Cercador
El triangle de Pascal.
Un relat de: Joan Colom- Compartir:
Amb el nom de Triangle de Tartaglia (aquest matemàtic italià del segle XVI es deia en realitat Niccolò Fontana, i Tartaglia era un malnom en referència a la seva tartamudesa), crec que l'única aplicació que em van ensenyar del Triangle de Pascal era l'obtenció dels coeficients del polinomi que resulta d'elevar a una potència n un binomi (l'anomenat binomi de Newton). He dit "crec" perquè no recordo si, estudiant combinatòria, ens n'havien parlat com a mètode ràpid d'obtenció del nombre de combinacions de n elements agrupats de k en k (0 ≤ k ≤ n). A més d'aquestes aplicacions, les propietats del triangle són moltes i molt curioses, però abans d'enunciar-les, recomano convertir el triangle isòsceles en rectangle (un i l'altre els teniu tot seguit), perquè sobre el segon serà més fàcil identificar determinades alineacions.
· · · · · · · · · · 1
· · · · · · · · · 1 · 1
· · · · · · · · 1 · 2 · 1
· · · · · · · 1 · 3 · 3 · 1
· · · · · · 1 · 4 · 6 · 4 · 1
· · · · · 1 · 5 ·10 ·10 · 5 · 1
· · · · 1 · 6 ·15 ·20 ·15 · 6 · 1
· · · 1 · 7 ·21 ·35 ·35 ·21 · 7 · 1
· · 1 · 8 ·28 ·56 ·70 ·56 ·28 · 8 · 1
· 1 · 9 ·36 ·84 126 126 ·84 ·36 · 9 · 1
1 · 10·45 120 210 252 210 120 ·45 ·10 · 1
1
1 · 1
1 · 2 · 1
1 · 3 · 3 · 1
1 · 4 · 6 · 4 · 1
1 · 5 ·10 ·10 · 5 · 1
1 · 6 ·15 ·20 ·15 · 6 · 1
1 · 7 ·21 ·35 ·35 ·21 · 7 · 1
1 · 8 ·28 ·56 ·70 ·56 ·28 · 8 · 1
1 · 9 ·36 ·84 126 126 ·84 ·36 · 9 · 1
1 · 10·45 120 210 252 210 120 ·45 ·10 · 1
1) Qualsevol nombre, situat en una fila i una columna determinades, és igual a la suma parcial dels nombres de la columna precedent fins a la fila precedent. Per exemple, el primer 84 de la fila 10 (columna 4) és 84 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28.
2) La segona columna és la successió dels nombres naturals: 1, 2, 3, 4, 5...
3) La tercera columna és la successió del nombre de combinacions de n elements agrupats de 2 en 2, i també la dels nombres triangulars: 1, 3, 6, 10, 15, 21...; la quarta és la del nombre de combinacions de n elements agrupats de 3 en 3, i també la dels nombres tetraèdrics; la cinquena, la del nombre de combinacions de n elements agrupats de 4 en 4, i també la dels nombres pentaèdrics, etc. A la Viquipèdia (i millor a la Wikipedia) hi trobareu la descripció d'aquests nombres.
4) La suma dels nombres de la fila n-èsima (la primera fila, amb només un 1, compta com a fila 0) és igual a la potència n-èsima de 2. Per exemple, en fila 7a: 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 2^7.
5) La suma dels nombres de les alineacions inclinades (les diagonals) dóna els nombres de Fibonacci. Per exemple: la primera és 1; la segona és 1; la tercera és 1 + 1 = 2; la quarta és 1 + 2 = 3; la cinquena és 1 + 3 + 1 = 5; la sisena és 1 + 4 + 3 = 8; la setena és 1 + 5 + 6 + 1 = 13; la vuitena és 1 + 6 + 10 + 4 = 21; la novena és 1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34, etc.
6) Si el segon nombre d'una fila és primer, la resta de nombres (sense comptar els 1 inicial i final) serà divisible per aquest. Per exemple: en la fila 3a, 3 és divisible per 3; en la 5a, 10,10 i 5 són divisibles per 5; en la 7a, 21, 35, 35, 21 i 7 són divisibles per 7, etc. Com que totes les files són simètriques per construcció, només cal comprovar-ho per a la meitat (o la meitat més u) de nombres.
