Cercador
Cramer contra Cramer. [temps real de lectura : 16 minuts].
Un relat de: Joan Colom- Compartir:
No m'he equivocat amb el títol, no. Ja sé que el títol d'aquella pel·lícula que va arrasar a finals dels setanta era "Kramer contra Kramer", però el Cramer que tenia al cap era un matemàtic suís del segle XVIII, l'aportació més rellevant de qual fou la regla de resolució de sistemes d'equacions lineals que du el seu nom.
Des dels fets recollits en els relats "Fibonacci i cia", "Fibonacci, punt i seguit" i "Fibonacci, punt final", que l'amic Lluís no m'havia donat la tabarra amb les seves dèries matemàtiques, i aquesta vegada he estat jo qui ha hagut de recórrer als seus serveis per sortir de l'atzucac on havia anat a parar, tot per les ganes que tenia de donar una no-resposta adequada —de resposta no se'n mereixen cap— a uns relataires amb les idees no massa clares.
Com a brevíssim comentari al meu relat "Vint nanoocurrències sobre NOUS RECOMANATS EDITORA" (16/12/2024), un relataire s'havia limitat a escriure "Quines ganes de fer el mestretites. En hora bona!". Bé, no és que s'hagués limitat a això, sinó que a més hi havia inclòs la Valoració: 1 que, de fet, com a nota mínima és un zero intencional. D'entrada vaig quedar perplex, perquè ja el tenia per un senyor de reaccions més aviat viscerals però no me l'imaginava formant part del col·lectiu Taller de narrativa, que eren els qui havien manifestat certa irritació per les al·lusions... fins que vaig localitzar el cos del delicte en la nanoocurrència Podria ser? (1): la innocent referència a Carles Puigdemont, que a ell li devia haver semblat d'una irreverència que fregava el sacrilegi. I immediatament em vingué a la memòria un cas similar, a càrrec d'una relataire que es confessava seguidora de l'anterior i que, en un comentari al meu relat "Dec ser un mal català" (30/08/2024), afirmava "Es trist veure que tenim relators en la pell fina.... soc d'escriure poc i llegir molt... no anem be, no, no..." i també hi afegia la Valoració: 1. Si línies enrere els he descrit com a relataires amb les idees poc clares, era per haver-se mostrat incapaços de discernir entre el meu posicionament ideològic, antagònic al seu pel que sembla, i la vàlua literària dels meus escrits. M'agafen calfreds quan penso que gent així, que se sent facultada per dispensar patents de catalanitat, pot arribar a governar el país! I ara que he buidat el pap, seguiré amb el relat.
Quan ahir el vaig telefonar per demanar-li ajuda, en Lluís em va posar com a única condició que tragués de l'amagatall aquell Lagavulin reservat per a les bones ocasions, i em va assegurar que vindria en acabat de dinar. Un cop a casa, després de saludar la dona, que era a la saleta mirant la tele, vam anar a l'estudi i vam seure, costat per costat, a la taula on ens esperava l'ampolla de whisky, encara per encetar, un parell de gots i uns papers escampats davant del portàtil, que vaig engegar tot seguit. Vaig explicar-li els fets que us he avançat en el llarg paràgraf precedent, mentre accedia a la meva pàgina de Relats en Català i per la pantalla desfilaven els dos relats en qüestió i els comentaris poc amistosos. Vaig tractar d'aclarir que la no-resposta a què em referia volia que fos un relat ubicat en una classe de matemàtiques, de l'estil de la d'"El nombre e i la mare que el va parir", amb el pretext de mostrar la mínima incidència que les dues avaluacions havien tingut, malgrat tot, en la valoració global que figurava en el meu perfil d'autor. I potser convenia que la classe comencés amb una introducció del professor on, tot donant per explicat el tema "Resolució d'un sistema de n equacions lineals amb n incògnites mitjançant la Regla de Cramer", en una sessió anterior, insistís en la conveniència de precedir sempre l'aplicació mecànica d'aquest mètode amb una reflexió per veure quina estratègia era la més adient, d'entre totes les possibles. I, ja entrant en matèria amb un exercici d'aplicació, el professor hauria de situar la classe en el context de RC, de la manera següent, si fa no fa:
La valoració de l'autor és la mitjana aritmètica de totes les avaluacions dels seus relats, és a dir, la suma de totes les avaluacions 1, 2, 3... 9 i 10 dividida pel nombre total d'avaluacions N. Però, com que, per a N > 10, hi ha avaluacions que es repeteixen, si anomenem Ni al nombre d'avaluacions de relats amb nota i, aquesta mitjana es pot resumir en la forma
(N1 + 2N2 + 3N3 + ... + 9N9 + 10N10)/(N1 + N2 + N3 + ... + N9 + N10).
En el meu cas —i que quedi entre nosaltres, vaig advertir a Lluís— he tingut la humorada de rastrejar tots els comentaris a tots els meus relats fins a la data 20/12/2024, prenent nota de les avaluacions, amb el resultat següent:
Avaluacions 10: N10 = 169,
avaluacions 9: N9 = 10,
avaluacions 8: N8 = 2 i
avaluacions 1: N1 = 2.
Com veus, no he tret notes per sota del 8... tret de les dues avaluacions 1, que es van produir als dies 01/09/2024 i 16/12/2024. M'interessava considerar les mitjanes corresponents a aquestes dues dates, immediatament després d'haver-se produït les avaluacions de càstig i en els dies immediatament anteriors:
Mitjana a dia 31/08/2024 (N10 = 158, N9 = 10, N8 = 2):
(1580 + 90 + 16)/170 = 1686/170 = 9,917647 ≈ 9,92.
