Cercador
El nombre e i la mare que el va parir. [temps real de lectura: 34 minuts]
Un relat de: Joan Colom- Compartir:
—Recapitulem: els últims dies hem estat veient les successions: en general i dos tipus de successions molt particulars, les progressions aritmètiques i les geomètriques. També havíem vist les sèries, suma dels membres d'una successió. Avui us en seguiré parlant, centrant-me en els valors cap on convergeixen; això les que convergeixin, és clar.
Les progressions aritmètiques creixen indefinidament quan la diferència de la progressió és positiva, com aquesta —i seguí parlant mentre es girava i escrivia a la pissarra—; decreixen indefinidament quan la diferència és negativa, com aquesta, i no cal parlar de què passa quan la diferència és zero, perquè surt una ximpleria que no serveix per a res, amb tots els membres iguals.
Les progressions geomètriques creixen indefinidament quan el primer terme és positiu i la raó de progressió és més gran que u; creixen cap a zero quan el primer terme és negatiu i la raó està entre zero i u —i seguí parlant mentre esborrava la pissarra i tornava a escriure-hi—; decreixen indefinidament quan el primer terme és negatiu i la raó és més gran que u; creixen cap a zero quan el primer terme és positiu i la raó està entre zero i u. I no cal parlar de què passa quan la raó és u, perquè surt una ximpleria que no serveix per a res, amb tots els membres iguals. O de quan és negativa, perquè llavors els termes van alternant el signe, passant de positiu a negatiu i de negatiu a positiu.
Si voleu un exemple de progressió geomètrica que arrenca amb el nombre u i té una raó de progressió dos, recordeu la faula d'aquell rei que, volent recompensar l'inventor del joc d'escacs, va accedir a donar-li tants grans de blat com hi cabessin en un tauler, començant per posar-ne un a la primera casella, dos a la segona, i així posar a cada casella el doble de la precedent, fins a arribar a la seixanta-quatrena. Com sabeu, la successió seria dos elevat a la potència 0 (1), dos elevat a 1 (2), dos elevat a 2 (4), dos elevat a 3 (8)... i dos elevat a la 63 (més de nou trilions de grans de blat). Això, quedant-nos només amb els seixanta-quatre primers termes de la successió; ja us podeu imaginar si seguíssim...
Però, fora de les progressions, el comportament de les altres successions és bastant imprevisible. Algunes també es veu que creixen indefinidament, com la de Fibonacci, que, començant amb zero i un, els altres membres s'obtenen sumant els dos precedents —i, després d'esborrar un altre cop la pissarra, escriví 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144—. Però d'altres decreixen fins a convergir en zero, com la definida per una de les paradoxes de Zenó. Zenó era un filòsof de l'antiga Grècia, d'una escola que postulava que el moviment és una il·lusió dels sentits i que la raó ens du a concloure que, en realitat, res no es mou. Una de les paradoxes que es va empescar, per entabanar al personal, era que si algú pretén córrer una distància, dos-cents metres per exemple, no ho aconseguirà mai perquè, abans de poder-ne fer 200, ha de passar per la meitat del recorregut, és a dir, pels cent metres; però, abans de fer-ne 100, n'ha de fer cinquanta; abans de fer-ne 50 n'ha de fer vint-i-cinc, i així successivament fins a arribar a la conclusió que, per més temps que hi dediqués, no es podria moure ni un pam. Efectivament, si jo formo la successió de les distàncies que NO POT RECÓRRER, escrivint 200 100 50 25 12,50 6,25... m'adono que cada cop són més petites i convergeixen a 0.
Les successions també poder convergir a valors diferents de zero. I començarem amb un exemple en què aquest valor el veu a venir. Seguint amb Zenó, una altra de les seves paradoxes era la d'Aquil·les i la tortuga. Volies alguna cosa, Jaumet?
—Sí, profe: aquest Aquil·les és el Brad Pitt de la pel·lícula?
—Sí, el de la pel·lícula "Troia", que tenia fama de ser molt ràpid corrent, amb armadura i tot. Una tortuga més llesta que la fam repta a Aquil·les a una carrera, sabent que correrà deu vegades més ràpid que ella, a condició que li doni un avantatge de 100 m. Aquil·les ho accepta i, quan la tortuga comença a caminar, Aquil·les arrenca a córrer i de seguida fa 100 m. Però quan els ha fet, arribant a on era la tortuga, aquesta mentrestant n'haurà avançat deu; quan Aquil·les hagi cobert també aquests 10, la tortuga haurà fet un metre més; quan Aquil·les faci aquest metre, la tortuga haurà fet un decímetre més, i així successivament: Aquil·les estarà cada cop més a prop de la tortuga, però mai no podrà atrapar-la. Almenys això era el que deia Zenó, que es refiava més d'aquest fals raonament que del que veia. Però nosaltres sabem que Aquil·les atraparà la tortuga i la sobrepassarà, i podem calcular quan haurà recorregut cadascú en aquell moment, amb una senzilla equació. A veure, Quimeta, com es calcula la velocitat? Tu dicta'm, que jo ho aniré escrivint a la pissarra.
—Doncs la velocitat és l'espai recorregut dividit per temps que es triga a recórrer-lo.
-Molt bé —i el professor anà escrivint a la pissarra—, V = E/T, i concretant anomenarem Va = Ea/T la velocitat a què va Aquil·les i Vt = Et/T la velocitat a què va la tortuga. Quina relació hi ha entre les dues velocitats?
—Doncs la d'Aquil·les és 10 vegades la de la tortuga.
—Doncs posem-ho: Va = 10·Vt, és a dir, Ea/T = 10·Et/T i, eliminant el denominador comú, tindrem que Ea = 10·Et. Però també sabem una altra cosa, Carmeta: quina relació hi ha entre els espais recorreguts per Aquil·les i per la tortuga?
—Aquil·les haurà recorregut 100 m. més que la tortuga.
—Sí, senyora: Ea = Et + 100. I, si ara substituïm aquest valor en la igualtat d'abans: Ea = Et + 100 = 10 Et. Passant Et a l'altra banda, tindrem que 100 = 9·Et, així que Et = 100/9 = 11,111111. En realitat és 11,1 periòdic, però així, amb sis decimals ens adonem millor que no s'acaben mai. Substituint ara aquest valor en l'equivalència d'abans, tant és que fem Ea = 10·Et = 10·11,111111 = 111,111111 o que fem Ea = Et + 100 = 11,111111 + 100 = 111,111111, perquè dóna el mateix: 111,1 periòdic. Si ho volem resoldre d'una altra manera, la successió formada pels trams en què considerem descomposta la carrera d'Aquil·les, expressada en metres, és 100 10 1 0,1 0,01 0,001 ... i convergeix cap a 0, com en el cas de l'anterior paradoxa de Zenó, però si considerem el que porta corregut en cada instant hem d'anar a la sèrie d'aquesta successió, que és 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..., que convergeix cap a 111,111... Potser quedarà mes clara, aquesta convergència, si la representem com a successió de les sumes parcials d'aquesta sèrie: 100 100+10=110 110+1=111 111+0,1=111,1 111,1+0,01=111,11 111,11+0,001=111,111 ... En definitiva, convergeix cap al valor 111,1 periòdic que havíem trobat resolent aquella equació.
—Doncs no és pas tan complicat —se li escapà a Quimeta.
—Sí, però ara ve quan el maten, perquè després de veure el cas de convergència d'una successió cap a un valor fàcilment previsible, ara en veureu un altre no gens intuïtiu: la població d'un país augmenta vegetativament (naixements menys defuncions, suposant que no hi ha migració de cap mena) un 5 per cent cada any, equivalent a 0,05 per u; sabem que en un moment determinat és de 20 milions de persones i ens demanen quantes tindrà al cap d'un any, dos, tres, etc. Abans de seguir, però fixem-nos que, si al cap d'un any la població ha passat de 20.000.000 de persones a 21.000.000 i ens diuen que seguirà creixent al mateix ritme del 0,05 anual, podríem precipitar-nos i pensar que al segon any la població arribarà a 22.000.000 i al tercer any a 23.000.000. L'error rauria a calcular sempre el 0,05 d'increment anual sobre 20.000.000, quan cal aplicar-lo a la població existent en cada moment: només al cap del primer any és correcte aplicar-lo a 20.000.000 per obtenir 21.000.000; al cap del segon haurem d'aplicar-lo a aquests 21.000.000 per obtenir 22.050.000, i al cap del tercer haurem d'aplicar-lo a aquests 22.050.000 per obtenir 23.152.500.
Us ho escric: al cap d'un any hi haurà
20.000.000 + 0,05·20.000.000 = 20.000.000 (1 + 0,05) = 1,05·20.000.000 = 21.000.000,
al cap de dos, com he dit,
21.000.000 + 0,05·21.000.000 = 21.000.000 (1 + 0,05) = 1,05·21.000.000 = 22.050.000,
al cap de tres
22.050.000 + 0,05·22.050.000 = 22.050.000 (1 + 0,05) = 1,05·22.050.000 = 23.152.500, etcètera.
Però, si ens interessa calcular directament la població al cap de un, de dos o de tres anys (P1, P2 o P3), sense haver de calcular prèviament la d'anys precedents, hauríem de fer
P0 = 1,05^0·20.000.000 = 20.000.000
P1 = 1,05^1·20.000.000 = 21.000.000
P2 = 1,05^2·20.000.000 = 22.050.000
P3 = 1,05^3·20.000.000 = 23.152.500
I, si volguéssim generalitzar el sistema per a qualsevol població inicial (P0), índex de creixement anual (Ia) i anys transcorreguts (t), la població final seria
Pt = P0·(1 + Ia)^t.
(El professor anota les potències i les arrels a la pissarra com Déu mana, però com que la transcripció aquí seria problemàtica, faig servir la notació habitual en programació informàtica, base^exponent i arrel^1/grau.)
