Cercador
Fibonacci, punt final. [temps real de lectura: 42 minuts]
Un relat de: Joan Colom- Compartir:
(Continuació de "Fibonacci i cia" i "Fibonacci, punt i seguit".)
El següent dissabte, és a dir sis dies després que ens acomiadàrem i jo me les prometés molt felices, convençut que em deixaria tranquil almenys un mes, la trucada de Lluís em va pescar de tornada del meu passeig diari reglamentari, quan anava a entrar al súper. Volia venir a casa, per ensenyar-me els deures acabats, que segons em va dir mereixien qualificació amb nota. Li vaig dir que m'agafava en mal moment i que em deixés ben bé tres quarts d'hora per comprar, anar a casa i descarregar. Ja a casa, quan ja portava vint minuts tractant de relaxar-me amb aquell diàleg contrapuntístic de Paul Desmond al saxo alt i Gerry Mulligan al baríton en "Two of a mind", de 1962, va tornar a sonar el mòbil. Vam quedar que abans d'una hora estaria a casa meva, per variar, que havia quedat per dinar amb la meva filla, però que ja l'avisaria comentant-li que potser arribaria un pèl tard. Vaig amagar aquell whisky de malta que m'havia comprat a Andorra, i a la vista vaig deixar-ne un de més passador.
—Bon dia, Joan —va dir, entrant al pis sense més preàmbul i precedint-me mentre s'encaminava cap al menjador, com si fos ell l'amfitrió—. M'he endut el portàtil per si de cas, però no crec que el necessitem. Com que tampoc és cap patracol, ho he acabat de redactar i he imprès dos exemplars; un és per a tu i ja te'l pots quedar, per poder-nos entendre millor.
Vaig enretirar tot de trastos que tenia a la tauleta del tresillo i, ell a la butaca i jo al sofà, com si es tractés d'una recepció oficial, ens vam estirar de braços i cames gairebé a l'uníson, com fent-ho al dictat d'un monitor, per trencar el gel. Però de seguida va quedar clar que ell volia dur la iniciativa:
—Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.
—Aniria bé que posessis un exemple, no?
—És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
10···110 sense cap membre interposat, perquè són consecutius;
10···100···110 amb un únic membre interposat;
10···50···60···110 amb dos membres interposats;
10···30···40···70···110 amb tres membres interposats;
10···16···26···42···68···110 amb quatre membres interposats i
10··7,5··17,5··25···42,5···67,5···110 amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si hi hagués un precedent, seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
2···2···4···6···10··16··26··42··68··110··178··288··
Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquests consells pràctics en parlarem al final.
Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m ), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.
Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure en quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:
Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)
Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
·································
Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)
Aniré estudiant els casos segons el valor m.
Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
Famc1 = c – a
Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
[1] a + Famc1 = Famc2
[2] Famc1 + Famc2 = c
De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
Famc1 = (c – a)/2 i si les sumem: 2Famc2 = c + a
Famc2 = (c + a)/2
Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
Una vegada enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.
Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
[1] a + Famc1 = Famc2
[2] Famc1 + Famc2 = Famc3
[3] Famc2 + Famc3 = c
De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
Si multipliquem per 2 [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
Famc1 = (c – 2a)/3 i, substituint aquest valor a [1]:
Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3 i, substituint aquests valors a [2]:
Famc3 = (2c - a)/3
Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
[1] a + Famc1 = Famc2
[2] Famc1 + Famc2 = Famc3
[3] Famc2 + Famc3 = Famc4
[4] Famc3 + Famc4 = c
De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
Famc1 = (c – 3a)/5 i, substituint aquest valor a [1]:
Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5 i, substituint aquests valors a [2]:
Famc3 = (2c – a)/5 i, substituint aquests valors a [3]:
Famc4 = (3c + a)/5
Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
[1] a + Famc1 = Famc2
[2] Famc1 + Famc2 = Famc3
[3] Famc2 + Famc3 = Famc4
[4] Famc3 + Famc4 = Famc5
[5] Famc4 + Famc5 = c
De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
Famc1 = (c – 5a)/8 i, substituint aquest valor a [1]:
Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8 i, substituint aquests valors a [2]:
Famc3 = (2c – 2a)/8 i, substituint aquests valors a [3]:
Famc4 = (3c + a)/8 i, substituint aquests valors a [4]:
Famc5 = (5c – a)/8
I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.
n·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
La Succesió de Fibonacci F0+1 és l'enllaç entre les variables m i n i la fibonacciana Famcm,n, ponderant les constants a i c, segons aquesta expressió:
Famcm,n = (cF0+1n ± aF0+1m-n+1)/F0+1m+1
on el signe en el binomi numerador és + per a n parell i – per a n senar.
Aquesta expressió és la formulació genèrica dels valors Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5 obtinguts fins ara, per a a i c donats i m = 1, 2, 3, 4 i 5, però a efectes de verificació de resultats he volgut extrapolar-los a m = 6 i 7, ampliant aquests resultats amb Famc6 i Famc7. A continuació tens totes les formulacions concretes en aquest domini:
· n · · m = 1 · · m = 2 · · · m = 3· · · · m = 4
Famc1 · c – a · (c – a)/2 · (c – 2a)/3 · (c – 3a)/5
Famc2 · · · · · (c + a)/2 · ·(c + a)/3 · (c + 2a)/5
Famc3 · · · · · · · · · · · (2c – a)/3 · (2c – a)/5
Famc4 · · · · · · · · · · · · · · · · · ·(3c + a)/5
· n · · · · m = 5 · · · · m = 6 · · · · m = 7
Famc1 · ·(c – 5a)/8 · ·(c – 8a)/13 · (c – 13a)/21 ·
Famc2 · ·(c + 3a)/8 · ·(c + 5a)/13 · ·(c + 8a)/21 ·
Famc3 · (2c – 2a)/8 · (2c – 3a)/13 · (2c – 5a)/21 ·
Famc4 · ·(3c + a)/8 · (3c + 2a)/13 · (3c + 3a)/21 ·
Famc5 · ·(5c - a)/8 · ·(5c – a)/13 · (5c – 2a)/21 ·
Famc6 · · · · · · · · ·(8c + a)/13 · ·(8c + a)/21 ·
Famc7 · · · · · · · · · · · · · · · ·(13c – a)/21 ·
Jo m'he limitat a calcular els resultats, utilitzant les últimes expressions, per a un nombre de membres interposats m = 6 i 7, comprovant que coincideixen amb els membres de la fibonacciana F7+11. Si tu tens ganes de comprovar-ho per a m = 1, 2, 3, 4 i 5, amb a i c donats, t'ho deixo preparat.