Mitjana a dia 01/09/2024 (N10 = 158, N9 = 10, N8 = 2, N1 = 1):
(1580 + 90 + 16 + 1)/171 = 1687/171 = 9,865497 ≈ 9,87.
Mitjana a dia 15/12/2024 (N10 = 169, N9 = 10, N8 = 2, N1 = 1):
(1690 + 90 + 16 + 1)/182 = 1797/182 = 9,873626 ≈ 9,87.
Mitjana a dia 16/12/2024 (N10 = 169, N9 = 10, N8 = 2, N1 = 2):
(1690 + 90 + 16 + 2)/183 = 1798/183 = 9,825137 ≈ 9,83.
Els quatre resultats aproximats amb sis decimals són els que farem servir en els càlculs per obtenir millor precisió. Ja es veu que no podem utilizar les aproximacions amb dos decimals, que són les que ofereix RC com a valoració de l'autor, perquè condueixen a conclusions paradoxals que interferirien negativament en la resolució del problema; per exemple, ens durien a suposar que entre el trenta-u d'agost i l'u de setembre no havia passat res significatiu, atès que la mitjana 9,87 no havia variat. La meva idea era ocultar als alumnes, en el relat, la procedència d'aquestes mitjanes de sis decimals: se'ls diria que era la informació facilitada per RC. En definitiva, l'exercici que es presentaria a classe tindria aquest enunciat:
1) L'única informació que teníem a dia 31/08/24 era la mitjana de les avaluacions, de 9,917647 punts, i que en aquestes avaluacions només hi figurava el 8, el 9 i el 10.
2) El dia 01/09/2024 va haver-hi una avaluació 1, cosa que va fer recular la mitjana a 9,865497 punts.
3) Entre aquest dia i el 15/12/2024 només es van produir 11 avaluacions 10, i al final d'aquest període la mitjana era de 9,873626 punts.
4) El dia 16/12/2024 va haver-hi una altra avaluació 1, cosa que va fer recular la mitjana a 9,825137 punts.
Es demana el nombre N10 d'avaluacions 10, el nombre N9 d'avaluacions 9 i el nombre N8 d'avaluacions 8 que, en data 31/08/24, donaven la mitjana de 9,917647 punts.
I ara ve quan el maten —vaig dir a Lluís mentre destapava solemnement l'ampolla de Lagavulin i servia dos generosos raigs—. Com que el record sobre la compatibilitat de les equacions d'un sistema el tenia força nebulós, vaig pensar que, si disposava de tantes equacions com de mitjanes aritmètiques subministrades, és a dir, de quatre, també havia de tenir quatre incògnites... però només en veia tres: el nombre d'avaluacions N10, N9 i el N8 d'avaluacions fins al dia 31/08/24. I llavors se'm va ocórrer la bestiesa de treure un conill del copalta: faria veure que desconeixia que entre el 01/09/2024 i el 15/12/2024 només es van produir 11 avaluacions 10, i el total d'avaluacions 10 fins al segon dia el convertiria en la quarta incògnita Ñ10 (Ñ10 = 11 + N10). Així que el sistema de quatre equacions lineals amb quatre incògnites era:
(8N8 + 9N9 + 10N10)/(N8 + N9 + N10) = 9,917647
(8N8 + 9N9 + 10N10 + 1)/(N8 + N9 + N10 + 1) = 9,865497
(8N8 + 9N9 + 10Ñ10 + 1)/(N8 + N9 + Ñ10 + 1) = 9,873626
(8N8 + 9N9 + 10Ñ10 + 2)/(N8 + N9 + Ñ10 + 2) = 9,825137
(9,917647 - 8)N8 + (9,917647 - 9)N9 + (9,917647 - 10)N10 = 1,917647N8 + 0,917647N9 - 0,082353N10 = 0
(9,865497 - 8)N8 + (9,865497 - 9)N9 + (9,917647 - 10)N10 = 1,865497N8 + 0,865497N9 - 0,134503N10 = 1 – 9,865497 = -8,865497
(9,873626 - 8)N8 + (9,873626 - 9)N9 + (9,873626 - 10)Ñ10 = 1,873626N8 + 0,873626N9 - 0,126374Ñ10 = 1 – 9,873626 = -8,873626
(9,825137 - 8)N8 + (9,825137 - 9)N9 + (9,825137 - 10)Ñ10 = 1,825137N8 + 0,825137N9 - 0,174863Ñ10 = 2 – 2·9,825137 = -17,650274
El determinant pral. (de la matriu dels coeficients del sistema) era
│ 1,917647 0,917647 -0,082353· 0 · · · · · · │
│ 1,865497 0,865497 -0,134503· 0 · · · · · · │
│ 1,873626 0,873626 ·0 · · · · · · -0,126374 │
│ 1,825137 0,825137 ·0 · · · · · · -0,174863 │
i els locals (substituint columnes pels termes independents) eren
│· ·0 · · · · · · 0,917647 -0,082353· 0 · · · · · · │
│· -8,865497 0,865497 -0,134503· 0 · · · · · · │
│· -8,873626 0,873626 ·0 · · · · · · -0,126374 │
│-17,650274 0,825137 ·0 · · · · · · -0,174863 │
│ 1,917647 · ·0 · · · · · · -0,082353· 0 · · · · · · │
│ 1,865497 · -8,865497 -0,134503· 0 · · · · · · │
│ 1,873626 · -8,873626 ·0 · · · · · · -0,126374 │
│ 1,825137 -17,650274 ·0 · · · · · · -0,174863 │
│ 1,917647 0,917647 · ·0 · · · · · · · 0 · · · · · · │
│ 1,865497 0,865497 · -8,865497 · 0 · · · · · · │
│ 1,873626 0,873626 · -8,873626 ·-0,126374 │
│ 1,825137 0,825137 -17,650274 ·-0,174863 │
│ 1,917647 0,917647 -0,082353 · ·0 · · · · · · │
│ 1,865497 0,865497 -0,082353 · -8,865497 │
│ 1,873626 0,873626 ·0 · · · · · · · -8,873626 │
│ 1,825137 0,825137 ·0 · · · · · · -17,650274 │
Tots cinc determinants eren nuls, o sigui que
N8 = N9 = N10 = Ñ10 = 0/0, i això significava que el sistema tenia infinites solucions. Haver-me tret de la màniga una falsa quarta incògnita Ñ10 = 11 + N10), per quadrar el sistema de quatre equacions, no havia servit de res: el resultat de l'aplicació de la Regla de Cramer evidenciava que alguna d'aquestes quatre era combinació lineal de les altres tres. Dit d'una altra manera, el sistema era redundant o, més clar encara, sobrava una equació.