Acabaré amb una mica de frivolitat: acolorint els nombres, segons siguin o no divisibles per altres valors, obtindrem unes figures geomètriques espectaculars. Perquè els resultats siguin més satisfactoris serà preferible tornar al triangle isòsceles o, millor encara, eixamplar-lo de manera que esdevingui equilàter, i delimitar clarament l'àrea de cada nombre. Una manera senzilla d'aconseguir-ho seria representar les files per rosaris de cercles tangents, amb els nombres centrats a cada cercle. Aquests rosaris estaran col·locats de manera que els centres de dos cercles consecutius i del cercle més proper, de la fila precedent o següent, formin un petit triangle equilàter. Perquè us feu una idea de com hauria de quedar tot plegat, us aconsello activar els enllaços "fes clic aquí" que trobareu al final dels relats compresos entre "Biblioteques, picaresca i Sudokus Hexagonals Simètrics" (11/02/2019) y "Banyuts" (10/03/2020), per bé que hauríeu de girar 30º l'hexàgon de 61 cercles, perquè descansés sobre un costat (sis cercles alineats) i no sobre un vèrtex (un cercle). Un altre requisit, perquè es puguin detectar clarament els patrons de repetició, és agafar una porció de triangle més gran que la representada més amunt (almenys fins a la fila 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15 i 5).
Què ens ha de sortir? Doncs, si pinteu de negre els [cercles dels] nombres parells (divisibles per dos), i de gris tots els demés, us sortirà un curiós dibuix amb triangles equilàters negres invertits, que es van repetint amb mides diferents. Si representeu porcions encara més grans del Triangle de Pascal, el resultat s'assemblarà cada cada vegada més al Triangle de Serpinski, que és un objecte fractal que s'obté retallant, en un triangle equilater, el triangle [equilàter] definit pels punts mitjans dels seus costats, i repetint l'operació per a cadascun dels tres triangles [equilàters] que s'obtenen. I, si en comptes de pintar de negre els nombres múltiples de 2 (parells), juguéssim a pintar els nombres múltiples de 3, 4 o 5, ens sortirien dibuixos diferents però igualment curiosos.
En el meu "Autocomentari 1" al relat "El dimoni dels nombres" (07/07/2025) em queixava del dubtós enfocament didàctic d'aquesta obra de divulgació de les matemàtiques de Hans Magnus Enzensberger i, en concret, de la part dedicada al Triangle de Tartaglia o de Pascal, com preferiu, alguns enunciats de la qual són més entenedors a la Viquipèdia. Com que no tots els dies em dedico a furgar en aquests temes, vaig aprofitar l'avinentesa per fer-me una mena de resum de les característiques d'aquest triangle, el vaig imprimir i me'l vaig guardar entre les pàgines 136 i 137 del llibre. I ja anava a canviar d'activitat quan vaig pensar que a Lluís li faria goig llegir-lo i l'hi vaig enviar annex en un e-mail. El text en cursiva que obre el present relat és precisament aquest resum.
Acabava d'enviar l'e-mail quan ja me n'estava penedint, pensant que no trigaria a donar-me la tabarra sobre el fotut triangle. Però no em podia imaginar que això s'esdevindria l'endemà a primera hora. Sonà el mòbil, vaig veure que era ell i estigué a punt de deixar que sonés... però en acabat em va fer pena i m'hi vaig posar:
—Digues, Lluís.
—Bon dia, Joan. Espero no agafar-te en un mal moment...
—No, endavant. Suposo que em vols comentar alguna cosa del pdf que et vaig enviar ahir.
—Sí, però abans de res volia agrair-te que me l'haguessis enviat. Algunes coses ja les sabia però d'altres no. I, com que a la tele no feien res de bo, vaig estar llegint-ho força estona i... la veritat és que gairebé no he pogut dormir, aquesta nit.
—Tant de temps hi vas dedicar?
—No, era prou entenedor i amb poc més d'una hora m'ho havia llegit, deixant per un altre dia allò dels triangulets invertits, és clar. Si he dormit poc, ha estat pel nerviosisme que m'ha envaït, en adonar-me que havia descobert una propietat... una propietat...
—Vinga, home, que del Triangle de Pascal ja s'ha dit tot el que s'havia de dir! Si mires l'article de la Viquipèdia, veuràs que abans de Tartaglia ja l'havien construït els antics indis, perses, xinesos... En definitiva: que aquest triangle ha estat una de les construccions matemàtiques més concorregudes, i dubto que en quedin coses per descobrir, i no parlo de tu sinó de caparrons més eminents...