m = 1 · · · · m = 2 · · · · m = 3 · · · · m = 4
a =· · ·76 · a = · · ·47 · a = · · ·47 · a = · · ·29
Famc1= 123 · Famc1 = ·76 · Famc1 = ·76 · Famc1 = ·47
c =· · 199 · Famc2 = 123 · Famc2 = 123 · Famc2 = ·76
·· · · · · · c = · · 199 · Famc3 = 199 · Famc3 = 123
·· · · · · · · · · · · · · c = · · 322 · Famc4 = 199
·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · c = · · 322
m = 5 · · · · m = 6 · · · · · · · m = 7
a = · · ·29 · a = · ·18 · · · · · a = · ·18
Famc1 = ·47 · Famc1= 29= 377/13 · Famc1= 29= ·609/21
Famc2 = ·76 · Famc2= 47= 611/13 · Famc2= 47= ·987/21
Famc3 = 123 · Famc3= 76= 988/13 · Famc3= 76= 1596/21
Famc4 = 199 · Famc4=123=1599/13 · Famc4=123= 2583/21
Famc5 = 322 · Famc5=199=2587/13 · Famc5=199= 4179/21
c = · · 521 · Famc6=322=4186/13 · Famc6=322= 6762/21
· · · · · · · c = · 521 · · · · · Famc7=521=10941/21
· · · · · · · · · · · · · · · · · c = · 843
En la presentació de valors Famcn, per a m = 6 i 7, m'he limitat a representar la penúltima etapa d'un procés de càlcul laboriós, simplement per una qüestió tipogràfica, de manca d'espai: per a m = 7, per exemple, on he escrit
Famc5=199= 4179/21
en realitat hauria d'haver escrit
Famc5 = 199 = (5·843 – 2·18)/21 = (4215 – 36)/ 21 = 4179/21
Precisament perquè és laboriós, tret que tinguem motius per calcular Famc2, Famc3, Famc4, Famc5 o Famc6 abans que Famc1 o Famc7, surt més a compte calcular abans un d'aquests dos i la resta de forma recursiva ascendent:
Famc1 = (843 - 13·18)/21 = (843 – 234)/21 = 609/21 = 29
Famc2 = 18 + 29 = 47
Famc3 = 29 + 47 = 76
Famc4 = 47 + 76 = 123
Famc5 = 76 + 123 = 199
Famc6 = 123 + 199 = 322
Famc7 = 199 + 322 = 521
o descendent:
Famc7 = (13·843 – 18)/21 = (10959 – 18)/21 = 10941/21 = 521
Famc6 = 843 – 521 = 322
Famc5 = 521 – 322 = 199
Famc4 = 322 – 199 = 123
Famc3 = 199 – 123 = 76
Famc2 = 123 – 76 = 47
Famc1 = 76 – 47 = 29
I ara, Joan, deixa de fer aquest posat d'estupefacció i maravella'm proposant-me dos enters triats a l'atzar, a i c, que suposarem que són membres d'una fibonacciana, i el nombre m de membres que suposarem compresos entre aquests dos, i jugarem a veure com ens ho fem per afinar els valors resultants, perquè de segur que ens surten amb decimals.
—A l'atzar? Doncs vinga: 500 i 1500, amb cinc valors interposats.
—Ep, això no pot ser: recorda que havia de ser aF0+1m+2 < c ≤ aF0+1m+3 i, per a m = 5, la condició es concreta en 13a < c ≤ 21a. O sigui que, mantenint a = 500 ha de ser 6500 < c ≤ 10500: o augmentes c, si més no passant-lo de 1500 a 6500, o redueixes el nombre m de valors interposats, conformant-te amb un de sol.
—D'acord, doncs: mantinguem 500 i 1500, i entremig que hi hagi un sol membre.
—Bé, doncs apliquem la fórmula màgica:
Famc1 = (cF0+1n ± aF0+1m-n+1)/F0+1m+1 = (1500F0+11 – 500F0+11)/F0+12 = (1500·1 - 500·1)/1 = (1500 – 500)/1 = 1000
Per pura xiripa ens ha sortit un membre enter, així que la fibonacciana seria:
500, 500, 1000, 1500, 2500, 4000, 6500...
M'està fent quedar malament, jo que havia dit que era molt més probable que sortissin decimals. A veure si tornant a m = 5 i apujant c fins a 8500...
Famc1 = (cF0+1n ± aF0+1m-n+1)/F0+1m+1 = (8500F0+11 – 500F0+15)/F0+16 = (8500·1 - 500·5)/8 = (8500 – 2500)/8 = 6000/8 = 750
250, 250, 500, 750, 1250, 2000, 3250, 5250, 8500, 13750, 22250, 36000...
