i, en general, qualsevol altra successió fibonacciana...", d'ara endavant em limitaré a dir "qualsevol fibonacciana...", ja que la Successió de Fibonacci no és més que una fibonacciana que comença per 0 i 1: la fibonacciana F0+1. D'acord? Doncs vinga, pren nota d'aquestes tres propietats:
1) Escapçant qualsevol fibonacciana obtindrem una altra fibonacciana.
2) Multiplicant els membres de qualsevol fibonacciana per un enter positiu obtindrem una altra fibonacciana.
3) Sumant ordenadament els membres de dues fibonaccianes obtindrem una altra fibonacciana.
Ja es comprèn que aquestes manipulacions poden combinar-se i repetir-se ad infinitum.
—Ja està?
—Una última cosa, per rematar, i ja pots cridar la Carme que es vagi arreglant per anar a dinar. De vegades pot interessar conèixer l'n-èsim membre d'una fibonacciana Fa+b sense haver de calcular recursivament tota la seqüència de membres precedents: per exemple, quan no disposem d'un dispositiu programable i n és elevat. Aquests últims dies se m'ha ocorregut un mètode senzill per calcular directament aquest valor: només necessitem conèixer els dos primers membres, n0 = a i n1 = b, i tenir a mà una llista prou llarga de nombres de Fibonacci —a Internet trobaràs fàcilment llistes de fins a 300 nombres— o obtenir els valors (n-1)-èsim i n-èsim amb la fórmula de Binet —que trobaràs a l'article "Nombres de Fibonacci" de la Viquipèdia—. A més, a cavall de la justificació d'aquest mètode, veurem que els membres d'una fibonacciana qualsevol Fa+b es poden expressar com la suma dels productes de dos enters per sengles successions de Fibonacci F0+1 escapçades. (Per cert, havent mencionat la fórmula de Binet, on crec recordar que hi surt una arrel quadrada de cinc, ens hauríem de posar d'acord sobre com representem, si és donés el cas, les arrels quadrades: mentre ens ho maneguem tu i jo a llapis no hi ha problema, però si hem d'imprimir-ho haurem de buscar la manera de com donar continuïtat al símbol √, amb una línia horitzontal elevada que doni cobertura a la base.)
A partir dels elements inicials Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, formem la fibonacciana Fa+b:
Fa+b2 = Fa+b0 + Fa+b1 = a + b
Fa+b3 = Fa+b1 + Fa+b2 = a + 2b
Fa+b4 = Fa+b2 + Fa+b3 = 2a + 3b
Fa+b5 = Fa+b3 + Fa+b4 = 3a + 5b
Fa+b6 = Fa+b4 + Fa+b5 = 5a + 8b
Fa+b7 = Fa+b5 + Fa+b6 = 8a + 13b
Fa+b8 = Fa+b6 + Fa+b7 = 13a + 21b
·································
Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n
Perquè vegis que la fórmula funciona, calculem, per exemple, el membre novè de la fibonacciana F7+11 (n = 9, a = 7 i b = 11):
n·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
F7+11 = 7·21 + 11·34 = 147 + 374 = 521
I ara tornem a les set expressions Fa+b2 a Fa+b8 per fixar-nos en els tercers membres de les igualtats, que són binomis: els primers termes són els productes de l'enter a per uns membres de la fibonacciana F1+1 (F0+1 amb el membre 0 escapçat) i els segons són els productes de l'enter b per uns altres membres de la fibonacciana F1+2 (F0+1 amb els membres 0 i 1 escapçats), avançats una posició respecte els primers. Dit d'una altra manera, els termes de la primera columna són els productes de la constant a pels coeficients 1, 1, 2, 3, 5, 8 i 13, i els de la segona columna són els productes de la constant b pels coeficients 1, 2, 3, 5, 8, 13 i 21.
Fixa't que cada coeficient de la segona columna F0+1n té l'immediat inferior F0+1n-1 repetit damunt (el coeficient precedent, en la mateixa columna) i a l'esquerra (el coeficient de la primera columna). Vull dir que, prenent per exemple l'element 8b de la segona columna, a sobre hi té 5b i a l'esquerra 5a, i que, en ser aquests coeficients nombres consecutius de versions escapçades de la Successió de Fibonacci, 8/5 = 1,6 ≈ 1,618034... = φ. Provant-ho amb nombres consecutius més elevats, com 13/8 = 1,625 o 21/13 = 1,615385..., veureu que l'aproximació a la proporció àuria és cada cop més gran. Però, sabent que F0+1n/F0+1n-1 ≈ φ, el que volem esbrinar és si també tot Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ φ.
D'una banda: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n ≈ aF0+1n-1 + φbF0+1n-1 = F0+1n-1(a + φb)
De l'altra: Fa+bn-1 = Fa+bn-3 + Fa+bn-2 = aF0+1n-2 + bF0+1n-1 ≈ aF0+1n-2 + φbF0+1n-2 = F0+1n-2(a + φb)
Substituint aquestes equivalències: Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ F0+1n-1(a + φb)/F0+1n-2(a + φb) = F0+1n-1/F0+1n-2 ≈ φ
És a dir, que el quocient entre membres consecutius de qualsevol successió fibonaccioana Fa+b tendeix a la proporció àuria φ, com el de la Successió de Fibonacci F0+1. D'acord?
—Si, home. Però després d'aquest patracol, què deixes per a mi? —exclamà Lluís, amb posat abatut i veu compungida.
—No t'amoïnis, que també havia pensat amb els teus deures... Vols que te'ls expliqui ara o ho deixem per després de dinar, mentre prenem cafè i copa?
—Res de deixar-ho per després de dinar, que si ens sent la Carme pensarà que estem bojos. Digues-m'ho ara i així en prendré nota perquè no se m'oblidi.
—Doncs mira, no cal que t'apuntis res, perquè és molt senzill d'entendre: ara que sabem construir una fibonacciana a partir dels dos primers membres, i també obtenir-la d'altres fibonaccianes mitjançant les operacions que hem descrit, no aniria malament definir una fibonacciana a partir de dos membres qualssevol. Vols pensar-t'ho?
—Bé, suposo que no deus voler únicament que m'ho pensi, sinó que arribi a uns resultats, a uns procediments d'actuació, no?
—És clar, Lluís. Tampoc crec que costi tant. En fi, tu mateix...
—D'acord, doncs. Recullo el guant i em comprometo a tenir resultats abans d'una setmana.
—Tranquil, no cal exagerar... Recorda la dita italiana: "piano, piano, si va lontano".
l´Autor
Últims relats de l'autor
- Llegir i escriure.
- Divagacions macabres. [temps real de lectura: 1 minut]
- Mentider! [temps real de lectura: 2 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre ESGLAONS I GRAONS [temps real de lectura: 3 minuts]
- Fibonacci, punt final. [temps real de lectura: 42 minuts]
- Fibonacci, punt i seguit. [temps real de lectura: 26 minuts]
- Crim i càstig.
- Santa innocència. [temps real de lectura: 2 minuts]
- Un lletraferit malastruc. [temps real de lectura: 3 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre LLEPAR [temps real de lectura: 3 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre SEXE [temps real de lectura: 3 minuts]
- DEP, germana.
- Vint nanoocurrències sobre PA AMB TOMÀQUET [temps real de lectura: 3 minuts]
- Esferes.
- TOC, TOC. [temps real de lectura: 4 minuts]