Com que en Lluís no deia res, semblava entendre les meves explicacions i de tant en tant assentia amb el cap, vaig decidir prosseguir. Eliminaria tota referència a Ñ10, em quedaria amb les tres primeres equacions
(8N8 + 9N9 + 10N10)/(N8 + N9 + N10) = 9,917647
(9,917647 - 8)N8 + (9,917647 - 9)N9 + (9,917647 - 10)N10 = 1,917647N8 + 0,917647N9 - 0,082353N10 = 0
(8N8 + 9N9 + 10N10 + 1)/(N8 + N9 + N10 + 1) = 9,865497
(9,865497 - 8)N8 + (9,865497 - 9)N9 + (9,917647 - 10)N10 = 1,865497N8 + 0,865497N9 - 0,134503N10 = 1 – 9,865497 = -8,865497
(8N8 + 9N9 + 10N10 + 110 + 1)/(N8 + N9 + N10 + 11 + 1) = 9,873626
(9,873626 - 8)N8 + (9,873626 - 9)N9 + (9,873626 - 10)N10 + 9,873626·12 – 111 = 1,873626N8 + 0,873626N9 - 0,126374N10 = -7,483512
i un cop resolt el sistema, amb solucions úniques per a N8, N9 i N10, comprovaria si aquests valors satisfeien la quarta
(8N8 + 9N9 + 10N10 + 110 + 2)/(N8 + N9 + N10 + 11 + 2) = 9,825137
(9,825137 - 8)N8 + (9,825137 - 9)N9 + (9,825137 - 10)N10 + 9,825137·13 - 112 = 1,825137N8 + 0,825137N9 - 0,174863N10 = -15,726781
El determinant pral. (de la matriu dels coeficients del sistema) era
│ 1,917647 0,917647 -0,082353 │
│ 1,865497 0,865497 -0,134503 │
│ 1,873626 0,873626 -0,126374 │
i els locals (substituint columnes pels termes independents) eren
│ ·0 · · · · · · 0,917647 -0,082353 │
│ -8,865497 0,865497 -0,134503 │
│ -7,483512 0,873626 -0,126374 │
│ 1,917647 ·0 · · · · · · -0,082353 │
│ 1,865497 -8,865497 -0,134503 │
│ 1,873626 -7,483512 -0,126374 │
│ 1,917647 0,917647 ·0 · · · · · · │
│ 1,865497 0,865497 -8,865497 │
│ 1,873626 0,873626 -7,483512 │
Però cagonlaputa, en Cramer dels collons, el Cramer contra Cramer, altre cop els cinc determinants eren nuls, N8 = N9 = N10 = 0/0, i aquest sistema reduït seguia tenint infinites solucions! Fins i tot, abans de tirar la tovallola, vaig arribar a pensar que potser la mala sort m'havia dut a triar precisament les tres equacions equivocades, però no: la indeterminació 0/0 , fruit d'aplegar la primera, segona i tercera equació, subsistia muntant el sistema amb la primera, segona i quarta, amb la primera, tercera i quarta i amb la segona tercera i quarta...
Desesperat, em vaig tornar a servir mig gotet de whisky i n'hi vaig oferir a Lluís, que el va refusar educadament. Ara ja sabia per què l'havia trucat, i estava un pèl descol·locat perquè havia seguit amb atenció el procés i tot ho trobava correcte: ell hauria fet el mateix, si fa no fa, i no sabia què cony estava passant. Estava disposat a acceptar que hi hagués altres solucions, a més de la que coneixíem i que en realitat era el punt de partença, però no infinites solucions. A ell se l'en fotia la meva motivació i li semblava una mica ridícul que, a la meva edat, un parell de galifardeus de RC m'haguessin tret de polleguera. Però, com a repte matemàtic, no el deixava indiferent i em demanà, si no m'importava, que li deixés endur-se a casa aquell plec de papers. No em podia prometre resultats, però m'assegurà que seguiria donant voltes al tema. Jo, encantat de la vida, li vaig posar en un dossier de plàstic i li vaig recomanar, si necessitava seguir insistint amb la Regla de Cramer, l'aplicació online "Matrix calculator", que permetia calcular determinants o abordar directament la resolució de sistemes d'equacions lineals i, a sobre, donava opció a interactuar en català. Quan se n'anà, em vaig sentir alleujat: potser perquè un sisè sentit m'estava dient que en Lluís, amb la seva propensió a obsessionar-se per les coses i no deixar-les de banda fins a obtenir alguna resposta, tornaria amb la solució?