Doncs tampoc: si fos conspiranoic sospitaria d'algun contuberni entre les fibonaccianes i la successió de múltiples de cinquanta. Seguim provant, per forçar l'aparició de decimals: per exemple, seguirem amb a = 500 però passarem a c = 12000 i m = 6
Famc1 = (cF0+1n ± aF0+1m-n+1)/F0+1m+1 = (12000F0+11 - 500F0+16)/F0+17 = (12000·1 - 500·8)/13 = (12000 – 4000)/13 = 8000/13 = 615,3846
Aquest i els altres valors, estenent la successió més enllà de Famc7 = c i més ençà de Famc0 = a (amb només un membre, que serà el primer de la fibonacciana), els tens representats en primer lloc. Què podem fer amb aquests valors per reduir-los a enters, mantenint alhora la llei de recurrència? Jo crec que dependrà de les regles del joc: si volem conservar la precisió i ens permeten aplicar un factor d'escala, podríem multiplicar tots els membres per 10000 (a sota de l'original); altrament només podrem respectar Famc0 = a acceptant l'afectació de Famc7 ≈ c, temptejant opcionalment les aproximacions que resulten d'augmentar o disminuir Famc-1 en una unitat (a la dreta de l'original), o respectar Famc7 = c acceptant l'afectació de Famc0 ≈ a, temptejant opcionalment les aproximacions que resulten d'augmentar o disminuir Famc8 en una unitat (a sota de les anteriors).
Famc-1 = 115,3846 · · ·115 · · ·116 · · ·114
Famc0· = 500 = a· · · ·500 · · ·500 · · ·500
Famc1· = 615,3846 · · ·615 · · ·616 · · ·614
Famc2 = 1115,3846 · · 1115 · · 1116 · · 1114
Famc3 = 1730,7692 · · 1730 · · 1732 · · 1728
Famc4 = 2846,1538 · · 2845 · · 2848 · · 2842
Famc5 = 4576,9231 · · 4575 · · 4580 · · 4570
Famc6 = 7423,0769 · · 7420 · · 7428 · · 7412
Famc7 =12000 = c· · ·11995 · ·12008 · ·11982
Famc8 =19423,0769 · ·19415 · ·19436 · ·19394
Famc9 =31423,0769 · ·31410 · ·31444 · ·31376
Famc10=50846,1538 · ·50825 · ·50880 · ·50770
················· · ······ · ······ · ······
Famc-1 = 1153846 · · · 117 · · · 96 · · ·138
Famc0· = 5000000 · · · 499 · · ·512 · · ·486
Famc1· = 6153846 · · · 616 · · ·608 · · ·624
Famc2 = 11153846 · · ·1115 · · 1120 · · 1110
Famc3 = 17307692 · · ·1731 · · 1728 · · 1734
Famc4 = 28461538 · · ·2846 · · 2848 · · 2844
Famc5 = 45769231 · · ·4577 · · 4576 · · 4578
Famc6 = 74230769 · · ·7423 · · 7424 · · 7422
Famc7 =120000000 · · 12000 · ·12000 · ·12000
Famc8 =194230769 · · 19423 · ·19424 · ·19422
Famc9 =314230769 · · 31423 · ·31424 · ·31422
Famc10=508461538 · · 50846 · ·50848 · ·50844
················ · · ····· · ······ · ······
I ara que has vist que he fet els deures, una qüestió que he volgut deixar per al final, precisament per evitar que pensessis que era un pretext per no fer-los. Inicialment era jo qui volia...
—Deixa-la anar d'una vegada i no em facis patir.
—Torno a començar. Inicialment era jo qui volia fer recerca, en minúscula molt minúscula, sobre els nombres de Fibonacci, però al final has estat tu qui has volgut prendre volada sobre el tema, amb petites aportacions meves, si vols. Però hi ha un dubte, des de fa dies, que m'està rosegant per dins: aquestes coses que hem aclarit i, en concret, els resultats de l'estudi que m'havies encomanat, em pots dir PER A QUÈ CONY SERVEIXEN?
—Ara sí que m'has ben mort... A veure, deixa'm pensar una mica sobre aquesta qüestió... Mira, la primera cosa que crida l'atenció, quan obrim l'article de la Viquipèdia "Successió de Fibonacci", és el dibuix d'una espiral. Com saps, una espiral és el lloc geomètric de les posicions recorregudes al llarg del temps per un punt que s'allunya d'un centre fix alhora que gira a velocitat angular constant al voltant d'aquest centre. Si la velocitat d'allunyament també és constant, tenim una espiral d'Arquimedes, i si és progressiva tenim una espiral logarítmica. L'espiral d'or és una espiral logarítmica en què el factor de creixement és el nombre auri φ = 1,618034... i l'espiral de Fibonacci és una aproximació a l'espiral d'or a base d'arcs de circumferència, normalment de 90º, amb els radis que van adoptant el valor dels nombres de Fibonacci. No et volia impressionar: és que aquests dies m'ho he estat mirant... Doncs bé, una aplicació del teu treball podria ser que ens donessin dos membres d'una fibonacciana, dient que són els radis corresponents a punts homòlegs de dos cicles consecutius d'una espiral logarítmica aproximada per arcs quadrants de cercle, i ens demanessin els tres membres que s'interposen entre els dos donats, per tal de poder construir aquest cicle i, si convé, els successius o els precedents.
—Joan, no fotis! Ara em dius que la feinada que m'he pres queda justificada per la possibilitat de dibuixar una espiral?