Fins aquí, com heu vist, calcular la població és bufar i fer ampolles. Però, si no en tinguéssim prou a conèixer-la al cap d'un, dos, tres ... t anys, podríem calcular-la per mesos, prenent un Im = Ia/12 que fos l'index de creixement per mesos i un exponent que fos el nombre de mesos considerat, 12·t; per dies, prenent un Id = Ia/365 que fos l'index de creixement per dies i un exponent que fos el nombre de dies considerat, 365·t; per hores, prenent un Ih = Ia/8.760 que fos l'index de creixement per hores i un exponent que fos el nombre d'hores considerat, 8.760·t (on 8.760 = 24·365), o per minuts, prenent un Imi = Ia/525.600 que fos l'index de creixement per minuts i un exponent que fos el nombre de minuts considerat, 525.600·t (on 525.600 = 60·8.760)... Així, anomenant n el nombre de parts en què considerem dividit l'any, 1, 12, 365, 8.760 o 525.600, la fórmula següent serveix per a tots els casos:
Pnt = P0·(1 + Ia/n)^n·t.
Calculem, doncs, la població al cap d'un any (t = 1), considerant que 1 any són 12 mesos, 365 dies, 8.760 hores o 525.600 minuts:
P1a = 20.000.000·(1 + 0,05) = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,00
P12m = 20.000.000·(1 + 0,05/12)^12 = 20.000.000·1,00416666^12 = 21.023.237,96
P365d = 20.000.000·(1 + 0,05/365)^365 = 20.000.000·1,000136986^365 = 21.025.349,93
P8760h = 20.000.000·(1 + 0,05/8.760)^8.760 = 20.000.000·1,00000570776^365 = 21.025.418,93
P525600mi = 20.000.000·(1 + 0,05/525.600)^525.600 = 20.000.000·1,0000000951294^525.600 = 21.025.421,88, i encara considerarem els 60·525.600 = 31.536.000 segons de l'any, perquè no sigui dit:
P31536000s = 20.000.000·(1 + 0,05/31.536.000)^31.536.000 = 20.000.000·1,00000000158549^31.536.000 = 21.025.421,93.
El que faré ara serà reproduir aquests resultats en el trocet de pissarra neta, escurçant els subíndexs de P, i dividir-los tots per 21.000.000:
Pa = 21.000.000,00, i 21.000.000,00/21.000.000,00 = 1,00000000
Pm = 21.023.237,96, i 21.023.237,96/21.000.000,00 = 1,00110657
Pd = 21.025.349,93, i 21.025.349,93/21.000.000,00 = 1,00120714
Ph = 21.025.418,93, i 21.025.418,93/21.000.000,00 = 1,00121043
Pmi= 21.025.421,88, i 21.025.421,88/21.000.000,00 = 1,00121057
Ps = 21.025.421,93, i 21.025.421,93/21.000.000,00 = 1,00121057
I ara us dono dos minuts perquè us els mireu i em digueu quines conclusions se us acudeixen.
—No sé si la pila de la calculadora li fa figa, profe, però em sembla que ha fet malament les operacions —va deixar anar en Rafelet, sense aixecar-se—, perquè la població al cap d'un any hauria de donar sempre 21.000.000, s'hagués comptat l'any en dies, hores o minuts, i totes les divisions haurien de donar la unitat...
—... I a més passa una cosa estranya —intervingué Quimeta amb contundència, sense deixar-lo acabar—: cada vegada que ho calculem fent servir espais de temps més petits, aquests quocients són més grans, però cada vegada menys grans. No sé si m'explico.
—Us expliqueu molt bé i tots dos teniu raó. Efectivament, totes les divisions haurien d'haver donat u, perquè al cap de l'any la població actualitzada hauria d'haver estat sempre 21.000.000, amb independència de la unitat de temps utilitzada i de quantes actualitzacions s'haguessin fet. No té solta ni volta que en comptar-la per mesos sigui més gran, que en comptar-la per dies encara sigui més gran, que en comptar-la per hores encara ho sigui més ni que en comptar-la per minuts o segons segueixi creixent més i més: el creixement de població en un any és el que és, i el sistema de càlcul no pot modificar aquesta realitat objectiva. El problema no són les piles ni que la calculadora estigui espatllada, Rafelet, sinó que hauríem d'haver agafat uns valors una mica més petits que 1/12, 1/365, 1/8.760, 1/525.600 o 1/31.536.000. Però, ja que hem arribat aquí, deixem per a més endavant la resolució d'aquesta incongruència i centrem-nos en l'objecció de la Quimeta.
El que vull que tragueu de tot això és que el valor de convergència d'una successió no sempre està tan clar com en la juguesca entre Aquil·les i la tortuga, i que hi ha una sèrie de processos, uns artificials i altres naturals, entre ells el creixement de comunitats on ningú entra ni surt del territori i on, per tant, els nounats se sumen a la població, que tenen en comú la convergència en un valor anomenat e i també constant d'Euler. N'hi ha prou que l'índex de creixement Ia (augment de població per unitat de temps i persona) sigui constant al llarg del temps: llavors el creixement (augment de població per unitat de temps) serà proporcional a la població en cada moment i estarem en un cas de l'anomenat creixement exponencial. No us donaré el valor d'e perquè vull que el descobriu vosaltres mateixos. I, com que encara heu de menjar moltes sopes per estudiar teoria de límits, que és la porta d'entrada al càlcul infinitesimal, ho fareu empíricament.
La primera cosa és desempallegar-nos del que és accessori, reduint
Pnt = P0·(1 + Ia/n)^n·t
a un any,
Pn = P0·(1 + Ia/n)^n = P0·[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
i despullant l'últim terme de l'expressió en la forma
Pn/P0 = [(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
(Pn/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia, perfecta per deixar-nos en el dubte de quina tendència prevaldrà; perquè, a mesura que n creixi, l'exponent n/Ia tendirà a infinit, però Ia/n tendirà a zero i la base de la potència, 1 + Ia/n, tendirà a u. Si voleu, ens podem estalviar de fer el càlcul complet per a n = 12, 365, 8.760, 525.600 i 31.536.000, aprofitant els sis valors d'abans:
com que 1/Ia = 1/0,05 = 20 i
Pn/P0 = (Pa/P0)·(Pn/Pa) = (21.000.000/20.000.000)·(Pn/Pa) = 1,05·Pn/Pa
nomès cal elevar a la potència 20 el producte de 1,05 i Pn/Pa, que són aquells valors, per tenir
(1,05·Pn/Pa)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia:
(1,05·1,00000000)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,653298, per a n = 1,
(1,05·1,00110657)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,712640, per a n = 12,
(1,05·1,00120714)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718096, per a n = 365,
(1,05·1,00121043)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718274, per a n = 8.760,
(1,05·1,00121057)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 525.600 i
(1,05·1,00121057)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 31.536.000.
Fixeu-vos que, entre n = 1 i n = 8.760, creix poquíssim, i que, entre aquest últim valor i n = 525.600, haurà assolit el valor 2,718282: si ja en tenim prou amb aquesta aproximació de sis xifres decimals, no cal anar més enllà. Doncs bé, anomenarem e el valor al qual s'estabilitza l'expressió
(Pn/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia
per a valors n creixents; tot i que, d'aquí a dos cursos, us ho diran d'aquesta altra manera: e és el valor límit d'aquesta expressió quan n tendeix a infinit. En no estar ja lligat Pn a cap valor n concret, l'anomenarem P, i
(P/P0)^1/Ia = e
P/P0 = e^Ia
P = P0·e^Ia
i, generalitzant la fórmula a t anys,
Pt = P0·e^Ia·t
El nombre e té infinites xifres decimals, però se n'agafen de més o de menys segons la precisió requerida per a cada aplicació. En la nostra va que xuta amb sis, i serà e = 2,718282. Interessant, no?
—Qui el va parir! —se sentí a l'última fila.
—Pssst! —feren a l'uníson Rafelet i Quimeta, girant-se cap enrere.
—Però si tot això no ha servit de res... —intervingué tímidament en Rafelet, tornant a mirar al professor.
—No, home, tampoc és que no serveixi de res! —digué l'interpel·lat—. Passa que he volgut començar amb aquest procediment perquè és el que trobaràs amb més facilitat arreu i perquè va millor per presentar la constant e. Però és el procediment que correspon a l'interès compost continu, no pas al creixement demogràfic vegetatiu (vegetatiu vol dir degut exclusivament a naixements menys defuncions, perquè no es produeixen migracions). Tu ho has detectat de seguida, Rafelet, en adonar-te que sortien valors diferents de creixement anual segons que els calculéssim per mesos, dies, hores, minuts, segons o que anéssim al límit. Dels dos tipus de creixement exponencial, el de l'interès compost i el de creixement de poblacions, m'interessava el segon però el primer m'anava millor per introduir el nombre e, així que he fet trampa, barrejant ambdós processos: us he explicat el mètode de càlcul de l'interès compost aplicant-lo al creixement d'una població. I ara que ja sabeu d'on surt el nombre e, em toca posar cada cosa al seu lloc, i començaré parlant de l'interès compost continu.
En cursos anteriors us havien ensenyat què era l'interès simple: l'inversor deixava els seus diners (el capital) al banc, per un temps convingut, i el banc es comprometia a abonar-li periòdicament una compensació (els interessos). Així que el capital P0 era fix i l'import dels interessos liquidats depenia de l'interès anual pactat ( Ia, anomenat també rèdit) i el nombre de períodes a l'any: Ia/12 cada mes, Ia/4 cada trimestre, Ia/2 cada semestres o directament Ia cada any. En un dipòsit a interès compost, en canvi, l'inversor també deixa els seus diners al banc però aquest no li abona els interessos sinó que els hi reinverteix, és a dir que els suma al capital acumulat en cada període per tal que també generin rendiment: d'això se'n diu capitalitzar interessos, amb el resultat que el capital va augmentant. Així, per exemple, si el capital inicial és P0, l'interès anual nominal és Ia i la capitalització d'interessos és trimestral, en acabar el primer trimestre el capital acumulat serà
P1tm = P0 + P0·Ia/4 = P0(1+ Ia/4),
en acabar el segon trimestre serà
P2tm = P0(1+ Ia/4) + P0(1+ Ia/4)Ia/4 = P0(1 + Ia/4)(1+ Ia/4) = P0(1 + Ia/4)^2,
en acabar el tercer trimestre serà
P3tm = P0(1 + Ia/4)^2 + [P0(1 + Ia/4)^2]Ia/4 = [P0(1 + Ia/4)^2](1 + Ia/4) = P0(1 + Ia/4)^3
i en acabar el quart trimestre (i el primer any) serà
P4tm = P0(1 + Ia/4)^3 + [P0(1 + Ia/4)^3]Ia/4 = [P0(1 + Ia/4)^3](1 + Ia/4) = P>0(1 + Ia/4)^4, quantitat superior a la suma del capital i l'interès obtingut en un any en règim d'interès simple, P1a = P0 + P0·Ia = P0(1+ Ia),
ja que (1 + Ia/4)^4 = 1 + 4(Ia/4) + 6(Ia/4)^2 + 4(Ia/4)^3 + (Ia/4)^4, els dos primers termes ja igualen 1 + Ia i els altres tres són positius.
