Potser sí que, ara com ara, les PAU són necessàries (i SHS 115 al 120).

Aquest és, si fa no fa, el tercer problema de l'examen de Matemàtiques II de les Proves d'Accés a la Universitat (PAU) d'enguany, realitzat el 4 de juny en el País Valencià y que ha estat objecte de protestes dels estudiants:

ENUNCIAT:
Expressant les distàncies en quilòmetres, el mòbil A se situa en les coordenades 0,0 i el mòbil B en les coordenades 250,0 del pla cartesià. A y B comencen a moure's simultàniament amb velocitat constant, que expressarem en quilòmetres per hora: A es mou a 30 km/h fins a la posició 0,187.5 i B es mou a 40 km/h fins a la posició 0,0. Es demana:
a) Que expresseu la distància Dt entre A i B en funció del temps t transcorregut des que han començat a moure's.
b) Que trobeu el temps Ta i Tb que triga cada mòbil en arribar al seu destí, i els intervals de distància creixent i decreixent al llarg del trajecte.
c) Que trobeu els temps Tmàx i Tmín per als quals la distància entre A i B esdevé màxima i mínima, i les corresponents distàncies Dmàx i Dmín.
RESOLUCIÓ:
La primera cosa és dibuixar a mà alçada els semieixos coordenats +X i +Y, situant-hi els punts de partença, Ai i Bi, els punts d'arribada, Af i Bf, les posicions intermèdies At i Bt corresponents a un temps t qualsevol, en què t > 0, t < Ta i t < Tb, i el segment distància Dt entre At i Bt. També convé dibuixar unes fletxes curtes, pròximes als eixos coordenats, que indiquin la direcció i sentit del desplaçament de cada mòbil.
En calcular els temps Ta = 187.5 km / 30 km/h = 6.25 h i Tb = 250 km / 40 km/h = 6.25 h, trobem que A i B arriben simultàniament als respectius punts d'arribada, Af i Bf.
Així doncs, igual que la distància inicial Di (per a t = 0 h) era 250 km, la distància final Df (per a t = 6.25 h) será 187.5 km. Per a valors de t intermedis (0 < t < Ta = Tb), les coordenades de les posicions At i Bt són
Atx = 0, Aty = 30t
Btx = 250-40t, Bty = 0
I, considerant que Dt és la hipotenusa d'un triangle rectangle definit per catets de longitud 250-40t km i 30t km,
Dt = √ ̅(̅2̅5̅0̅-̅4̅0̅t̅)̅²̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅²̅+̅4̅0̅²̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅
La distància Dt es farà mínima i/o màxima en el/s punt/s on la derivada respecte a t sigui nul·la (tangent horitzontal a la corba t,Dt), per a valors de t 0 < t < 6.25:
D't = (5000t-20000) / 2√ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅= 0
Perquè s'acompleixi aquesta iigualtat ha de ser nul el numerador (5000t-20000 = 0), cosa que s'esdevé quan
t = 20000/5000 = 4 h, moment en què la distància entre A i B serà
D4 = √ ̅2̅5̅0̅0̅•̅1̅6̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅•̅4̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅ = √ ̅2̅2̅5̅0̅0̅ = 150 km
Com que D4 < Di < Df (150 < 187.5 < 250) i només hi ha aquesta solució, el punt 4,150 serà el mínim absolut en la funció Dt, que correspon a la posició 0,120 del mòbil A (A4y = 30•4) i a la posició 90,0 del mòbil B (B4x = 250-40•4). Dt es representaria gràficament mitjançant una paràbola penjada dels punts 0,250 i 6.25,187.5, amb vèrtex a 4,150 (l'eix de simetria seria la recta vertical t = 4). Òbviament, el màxim absolut en el domini de definició de la funció Dt serà el punt 0,250, que correspon a la posicions inicials (t = 0) 0,0 del mòbil A i 250,0 del mòbil B.
(Cal precisar que l'interval 0 < t < 6.25 és tancat i que, si tant aquí com a la resta de comparacions, s'ha emprat el signe "menor" en lloc de "menor o igual" és per evitar efectes no desitjats en el codi HTML.)
Cabria preguntar-se si en aquest domini no hi haurà alguna altra singularitat i el punt 4,150 només era un mínim relatiu. Això només podria esdevenir-se si el denominador de l'expressió D't fos nul: llavors D't quedaria indeterminada quan el numerador també fos nul o seria infinit en cas contrari. Però
2√ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅ = 0 implica que
2500t²-20000t+62500 = 0, i aquesta equació de segon grau no té solució real, per la presència de l'arrel quadrada d'un nombre negatiu:
t = (20000±√ ̅4̅0̅0̅0̅0̅0̅0̅0̅0̅-̅6̅2̅5̅0̅0̅0̅0̅0̅0̅) / 5000.

El pensionista decrèpit que escriu això ha de confessar que en el plantejament algebraic no ha tingut cap problema, però en la mecànica de la derivació sí: la tenia tan rovellada per falta d'ús que ha hagut de burxar en els apartats "Derivades de funcions elementals" i "Regles per al càlcul de derivades" de l'article "Derivada" de la Viquipèdia. Dit això, el seu parer és que l'examen no era gens difícil i que, si als pares de la criatura els hagués guiat la mala llet, ho tenien senzill: haurien pogut augmentar la dificultat d'execució sense tocar-ne la conceptual, introduint petits canvis com, per exemple, que les trajectòries dels mòbils A i B no fossin perpendiculars, que ho fossin però sense que el punt de partença d'A coincidís amb el d'arribada de B o que aquestes posicions coincidissin però modificant les velocitats pet tal que les durades de les trajectòries deixessin de ser iguals.

Estic plenament d'acord amb Vicent Marzà, conseller d'Educació, Investigació, Cultura i Esports de la Generalitat Valenciana, en considerar que l'examen era del tot acceptable perquè els continguts es trobaven dins del currículum del curs. Potser li hauria procurat rèdits polítics accedir a les demandes i repetir l'examen, però crec que hauria fet un flac favor al progrés i a les persones que li ho reclamaven. I encara afegiré una opinió que em pot reportar ser titllat de reaccionari i, fins i tot, de fatxa: abans del present episodi la meva era una de les moltes veus que clamaven contra les PAU, però després d'haver comprovat que era possible anar aprovant, curs a curs, les matemàtiques de l'Ensenyament Secundari i tanmateix encallar en un problema com el comentat (ja mo em fico en les altres matèries), crec que aquestes proves s'han de preservar, fins i tot acceptant el fet vergonyós (que cal superar a curt termini) que molts dels qui hi arriven, procedents dels IES, es troben en inferioritat de condicions respecte als que s'han pogut permetre estudiar a l'escola privada. Amén!

---

Exclusiu per als aficionats als Sudokus Hexagonals Simètrics:

— Les opinions i suggeriments que creguis que poden interessar a tots els jugadors, envia'ls com a Comentaris al present Relat.

— Les demandes d'arxius i les consultes relatives a la resolució de SHS concrets, envia-les a l'adreça joancolom47@gmail.com.

— Si vols anar al primer relat de la sèrie amb enllaços als SHS, per assabentar-te de les regles del joc o del procediment de resolució aconsellat, fes clic aquí.

— Si vols l'arxiu PDF amb la Plantilla Hexagonal (full pautat per a 6 SHS), fes clic aquí.

— Si vols l'arxiu PDF amb els SHS 115 al 120 (enunciats i solucions), fes clic aquí.