—No, home, no és això: intuitivament estic convençut que les fibonaccianes donen molt de joc, però necessitaria una mica de tranquil·litat per reflexionar-hi i documentar-me a la Viquipèdia. Per què no ho deixem, per avui, i quedem demà d'hora? Així avui podrem dinar ben d'hora i anar al cine a primera sessió; tant a la Carme com a mi ens fa mandra, però és que a la segona hi ha massa gent i encara ens fan més mandra aquelles llargues cues que veiem gairebé sempre, en sortir. Va, quedem per esmorzar en alguna granja del carrer Petritxol, et convido. A la plaça del Pi a dos quarts de deu?
A l'endemà, vam entrar en matèria deprés d'una estona llarga de parlar de banalitats mentre esmorçàvem. Jo havia tingut el caprici de demanar un arròs amb llet, però no vaig arribar a la quarta cullerada, perquè la llet estava agra. No devia ser el primer a deixar-lo, aquell matí, perquè la mestressa no em va preguntar res abans d'endur-se'l. Vaig acabar demanant una xicra de xocolata desfeta, que vaig trobar aigualida: a mi m'agrada ben espessa, a l'espanyola, i allò era un Cola-Cao.
—A veure, Lluís, posem-nos-hi... Com que encara ho tinc recent i me'n recordo prou bé, començaré parlant del creixement exponencial. A diferència de la funció lineal, en què el creixement de y = a x és constant (a), i de la potencial, en què el creixement de y = xⁿ, amb n > 1, serà menys o més progressiu segons que sigui quadràtica, cúbica, etc. (nxⁿ‾¹), en la funció exponencial y = bˣ el creixement és proporcional a la pròpia potència (bˣlogeb) i, per tant, encara més progressiu. Si de les funcions contínues passem a les discretes, l'equivalent a una funció lineal serà una progressió aritmètica (an = a + (n – 1)d o an = nd, si la diferència de la progressió d és igual al primer terme a) i l'equivalent a una funció exponencial serà una progressió geomètrica (an = arⁿ‾¹ o an = rⁿ, si la raó de progressió r és igual al primer terme a). Doncs bé, hi ha una fibonacciana que, per les pròpies característiques del nombre auri φ = 1,618034..., és una progressió geomètrica que té aquest valor com a raó de progressió. A aquesta fibonacciana li escauria ser anomenada Successió de Fibonacci Plusquamperfecta, perquè des del primer membre el quocient φⁿ/φⁿ‾¹ = φ es manté constant
φº = 1
φ¹ = 1,618034
φ² = 2,618034
φ³ = 4,236068
·············
a diferència de totes les altres fibonaccianes, inclosa la F0+1, que, només s'hi aproximen, a una progressió geomètrica de raó φ; i encara, això, prescindint dels primers membres, que van per lliure. Dit d'una altra manera, és l'única en què les dues formes de definir recursivament la successió són coincidents:
φⁿ = φ φⁿ‾¹ = φⁿ‾² + φⁿ‾¹
Tot això es podria generalitzar introduint una constant a:
Fφn = aφⁿ = φ aφⁿ‾¹ = aφⁿ‾² + aφⁿ‾¹
Aquesta constant podria ser a = 10000 i comportar la eliminació dels decimals restants, com havies fet fa una estona, per retornar al domini dels nombres enters aquella fibonacciana en què Famc0 = 500 i Famc7 = 12000 eren les dades subministrades. Tot i que en aquest cas, per ser rigorosos, hauríem de parlar d'igualtats aproximades:
Fφn ≈ φFφn-1 ≈ Fφn-2 + Fφn-1
Però ja m'estic entretenint amb arbres que no deixen veure el bosc... Amb decimals o sense, on volia anar a parar era a la mena de successos que poden ser descrits per les fibonaccianes, ja que m'estaves demanant aplicacions. Deia que les fibonaccianes Fφn eren progressions geomètriques, i que les progressions geomètriques no eren sinó la discretització de funcions exponencials. I vet aquí que les funcions exponencials són models matemàtics utilitzats per descriure una sèrie de fenòmens que tenen en comú que, en una població on periòdicament neixen descendents en una proporció determinada, aquests descendents no són apartats sinó que s'integren en la població amb aptitud per aportar-hi els seus propis descendents. Com a exemples:
1) La la capitalització periòdica d'interessos en règim d'interès compost. A diferència de l'interès simple, en què el capital invertit roman constant i la liquidació de guanys es fa en un altre compte, aquests guanys es reinverteixen automàticament.
2) La subdivisió de la branca d'un arbre en branquetes que al seu torn, quan han adquirit prou longitud i gruix, tornen a subdividir-se. En informàtica, això s'esdevé de forma més ràpida i regular en l'estructura de dades anomenada "arbres" (binaris, ternaris, n-aris...).
3) La bipartició de les cèl·lules embrionàries no diferenciades a l'úter matern, en la primera fase de gestació, o la dels bacteris d'un cultiu.
N'hi ha més, però com que em sembla que tu demanaves exemples d'aplicació immediata de les eines que acabaves de fabricar, me n'he empescat uns quants...
—Perdona que et talli, Joan, però és que jo també vaig cavil·lar-hi, ahir a la nit, perquè a la tele no feien res que valgués la pena. I mira per on, també vaig acabar descobrint la doble condició del que estaves anomenant Fφn, com a fibonacciana i com a progressió geomètrica, que tampoc no és una gran descoberta perquè implícitament ho havíem enunciat moltes vegades. Però el teu discurs pot resultar equívoc perquè jo t'havia demanat aplicacions de les fibonaccianes i, en concret, de les Famcn que venen determinades per dos membres a i c que no són els inicials ni són consecutius, i tu, en canvi, has desplegat una panoràmica que pot dur a la falsa conclusió que totes les fibonaccianes poden ser utilitzades en aquests camps, quan no hi ha res més allunyat de la realitat: només Fφn és aplicable, i com a progressió geomètrica, no pas com a fibonacciana; i encara afegiria que de forma molt restrictiva. Però no avancem atropelladament i anem a pams...