Efectivament, avui al matí ha trucat en Lluís per anunciar-me que ja ho tenia i que, com ahir, passaria en acabat de dinar. A més d'un timbre de veu inequívocament exultant, m'ha semblat apreciar una cadència ampul·losa, com d'autocomplaença. Quan l'he tingut a casa, però, l'he vist frisós de fer-me partícip de la bona nova i els dos hem anat directament a l'estudi. M'ha dit que no calia que engegués el portàtil, perquè ens podíem oblidar de Cramer i la seva regla. I ha posat damunt la taula només una quartilla.
Recordant la meva perorata d'ahir, semblava que haguéssim intercanviat els papers: ell s'explicava i jo assentia, embadalit. Ha començat dient que només quedava que seguir reculant: havíem començat amb quatre equacions de primer grau, havíem continuat amb tres i ara no hi havia més pebrots que provar amb dues. Però seguíem tenint tres incògnites: N8, N9 i N10. I si provàvem amb dues variables diferents, V = 8N8 + 9N9 + 10N10 i N = N8 + N9 + N10? Amb aquestes variables, les quatre equacions, que expressaven les mitjanes aritmètiques de les avaluacions en moments diferents, prenien una forma ben senzilla:
V/N = 9,917647
(V + 1)/(N + 1) = 9,865497
(V + 111)/(N + 12) = 9,873626
(V + 112)/(N + 13) = 9,825137
Resoldrem el sistema format per les dues primeres, cosa que és bufar i fer ampolles, i els valors obtinguts els verificarem en les dues següents.
De la primera equació surt immediatament
V = 9,917647N
i de la segona
V + 1 = 9,865497N + 9,865497
V = 9,865497N + 8,865497
I, igualant les dues expressions que posen V en funció de N, tindrem
9,917647N = 9,865497N + 8,865497
0,05215N = 8,865497
N = 8,865497/0,05215 = 170 i
V = 9,917647·170 = 1686.
Abans de seguir, comprovarem que aquests valors satisfan la tercera i quarta equacions:
1797/182 = 9,873626
1798/183 = 9,825137.
I ara, què fem? Doncs recuperar les variables operatives, les incògnites,
8N8 + 9N9 + 10N10 = V = 1686.
N8 + N9 + N10 = N = 170.
Multiplicant per deu tots els termes d'aquesta última igualtat, tindrem
10N8 + 10N9 + 10N10 = 1700,
i, restant-hi la primera,
2N8 + N9 = 14.
Doncs bé, si partint de 0 anem assignant valors enters positius a N8 i calculant els de les dues altres incògnites, mitjançant les equivalències
N9 = 14 - 2N8
N10 = 170 - (N8 + N9),
anirem formant una taula de vuit tríades de valors possibles:
│ N8│ N9│ N10 │
│· 0 │14 │ 156 │
│· 1 │12 │ 157 │
│· 2 │10 │ 158 │ (valors en el nostre cas, a dia 31/08/2024)
│· 3 │· 8 │ 159 │
│· 4 │· 6 │ 160 │
│· 5 │· 4 │ 161 │
│· 6 │· 2 │ 162 │
│· 7 │· 0 │ 163 │
Vet aquí per què Cramer s'encallava: hi havia 8 solucions!!!
No content amb haver aportat la solució, Lluís m'ha suggerit que en el relat no hi vagi de dret, a la solució, sinó que presenti un professor en possessió d'aquesta veritat, de bon principi —la superioritat intel·lectual del profe mai no ha de quedar en entredit—, i que malgrat això vol fer pedagogia mostrant les giragonses en què es pot perdre l'alumne poc avesat a interpretar correctament els resultats d'aplicació de la Regla de Cramer: en definitiva, que converteixi les meves vacil·lacions en un recurs didàctic.
Així que, per celebrar-ho, hem acabat a la saleta per fer partícip a la meva dona de la joiosa satisfacció matemàtica... i de les delícies dels Highlands escocesos. A l'ampolla de Lagavulin, que ahir vam encetar, ja només queda un culet.
Des dels fets recollits en els relats "Fibonacci i cia", "Fibonacci, punt i seguit" i "Fibonacci, punt final", que l'amic Lluís no m'havia donat la tabarra amb les seves dèries matemàtiques, i aquesta vegada he estat jo qui ha hagut de recórrer als seus serveis per sortir de l'atzucac on havia anat a parar, tot per les ganes que tenia de donar una no-resposta adequada —de resposta no se'n mereixen cap— a uns relataires amb les idees no massa clares.
Com a brevíssim comentari al meu relat "Vint nanoocurrències sobre NOUS RECOMANATS EDITORA" (16/12/2024), un relataire s'havia limitat a escriure "Quines ganes de fer el mestretites. En hora bona!". Bé, no és que s'hagués limitat a això, sinó que a més hi havia inclòs la Valoració: 1 que, de fet, com a nota mínima és un zero intencional. D'entrada vaig quedar perplex, perquè ja el tenia per un senyor de reaccions més aviat viscerals però no me l'imaginava formant part del col·lectiu Taller de narrativa, que eren els qui havien manifestat certa irritació per les al·lusions... fins que vaig localitzar el cos del delicte en la nanoocurrència Podria ser? (1): la innocent referència a Carles Puigdemont, que a ell li devia haver semblat d'una irreverència que fregava el sacrilegi. I immediatament em vingué a la memòria un cas similar, a càrrec d'una relataire que es confessava seguidora de l'anterior i que, en un comentari al meu relat "Dec ser un mal català" (30/08/2024), afirmava "Es trist veure que tenim relators en la pell fina.... soc d'escriure poc i llegir molt... no anem be, no, no..." i també hi afegia la Valoració: 1. Si línies enrere els he descrit com a relataires amb les idees poc clares, era per haver-se mostrat incapaços de discernir entre el meu posicionament ideològic, antagònic al seu pel que sembla, i la vàlua literària dels meus escrits. M'agafen calfreds quan penso que gent així, que se sent facultada per dispensar patents de catalanitat, pot arribar a governar el país! I ara que he buidat el pap, seguiré amb el relat.