Si en l'exemple d'abans considerem que P0 = 20.000.000 no són els habitants d'un país en un moment donat, sinó el capital inicial en euros, i que Ia = 0,05 no és l'índex de creixement anual de població d'aquest país, en tant per u, sinó l'interès nominal anual a què es dipositen aquests 20.000.000 € en règim d'interès compost, amb capitalització trimestral, tindrem que a cap d'un any aquest capital s'ha transformat en
P4tm = P0(1 + Ia/4)^4 = 20.000.000·1,0125^4 = 20.000.000·1,050945 = 21.018.906,74 €, quantitat superior a
P1a = P0(1+ Ia) = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 €, que seria el capital obtingut en règim d'interès compost, amb capitalització anual (que en aquest cas és igual al capital que hauríem obtingut en règim d'interès simple), però inferior al que hauríem obtingut amb capitalització mensual. Ja ho havíem calculat abans, i era
P12m = 20.000.000·(1 + 0,05/12)^12 = 20.000.000·1,00416666^12 = 21.023.237,96.
Això, que el rendiment és més gran quant més curts són els períodes de capitalització (i, per tant, quantes més capitalitzacions es fan al llarg d'un any), va intrigar a un savi suís del segle XVII anomenat Jakob Bernouilli (a la família Bernouilli n'hi va haver d'altres, de savis, en el segle XVIII), que volia saber fins quan augmentava el rendiment. Òbviament, Bernouilli no disposava de calculadora, i hem de suposar que calculava potencies tan elevades com les que han sortit traient logaritmes, tècnica ideada per l'escocès John Napier gairebé un segle abans. També òbviament, no comptava els diners en euros, crec haver llegit que les operacions financeres que estudiava no eren dipòsits sinó crèdits i, pel que fa als valors del capital inicial i de l'interès anual, no crec que fossin 20.000.000 i 0,05: si jo els havia adoptat era per fer-los coincidir amb la població i l'índex de creixement de què parlarem ara. Però tornant a Bernouilli, el descobriment que la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia), el va dur a preguntar-se si aquesta tendència tenia o no aturador, perquè s'adonava que multiplicant per 12 el nombre de capitalitzacions i disminuint l'interès en la mateixa proporció la rendibilitat augmentava (21.023.237,96 - 21.000.000 = 23.237,96, cosa que representava passar de l'1,05 a l'1,051162), que procedint anàlogament amb 365 la rendibilitat seguia augmentant però no tant ( 21.025.349,93 - 21.023.237,96 = 2.111,97, passant l'1,051162 a l'1,051267), que fent-ho amb 8.760, la rendibilitat havia augmentat molt poc (21.025.418,93 - 21.025.349,93 = 69,00, passant de l'1,051267 a l'1,051271) i que fent tres quarts del mateix amb 525.600, la rendibilitat pràcticament s'havia estancat (21.025.421,88 - 21.025.418,93 = 2,95, passant de l'1,051271 a molt poc més de l'1,051271). Ho va sistematitzar, estudiant el comportament de l'expressió (1 + Ia/n)^n/Ia amb valors de n cada cop més elevats, perquè era difícil avançar-ne el comportament: prevaldria el contingut del parèntesi tendint a un o el de l'exponent tendint a infinit? Calia esperar al segle XVIII i a un altre savi suís, Leonhard Euler, amb el càlcul diferencial, per passar-la al límit.
No m'importa fer-me pesat repetint les coses, perquè vull que això us quedi ben clar: tant el càlcul del capital dipositat en règim d'interès compost continu, que acabem de descriure, com el càlcul de la població d'un territori amb índex de creixement constant, que de seguida tractarem seriosament i no com abans, són casos de creixement exponencial i tenen en comú que s'ocupen de conjunts mesurables (capital o població) que creixen (en euros o en persones) proporcionalment al nombre d'elements, i en els quals aquests nous elements queden integrats en el conjunt.
—Fins aquí, tots d'acord? —interrogà el professor. I el silenci sepulcral que obtingué per resposta tant podia ser una confirmació de la seva aptitud pedagògica com tot el contrari, però va seguir, del tot incombustible:
—Doncs un cop atesa l'objecció de Quimeta, tractaré de respondre a la de Rafelet.
Ja heu vist on duia capitalitzar 12, 365, 8.760 o 525.600 vegades al cap de l'any, prenent com a interès per a cadascun d'aquests casos Ia/12, Ia/365, Ia/8.760 o Ia/525.600, que era l'INTERÈS SIMPLE mensual, diari, per hores o per minuts: el rendiment anual de facto havia augmentat i era superior al rendiment anual nominal Ia. No hi havia res a objectar perquè, com a invencions humanes que són, les operacions bancàries utilitzen paràmetres fixats arbitràriament: en el món de les finances tot és possible si és negoci. Però passar al món de la física o la demografia, amb lleis de formulació inamovible, ja són figues d'un altre paner.
La hipòtesi de treball ha de ser justament la contrària: en lloc d'adoptar els rèdits propis de l'interès simple i calcular quins guanys produiran en interès compost al cap d'un temps, caldrà calcular quins rèdits mensuals, diaris, per hores o per minuts s'haurien d'utilitzar per tal que, després de 12, 365, 8.760 o 525.600 capitalitzacions, el guany fos igual a l'interès generat pel rèdit Ia al cap d'un any. Traduït això a llenguatge demogràfic, caldrà calcular quin creixement mensual, diari, per hores o per minuts s'hauria de considerar per tal que, després de 12, 365, 8.760 o 525.600 actualitzacions de la població, el guany fos igual a l'aplicació de l'índex de creixement Ia a la població P0 en un any.
Pel que fa a la població al cap d'1, 2, 3... t anys, tot serà com abans,
P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)^1
P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) = P0(1 + Ia)^2
P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
P0(1 + Ia)^3
·······················
Pta = P0(1 + Ia)^t,
és a dir,
P1a = 20.000.000·1,05^1 = 21.000.000
P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
································
Pta = 20.000.000·1,05^t.
Però, a diferència de l'interès compost, en el càlcul de la població haurà de ser Im < Ia/12, Id < Ia/365, Ih < Ia/8.760 i Imi < Ia/525.600. Segons aquesta premisa, l'índex mensual de creixement, l'índex diari, l'índex per hores i l'índex per minuts no vindran donats sinó que els haurem de deduir de les condicions d'arribada, considerant que P1a = P12m = P365d = P8760h = P525600mi. Les equacions en P són les mateixes de l'interès compost, amb l'única particularitat que ara Im, Id, Ih i Imi seran les incògnites.
P12m = P0(1 + Im)^12 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Im)^12 = 1 + Ia
1 + Im = (1 + Ia)^1/12
Im = (1 + Ia)^1/12 - 1
Pim = P0(1 + Im)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/12 - 1]^i = P0(1 + Ia)^i/12
és a dir,
Im = 1,05^0,0833333 - 1 = 0,00407412
P1m = 20.000.000·1,00407412 = 20.081.482,4
P2m = 20.000.000·1,00407412^2 = 20.000.000·1,008165 = 20.163.296,77
P3m = 20.000.000·1,00407412^3 = 20.000.000·1,012272 = 20.245.444,46
···························································································
P12m = 20.000.000·1,00407412^12 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,
P365d = P0(1 + Id)^365 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Id)^365 = 1 + Ia
1 + Id = (1 + Ia)^1/365
Id = (1 + Ia)^1/365 - 1
Pid = P0(1 + Id)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/365 - 1]^i = P0(1 + Ia)^i/365
és a dir,
Id = 1,05^0,00273973 - 1 = 0,000133681
P1d = 20.000.000·1,000133681 = 20.002.673,62
P2d = 20.000.000·1,000133681^2 = 20.000.000·1,000267379 = 20.005.347,60
P3d = 20.000.000·1,000133681^3 = 20.000.000·1,000401095 = 20.008.021,93
······························································································
P365d = 20.000.000·1,000133681^365 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,
P8760h = P0(1 + Ih)^8.760 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Ih)^8.760 = 1 + Ia
1 + Ih = (1 + Ia)^1/8.760
Ih = (1 + Ia)^1/8.760 - 1
Pih = P0(1 + Ih)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/8.760 - 1]^i = P0(1 + Ia)^i/8.760
és a dir,
Ih = 1,05^0,000114155 - 1 = 0,00000556966
P1h = 20.000.000·1,00000556966 = 20.000.111,39
P2h = 20.000.000·1,00000556966^2 = 20.000.000·1,0000111394 = 20.000.222,79
P3h = 20.000.000·1,00000556966^3 = 20.000.000·1,0000167091 = 20.000.334,18
····························································································
P8760h = 20.000.000·1,00000556966^8.760 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,
P525600mi = P0(1 + Imi)^525.600 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Imi)^525.600 = 1 + Ia
1 + Imi = (1 + Ia)^1/525.600
Imi = (1 + Ia)^1/525.600 - 1
Pimi = P0(1 + Imi)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/525.600 - 1]^i = P0(1 + Ia)^i/525.600
és a dir,
Imi = 1,05^0,00000190259 - 1 = 0,0000000928277
P1mi = 20.000.000·1,0000000928277 = 20.000.001,86
P2mi = 20.000.000·1,0000000928277^2 = 20.000.000·1,000000185655 = 20.000.003,71
P3mi = 20.000.000·1,0000000928277^3 = 20.000.000·1,000000278483 = 20.000.005,57
·································································································
P525.600mi = 20.000.000·1,0000000928277^525.600 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000.
Resumint: per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
Pin = P0(1 + In)^i, on In = (1 + Ia)^1/n - 1
Pin = P0[1 + (1 + Ia)^1/n - 1]^i = P0[(1 + Ia)^1/n]^i =
P0(1 + Ia)^i/n.