—Si, vinga, et cedeixo el torn.
—Gràcies. Abans que res, les equacions que et vaig ensenyar ahir, que serveixen per al problema que em vas proposar, el de l'espiral... i para de comptar, com veuràs de seguida. L'espiral la construíem amb arcs de circumferència de 90º, amb la tangent comuna en els punts de connexió, tal com t'ho estic dibuixant a mà alçada. Cada arc té el radi més gran que el precedent i ens centrarem en un cicle d'espiral; bé, en realitat un cicle i quart: cinc arcs, per poder comparar els radis a i c del primer arc d'un cicle i del primer arc del cicle següent, perquè just el quocient c/a és la raó de progressió de l'espiral, tot i que en una fibonacciana qualsevol no té massa sentit parlar d'una raó constant, sobretot a l'inici. El que ens demanen són els radis dels tres arcs intermedis, és a dir els tres membres de la fibonacciana interposats entre els dos que ens donen, a i c. En primer lloc, cal recordar que no som del tot lliures, a l'hora d'escollir aquests dos valors: vull dir que, fixat el primer, per exemple a = Famc0 = 50, haurem de triar un c = Famc4 comprès entre aquests dos valors, si parlem de m = 3 membres interposats, Famc1, Famc2 i Famc3: 5a = 250 < c ≤ 8a = 400. Doncs som-hi, prenem c = 300 i apliquem les fórmules corresponents:
Famc1 = (c – 2a)/3 = (400 – 2·50)/3 = 100
Famc2 = (c + a)/3 = (400 + 50)/3 = 150
Famc3 = (2c – a)/3 = (2·400 – 50)/3 = 250
Comprovem que, efectivament 50 + 100 = 150, 100 + 150 = 250, 150 + 250 = 400, i feina feta.
—Veus, com surt? Deus estar satisfet, no?
—Doncs no massa, perquè de seguida em vaig posar a descobrir els límits d'aquest procediment, passant a la fibonacciana àuria φº = 1, φ¹ = 1,618034, φ² = 2,618034, φ³ = 4,236068... Naturalment, la qüestió de com arrodoniríem els resultats era secundari , i escollint a = Famc0 = 1 i c = Famc4 = 6,854102 (5a = 5 < c ≤ 8a = 8) només calia comprovar si Famc1 = 1,618034, Famc2 = 2,618034 i Famc3 = 4,236068 satisfeien les fórmules que ens havíem estalviat d'aplicar. Efectivament:
Famc1 = (c – 2a)/3 = (6,854102 – 2·1)/3 = 1,618034
Famc2 = (c + a)/3 = (6,854102 + 1)/3 = 2,618034
Famc3 = (2c – a)/3 = (2·6,854102 – 1)/3 = 4,236068
Però llavors em van venir ganes de provar com m'ho faria per obtenir una espiral en què φ no fos la raó de progressió entre quadrants sinó entre cicles d'espiral, és a dir, amb a = Famc0 = 1 i c = Famc4 = 1,618034. I de seguida vaig veure que no podria aplicar les mateixes fórmules senzillament perquè la successió dels radis dels quadrants ja no seria una fibonacciana. I ara hauré de fer un incís, perquè mirant-me la successió Fφn, de la que per escrit només puc representar els resultats numèrics de les potències de φ però no els símbols, perquè no tinc manera d'editar exponents més grans de 3, vaig adonar-me que formant una successió amb membres alterns, és a dir quedant-me només amb els membres φⁿ d'exponent n parell, seguia sent una progressió geomètrica, de raó φ²; si em quedava només amb els membres d'exponent múltiple de 3, seguía sent una progressió geomètrica, de raó φ³... i si em quedava només amb els membres d'exponent múltiple d'n, seguia sent una progressió geomètrica, de raó φⁿ, tot i que ja cap d'aquestes successions era fibonacciana.
·1,000000 · · ·1,000000 · · ·1,000000 · · ·1,000000
·1,618034 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
·2,618034 · · ·2,618034 · · · · · · · · · · · · · ·
·4,236068 · · · · · · · · · ·4,236068 · · · · · · ·
·6,854102 · · ·6,854102 · · · · · · · · · ·6,854102
11,090170 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
17,944272 · · 17,944272 · · 17,944272 · · · · · · ·
29,034442 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
46,978714 · · 46,978714 · · · · · · · · · 46,978714
76,013156 · · · · · · · · · 76,013156 · · · · · · ·
········· · · ········· · · ········· · · ·········
I, si en comptes de membres amb l'exponent de φ múltiple de 2, 3, ... n, interposava entre φº = 1,000000 i φ¹ = 1,618034 nous membres que fossin radicals de φ, és a dir amb exponent 1/2, 1/3, ... 1/n, resultarien progressions geomètriques de raó arrel quadrada, cúbica, ... n-èsima de φ. En concret, per resoldre el traçat d'un cicle i quart d'espiral logarítmica (però ja no fibonacciana) aproximada per quadrants de circumferència, amb una raó φ entre radis d'arcs homòlegs de cicles consecutius, només havia de formar una progressió geomètrica de raó arrel quarta de φ, valor aquest que seria la raó entre radis d'arcs consecutius.
Famc0 = 1,000000
Famc1 = 1,127839 (arrel quarta de φ¹)
Famc2 = 1,272020 (arrel quarta de φ², equivalent a arrel quadrada de φ)
Famc3 = 1,434633 (arrel quarta de φ³)
Famb4 = 1,618034
················
—Explicat així sembla complicat, però en el fons és molt senzill.