—Home, gràcies per la part que em toca...! Pero va, som-hi: que tens el teu escrit a mà? Vinga, ja m'espero...! Doncs agafa el triangle i suma els nombres de la segona fila: 1 + 1 = 2, que és el doble del nombre 1 de la primera fila. Ara suma els nombres de la tercera fila: 1 + 2 + 1 = 4, que és el doble que la suma 2 de la segona fila. Ara suma els nombres de la quarta fila: 1 + 3 + 3 + 1 = 8, que és el doble que la suma 4 de la tercera fila. Ara suma els nombres de la cinquena fila: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16, que és el doble que la suma 8 de la quarta fila. Ara suma els nombres de la sisena fila: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32, que és el doble que la suma 16 de la segona fila... Vols que seguim? Oi que no cal? Doncs vet-ho aquí: en el Triangle de Pascal la suma dels elements d'una fila fan el doble que la suma dels elements de la fila precedent; no sé com una cosa tan elemental no se li havia ocorregut encara a ningú.
—Lluís, maco, no t'ho prenguis malament, però d'on ho treus, això que una cosa tan elemental no se li havia ocorregut encara a ningú? Que no t'has llegit bé l'escrit que et vaig enviar?
—És clar que sí, per què m'ho preguntes?
-Home, doncs perquè sembla que se t'hagi passar per alt la propietat enunciada en quart lloc.
-En quart lloc, ja ho veig, però què té a veure el que he descobert jo amb això de La suma dels nombres de la fila n-èsima (la primera fila, amb només un 1, compta com a fila 0) és igual a... la potència n-èsima de 2... Per exemple, en fila 7a: 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 2^7...?
-Per les vacil·lacions, em sembla que ja t'estàs adonant que el que acabes de llegir i el que has dit abans és exactament la mateixa propietat, expressada de manera diferent:
Fila 0: 1 = 2^0
Fila 1: 1 + 1 = 2 = 2^1 = 2·1
Fila 2: 1 + 2 + 1 = 4 = 2^2 = 2·2
Fila 3: 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3 = 2·4
Fila 4: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4 = 2·8
Fila 5: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5 = 2·16
-Ostres, noi, tens raó! No entenc com no me n'he adonat... Enlluernat pel miratge d'haver fet un gran descobriment, m'hi he capficat... i ja no he sabut veure res més.
-Bé, ara no t'ensorris ni et posis a gemegar, que això li pot passar a qualsevol.
-Ostres, noi...!
He de dir que mai més no em va tornar a parlar del Triangle de Pascal.
· · · · · · · · · · 1
· · · · · · · · · 1 · 1
· · · · · · · · 1 · 2 · 1
· · · · · · · 1 · 3 · 3 · 1
· · · · · · 1 · 4 · 6 · 4 · 1
· · · · · 1 · 5 ·10 ·10 · 5 · 1
· · · · 1 · 6 ·15 ·20 ·15 · 6 · 1
· · · 1 · 7 ·21 ·35 ·35 ·21 · 7 · 1
· · 1 · 8 ·28 ·56 ·70 ·56 ·28 · 8 · 1
· 1 · 9 ·36 ·84 126 126 ·84 ·36 · 9 · 1
1 · 10·45 120 210 252 210 120 ·45 ·10 · 1
1
1 · 1
1 · 2 · 1
1 · 3 · 3 · 1
1 · 4 · 6 · 4 · 1
1 · 5 ·10 ·10 · 5 · 1
1 · 6 ·15 ·20 ·15 · 6 · 1
1 · 7 ·21 ·35 ·35 ·21 · 7 · 1
1 · 8 ·28 ·56 ·70 ·56 ·28 · 8 · 1
1 · 9 ·36 ·84 126 126 ·84 ·36 · 9 · 1
1 · 10·45 120 210 252 210 120 ·45 ·10 · 1
1) Qualsevol nombre, situat en una fila i una columna determinades, és igual a la suma parcial dels nombres de la columna precedent fins a la fila precedent. Per exemple, el primer 84 de la fila 10 (columna 4) és 84 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28.
2) La segona columna és la successió dels nombres naturals: 1, 2, 3, 4, 5...