Però no tenim per què limitar-nos a valors i < n, és a dir, a fraccions d'any. Podem representar amb t = i/n la durada a considerar, expressada en anys i adoptant tota mena de valors positius: enters i fraccionaris inferiors o superiors a la unitat. D'aquesta manera,
Pt = P0(1 + Ia)^t, però també li podríem donar la forma
Pt = P0·e^ln[(1 + Ia)^t] = P0·e^t·ln(1 + Ia), amb la qual cosa s'assemblarà més a l'expressió homòloga de l'interès compost continu:
Pt = P0·e^t·Ia.
—Jo no veig per què ens hem de complicar la vida escrivint-ho de manera tan complicada, quan havíem arribat a una expressió tan senzilla —intervingué Quimeta—. Només perquè tingui el mateix aspecte que la fórmula de l'interès compost? Això sembla una operació de cosmètica, com quan la meva mare...
—Bé, Quimeta, ara no t'enrotllis amb històries que no fan al cas —tallà el professor—. Tens i no tens raó quan parles d'operació de cosmètica, perquè hi ha motius per fer això en determinades circumstàncies. Un és que, normalment, el càlcul del creixement exponencial s'introdueix com un exemple fàcil d'aplicació d'equacions diferencials, que veureu d'aquí un parell o tres de cursos*: em limitaré a dir que s'arriba a una expressió del tipus
Pt = P0·e^k·t, on k es presenta com una constant, el valor de la qual s'obté de P0, Pt i t, però sense explicar que k = ln(1 + Ia).
L'altre motiu és que d'aquesta manera és més fàcil comparar les dues equacions, als efectes, per exemple, de dissenyar-ne variants. En aquesta línia, la primera cosa que cal veure és que, a partir del valor inicial t = 0, per a uns valors P0 i Ia determinats, els valors de
Pt = P0·e^t·Ia són més elevats que els de
Pt = P0·e^t·ln(1 + Ia), o sigui que cal demostrar que Ia > ln(1 + Ia):
Havíem vist que, si anàvem augmentant un valor a > 0, l'expressió (1 + 1/a)^a també augmentava, cada cop menys però augmentava, i definíem e com el valor límit d'aquesta expressió quan a tendia a infinit. Així que, per a valors finits d'a, serà e > (1 + 1/a)^a i, si fem a = 1/Ia,
e > (1 + Ia)^1/Ia
e^Ia > 1 + Ia = e^ln(1 + Ia) i, finalment,
Ia > ln(1 + Ia).
Prenent Ia = 0,05 i ometent P0 per no fer tantes operacions, comprovarem això dibuixant les gràfiques cartesianes dels valors e^t·Ia = e^0,05t i e^t·ln(1 + Ia) = e^t·ln1,05 = e^0,0488t (o, més fàcil, (1 + Ia)^t = 1,05^t) representats en ordenades, amb t en abscisses. Com que les variacions seran molt petites, graduarem l'eix horitzontal en unitats i l'eix vertical en dècimes:
Per a t = 0, e^0 = 1 i e^0 = 1 (o 1,05^0 = 1): valors coincidents.
Per a t = 1, e^0,05 = 1,051 i e^0,0488 = 1,05 (o 1,05^1 = 1,05).
Per a t = 2, e^0,1 = 1,105 i e^0,0976 = 1,103 (o 1,05^2 = 1,103).
Per a t = 3, e^0,15 = 1,162 i e^0,1464 = 1,158 (o 1,05^3 = 1,158).
Per a t = 4, e^0,2 = 1,221 i e^0,1952 = 1,216 (o 1,05^4 = 1,216).
Per a t = 5, e^0,25 = 1,284 i e^0,2440 = 1,276 (o 1,05^5 = 1,276).
Com podeu veure, a partir de la coincidència inicial en 0,1, la primera corba (la basada en l'interès compost) es manté per damunt de la segona (la basada en el creixement demogràfic) i s'hi va distanciant progressivament, cosa que en el dibuix gairebé no es percep, però sí en la diferència d'ordenades, que és de: 0,0013 per a t = 1; 0,0027 per a t = 2; 0,0042 per a t = 3; 0,0059 per a t = 4 i 0,0077 per a t = 5.
A on ens du, això? Doncs, per exemple, a interpolar funcions, entre les dues dibuixades, o a extrapolar-ne més enllà de la superior, jugant amb el valor Ia. Haver adoptat, per a la funció inferior, la forma
Pt = P0·e^t·ln(1 + Ia), ens permetrà obtenir-la fàcilment a partir de la superior
Pt = P0·e^t·Ia, amb només modificar Ia. N'hi ha prou a multiplicar-lo per un coeficient k tal que k = ln(1 + Ia)/Ia, i tindrem
Pt = P0·e^t·Ia·k = P0·e^t·Ia·ln(1 + Ia)/Ia = P0·e^t·ln(1 + Ia). Modificació en què el capital, al cap de t anys, no haurà acumulat tants interessos com abans i coincidirà, comptant en euros en lloc de persones, amb el valor de la població d'un territori al cap de t anys.
Adoptant coeficients k en què ln(1 + Ia)/Ia < k < 1, tindríem capitals amb rendiments compresos entre aquest minso creixement vegetatiu i els deguts a l'interès compost continu estricte. I, com us podeu imaginar, adoptant coeficients 1 < k, la rendibilitat encara seria més gran. Les gràfiques d'aquestes variants, totes partint del punt 0, 1, se situarien entre les dues corbes que hem dibuixat i seguirien més amunt de la de l'interès compost estricte. Especulacions així són el segon motiu que justifica que l'equació del creixement demogràfic exponencial (índex de creixement constant i creixement proporcional a la població) adopti la forma de potència d'e. Tot i que no et veig massa convençuda, Quimeta...
* Nota de l'autor:
Empíricament s'observa que una població tancada, sense migracions, creix a ritme constant, és a dir que l'increment demogràfic és proporcional al nombre actual d'habitants. Així que, anomenant P = f(t) al nombre d'habitants en cada moment t, P0 al del moment inicial t = 0 i reservant les lletres k i C per representar constants, tindrem que el creixement instantani, proporcional a P, serà
dP/dt = k·P
dP/P = k·dt
∫dP/P = ∫k·dt i, recordant que si f(x) = lnx llavors f'x = 1/x,
lnP + C1 = k·t + C2
lnP = k·t + C3
e^lnP = e^(k·t + C3)
P = (e^k·t)·e^C3 i, anomenant C = e^C3,
P = C·e^k·t i, com que P0 = C·e^k·0 = C·e^0 = C,
P = P0· e^k·t.
El present relat invalida l'homònim publicat el 16-06-2024, que no he volgut eliminar en atenció a les 228 lectures i als tres comentaris. Cap al final d'aquell relat, deia: "Us haig de confessar que m'he tornat mico provant de trobar a Internet la justificació de les expressions matemàtiques utilitzades per calcular el creixement exponencial continu de la població, però ha estat en va: de justificacions de l'ínterès compost continu, les que vulgueu; però en aplicacions demogràfiques, que fan servir les mateixes fórmules i que per això mateix m'interessaven, cap ni una". Doncs bé, cinc mesos després vaig reprendre la cerca i vaig tenir més sort: en una col·lecció de vídeos titulada "Miniaturas Físico-matemàticas" en vaig trobar dos, "18 de enero Equas. Introducción a las ecuaciones diferenciales separables" i "20 de enero Equas. Problemas sobre crecimiento exponencial", on un professor guatemaltec amb la rara habilitat d'escriure amb retolador sobre un vidre d'esquerra a dreta, de manera que l'espectador ho pogués llegir, exposava amb força claredat allò que jo buscava i que heu trobat resumit línies enrere, a l'inici d'aquesta nota.
No només això, sinó que dues línies de la demostració,
e^lnP = e^(k·t + C3) i
P = (e^k·t)·e^C3,
em van donar la pista per presentar com a potència d'e el creixement demogràfic exponencial
Pt = P0(1 + Ia)^t = P0·e^t·ln(1 + Ia),
deixant-lo en una forma homologable a la de l'interès compost continu, Pt = P0·e^t·Ia.
Recapitulant, si considerem el rendiment/creixement al cap de t anys, amb n capitalitzacions/actualitzacions a l'any, en tots dos casos és
Pnt = P0(1 + In)^t.
Però, en l'interès compost continu,
In = Ia/n
Pnt = P0(1 + Ia/n)^n·t = P0[(1 + Ia/n)^n/Ia]^t·Ia
i, si definim e com el valor límit de l'expressió (1 + Ia/n)^n/Ia quan n tendeix a infinit,
Pt = P0·e^t·Ia.
I, en el creixement exponencial de població,
In = [(1 + Ia)^1/n] - 1
Pnt = P0{1 + [(1 + Ia)^1/n] - 1}^n·t = P0(1 + Ia)^n·t/n)
Pt = P0(1 + Ia)^t = P0·e^t·ln(1 + Ia).
En el relat no he volgut treure el tema, perquè els pobres alumnes ja en tenien prou amb l'allau de conceptes nous que els havia caigut al damunt, però aquí insistiré en una diferència fonamental entre aquests dos patrons de creixement exponencial:
a Pt = P0·e^t·Ia, la presència d'e és el resultat d'una progressió amb més períodes (n) cada cop més curts (1/n) i la fórmula sols és aplicable en el límit d'aquesta progressió, mentre que
a Pt = P0(1 + Ia)^t = P0·e^t·ln(1 + Ia), on e sols és un artifici, contràriament a l'interès compost no té sentit distingir entre aplicació contínua o discreta, ja que l'actualització del cens es pot fer per minuts, hores, dies, mesos o anys, amb idèntics resultats.
Les progressions aritmètiques creixen indefinidament quan la diferència de la progressió és positiva, com aquesta —i seguí parlant mentre es girava i escrivia a la pissarra—; decreixen indefinidament quan la diferència és negativa, com aquesta, i no cal parlar de què passa quan la diferència és zero, perquè surt una ximpleria que no serveix per a res, amb tots els membres iguals.