—Sí, collons, però si, fins i tot per als problemes de progressions geomètriques, les fórmules de gestió Famcn només les puc usar en el cas particular de raó φ, de poc serveixen. Així que, pensant en altres tipus de problema on les pogués aplicar, se me'n va ocórrer un de ben elegant i que, a més, tenia a veure amb allò que has comentat sobre el creixement vegetatiu d'una població on periòdicament neixen descendents en una proporció determinada, descendents que no són apartats sinó que s'integren en la població, a la qual hi aporten els seus propis descendents. Aquest era l'enunciat que havia redactat:
En un moment determinat el país A té 60 milions d'habitants i el país B, 40; si el creixement demogràfic net d'A (naixements menys defuncions) és del 10% cada dècada i el de B és del 15%, quantes dècades trigarà B a superar A en població? Com que algebraicament tampoc no és bufar i fer ampolles (l'equació exponencial 60·1,1ⁿ = 40·1,15ⁿ s'ha de resoldre treient logaritmes), es tracta de resoldre'l mitjançant fibonaccianes.
Però, de seguida em vaig adonar que tampoc aquí eren aplicables, i no ho eren per partida doble: encara que hagués posat que A creixia cada dècada un 61,8034% (raó de pregressió φ = 1,618034) en lloc del 10%, el creixement de la població B havia de ser més gran, si volia que B atrapés i superés A, i en aquest cas ja no serien d'aplicació les fórmules Famcn. L'únic procediment alternatiu a l'equació exponencial era agafar la calculadora, per obtenir parells de resultats decenals, i no deixar-la fins que la població de B igualés i superés la d'A. Així que, per veure si la cosa s'allargava molt, vaig fer el compte de la vella:
· · · · · · A· · · · · · B
t = ·0: · ·60· · · · · ·40
t = 10: · ·66· · · · · ·46
t = 20: · ·72,6· · · · ·52,8
t = 30: · ·79,86 · · · ·60,83
t = 40: · ·87,846· · · ·69,960
t = 50: · ·96,6306 · · ·80,4543
t = 60: · 106,29366· · ·92,52243
t = 70: · 116,923026 · 106,400795
t = 80: · 128,615328 · 122,360914
t = 90: · 141,476861 · 140,715051
t =100: · 155,624547 · 161,822309
Aquí em vaig aturar: al cap de poc temps d'encetada la novena dècada, la població de B hauria d'haver igualat a la d'A, perquè al complir-se el segle ja li duia un avantatge considerable. Per buscar més precisió hauria d'efectuar una laboriosa interpolació geomètrica i vaig pensar que, posats a fer, igual em sortiria més a compte resoldre l'equació exponencial, on jugaria directament amb els factors de creixement (en tant per u) 1,1 i 1,15, sent n el nombre de dècades:
60·1,1ⁿ = 40·1,15ⁿ
log(60·1,1ⁿ) = log(40·1,15ⁿ)
log60 + log1,1ⁿ = log40 + log1,15ⁿ
log60 + n·log1,1 = log40 + n·log1,15
n(log1,15 – log1,1) = log60 – log40
n = (log60 – log40)/(log1,15 – log1,1)
n = log(60/40)/log(1,15/1,1) = log1,5/log1,045 = 0,176091/0,019305 = 9,12
El resultat confirma, afinant el resultat, que B aconseguia la població d'A al cap de poc temps d'encetada la novena dècada.
—Doncs veig que te n'has sortit prou bé, no sé de què et queixes.
—Em queixo d'haver-te fet cas diumenge passat, Joan, quan em vas suggerir que estudiés i RESOLGUÉS el tema de la determinació d'una fibonacciana per dos punts qualssevol. Em queixo i et retrec que m'hagis fet perdre el temps en entelèquies que no serveixen per a res.
—Ep, ep, para el carro, Lluís! No crec que estiguis en situació de retreure'm res. Sense ànim d'entrar en polèmica i acabar amb mal rotllo, em permeto recordar-te que vas ser tu qui em va ficar a mi en aquest merder. Però és que, a més de ser injust amb mi, crec que ho ets amb tu mateix, quan menysprees la feina que has fet, argumentant que només és aplicable a un cas particularíssim de fibonacciana: la progressió geomètrica de raó φ.
—Ara no sé on vols anar...
—Doncs deixa que et presenti una progressió geomètrica tan important, tan important, que només té una aplicació... però una aplicació sense la qual teva vida professional, parint plànols i més plànols, no hauria estat ben bé igual.
—Segueixo sense entendre cap a on vols anar.
—Sí, et vull parlar d'una progressió geomètrica que no té φ = (1 + √ ̅5̅ )/2 = 1,618034 com a raó, sinó √ ̅2̅ = 1,414214:
√ ̅2̅º̅ = 1
√ ̅2̅¹̅ = 1,414214
√ ̅2̅²̅ = 2
√ ̅2̅³̅ = 2,828429
··············
No et sona de res, aquesta progressió?
—M'hauria de sonar?
—A veure: si multipliquem els membres d'aquesta progressió, 1, 1,414214, 2, 2,828429, 4, 5,656861, 8, 11,313712, 16, 22,627424, 32, 45,254876, ... per 26 i arrodonim a enters, tindrem 26, 37, 52, 74, 105, 148, 210, 297, 420, 594, 841, 1189... Et sona?
—Doncs no.
—I ara?: 26·37, 37·52, 52·74, 74·105, 105·148, 148·210, 210·297, 297·420, 420·594, 594·841 i 841·1189. Espera, millor així:
A10: 26·37
A9 : 37·52
A8 : 52·74
A7 : 74·105
A6 : 105·148
A5 : 148·210
A4 : 210·297
A3 : 297·420
A2 : 420·594
A1 : 594·841
A0 : 841·1189
I millor encara, si afegeixo que són mides en mil·límetres.