Quan ahir el vaig telefonar per demanar-li ajuda, en Lluís em va posar com a única condició que tragués de l'amagatall aquell Lagavulin reservat per a les bones ocasions, i em va assegurar que vindria en acabat de dinar. Un cop a casa, després de saludar la dona, que era a la saleta mirant la tele, vam anar a l'estudi i vam seure, costat per costat, a la taula on ens esperava l'ampolla de whisky, encara per encetar, un parell de gots i uns papers escampats davant del portàtil, que vaig engegar tot seguit. Vaig explicar-li els fets que us he avançat en el llarg paràgraf precedent, mentre accedia a la meva pàgina de Relats en Català i per la pantalla desfilaven els dos relats en qüestió i els comentaris poc amistosos. Vaig tractar d'aclarir que la no-resposta a què em referia volia que fos un relat ubicat en una classe de matemàtiques, de l'estil de la d'"El nombre e i la mare que el va parir", amb el pretext de mostrar la mínima incidència que les dues avaluacions havien tingut, malgrat tot, en la valoració global que figurava en el meu perfil d'autor. I potser convenia que la classe comencés amb una introducció del professor on, tot donant per explicat el tema "Resolució d'un sistema de n equacions lineals amb n incògnites mitjançant la Regla de Cramer", en una sessió anterior, insistís en la conveniència de precedir sempre l'aplicació mecànica d'aquest mètode amb una reflexió per veure quina estratègia era la més adient, d'entre totes les possibles. I, ja entrant en matèria amb un exercici d'aplicació, el professor hauria de situar la classe en el context de RC, de la manera següent, si fa no fa:
La valoració de l'autor és la mitjana aritmètica de totes les avaluacions dels seus relats, és a dir, la suma de totes les avaluacions 1, 2, 3... 9 i 10 dividida pel nombre total d'avaluacions N. Però, com que, per a N > 10, hi ha avaluacions que es repeteixen, si anomenem Ni al nombre d'avaluacions de relats amb nota i, aquesta mitjana es pot resumir en la forma
(N1 + 2N2 + 3N3 + ... + 9N9 + 10N10)/(N1 + N2 + N3 + ... + N9 + N10).
En el meu cas —i que quedi entre nosaltres, vaig advertir a Lluís— he tingut la humorada de rastrejar tots els comentaris a tots els meus relats fins a la data 20/12/2024, prenent nota de les avaluacions, amb el resultat següent:
Avaluacions 10: N10 = 169,
avaluacions 9: N9 = 10,
avaluacions 8: N8 = 2 i
avaluacions 1: N1 = 2.
Com veus, no he tret notes per sota del 8... tret de les dues avaluacions 1, que es van produir als dies 01/09/2024 i 16/12/2024. M'interessava considerar les mitjanes corresponents a aquestes dues dates, immediatament després d'haver-se produït les avaluacions de càstig i en els dies immediatament anteriors:
Mitjana a dia 31/08/2024 (N10 = 158, N9 = 10, N8 = 2):
(1580 + 90 + 16)/170 = 1686/170 = 9,917647 ≈ 9,92.
Mitjana a dia 01/09/2024 (N10 = 158, N9 = 10, N8 = 2, N1 = 1):
(1580 + 90 + 16 + 1)/171 = 1687/171 = 9,865497 ≈ 9,87.
Mitjana a dia 15/12/2024 (N10 = 169, N9 = 10, N8 = 2, N1 = 1):
(1690 + 90 + 16 + 1)/182 = 1797/182 = 9,873626 ≈ 9,87.
Mitjana a dia 16/12/2024 (N10 = 169, N9 = 10, N8 = 2, N1 = 2):
(1690 + 90 + 16 + 2)/183 = 1798/183 = 9,825137 ≈ 9,83.
Els quatre resultats aproximats amb sis decimals són els que farem servir en els càlculs per obtenir millor precisió. Ja es veu que no podem utilizar les aproximacions amb dos decimals, que són les que ofereix RC com a valoració de l'autor, perquè condueixen a conclusions paradoxals que interferirien negativament en la resolució del problema; per exemple, ens durien a suposar que entre el trenta-u d'agost i l'u de setembre no havia passat res significatiu, atès que la mitjana 9,87 no havia variat. La meva idea era ocultar als alumnes, en el relat, la procedència d'aquestes mitjanes de sis decimals: se'ls diria que era la informació facilitada per RC. En definitiva, l'exercici que es presentaria a classe tindria aquest enunciat:
1) L'única informació que teníem a dia 31/08/24 era la mitjana de les avaluacions, de 9,917647 punts, i que en aquestes avaluacions només hi figurava el 8, el 9 i el 10.
2) El dia 01/09/2024 va haver-hi una avaluació 1, cosa que va fer recular la mitjana a 9,865497 punts.
3) Entre aquest dia i el 15/12/2024 només es van produir 11 avaluacions 10, i al final d'aquest període la mitjana era de 9,873626 punts.
4) El dia 16/12/2024 va haver-hi una altra avaluació 1, cosa que va fer recular la mitjana a 9,825137 punts.
Es demana el nombre N10 d'avaluacions 10, el nombre N9 d'avaluacions 9 i el nombre N8 d'avaluacions 8 que, en data 31/08/24, donaven la mitjana de 9,917647 punts.