Les progressions geomètriques creixen indefinidament quan el primer terme és positiu i la raó de progressió és més gran que u; creixen cap a zero quan el primer terme és negatiu i la raó està entre zero i u —i seguí parlant mentre esborrava la pissarra i tornava a escriure-hi—; decreixen indefinidament quan el primer terme és negatiu i la raó és més gran que u; creixen cap a zero quan el primer terme és positiu i la raó està entre zero i u. I no cal parlar de què passa quan la raó és u, perquè surt una ximpleria que no serveix per a res, amb tots els membres iguals. O de quan és negativa, perquè llavors els termes van alternant el signe, passant de positiu a negatiu i de negatiu a positiu.
Si voleu un exemple de progressió geomètrica que arrenca amb el nombre u i té una raó de progressió dos, recordeu la faula d'aquell rei que, volent recompensar l'inventor del joc d'escacs, va accedir a donar-li tants grans de blat com hi cabessin en un tauler, començant per posar-ne un a la primera casella, dos a la segona, i així posar a cada casella el doble de la precedent, fins a arribar a la seixanta-quatrena. Com sabeu, la successió seria dos elevat a la potència 0 (1), dos elevat a 1 (2), dos elevat a 2 (4), dos elevat a 3 (8)... i dos elevat a la 63 (més de nou trilions de grans de blat). Això, quedant-nos només amb els seixanta-quatre primers termes de la successió; ja us podeu imaginar si seguíssim...
Però, fora de les progressions, el comportament de les altres successions és bastant imprevisible. Algunes també es veu que creixen indefinidament, com la de Fibonacci, que, començant amb zero i un, els altres membres s'obtenen sumant els dos precedents —i, després d'esborrar un altre cop la pissarra, escriví 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144—. Però d'altres decreixen fins a convergir en zero, com la definida per una de les paradoxes de Zenó. Zenó era un filòsof de l'antiga Grècia, d'una escola que postulava que el moviment és una il·lusió dels sentits i que la raó ens du a concloure que, en realitat, res no es mou. Una de les paradoxes que es va empescar, per entabanar al personal, era que si algú pretén córrer una distància, dos-cents metres per exemple, no ho aconseguirà mai perquè, abans de poder-ne fer 200, ha de passar per la meitat del recorregut, és a dir, pels cent metres; però, abans de fer-ne 100, n'ha de fer cinquanta; abans de fer-ne 50 n'ha de fer vint-i-cinc, i així successivament fins a arribar a la conclusió que, per més temps que hi dediqués, no es podria moure ni un pam. Efectivament, si jo formo la successió de les distàncies que NO POT RECÓRRER, escrivint 200 100 50 25 12,50 6,25... m'adono que cada cop són més petites i convergeixen a 0.
Les successions també poder convergir a valors diferents de zero. I començarem amb un exemple en què aquest valor el veu a venir. Seguint amb Zenó, una altra de les seves paradoxes era la d'Aquil·les i la tortuga. Volies alguna cosa, Jaumet?
—Sí, profe: aquest Aquil·les és el Brad Pitt de la pel·lícula?
—Sí, el de la pel·lícula "Troia", que tenia fama de ser molt ràpid corrent, amb armadura i tot. Una tortuga més llesta que la fam repta a Aquil·les a una carrera, sabent que correrà deu vegades més ràpid que ella, a condició que li doni un avantatge de 100 m. Aquil·les ho accepta i, quan la tortuga comença a caminar, Aquil·les arrenca a córrer i de seguida fa 100 m. Però quan els ha fet, arribant a on era la tortuga, aquesta mentrestant n'haurà avançat deu; quan Aquil·les hagi cobert també aquests 10, la tortuga haurà fet un metre més; quan Aquil·les faci aquest metre, la tortuga haurà fet un decímetre més, i així successivament: Aquil·les estarà cada cop més a prop de la tortuga, però mai no podrà atrapar-la. Almenys això era el que deia Zenó, que es refiava més d'aquest fals raonament que del que veia. Però nosaltres sabem que Aquil·les atraparà la tortuga i la sobrepassarà, i podem calcular quan haurà recorregut cadascú en aquell moment, amb una senzilla equació. A veure, Quimeta, com es calcula la velocitat? Tu dicta'm, que jo ho aniré escrivint a la pissarra.
—Doncs la velocitat és l'espai recorregut dividit per temps que es triga a recórrer-lo.
-Molt bé —i el professor anà escrivint a la pissarra—, V = E/T, i concretant anomenarem Va = Ea/T la velocitat a què va Aquil·les i Vt = Et/T la velocitat a què va la tortuga. Quina relació hi ha entre les dues velocitats?
—Doncs la d'Aquil·les és 10 vegades la de la tortuga.
—Doncs posem-ho: Va = 10·Vt, és a dir, Ea/T = 10·Et/T i, eliminant el denominador comú, tindrem que Ea = 10·Et. Però també sabem una altra cosa, Carmeta: quina relació hi ha entre els espais recorreguts per Aquil·les i per la tortuga?
—Aquil·les haurà recorregut 100 m. més que la tortuga.
—Sí, senyora: Ea = Et + 100. I, si ara substituïm aquest valor en la igualtat d'abans: Ea = Et + 100 = 10 Et. Passant Et a l'altra banda, tindrem que 100 = 9·Et, així que Et = 100/9 = 11,111111. En realitat és 11,1 periòdic, però així, amb sis decimals ens adonem millor que no s'acaben mai. Substituint ara aquest valor en l'equivalència d'abans, tant és que fem Ea = 10·Et = 10·11,111111 = 111,111111 o que fem Ea = Et + 100 = 11,111111 + 100 = 111,111111, perquè dóna el mateix: 111,1 periòdic. Si ho volem resoldre d'una altra manera, la successió formada pels trams en què considerem descomposta la carrera d'Aquil·les, expressada en metres, és 100 10 1 0,1 0,01 0,001 ... i convergeix cap a 0, com en el cas de l'anterior paradoxa de Zenó, però si considerem el que porta corregut en cada instant hem d'anar a la sèrie d'aquesta successió, que és 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..., que convergeix cap a 111,111... Potser quedarà mes clara, aquesta convergència, si la representem com a successió de les sumes parcials d'aquesta sèrie: 100 100+10=110 110+1=111 111+0,1=111,1 111,1+0,01=111,11 111,11+0,001=111,111 ... En definitiva, convergeix cap al valor 111,1 periòdic que havíem trobat resolent aquella equació.
—Doncs no és pas tan complicat —se li escapà a Quimeta.
—Sí, però ara ve quan el maten, perquè després de veure el cas de convergència d'una successió cap a un valor fàcilment previsible, ara en veureu un altre no gens intuïtiu: la població d'un país augmenta vegetativament (naixements menys defuncions, suposant que no hi ha migració de cap mena) un 5 per cent cada any, equivalent a 0,05 per u; sabem que en un moment determinat és de 20 milions de persones i ens demanen quantes tindrà al cap d'un any, dos, tres, etc. Abans de seguir, però fixem-nos que, si al cap d'un any la població ha passat de 20.000.000 de persones a 21.000.000 i ens diuen que seguirà creixent al mateix ritme del 0,05 anual, podríem precipitar-nos i pensar que al segon any la població arribarà a 22.000.000 i al tercer any a 23.000.000. L'error rauria a calcular sempre el 0,05 d'increment anual sobre 20.000.000, quan cal aplicar-lo a la població existent en cada moment: només al cap del primer any és correcte aplicar-lo a 20.000.000 per obtenir 21.000.000; al cap del segon haurem d'aplicar-lo a aquests 21.000.000 per obtenir 22.050.000, i al cap del tercer haurem d'aplicar-lo a aquests 22.050.000 per obtenir 23.152.500.
Us ho escric: al cap d'un any hi haurà
20.000.000 + 0,05·20.000.000 = 20.000.000 (1 + 0,05) = 1,05·20.000.000 = 21.000.000,
al cap de dos, com he dit,
21.000.000 + 0,05·21.000.000 = 21.000.000 (1 + 0,05) = 1,05·21.000.000 = 22.050.000,
al cap de tres
22.050.000 + 0,05·22.050.000 = 22.050.000 (1 + 0,05) = 1,05·22.050.000 = 23.152.500, etcètera.
Però, si ens interessa calcular directament la població al cap de un, de dos o de tres anys (P1, P2 o P3), sense haver de calcular prèviament la d'anys precedents, hauríem de fer
P0 = 1,05^0·20.000.000 = 20.000.000
P1 = 1,05^1·20.000.000 = 21.000.000
P2 = 1,05^2·20.000.000 = 22.050.000
P3 = 1,05^3·20.000.000 = 23.152.500
I, si volguéssim generalitzar el sistema per a qualsevol població inicial (P0), índex de creixement anual (Ia) i anys transcorreguts (t), la població final seria
Pt = P0·(1 + Ia)^t.
(El professor anota les potències i les arrels a la pissarra com Déu mana, però com que la transcripció aquí seria problemàtica, faig servir la notació habitual en programació informàtica, base^exponent i arrel^1/grau.)
Fins aquí, com heu vist, calcular la població és bufar i fer ampolles. Però, si no en tinguéssim prou a conèixer-la al cap d'un, dos, tres ... t anys, podríem calcular-la per mesos, prenent un Im = Ia/12 que fos l'index de creixement per mesos i un exponent que fos el nombre de mesos considerat, 12·t; per dies, prenent un Id = Ia/365 que fos l'index de creixement per dies i un exponent que fos el nombre de dies considerat, 365·t; per hores, prenent un Ih = Ia/8.760 que fos l'index de creixement per hores i un exponent que fos el nombre d'hores considerat, 8.760·t (on 8.760 = 24·365), o per minuts, prenent un Imi = Ia/525.600 que fos l'index de creixement per minuts i un exponent que fos el nombre de minuts considerat, 525.600·t (on 525.600 = 60·8.760)... Així, anomenant n el nombre de parts en què considerem dividit l'any, 1, 12, 365, 8.760 o 525.600, la fórmula següent serveix per a tots els casos:
Pnt = P0·(1 + Ia/n)^n·t.