—Ara sí: ho he vist clar quan has escrit A4: 210·297.
—Es clar, és la norma alemanya DIN 476 de formats de fulls de paper, ara norma europea ISO 216. Tot va començar amb la necessitat de racionalitzar les mesures, de manera que doblegant o tallant en dues meitats un full de la sèrie en sortissin dos del format immediatament inferior, que havia de mantenir la mateixa proporció entre costats. Anomenant a i b el costat curt i llarg respectivament, d'aquest mig full, el que he dit es tradueix en l'equació següent:
b/a = a/(b/2) = 2a/b
b² = 2a²
b = a√ ̅2̅
La proporció b/a = √ ̅2̅ = 1,414214 era una condició; l'altra, partir d'una peça de paper que tingués aquesta proporció i fes un metre quadrat de superfície (a·b = 1000000 mm²), que anomenaríem A0 i i que seria l'origen de la sèrie A:
a·b = a·a√ ̅2̅ = 1,414214a² = 1000000
a² = 1000000/1,414214 = 707106,562373
d'on surten les dimensions en mil·límetres:
a = √ ̅7̅0̅7̅1̅0̅6̅,̅5̅6̅2̅3̅7̅3̅ = 840,896285 ≈ 841
b = 1,414214b = 1,41421·840,896285 = 1189,207299 ≈ 1189
En realitat, les dimensions dels formats progressivament més petits (A1, A2, A3... A10) es van obtenint en successives divisions per 1,414214 i no, com les havia presentat, en l'ordre creixent d'una progressió geomètrica.
—I quina moralitat n'he de treure, d'una progressió geomètrica de raó 1,414214?
—Doncs que, d'aplicació pràctica, només en té una... PERÒ QUINA UUUNA —hem coincidit, a cor, tots dos—. Així doncs, no t'has de fer mala sang perquè les teves excelses fórmules només siguin aplicables a una progressió geomètrica de raó φ = 1,618034: queden per a la posteritat. D'altra banda, cada cosa serveix per a allò que serveix, i aquesta serveix per quantificar determinats fenòmens de la natura i para de comptar. Si la volguéssim aplicar a un domini que no és el seu, com la normalització de formats de paper d'oficina, segurament faríem riure... Mira, se m'acaba d'ocórrer una idea brillant, que no sé si incloure-la en el digest que acostumo a publicar en Relats en Català, de aquestes sessions, perquè algú encara me l'afusellaria per al guió d'una pel·li de ciència-ficció poca-solta, que ja saps que la indústria del cine va escassa d'idees originals i, quan en troben una que fa fortuna, no paren d'esprémer-la amb preqüeles i seqüeles... Va, la deixo anar, com a epíleg a les nostres cuites, i de passada veuràs d'on surt el valor φ que, dit sigui de passada, és un nombre irracional, com π o com √ ̅2̅. Aquesta és la introducció; el primer quart d'hora, abans que la història se centri en la peripècia dels protagonistes:
Som en una societat distòpica en què el poder està en mans d'una minoria de sonats pitagòrics i perepunyetes, entestats a reduir-ho tot a quadrats i a rectangles de proporció àuria: de fet, si agafem un full de proporció àuria i el tallem en dos trossos de forma que un sigui un quadrat a·a, l'altra tros tindrà la mateixa proporció que el full original b/a = a/(b - a). Aquesta hipòtesi generativa és la que determina la proporció:
b(b - a) = b² - a·b = a²
b² – a·b – a² = 0
b = (a ± √ ̅ä̅²̅ ̅+̅ ̅4̅·̅1̅·̅ä̅²̅ )/2·1 = (a ± √ ̅5̅·̅ä̅²̅ )/2 = (a + a√ ̅5̅ )/2 = a(1 + √ ̅5̅ )/2
φ = b/a = (1 + √ ̅5̅ )/2 = 1,618034
Des d'un punt de vista pràctic, i fora del paper tissú en determinades aplicacions higièniques com tovallons i mocadors d'un sol ús, no crec que els formats quadrats a·a tinguessin sortida fàcil al mercat. I després hi ha el problema de "la torna": què en faríem, de la peça excedent (b – a)·a? Es miri com es miri, seria un despropòsit.
Vinga, anem recollint, que jo crec que ens miren malament perquè fa dues hores que estem aquí i més d'una que no hem demanat res. Encara que no hi ha ningú esperant; de fet, ja no és l'hora d'esmorçar sinó la de l'aperitiu. Potser és que tanquen per dinar i no tornen a obrir fins a mitja tarda.
—Sí, pleguem. No sé si hem lligat tots els caps però començo a estar-ne fins al capdamunt, de Fibonacci, fibonaccianes i progressions geomètriques, i em sembla bé que hi posem punt i final, entre altres coses perquè ja ho sospitava però avui m'ho has confirmat, que totes aquestes intimitats les estàs filtrant a Relats en Català... I, la veritat, no em fa gens de gràcia ser la riota d'una colla de lletraferits que, a més, deuen anar més peixos que nosaltres, en mates.
—Pots pujar-hi de peus, en això. Nosaltres les tenim molt rovellades, les mates, però no sé per què, la majoria de gent de formació humanística, que en diuen, ja no és que en sàpiguen poc o molt: és que hi tenen autèntica aversió. Els poetes, sobretot, només són capaços d'interessar-se per l'amor, platònic o carnal, i d'incórrer en els llocs comuns i suats del que jo en dic "l'estètica de les flors i violes i romaní", però són del tot negats per rendir-se a la màgia dels nombres o quedar embadalits apreciant l'elegància d'una demostració matemàtica.