I ara ve quan el maten —vaig dir a Lluís mentre destapava solemnement l'ampolla de Lagavulin i servia dos generosos raigs—. Com que el record sobre la compatibilitat de les equacions d'un sistema el tenia força nebulós, vaig pensar que, si disposava de tantes equacions com de mitjanes aritmètiques subministrades, és a dir, de quatre, també havia de tenir quatre incògnites... però només en veia tres: el nombre d'avaluacions N10, N9 i el N8 d'avaluacions fins al dia 31/08/24. I llavors se'm va ocórrer la bestiesa de treure un conill del copalta: faria veure que desconeixia que entre el 01/09/2024 i el 15/12/2024 només es van produir 11 avaluacions 10, i el total d'avaluacions 10 fins al segon dia el convertiria en la quarta incògnita Ñ10 (Ñ10 = 11 + N10). Així que el sistema de quatre equacions lineals amb quatre incògnites era:
(8N8 + 9N9 + 10N10)/(N8 + N9 + N10) = 9,917647
(8N8 + 9N9 + 10N10 + 1)/(N8 + N9 + N10 + 1) = 9,865497
(8N8 + 9N9 + 10Ñ10 + 1)/(N8 + N9 + Ñ10 + 1) = 9,873626
(8N8 + 9N9 + 10Ñ10 + 2)/(N8 + N9 + Ñ10 + 2) = 9,825137
(9,917647 - 8)N8 + (9,917647 - 9)N9 + (9,917647 - 10)N10 = 1,917647N8 + 0,917647N9 - 0,082353N10 = 0
(9,865497 - 8)N8 + (9,865497 - 9)N9 + (9,917647 - 10)N10 = 1,865497N8 + 0,865497N9 - 0,134503N10 = 1 – 9,865497 = -8,865497
(9,873626 - 8)N8 + (9,873626 - 9)N9 + (9,873626 - 10)Ñ10 = 1,873626N8 + 0,873626N9 - 0,126374Ñ10 = 1 – 9,873626 = -8,873626
(9,825137 - 8)N8 + (9,825137 - 9)N9 + (9,825137 - 10)Ñ10 = 1,825137N8 + 0,825137N9 - 0,174863Ñ10 = 2 – 2·9,825137 = -17,650274
El determinant pral. (de la matriu dels coeficients del sistema) era
│ 1,917647 0,917647 -0,082353· 0 · · · · · · │
│ 1,865497 0,865497 -0,134503· 0 · · · · · · │
│ 1,873626 0,873626 ·0 · · · · · · -0,126374 │
│ 1,825137 0,825137 ·0 · · · · · · -0,174863 │
i els locals (substituint columnes pels termes independents) eren
│· ·0 · · · · · · 0,917647 -0,082353· 0 · · · · · · │
│· -8,865497 0,865497 -0,134503· 0 · · · · · · │
│· -8,873626 0,873626 ·0 · · · · · · -0,126374 │
│-17,650274 0,825137 ·0 · · · · · · -0,174863 │
│ 1,917647 · ·0 · · · · · · -0,082353· 0 · · · · · · │
│ 1,865497 · -8,865497 -0,134503· 0 · · · · · · │
│ 1,873626 · -8,873626 ·0 · · · · · · -0,126374 │
│ 1,825137 -17,650274 ·0 · · · · · · -0,174863 │
│ 1,917647 0,917647 · ·0 · · · · · · · 0 · · · · · · │
│ 1,865497 0,865497 · -8,865497 · 0 · · · · · · │
│ 1,873626 0,873626 · -8,873626 ·-0,126374 │
│ 1,825137 0,825137 -17,650274 ·-0,174863 │
│ 1,917647 0,917647 -0,082353 · ·0 · · · · · · │
│ 1,865497 0,865497 -0,082353 · -8,865497 │
│ 1,873626 0,873626 ·0 · · · · · · · -8,873626 │
│ 1,825137 0,825137 ·0 · · · · · · -17,650274 │
Tots cinc determinants eren nuls, o sigui que
N8 = N9 = N10 = Ñ10 = 0/0, i això significava que el sistema tenia infinites solucions. Haver-me tret de la màniga una falsa quarta incògnita Ñ10 = 11 + N10), per quadrar el sistema de quatre equacions, no havia servit de res: el resultat de l'aplicació de la Regla de Cramer evidenciava que alguna d'aquestes quatre era combinació lineal de les altres tres. Dit d'una altra manera, el sistema era redundant o, més clar encara, sobrava una equació.