Calculem, doncs, la població al cap d'un any (t = 1), considerant que 1 any són 12 mesos, 365 dies, 8.760 hores o 525.600 minuts:
P1a = 20.000.000·(1 + 0,05) = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,00
P12m = 20.000.000·(1 + 0,05/12)^12 = 20.000.000·1,00416666^12 = 21.023.237,96
P365d = 20.000.000·(1 + 0,05/365)^365 = 20.000.000·1,000136986^365 = 21.025.349,93
P8760h = 20.000.000·(1 + 0,05/8.760)^8.760 = 20.000.000·1,00000570776^365 = 21.025.418,93
P525600mi = 20.000.000·(1 + 0,05/525.600)^525.600 = 20.000.000·1,0000000951294^525.600 = 21.025.421,88, i encara considerarem els 60·525.600 = 31.536.000 segons de l'any, perquè no sigui dit:
P31536000s = 20.000.000·(1 + 0,05/31.536.000)^31.536.000 = 20.000.000·1,00000000158549^31.536.000 = 21.025.421,93.
El que faré ara serà reproduir aquests resultats en el trocet de pissarra neta, escurçant els subíndexs de P, i dividir-los tots per 21.000.000:
Pa = 21.000.000,00, i 21.000.000,00/21.000.000,00 = 1,00000000
Pm = 21.023.237,96, i 21.023.237,96/21.000.000,00 = 1,00110657
Pd = 21.025.349,93, i 21.025.349,93/21.000.000,00 = 1,00120714
Ph = 21.025.418,93, i 21.025.418,93/21.000.000,00 = 1,00121043
Pmi= 21.025.421,88, i 21.025.421,88/21.000.000,00 = 1,00121057
Ps = 21.025.421,93, i 21.025.421,93/21.000.000,00 = 1,00121057
I ara us dono dos minuts perquè us els mireu i em digueu quines conclusions se us acudeixen.
—No sé si la pila de la calculadora li fa figa, profe, però em sembla que ha fet malament les operacions —va deixar anar en Rafelet, sense aixecar-se—, perquè la població al cap d'un any hauria de donar sempre 21.000.000, s'hagués comptat l'any en dies, hores o minuts, i totes les divisions haurien de donar la unitat...
—... I a més passa una cosa estranya —intervingué Quimeta amb contundència, sense deixar-lo acabar—: cada vegada que ho calculem fent servir espais de temps més petits, aquests quocients són més grans, però cada vegada menys grans. No sé si m'explico.
—Us expliqueu molt bé i tots dos teniu raó. Efectivament, totes les divisions haurien d'haver donat u, perquè al cap de l'any la població actualitzada hauria d'haver estat sempre 21.000.000, amb independència de la unitat de temps utilitzada i de quantes actualitzacions s'haguessin fet. No té solta ni volta que en comptar-la per mesos sigui més gran, que en comptar-la per dies encara sigui més gran, que en comptar-la per hores encara ho sigui més ni que en comptar-la per minuts o segons segueixi creixent més i més: el creixement de població en un any és el que és, i el sistema de càlcul no pot modificar aquesta realitat objectiva. El problema no són les piles ni que la calculadora estigui espatllada, Rafelet, sinó que hauríem d'haver agafat uns valors una mica més petits que 1/12, 1/365, 1/8.760, 1/525.600 o 1/31.536.000. Però, ja que hem arribat aquí, deixem per a més endavant la resolució d'aquesta incongruència i centrem-nos en l'objecció de la Quimeta.
El que vull que tragueu de tot això és que el valor de convergència d'una successió no sempre està tan clar com en la juguesca entre Aquil·les i la tortuga, i que hi ha una sèrie de processos, uns artificials i altres naturals, entre ells el creixement de comunitats on ningú entra ni surt del territori i on, per tant, els nounats se sumen a la població, que tenen en comú la convergència en un valor anomenat e i també constant d'Euler. N'hi ha prou que l'índex de creixement Ia (augment de població per unitat de temps i persona) sigui constant al llarg del temps: llavors el creixement (augment de població per unitat de temps) serà proporcional a la població en cada moment i estarem en un cas de l'anomenat creixement exponencial. No us donaré el valor d'e perquè vull que el descobriu vosaltres mateixos. I, com que encara heu de menjar moltes sopes per estudiar teoria de límits, que és la porta d'entrada al càlcul infinitesimal, ho fareu empíricament.
La primera cosa és desempallegar-nos del que és accessori, reduint
Pnt = P0·(1 + Ia/n)^n·t
a un any,
Pn = P0·(1 + Ia/n)^n = P0·[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
i despullant l'últim terme de l'expressió en la forma
Pn/P0 = [(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
(Pn/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia, perfecta per deixar-nos en el dubte de quina tendència prevaldrà; perquè, a mesura que n creixi, l'exponent n/Ia tendirà a infinit, però Ia/n tendirà a zero i la base de la potència, 1 + Ia/n, tendirà a u. Si voleu, ens podem estalviar de fer el càlcul complet per a n = 12, 365, 8.760, 525.600 i 31.536.000, aprofitant els sis valors d'abans:
com que 1/Ia = 1/0,05 = 20 i
Pn/P0 = (Pa/P0)·(Pn/Pa) = (21.000.000/20.000.000)·(Pn/Pa) = 1,05·Pn/Pa
nomès cal elevar a la potència 20 el producte de 1,05 i Pn/Pa, que són aquells valors, per tenir
(1,05·Pn/Pa)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia:
(1,05·1,00000000)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,653298, per a n = 1,
(1,05·1,00110657)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,712640, per a n = 12,
(1,05·1,00120714)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718096, per a n = 365,
(1,05·1,00121043)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718274, per a n = 8.760,
(1,05·1,00121057)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 525.600 i
(1,05·1,00121057)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 31.536.000.
Fixeu-vos que, entre n = 1 i n = 8.760, creix poquíssim, i que, entre aquest últim valor i n = 525.600, haurà assolit el valor 2,718282: si ja en tenim prou amb aquesta aproximació de sis xifres decimals, no cal anar més enllà. Doncs bé, anomenarem e el valor al qual s'estabilitza l'expressió
(Pn/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia
per a valors n creixents; tot i que, d'aquí a dos cursos, us ho diran d'aquesta altra manera: e és el valor límit d'aquesta expressió quan n tendeix a infinit. En no estar ja lligat Pn a cap valor n concret, l'anomenarem P, i
(P/P0)^1/Ia = e
P/P0 = e^Ia
P = P0·e^Ia
i, generalitzant la fórmula a t anys,
Pt = P0·e^Ia·t
El nombre e té infinites xifres decimals, però se n'agafen de més o de menys segons la precisió requerida per a cada aplicació. En la nostra va que xuta amb sis, i serà e = 2,718282. Interessant, no?
—Qui el va parir! —se sentí a l'última fila.
—Pssst! —feren a l'uníson Rafelet i Quimeta, girant-se cap enrere.
—Però si tot això no ha servit de res... —intervingué tímidament en Rafelet, tornant a mirar al professor.
—No, home, tampoc és que no serveixi de res! —digué l'interpel·lat—. Passa que he volgut començar amb aquest procediment perquè és el que trobaràs amb més facilitat arreu i perquè va millor per presentar la constant e. Però és el procediment que correspon a l'interès compost continu, no pas al creixement demogràfic vegetatiu (vegetatiu vol dir degut exclusivament a naixements menys defuncions, perquè no es produeixen migracions). Tu ho has detectat de seguida, Rafelet, en adonar-te que sortien valors diferents de creixement anual segons que els calculéssim per mesos, dies, hores, minuts, segons o que anéssim al límit. Dels dos tipus de creixement exponencial, el de l'interès compost i el de creixement de poblacions, m'interessava el segon però el primer m'anava millor per introduir el nombre e, així que he fet trampa, barrejant ambdós processos: us he explicat el mètode de càlcul de l'interès compost aplicant-lo al creixement d'una població. I ara que ja sabeu d'on surt el nombre e, em toca posar cada cosa al seu lloc, i començaré parlant de l'interès compost continu.
En cursos anteriors us havien ensenyat què era l'interès simple: l'inversor deixava els seus diners (el capital) al banc, per un temps convingut, i el banc es comprometia a abonar-li periòdicament una compensació (els interessos). Així que el capital P0 era fix i l'import dels interessos liquidats depenia de l'interès anual pactat ( Ia, anomenat també rèdit) i el nombre de períodes a l'any: Ia/12 cada mes, Ia/4 cada trimestre, Ia/2 cada semestres o directament Ia cada any. En un dipòsit a interès compost, en canvi, l'inversor també deixa els seus diners al banc però aquest no li abona els interessos sinó que els hi reinverteix, és a dir que els suma al capital acumulat en cada període per tal que també generin rendiment: d'això se'n diu capitalitzar interessos, amb el resultat que el capital va augmentant. Així, per exemple, si el capital inicial és P0, l'interès anual nominal és Ia i la capitalització d'interessos és trimestral, en acabar el primer trimestre el capital acumulat serà
P1tm = P0 + P0·Ia/4 = P0(1+ Ia/4),
en acabar el segon trimestre serà
P2tm = P0(1+ Ia/4) + P0(1+ Ia/4)Ia/4 = P0(1 + Ia/4)(1+ Ia/4) = P0(1 + Ia/4)^2,
en acabar el tercer trimestre serà
P3tm = P0(1 + Ia/4)^2 + [P0(1 + Ia/4)^2]Ia/4 = [P0(1 + Ia/4)^2](1 + Ia/4) = P0(1 + Ia/4)^3
i en acabar el quart trimestre (i el primer any) serà
P4tm = P0(1 + Ia/4)^3 + [P0(1 + Ia/4)^3]Ia/4 = [P0(1 + Ia/4)^3](1 + Ia/4) = P>0(1 + Ia/4)^4, quantitat superior a la suma del capital i l'interès obtingut en un any en règim d'interès simple, P1a = P0 + P0·Ia = P0(1+ Ia),
ja que (1 + Ia/4)^4 = 1 + 4(Ia/4) + 6(Ia/4)^2 + 4(Ia/4)^3 + (Ia/4)^4, els dos primers termes ja igualen 1 + Ia i els altres tres són positius.