3) La tercera columna és la successió del nombre de combinacions de n elements agrupats de 2 en 2, i també la dels nombres triangulars: 1, 3, 6, 10, 15, 21...; la quarta és la del nombre de combinacions de n elements agrupats de 3 en 3, i també la dels nombres tetraèdrics; la cinquena, la del nombre de combinacions de n elements agrupats de 4 en 4, i també la dels nombres pentaèdrics, etc. A la Viquipèdia (i millor a la Wikipedia) hi trobareu la descripció d'aquests nombres.
4) La suma dels nombres de la fila n-èsima (la primera fila, amb només un 1, compta com a fila 0) és igual a la potència n-èsima de 2. Per exemple, en fila 7a: 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 2^7.
5) La suma dels nombres de les alineacions inclinades (les diagonals) dóna els nombres de Fibonacci. Per exemple: la primera és 1; la segona és 1; la tercera és 1 + 1 = 2; la quarta és 1 + 2 = 3; la cinquena és 1 + 3 + 1 = 5; la sisena és 1 + 4 + 3 = 8; la setena és 1 + 5 + 6 + 1 = 13; la vuitena és 1 + 6 + 10 + 4 = 21; la novena és 1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34, etc.
6) Si el segon nombre d'una fila és primer, la resta de nombres (sense comptar els 1 inicial i final) serà divisible per aquest. Per exemple: en la fila 3a, 3 és divisible per 3; en la 5a, 10,10 i 5 són divisibles per 5; en la 7a, 21, 35, 35, 21 i 7 són divisibles per 7, etc. Com que totes les files són simètriques per construcció, només cal comprovar-ho per a la meitat (o la meitat més u) de nombres.
Acabaré amb una mica de frivolitat: acolorint els nombres, segons siguin o no divisibles per altres valors, obtindrem unes figures geomètriques espectaculars. Perquè els resultats siguin més satisfactoris serà preferible tornar al triangle isòsceles o, millor encara, eixamplar-lo de manera que esdevingui equilàter, i delimitar clarament l'àrea de cada nombre. Una manera senzilla d'aconseguir-ho seria representar les files per rosaris de cercles tangents, amb els nombres centrats a cada cercle. Aquests rosaris estaran col·locats de manera que els centres de dos cercles consecutius i del cercle més proper, de la fila precedent o següent, formin un petit triangle equilàter. Perquè us feu una idea de com hauria de quedar tot plegat, us aconsello activar els enllaços "fes clic aquí" que trobareu al final dels relats compresos entre "Biblioteques, picaresca i Sudokus Hexagonals Simètrics" (11/02/2019) y "Banyuts" (10/03/2020), per bé que hauríeu de girar 30º l'hexàgon de 61 cercles, perquè descansés sobre un costat (sis cercles alineats) i no sobre un vèrtex (un cercle). Un altre requisit, perquè es puguin detectar clarament els patrons de repetició, és agafar una porció de triangle més gran que la representada més amunt (almenys fins a la fila 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15 i 5).
Què ens ha de sortir? Doncs, si pinteu de negre els [cercles dels] nombres parells (divisibles per dos), i de gris tots els demés, us sortirà un curiós dibuix amb triangles equilàters negres invertits, que es van repetint amb mides diferents. Si representeu porcions encara més grans del Triangle de Pascal, el resultat s'assemblarà cada cada vegada més al Triangle de Serpinski, que és un objecte fractal que s'obté retallant, en un triangle equilater, el triangle [equilàter] definit pels punts mitjans dels seus costats, i repetint l'operació per a cadascun dels tres triangles [equilàters] que s'obtenen. I, si en comptes de pintar de negre els nombres múltiples de 2 (parells), juguéssim a pintar els nombres múltiples de 3, 4 o 5, ens sortirien dibuixos diferents però igualment curiosos.
En el meu "Autocomentari 1" al relat "El dimoni dels nombres" (07/07/2025) em queixava del dubtós enfocament didàctic d'aquesta obra de divulgació de les matemàtiques de Hans Magnus Enzensberger i, en concret, de la part dedicada al Triangle de Tartaglia o de Pascal, com preferiu, alguns enunciats de la qual són més entenedors a la Viquipèdia. Com que no tots els dies em dedico a furgar en aquests temes, vaig aprofitar l'avinentesa per fer-me una mena de resum de les característiques d'aquest triangle, el vaig imprimir i me'l vaig guardar entre les pàgines 136 i 137 del llibre. I ja anava a canviar d'activitat quan vaig pensar que a Lluís li faria goig llegir-lo i l'hi vaig enviar annex en un e-mail. El text en cursiva que obre el present relat és precisament aquest resum.