Com que en Lluís no deia res, semblava entendre les meves explicacions i de tant en tant assentia amb el cap, vaig decidir prosseguir. Eliminaria tota referència a Ñ10, em quedaria amb les tres primeres equacions
(8N8 + 9N9 + 10N10)/(N8 + N9 + N10) = 9,917647
(9,917647 - 8)N8 + (9,917647 - 9)N9 + (9,917647 - 10)N10 = 1,917647N8 + 0,917647N9 - 0,082353N10 = 0
(8N8 + 9N9 + 10N10 + 1)/(N8 + N9 + N10 + 1) = 9,865497
(9,865497 - 8)N8 + (9,865497 - 9)N9 + (9,917647 - 10)N10 = 1,865497N8 + 0,865497N9 - 0,134503N10 = 1 – 9,865497 = -8,865497
(8N8 + 9N9 + 10N10 + 110 + 1)/(N8 + N9 + N10 + 11 + 1) = 9,873626
(9,873626 - 8)N8 + (9,873626 - 9)N9 + (9,873626 - 10)N10 + 9,873626·12 – 111 = 1,873626N8 + 0,873626N9 - 0,126374N10 = -7,483512
i un cop resolt el sistema, amb solucions úniques per a N8, N9 i N10, comprovaria si aquests valors satisfeien la quarta
(8N8 + 9N9 + 10N10 + 110 + 2)/(N8 + N9 + N10 + 11 + 2) = 9,825137
(9,825137 - 8)N8 + (9,825137 - 9)N9 + (9,825137 - 10)N10 + 9,825137·13 - 112 = 1,825137N8 + 0,825137N9 - 0,174863N10 = -15,726781
El determinant pral. (de la matriu dels coeficients del sistema) era
│ 1,917647 0,917647 -0,082353 │
│ 1,865497 0,865497 -0,134503 │
│ 1,873626 0,873626 -0,126374 │
i els locals (substituint columnes pels termes independents) eren
│ ·0 · · · · · · 0,917647 -0,082353 │
│ -8,865497 0,865497 -0,134503 │
│ -7,483512 0,873626 -0,126374 │
│ 1,917647 ·0 · · · · · · -0,082353 │
│ 1,865497 -8,865497 -0,134503 │
│ 1,873626 -7,483512 -0,126374 │
│ 1,917647 0,917647 ·0 · · · · · · │
│ 1,865497 0,865497 -8,865497 │
│ 1,873626 0,873626 -7,483512 │
Però cagonlaputa, en Cramer dels collons, el Cramer contra Cramer, altre cop els cinc determinants eren nuls, N8 = N9 = N10 = 0/0, i aquest sistema reduït seguia tenint infinites solucions! Fins i tot, abans de tirar la tovallola, vaig arribar a pensar que potser la mala sort m'havia dut a triar precisament les tres equacions equivocades, però no: la indeterminació 0/0 , fruit d'aplegar la primera, segona i tercera equació, subsistia muntant el sistema amb la primera, segona i quarta, amb la primera, tercera i quarta i amb la segona tercera i quarta...
Desesperat, em vaig tornar a servir mig gotet de whisky i n'hi vaig oferir a Lluís, que el va refusar educadament. Ara ja sabia per què l'havia trucat, i estava un pèl descol·locat perquè havia seguit amb atenció el procés i tot ho trobava correcte: ell hauria fet el mateix, si fa no fa, i no sabia què cony estava passant. Estava disposat a acceptar que hi hagués altres solucions, a més de la que coneixíem i que en realitat era el punt de partença, però no infinites solucions. A ell se l'en fotia la meva motivació i li semblava una mica ridícul que, a la meva edat, un parell de galifardeus de RC m'haguessin tret de polleguera. Però, com a repte matemàtic, no el deixava indiferent i em demanà, si no m'importava, que li deixés endur-se a casa aquell plec de papers. No em podia prometre resultats, però m'assegurà que seguiria donant voltes al tema. Jo, encantat de la vida, li vaig posar en un dossier de plàstic i li vaig recomanar, si necessitava seguir insistint amb la Regla de Cramer, l'aplicació online "Matrix calculator", que permetia calcular determinants o abordar directament la resolució de sistemes d'equacions lineals i, a sobre, donava opció a interactuar en català. Quan se n'anà, em vaig sentir alleujat: potser perquè un sisè sentit m'estava dient que en Lluís, amb la seva propensió a obsessionar-se per les coses i no deixar-les de banda fins a obtenir alguna resposta, tornaria amb la solució?
Efectivament, avui al matí ha trucat en Lluís per anunciar-me que ja ho tenia i que, com ahir, passaria en acabat de dinar. A més d'un timbre de veu inequívocament exultant, m'ha semblat apreciar una cadència ampul·losa, com d'autocomplaença. Quan l'he tingut a casa, però, l'he vist frisós de fer-me partícip de la bona nova i els dos hem anat directament a l'estudi. M'ha dit que no calia que engegués el portàtil, perquè ens podíem oblidar de Cramer i la seva regla. I ha posat damunt la taula només una quartilla.
Recordant la meva perorata d'ahir, semblava que haguéssim intercanviat els papers: ell s'explicava i jo assentia, embadalit. Ha començat dient que només quedava que seguir reculant: havíem començat amb quatre equacions de primer grau, havíem continuat amb tres i ara no hi havia més pebrots que provar amb dues. Però seguíem tenint tres incògnites: N8, N9 i N10. I si provàvem amb dues variables diferents, V = 8N8 + 9N9 + 10N10 i N = N8 + N9 + N10? Amb aquestes variables, les quatre equacions, que expressaven les mitjanes aritmètiques de les avaluacions en moments diferents, prenien una forma ben senzilla:
V/N = 9,917647
(V + 1)/(N + 1) = 9,865497
(V + 111)/(N + 12) = 9,873626
(V + 112)/(N + 13) = 9,825137
Resoldrem el sistema format per les dues primeres, cosa que és bufar i fer ampolles, i els valors obtinguts els verificarem en les dues següents.
De la primera equació surt immediatament
V = 9,917647N
i de la segona
V + 1 = 9,865497N + 9,865497
V = 9,865497N + 8,865497
I, igualant les dues expressions que posen V en funció de N, tindrem
9,917647N = 9,865497N + 8,865497
0,05215N = 8,865497
N = 8,865497/0,05215 = 170 i
V = 9,917647·170 = 1686.
Abans de seguir, comprovarem que aquests valors satisfan la tercera i quarta equacions:
1797/182 = 9,873626
1798/183 = 9,825137.
I ara, què fem? Doncs recuperar les variables operatives, les incògnites,
8N8 + 9N9 + 10N10 = V = 1686.
N8 + N9 + N10 = N = 170.
