Casualitat o causalitat?

Un relat de: Joan Colom
El 2 de gener vaig deixar en el Fòrum la intervenció següent:

Curiositats numèriques sobre 2025:

Si sumem els deu dígits del sistema decimal (0 + 1 + 2 + ... + 8 + 9) i elevem al quadrat el resultat (45), obtenim 2025.

Si sumem els cubs d'aquests deu dígits (0 + 1 + 8 + ... + 512 + 729) també obtenim 2025.


Hauria pogut afegir algun comentari sobre la relació entre aquestes dues propietats, però no ho vaig fer perquè no era jo qui les havia descobert: una amiga ho havia rebut per whatsapp i, al seu torn, ho havia compartit amb mi i amb altres contactes. A més, tampoc tenia clar si eren independents (dualitat casual) o si una es podia deduir de l'altra (dualitat causal). D'entrada, quan aquesta amiga m'ho va preguntar, vaig contestar que eren independents però sense pensar-m'ho massa; l'únic que se'm va ocórrer remarcar fou que l'últim any amb arrel quadrada entera havia estat 1936 (44 al quadrat), de trist record, i que fins al 2116 (46 al quadrat) no tornaria a esdevenir-se aquesta curiositat. I ara mateix, amb ocasió d'escriure el present relat, he vist que el creador d'aquest whatsapp tampoc era un geni de la inventiva, perquè molts blogs matemàtics destaquen aquestes i altres propietats de l'any en curs, fins i tot l'article "2025" de la Wikipedia en castellà; la Viquipèdia, eterna germana pobra, no.

Quant a la pregunta de si els dos enunciats són independents o un és deduïble de l'altre, dient que eren independents em vaig equivocar. No sols és que un dels dos sigui deduïble de l'altre sinó que hi ha una doble implicació: si s'acompleix el primer s'acompleix el segon, i si s'acompleix el segon s'acompleix el primer; és a dir que són equivalents. Tot seguit ho demostro.

Si partim de la primera igualtat,
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
sumarem la quantitat 1980 a cada membre, desglossada en vuit termes,
1980 = 6 + 24 + 60 + 120 + 210 + 336 + 504 + 720
Així doncs,
0 + 1 + (2 + 6) + (3 + 24) + (4 + 60) + (5 + 120) + (6 + 210) + (7 + 336) + (8 + 504) + (9 + 720) = 45 + 6 + 24 + 60 + 120 + 210 + 336 + 504 + 720
Sumant els parèntesis del primer membre i tots els termes del segon,
0 + 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 = 2025
I, com que tots els termes són cubs,
0³+ 1³+ 2³+ 3³+ 4³+ 5³+ 6³+ 7³+ 8³+ 9³= 2025 = 45²

Per demostrar la recíproca, prenent com a premissa aquesta última igualtat, només cal recórrer el camí invers.

Acabo amb una curiositat. Si definim la funció polinòmicoexponencial ∑iⁿ, per a valors i = 0, 1, 2 ... 8 i 9, on l'exponent n és la variable independent,
∑iⁿ= 0ⁿ+ 1ⁿ+ 2ⁿ+ 3ⁿ+ 4ⁿ+ 5ⁿ+ 6ⁿ+ 7ⁿ+ 8ⁿ+ 9ⁿ
podríem expressar les propietats esmentades com a valors de la funció per a n = 1 i 3:
∑i¹= 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
∑i³= 0³+ 1³+ 2³+ 3³+ 4³+ 5³+ 6³+ 7³+ 8³+ 9³= 2025 = 45²
Doncs bé, si ens limitem als exponents n enters, aquests són els dos únics valors en què un és potència entera de l'altre.

Comentaris

  • Gra fort[Ofensiu]
    SrGarcia | 28-01-2025

    M'hi escarrassat per a trobar un equivalent català de la dita "la cabra siempre tira al monte", inútilment.
    Aquestes cabòries numèriques ja fa temps que corren per Twitter i altres llocs de malviure. Ara bé, deduir que cascuna d'elles és condició necessària i suficient de l'altra, per tant son equivalents, ja és gra fort. Esteu ben entretinguts la teva amiga i tu.
    Tot això no és altra cosa que una curiositat, però podria ser molt més en mans d'algú. Per exemple, un jueu cabalista en podria treure conclusions que ens deixarien bocabadats. La càbala té una part d'interpretació de les relacions numèriques, millor no pensar que l'últim anys amb la propietat de ser una arrel quadrada entera va ser 1936. Això és de molt mala estruguesa. Millor la ciència que la càbala.