Acabava d'enviar l'e-mail quan ja me n'estava penedint, pensant que no trigaria a donar-me la tabarra sobre el fotut triangle. Però no em podia imaginar que això s'esdevindria l'endemà a primera hora. Sonà el mòbil, vaig veure que era ell i estigué a punt de deixar que sonés... però en acabat em va fer pena i m'hi vaig posar:
—Digues, Lluís.
—Bon dia, Joan. Espero no agafar-te en un mal moment...
—No, endavant. Suposo que em vols comentar alguna cosa del pdf que et vaig enviar ahir.
—Sí, però abans de res volia agrair-te que me l'haguessis enviat. Algunes coses ja les sabia però d'altres no. I, com que a la tele no feien res de bo, vaig estar llegint-ho força estona i... la veritat és que gairebé no he pogut dormir, aquesta nit.
—Tant de temps hi vas dedicar?
—No, era prou entenedor i amb poc més d'una hora m'ho havia llegit, deixant per un altre dia allò dels triangulets invertits, és clar. Si he dormit poc, ha estat pel nerviosisme que m'ha envaït, en adonar-me que havia descobert una propietat... una propietat...
—Vinga, home, que del Triangle de Pascal ja s'ha dit tot el que s'havia de dir! Si mires l'article de la Viquipèdia, veuràs que abans de Tartaglia ja l'havien construït els antics indis, perses, xinesos... En definitiva: que aquest triangle ha estat una de les construccions matemàtiques més concorregudes, i dubto que en quedin coses per descobrir, i no parlo de tu sinó de caparrons més eminents...
—Home, gràcies per la part que em toca...! Pero va, som-hi: que tens el teu escrit a mà? Vinga, ja m'espero...! Doncs agafa el triangle i suma els nombres de la segona fila: 1 + 1 = 2, que és el doble del nombre 1 de la primera fila. Ara suma els nombres de la tercera fila: 1 + 2 + 1 = 4, que és el doble que la suma 2 de la segona fila. Ara suma els nombres de la quarta fila: 1 + 3 + 3 + 1 = 8, que és el doble que la suma 4 de la tercera fila. Ara suma els nombres de la cinquena fila: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16, que és el doble que la suma 8 de la quarta fila. Ara suma els nombres de la sisena fila: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32, que és el doble que la suma 16 de la segona fila... Vols que seguim? Oi que no cal? Doncs vet-ho aquí: en el Triangle de Pascal la suma dels elements d'una fila fan el doble que la suma dels elements de la fila precedent; no sé com una cosa tan elemental no se li havia ocorregut encara a ningú.
—Lluís, maco, no t'ho prenguis malament, però d'on ho treus, això que una cosa tan elemental no se li havia ocorregut encara a ningú? Que no t'has llegit bé l'escrit que et vaig enviar?
—És clar que sí, per què m'ho preguntes?
-Home, doncs perquè sembla que se t'hagi passar per alt la propietat enunciada en quart lloc.
-En quart lloc, ja ho veig, però què té a veure el que he descobert jo amb això de La suma dels nombres de la fila n-èsima (la primera fila, amb només un 1, compta com a fila 0) és igual a... la potència n-èsima de 2... Per exemple, en fila 7a: 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 2^7...?
-Per les vacil·lacions, em sembla que ja t'estàs adonant que el que acabes de llegir i el que has dit abans és exactament la mateixa propietat, expressada de manera diferent:
Fila 0: 1 = 2^0
Fila 1: 1 + 1 = 2 = 2^1 = 2·1
Fila 2: 1 + 2 + 1 = 4 = 2^2 = 2·2
Fila 3: 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3 = 2·4
Fila 4: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4 = 2·8
Fila 5: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5 = 2·16
-Ostres, noi, tens raó! No entenc com no me n'he adonat... Enlluernat pel miratge d'haver fet un gran descobriment, m'hi he capficat... i ja no he sabut veure res més.
-Bé, ara no t'ensorris ni et posis a gemegar, que això li pot passar a qualsevol.
-Ostres, noi...!