Si en l'exemple d'abans considerem que P0 = 20.000.000 no són els habitants d'un país en un moment donat, sinó el capital inicial en euros, i que Ia = 0,05 no és l'índex de creixement anual de població d'aquest país, en tant per u, sinó l'interès nominal anual a què es dipositen aquests 20.000.000 € en règim d'interès compost, amb capitalització trimestral, tindrem que a cap d'un any aquest capital s'ha transformat en
P4tm = P0(1 + Ia/4)^4 = 20.000.000·1,0125^4 = 20.000.000·1,050945 = 21.018.906,74 €, quantitat superior a
P1a = P0(1+ Ia) = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 €, que seria el capital obtingut en règim d'interès compost, amb capitalització anual (que en aquest cas és igual al capital que hauríem obtingut en règim d'interès simple), però inferior al que hauríem obtingut amb capitalització mensual. Ja ho havíem calculat abans, i era
P12m = 20.000.000·(1 + 0,05/12)^12 = 20.000.000·1,00416666^12 = 21.023.237,96.
Això, que el rendiment és més gran quant més curts són els períodes de capitalització (i, per tant, quantes més capitalitzacions es fan al llarg d'un any), va intrigar a un savi suís del segle XVII anomenat Jakob Bernouilli (a la família Bernouilli n'hi va haver d'altres, de savis, en el segle XVIII), que volia saber fins quan augmentava el rendiment. Òbviament, Bernouilli no disposava de calculadora, i hem de suposar que calculava potencies tan elevades com les que han sortit traient logaritmes, tècnica ideada per l'escocès John Napier gairebé un segle abans. També òbviament, no comptava els diners en euros, crec haver llegit que les operacions financeres que estudiava no eren dipòsits sinó crèdits i, pel que fa als valors del capital inicial i de l'interès anual, no crec que fossin 20.000.000 i 0,05: si jo els havia adoptat era per fer-los coincidir amb la població i l'índex de creixement de què parlarem ara. Però tornant a Bernouilli, el descobriment que la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia), el va dur a preguntar-se si aquesta tendència tenia o no aturador, perquè s'adonava que multiplicant per 12 el nombre de capitalitzacions i disminuint l'interès en la mateixa proporció la rendibilitat augmentava (21.023.237,96 - 21.000.000 = 23.237,96, cosa que representava passar de l'1,05 a l'1,051162), que procedint anàlogament amb 365 la rendibilitat seguia augmentant però no tant ( 21.025.349,93 - 21.023.237,96 = 2.111,97, passant l'1,051162 a l'1,051267), que fent-ho amb 8.760, la rendibilitat havia augmentat molt poc (21.025.418,93 - 21.025.349,93 = 69,00, passant de l'1,051267 a l'1,051271) i que fent tres quarts del mateix amb 525.600, la rendibilitat pràcticament s'havia estancat (21.025.421,88 - 21.025.418,93 = 2,95, passant de l'1,051271 a molt poc més de l'1,051271). Ho va sistematitzar, estudiant el comportament de l'expressió (1 + Ia/n)^n/Ia amb valors de n cada cop més elevats, perquè era difícil avançar-ne el comportament: prevaldria el contingut del parèntesi tendint a un o el de l'exponent tendint a infinit? Calia esperar al segle XVIII i a un altre savi suís, Leonhard Euler, amb el càlcul diferencial, per passar-la al límit.
No m'importa fer-me pesat repetint les coses, perquè vull que això us quedi ben clar: tant el càlcul del capital dipositat en règim d'interès compost continu, que acabem de descriure, com el càlcul de la població d'un territori amb índex de creixement constant, que de seguida tractarem seriosament i no com abans, són casos de creixement exponencial i tenen en comú que s'ocupen de conjunts mesurables (capital o població) que creixen (en euros o en persones) proporcionalment al nombre d'elements, i en els quals aquests nous elements queden integrats en el conjunt.
—Fins aquí, tots d'acord? —interrogà el professor. I el silenci sepulcral que obtingué per resposta tant podia ser una confirmació de la seva aptitud pedagògica com tot el contrari, però va seguir, del tot incombustible:
—Doncs un cop atesa l'objecció de Quimeta, tractaré de respondre a la de Rafelet.
Ja heu vist on duia capitalitzar 12, 365, 8.760 o 525.600 vegades al cap de l'any, prenent com a interès per a cadascun d'aquests casos Ia/12, Ia/365, Ia/8.760 o Ia/525.600, que era l'INTERÈS SIMPLE mensual, diari, per hores o per minuts: el rendiment anual de facto havia augmentat i era superior al rendiment anual nominal Ia. No hi havia res a objectar perquè, com a invencions humanes que són, les operacions bancàries utilitzen paràmetres fixats arbitràriament: en el món de les finances tot és possible si és negoci. Però passar al món de la física o la demografia, amb lleis de formulació inamovible, ja són figues d'un altre paner.
La hipòtesi de treball ha de ser justament la contrària: en lloc d'adoptar els rèdits propis de l'interès simple i calcular quins guanys produiran en interès compost al cap d'un temps, caldrà calcular quins rèdits mensuals, diaris, per hores o per minuts s'haurien d'utilitzar per tal que, després de 12, 365, 8.760 o 525.600 capitalitzacions, el guany fos igual a l'interès generat pel rèdit Ia al cap d'un any. Traduït això a llenguatge demogràfic, caldrà calcular quin creixement mensual, diari, per hores o per minuts s'hauria de considerar per tal que, després de 12, 365, 8.760 o 525.600 actualitzacions de la població, el guany fos igual a l'aplicació de l'índex de creixement Ia a la població P0 en un any.
Pel que fa a la població al cap d'1, 2, 3... t anys, tot serà com abans,
P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)^1
P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) = P0(1 + Ia)^2
P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
P0(1 + Ia)^3
·······················
Pta = P0(1 + Ia)^t,
és a dir,
P1a = 20.000.000·1,05^1 = 21.000.000
P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
································
Pta = 20.000.000·1,05^t.
Però, a diferència de l'interès compost, en el càlcul de la població haurà de ser Im < Ia/12, Id < Ia/365, Ih < Ia/8.760 i Imi < Ia/525.600. Segons aquesta premisa, l'índex mensual de creixement, l'índex diari, l'índex per hores i l'índex per minuts no vindran donats sinó que els haurem de deduir de les condicions d'arribada, considerant que P1a = P12m = P365d = P8760h = P525600mi. Les equacions en P són les mateixes de l'interès compost, amb l'única particularitat que ara Im, Id, Ih i Imi seran les incògnites.
P12m = P0(1 + Im)^12 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Im)^12 = 1 + Ia
1 + Im = (1 + Ia)^1/12
Im = (1 + Ia)^1/12 - 1
Pim = P0(1 + Im)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/12 - 1]^i = P0(1 + Ia)^i/12
és a dir,
Im = 1,05^0,0833333 - 1 = 0,00407412
P1m = 20.000.000·1,00407412 = 20.081.482,4
P2m = 20.000.000·1,00407412^2 = 20.000.000·1,008165 = 20.163.296,77
P3m = 20.000.000·1,00407412^3 = 20.000.000·1,012272 = 20.245.444,46
···························································································
P12m = 20.000.000·1,00407412^12 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,
P365d = P0(1 + Id)^365 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Id)^365 = 1 + Ia
1 + Id = (1 + Ia)^1/365
Id = (1 + Ia)^1/365 - 1
Pid = P0(1 + Id)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/365 - 1]^i = P0(1 + Ia)^i/365
és a dir,
Id = 1,05^0,00273973 - 1 = 0,000133681
P1d = 20.000.000·1,000133681 = 20.002.673,62
P2d = 20.000.000·1,000133681^2 = 20.000.000·1,000267379 = 20.005.347,60
P3d = 20.000.000·1,000133681^3 = 20.000.000·1,000401095 = 20.008.021,93
······························································································
P365d = 20.000.000·1,000133681^365 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,
P8760h = P0(1 + Ih)^8.760 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Ih)^8.760 = 1 + Ia
1 + Ih = (1 + Ia)^1/8.760
Ih = (1 + Ia)^1/8.760 - 1
Pih = P0(1 + Ih)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/8.760 - 1]^i = P0(1 + Ia)^i/8.760
és a dir,
Ih = 1,05^0,000114155 - 1 = 0,00000556966
P1h = 20.000.000·1,00000556966 = 20.000.111,39
P2h = 20.000.000·1,00000556966^2 = 20.000.000·1,0000111394 = 20.000.222,79
P3h = 20.000.000·1,00000556966^3 = 20.000.000·1,0000167091 = 20.000.334,18
····························································································
P8760h = 20.000.000·1,00000556966^8.760 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,
P525600mi = P0(1 + Imi)^525.600 = P1a = P0(1 + Ia)
(1 + Imi)^525.600 = 1 + Ia
1 + Imi = (1 + Ia)^1/525.600
Imi = (1 + Ia)^1/525.600 - 1
Pimi = P0(1 + Imi)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/525.600 - 1]^i = P0(1 + Ia)^i/525.600
és a dir,
Imi = 1,05^0,00000190259 - 1 = 0,0000000928277
P1mi = 20.000.000·1,0000000928277 = 20.000.001,86
P2mi = 20.000.000·1,0000000928277^2 = 20.000.000·1,000000185655 = 20.000.003,71
P3mi = 20.000.000·1,0000000928277^3 = 20.000.000·1,000000278483 = 20.000.005,57
·································································································
P525.600mi = 20.000.000·1,0000000928277^525.600 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000.
Resumint: per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
Pin = P0(1 + In)^i, on In = (1 + Ia)^1/n - 1
Pin = P0[1 + (1 + Ia)^1/n - 1]^i = P0[(1 + Ia)^1/n]^i =
P0(1 + Ia)^i/n.
Però no tenim per què limitar-nos a valors i < n, és a dir, a fraccions d'any. Podem representar amb t = i/n la durada a considerar, expressada en anys i adoptant tota mena de valors positius: enters i fraccionaris inferiors o superiors a la unitat. D'aquesta manera,
Pt = P0(1 + Ia)^t, però també li podríem donar la forma
Pt = P0·e^ln[(1 + Ia)^t] = P0·e^t·ln(1 + Ia), amb la qual cosa s'assemblarà més a l'expressió homòloga de l'interès compost continu:
Pt = P0·e^t·Ia.
—Jo no veig per què ens hem de complicar la vida escrivint-ho de manera tan complicada, quan havíem arribat a una expressió tan senzilla —intervingué Quimeta—. Només perquè tingui el mateix aspecte que la fórmula de l'interès compost? Això sembla una operació de cosmètica, com quan la meva mare...