Multiplicant per deu tots els termes d'aquesta última igualtat, tindrem
10N8 + 10N9 + 10N10 = 1700,
i, restant-hi la primera,
2N8 + N9 = 14.
Doncs bé, si partint de 0 anem assignant valors enters positius a N8 i calculant els de les dues altres incògnites, mitjançant les equivalències
N9 = 14 - 2N8
N10 = 170 - (N8 + N9),
anirem formant una taula de vuit tríades de valors possibles:
│ N8│ N9│ N10 │
│· 0 │14 │ 156 │
│· 1 │12 │ 157 │
│· 2 │10 │ 158 │ (valors en el nostre cas, a dia 31/08/2024)
│· 3 │· 8 │ 159 │
│· 4 │· 6 │ 160 │
│· 5 │· 4 │ 161 │
│· 6 │· 2 │ 162 │
│· 7 │· 0 │ 163 │
Vet aquí per què Cramer s'encallava: hi havia 8 solucions!!!
No content amb haver aportat la solució, Lluís m'ha suggerit que en el relat no hi vagi de dret, a la solució, sinó que presenti un professor en possessió d'aquesta veritat, de bon principi —la superioritat intel·lectual del profe mai no ha de quedar en entredit—, i que malgrat això vol fer pedagogia mostrant les giragonses en què es pot perdre l'alumne poc avesat a interpretar correctament els resultats d'aplicació de la Regla de Cramer: en definitiva, que converteixi les meves vacil·lacions en un recurs didàctic.
Així que, per celebrar-ho, hem acabat a la saleta per fer partícip a la meva dona de la joiosa satisfacció matemàtica... i de les delícies dels Highlands escocesos. A l'ampolla de Lagavulin, que ahir vam encetar, ja només queda un culet.
Comentaris
-
Joan Colom[Ofensiu]aleshores | 31-12-2024
Joan t’allargues massa. A mi em seria útil un resum ben fet sense cap exemple numèric de què significa el que expliques. Sé que és molt difícil de fer.
Però això sí, ens tens ben entretinguts amb les teves postures, que em penso que es al final el que pretens.
“Te n’has se saber avenir” -
Distrets[Ofensiu]SrGarcia | 30-12-2024
A fe de Déu que ja ens ten ben entretinguts, ja. No és només la tabarra matemàtica, aquí tens el mèrit d'haver inventat un gènere insòlit, almenys a Relats en Català, un gènere amb escassos seguidors, això sí. He llegit el teu comentari al relat d'en Kefas, el que dius és veritat en general, però em sembla recordar que aquest senyor ha manifestat alguna vegada tenir una formació tècnica, com altres que escriuen aquí. Això ja és posar-me on no em toca i ja ho deixo estar.
Sobre la polèmica principal, penso dues coses:
-Jo només parlaria de companys en relats o comentaris en sentit elogiós o neutre, per exemple, ho he fet en aquest.
-Fer servir la nota per castigar em sembla lleig; trobo que s'hauria de referir a la qualitat literària, però tants caps, tants barrets.
No parlaré de coses matemàtiques, però acabo amb una observació: veig que sou aficionat als uisquis bons i cars; jo sóc més de conyac del barat, com ara Soberano i així. Ja sé que no ve al cas, però és per fer bullir l'olla. -
Més xapa[Ofensiu]kefas | 29-12-2024
Per quan la fàbrica de cotxes?
-
SR. COLOM...[Ofensiu]jomagi | 28-12-2024 | Valoració: 2
Fa més de cinc anys que salto en paracaigudes. Per què no ho proveu vós també?
-
Bon o mal rotllo?[Ofensiu]Joan Colom | 28-12-2024
Tens raó quan dius que cadascú té els seus criteris, però, de debò creus que els dos comentaris que esmento en el relat, usar la valoració 1 o aquesta picabaralla que estem mantenint tu i jo fomenten el bon rotllo?
(Sobre això d'aquesta picabaralla, si és que l'hem de seguir, que crec que millor no, seria qüestió de deixar aquesta pàgina i anar al Fòrum.) -
Criteris...[Ofensiu]Homo insciens | 28-12-2024
Que la valoració del relat ha de qualificar només la qualitat literària, com bé dius, és el que entens tu.
A mi m'ha semblat inadequat i que fomenta el mal rollo a la pàgina i hi he volgut posar un 1. Són els meus criteris, ves! -
Resposta:[Ofensiu]Joan Colom | 28-12-2024
Encara ho és més, utilitzar la valoració d'un relat (que entenc ha de qualificar-ne exclusivament la qualitat literària) per manifestar una discrepància d'opinió.
Francament, m'ha decebut que una escriptora tan brillant tingui tan poca categoria humana. Però tranqui·la, que jo no ho faré mai, això de posar un 1.
-
Penso que...[Ofensiu]Homo insciens | 28-12-2024 | Valoració: 1
És lleig utilitzar els teus relats per criticar els altres relataires!
l´Autor
Últims relats de l'autor
- Vint nanoocurrències sobre LUCIDESA.
- Va de marques.
- Nadal, també Dia dels Difunts.
- Una instància.
- Vint nanoocurrències sobre HIPNOSI.
- Cramer contra Cramer. [temps real de lectura : 16 minuts].
- Vint nanoocurrències sobre NOUS RECOMANATS EDITORA.
- Elena Francis, anys cinquanta.
- Vint nanoocurrències sobre PROFUND SECRET.
- El nombre e i la mare que el va parir. [temps real de lectura: 34 minuts]
- El metro fantasma.
- Vint nanoocurrències sobre PEL FORAT DEL PANY .
- Metàfores.
- Revetlla de cap d'any.
- Vint nanoocurrències sobre LA NIT.