He de dir que mai més no em va tornar a parlar del Triangle de Pascal.
Comentaris
-
SrGarcia | 17-07-2025
Sobre això que preguntes: no sé quina versió de Chatgpt faig servir, que és de franc, això sí.
Jo entro al Google, hi poso chatgpt, i pico al primer que surt: Introducing chatgpt, això em porta a una pàgina que diu: Trychatgpt, pico i em surt la pàgina de la IA, ja em deu conèixer, perquè em saluda en català. Suposo que em vaig registar, però ja no ho recordo.
El programa es bastant inconsistent, la primera vegada em va fer la il·lustració de que parlo, però ja no ho ha tronat a fer. És un bon consell escriure a Google "Triangle de Pascal mod n", surten il·lustracions del triangle de Serpinsky sense que t'hi hagis de matar.
Amb això de les il·lustracions, també és curiós, algunes me les ha fet ràpidament, altres, per més que m'hi he matat, no n'he sortit.
M'agradaria posar il·lustracions d'aquestes als relats, però no sé si s'acceptaria.
-
Les coses del cervell...[Ofensiu]llpages | 17-07-2025
també engresquen l'ànima! Això sí, cal una mica de paciència anar resseguint el raonament matemàtic, però, donat el to humorístic i entenedor del text, l'esforç es veu recompensat amb escreix. Agraït per aquestes perles de ciència matemàtica, Joan!
-
Flipant[Ofensiu]Ginebreda | 16-07-2025
He hagut de buscar al Copilot el tema del fotut triangle. Com a divulgació cultural em sembla interessant, però com relat, Joan Colom, és un plom.. Vull dir que potser el catalogaria al gènere assaig. Crec que si li treus la meitat de matemàtiques i li poses una mica d'ànima, seria un relat prou bo.
-
barreja[Ofensiu]SrGarcia | 16-07-2025
Una bona barreja de divulgació i humor. Sembla estrany que un triangle tan fàcil de generar tingui tantes propietats .
La relació amb el teu amic Lluis és la que dona el toc humorístic al relat, sense fer-ne burla, li fas veure les coses com son.
Li he dit al Chatgpt que faci els dibuixos que proposes i realment és una cosa curiosa. especialment en els múltiples de cinc és veritat que s'assembla molt al triangle fractal. També m'ha aconsellat que posés al Google "Pascal triangle mod n" on m'han sortit imatges realment hipnòtiques.
-
Fe d'errates:[Ofensiu]Joan Colom | 15-07-2025
1) En el penúltim paràgraf en cursiva, on diu
"Acabaré amb una mica de frivolitat: acolorint els nombres, segons siguin o no divisibles per altres valors, obtindrem unes figures geomètriques espectaculars. Perquè els resultats siguin més satisfactoris serà preferible tornar al triangle isòsceles o, millor encara, eixamplar-lo de manera que esdevingui equilàter..."
en lloc de "eixamplar-lo", ha de dir "estrènyer-lo".
2) A la intervenció on Lluís explica el seu 'descobriment', on diu
"... Ara suma els nombres de la sisena fila: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32, que és el doble que la suma 16 de la segona fila..."
en lloc de "segona fila" ha de dir "cinquena fila".
l´Autor
Últims relats de l'autor
- Vint nanoocurrències sobre UN ELECTRODOMÈSTIC AMB VIDA PRÒPIA. [text no creat amb IA]
- Penúltim relat de Joan Colom. [text no creat amb IA]
- Vint nanoocurrències sobre UNA DE DETECTIUS. [text no creat amb IA]
- Elogi del microrelat. [text no creat amb IA]
- Un, dos, tres. [text no creat amb IA]
- Vint nanoocurrències sobre L'HIVERN / LA MITJA TARONJA. [text no creat amb IA]
- Polisèmia de "bon any". [text no creat amb IA]
- Memento mori. [text no creat amb IA]
- Tres impacients. [text no creat amb IA]
- Vint nanoocurrències sobre ADEU, 2025, I/O HOLA, 2026! [text no creat amb IA]
- Excentricitats. [text no creat amb IA]
- La zona de confort. [text no creat amb IA]
- Vint nanoocurrències sobre NEOLOGISMES. [text no creat amb IA]
- Experiència completa de la mort (ECM). [text no creat amb IA]
- Relat per commemorar les 250000 lectures. [text no creat amb IA]