—Bé, Quimeta, ara no t'enrotllis amb històries que no fan al cas —tallà el professor—. Tens i no tens raó quan parles d'operació de cosmètica, perquè hi ha motius per fer això en determinades circumstàncies. Un és que, normalment, el càlcul del creixement exponencial s'introdueix com un exemple fàcil d'aplicació d'equacions diferencials, que veureu d'aquí un parell o tres de cursos*: em limitaré a dir que s'arriba a una expressió del tipus
Pt = P0·e^k·t, on k es presenta com una constant, el valor de la qual s'obté de P0, Pt i t, però sense explicar que k = ln(1 + Ia).
L'altre motiu és que d'aquesta manera és més fàcil comparar les dues equacions, als efectes, per exemple, de dissenyar-ne variants. En aquesta línia, la primera cosa que cal veure és que, a partir del valor inicial t = 0, per a uns valors P0 i Ia determinats, els valors de
Pt = P0·e^t·Ia són més elevats que els de
Pt = P0·e^t·ln(1 + Ia), o sigui que cal demostrar que Ia > ln(1 + Ia):
Havíem vist que, si anàvem augmentant un valor a > 0, l'expressió (1 + 1/a)^a també augmentava, cada cop menys però augmentava, i definíem e com el valor límit d'aquesta expressió quan a tendia a infinit. Així que, per a valors finits d'a, serà e > (1 + 1/a)^a i, si fem a = 1/Ia,
e > (1 + Ia)^1/Ia
e^Ia > 1 + Ia = e^ln(1 + Ia) i, finalment,
Ia > ln(1 + Ia).
Prenent Ia = 0,05 i ometent P0 per no fer tantes operacions, comprovarem això dibuixant les gràfiques cartesianes dels valors e^t·Ia = e^0,05t i e^t·ln(1 + Ia) = e^t·ln1,05 = e^0,0488t (o, més fàcil, (1 + Ia)^t = 1,05^t) representats en ordenades, amb t en abscisses. Com que les variacions seran molt petites, graduarem l'eix horitzontal en unitats i l'eix vertical en dècimes:
Per a t = 0, e^0 = 1 i e^0 = 1 (o 1,05^0 = 1): valors coincidents.
Per a t = 1, e^0,05 = 1,051 i e^0,0488 = 1,05 (o 1,05^1 = 1,05).
Per a t = 2, e^0,1 = 1,105 i e^0,0976 = 1,103 (o 1,05^2 = 1,103).
Per a t = 3, e^0,15 = 1,162 i e^0,1464 = 1,158 (o 1,05^3 = 1,158).
Per a t = 4, e^0,2 = 1,221 i e^0,1952 = 1,216 (o 1,05^4 = 1,216).
Per a t = 5, e^0,25 = 1,284 i e^0,2440 = 1,276 (o 1,05^5 = 1,276).
Com podeu veure, a partir de la coincidència inicial en 0,1, la primera corba (la basada en l'interès compost) es manté per damunt de la segona (la basada en el creixement demogràfic) i s'hi va distanciant progressivament, cosa que en el dibuix gairebé no es percep, però sí en la diferència d'ordenades, que és de: 0,0013 per a t = 1; 0,0027 per a t = 2; 0,0042 per a t = 3; 0,0059 per a t = 4 i 0,0077 per a t = 5.
A on ens du, això? Doncs, per exemple, a interpolar funcions, entre les dues dibuixades, o a extrapolar-ne més enllà de la superior, jugant amb el valor Ia. Haver adoptat, per a la funció inferior, la forma
Pt = P0·e^t·ln(1 + Ia), ens permetrà obtenir-la fàcilment a partir de la superior
Pt = P0·e^t·Ia, amb només modificar Ia. N'hi ha prou a multiplicar-lo per un coeficient k tal que k = ln(1 + Ia)/Ia, i tindrem
Pt = P0·e^t·Ia·k = P0·e^t·Ia·ln(1 + Ia)/Ia = P0·e^t·ln(1 + Ia). Modificació en què el capital, al cap de t anys, no haurà acumulat tants interessos com abans i coincidirà, comptant en euros en lloc de persones, amb el valor de la població d'un territori al cap de t anys.
Adoptant coeficients k en què ln(1 + Ia)/Ia < k < 1, tindríem capitals amb rendiments compresos entre aquest minso creixement vegetatiu i els deguts a l'interès compost continu estricte. I, com us podeu imaginar, adoptant coeficients 1 < k, la rendibilitat encara seria més gran. Les gràfiques d'aquestes variants, totes partint del punt 0, 1, se situarien entre les dues corbes que hem dibuixat i seguirien més amunt de la de l'interès compost estricte. Especulacions així són el segon motiu que justifica que l'equació del creixement demogràfic exponencial (índex de creixement constant i creixement proporcional a la població) adopti la forma de potència d'e. Tot i que no et veig massa convençuda, Quimeta...
* Nota de l'autor:
Empíricament s'observa que una població tancada, sense migracions, creix a ritme constant, és a dir que l'increment demogràfic és proporcional al nombre actual d'habitants. Així que, anomenant P = f(t) al nombre d'habitants en cada moment t, P0 al del moment inicial t = 0 i reservant les lletres k i C per representar constants, tindrem que el creixement instantani, proporcional a P, serà
dP/dt = k·P
dP/P = k·dt
∫dP/P = ∫k·dt i, recordant que si f(x) = lnx llavors f'x = 1/x,
lnP + C1 = k·t + C2
lnP = k·t + C3
e^lnP = e^(k·t + C3)
P = (e^k·t)·e^C3 i, anomenant C = e^C3,
P = C·e^k·t i, com que P0 = C·e^k·0 = C·e^0 = C,
P = P0· e^k·t.
El present relat invalida l'homònim publicat el 16-06-2024, que no he volgut eliminar en atenció a les 228 lectures i als tres comentaris. Cap al final d'aquell relat, deia: "Us haig de confessar que m'he tornat mico provant de trobar a Internet la justificació de les expressions matemàtiques utilitzades per calcular el creixement exponencial continu de la població, però ha estat en va: de justificacions de l'ínterès compost continu, les que vulgueu; però en aplicacions demogràfiques, que fan servir les mateixes fórmules i que per això mateix m'interessaven, cap ni una". Doncs bé, cinc mesos després vaig reprendre la cerca i vaig tenir més sort: en una col·lecció de vídeos titulada "Miniaturas Físico-matemàticas" en vaig trobar dos, "18 de enero Equas. Introducción a las ecuaciones diferenciales separables" i "20 de enero Equas. Problemas sobre crecimiento exponencial", on un professor guatemaltec amb la rara habilitat d'escriure amb retolador sobre un vidre d'esquerra a dreta, de manera que l'espectador ho pogués llegir, exposava amb força claredat allò que jo buscava i que heu trobat resumit línies enrere, a l'inici d'aquesta nota.
No només això, sinó que dues línies de la demostració,
e^lnP = e^(k·t + C3) i
P = (e^k·t)·e^C3,
em van donar la pista per presentar com a potència d'e el creixement demogràfic exponencial
Pt = P0(1 + Ia)^t = P0·e^t·ln(1 + Ia),
deixant-lo en una forma homologable a la de l'interès compost continu, Pt = P0·e^t·Ia.
Recapitulant, si considerem el rendiment/creixement al cap de t anys, amb n capitalitzacions/actualitzacions a l'any, en tots dos casos és
Pnt = P0(1 + In)^t.
Però, en l'interès compost continu,
In = Ia/n
Pnt = P0(1 + Ia/n)^n·t = P0[(1 + Ia/n)^n/Ia]^t·Ia
i, si definim e com el valor límit de l'expressió (1 + Ia/n)^n/Ia quan n tendeix a infinit,
Pt = P0·e^t·Ia.
I, en el creixement exponencial de població,
In = [(1 + Ia)^1/n] - 1
Pnt = P0{1 + [(1 + Ia)^1/n] - 1}^n·t = P0(1 + Ia)^n·t/n)
Pt = P0(1 + Ia)^t = P0·e^t·ln(1 + Ia).
En el relat no he volgut treure el tema, perquè els pobres alumnes ja en tenien prou amb l'allau de conceptes nous que els havia caigut al damunt, però aquí insistiré en una diferència fonamental entre aquests dos patrons de creixement exponencial:
a Pt = P0·e^t·Ia, la presència d'e és el resultat d'una progressió amb més períodes (n) cada cop més curts (1/n) i la fórmula sols és aplicable en el límit d'aquesta progressió, mentre que
a Pt = P0(1 + Ia)^t = P0·e^t·ln(1 + Ia), on e sols és un artifici, contràriament a l'interès compost no té sentit distingir entre aplicació contínua o discreta, ja que l'actualització del cens es pot fer per minuts, hores, dies, mesos o anys, amb idèntics resultats.
Comentaris
-
Forat negre[Ofensiu]SrGarcia | 07-12-2024
Hosti, noi; això és dens com un forat negre. Ara bé, no podràs dir que no ha tingut èxit: 4106 fins ara no són a l'abast de tothom. Potser hi ha molts amants de les matemàtiques que viuen el seu amor en secret, com una vergonya.
Algunes parts es poden seguir, com les del creixement vegetatiu i les de l'interès compost, molt il·lustratiu l'estudi de les paradoxes.
En general, potser és la tabarra més grossa que s'hagi escrit mai a Relats en Català, això et deu distreure molt a tu i als més de 4000 lectors anònims.
M'ho he passat millor llegint els teus relats, amb tantes cites en castellà, sobre adoctrinament; no els coneixia i gràcies al fòrum els he llegit. Molt just tot el que dius.
l´Autor
Últims relats de l'autor
- Vint nanoocurrències sobre LUCIDESA.
- Va de marques.
- Nadal, també Dia dels Difunts.
- Una instància.
- Vint nanoocurrències sobre HIPNOSI.
- Cramer contra Cramer. [temps real de lectura : 16 minuts].
- Vint nanoocurrències sobre NOUS RECOMANATS EDITORA.
- Elena Francis, anys cinquanta.
- Vint nanoocurrències sobre PROFUND SECRET.
- El nombre e i la mare que el va parir. [temps real de lectura: 34 minuts]
- El metro fantasma.
- Vint nanoocurrències sobre PEL FORAT DEL PANY .
- Metàfores.
- Revetlla de cap d'any.
- Vint nanoocurrències sobre LA NIT.