El següent dissabte, és a dir sis dies després que ens acomiadàrem i jo me les prometés molt felices, convençut que em deixaria tranquil almenys un mes, la trucada de Lluís em va pescar de tornada del meu passeig diari reglamentari, quan anava a entrar al súper. Volia venir a casa, per ensenyar-me els deures acabats, que segons em va dir mereixien qualificació amb nota. Li vaig dir que m'agafava en mal moment i que em deixés ben bé tres quarts d'hora per comprar, anar a casa i descarregar. Ja a casa, quan ja portava vint minuts tractant de relaxar-me amb aquell diàleg contrapuntístic de Paul Desmond al saxo alt i Gerry Mulligan al baríton en "Two of a mind", de 1962, va tornar a sonar el mòbil. Vam quedar que abans d'una hora estaria a casa meva, per variar, que havia quedat per dinar amb la meva filla, però que ja l'avisaria comentant-li que potser arribaria un pèl tard. Vaig amagar aquell whisky de malta que m'havia comprat a Andorra, i a la vista vaig deixar-ne un de més passador.
—Bon dia, Joan —va dir, entrant al pis sense més preàmbul i precedint-me mentre s'encaminava cap al menjador, com si fos ell l'amfitrió—. M'he endut el portàtil per si de cas, però no crec que el necessitem. Com que tampoc és cap patracol, ho he acabat de redactar i he imprès dos exemplars; un és per a tu i ja te'l pots quedar, per poder-nos entendre millor.
Vaig enretirar tot de trastos que tenia a la tauleta del tresillo i, ell a la butaca i jo al sofà, com si es tractés d'una recepció oficial, ens vam estirar de braços i cames gairebé a l'uníson, com fent-ho al dictat d'un monitor, per trencar el gel. Però de seguida va quedar clar que ell volia dur la iniciativa:
—Bé, la primera cosa que cal aclarir és que, per determinar una successió fibonacciana, n'hi ha prou que ens donin dos dels seus membres. Tot i semblar una trivialitat, ho dic perquè algú podria objectar que, a més, ens han d'informar de la seva posició relativa, és a dir de quants membres hi ha entre aquests dos, perquè sense aquesta dada hi ha moltes possibilitats. I això seria una fal·làcia, perquè entre dos enters positius a i c (a < c) podem formar la tira de successions, però només una fibonnacciana: tret que sigui un dels dos inicials, cada membre ha de ser igual a la suma dels dos precedents. Ha de ser un enter positiu, de valor comprès entre una i dues vegades el precedent: Fn-1 < Fn < 2Fn-1.
—Aniria bé que posessis un exemple, no?
—És clar. Si, per exemple, ens donen els nombres 10 i 110, sense aclarir-nos quants d'altres n'hi ha d'haver, entre aquests dos, tenim totes aquestes possibilitats, en què els membres resulten de la suma dels dos precedents:
10···110 sense cap membre interposat, perquè són consecutius;
10···100···110 amb un únic membre interposat;
10···50···60···110 amb dos membres interposats;
10···30···40···70···110 amb tres membres interposats;
10···16···26···42···68···110 amb quatre membres interposats i
10··7,5··17,5··25···42,5···67,5···110 amb cinc membres interposats. Però en les quatre primeres successions, encara que 10 fos el membre inicial (si hi hagués un precedent, seria més gran), això no legitimaria que el segon membre superés el doble. I pel que fa a l'última, el segon membre és menor que el primer, això deixant de banda el PETIT DETALL que hi ha membres que no són enters; i ho deixem així, perquè amb sis, set i més membres interposats seguiríem amb nombres amb decimals i el primer cada vegada seria més petit. En definitiva, només la penúltima successió, amb quatre enters interposats, seria l'única fibonacciana possible, on el dos primers membres escrits no són necessàriament els inicials; aquesta fibonacciana podria començar així:
2···2···4···6···10··16··26··42··68··110··178··288··
Quan el resultat aritmètic del que ens demanen sigui una successió amb nombres amb decimals, tot dependrà de com estigui plantejat l'encàrrec: si el nombre de membres interposats, i fins i tot els dos membres que ens proporcionen, sols tenen un caràcter aproximatiu, pot ser un bon punt de partença per anar retocant aquests resultats fins a deixar-los arrodonits a enters, però d'aquests consells pràctics en parlarem al final.
Primer de tot, per no perdre'ns, convindrem una notació. Si a i c són els membres que ens proporcionen, amb m membres interposats (n = 1, 2, 3... m ), anomenarem Famc la fibonacciana així definida i Famcn, genèricament, els seus membres, sent Famc0 = a i Famcm+1 = c els coneguts. I, per connectar amb la notació de les fibonaccianes Fa+b vistes abans, de les quals coneixíem els dos primers membres, Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, ara anomenarem Famc1 = b (a < b ≤ c), el successor d'a, en principi desconegut.
Abans de calcular el valor dels m membres interposats, caldrà conèixer el valor m: és tan senzill com veure en quin intèrval de la successió de Fibonacci F0+1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... podem situar el quocient b/a. Aquesta és la correspondència:
Si a < c = b ≤ 2a, llavors m = 0 (no pot ser b > 2a, perquè el predecessor d'a seria b – a > a)
Si 2a < c = a + b ≤ 3a, llavors m = 1 (no pot ser a + b > 3a, perquè seria b > 2a)
Si 3a < c = a + 2b ≤ 5a, llavors m = 2 (no pot ser a + 2b > 5a, perquè seria 2b > 4a i b > 2a)
Si 5a < c = 2a + 3b ≤ 8a, llavors m = 3 (no pot ser 2a + 3b > 8a, perquè seria 3b > 6a i b > 2a)
Si 8a < c = 3a + 5b ≤ 13a, llavors m = 4 (no pot ser 3a + 5b > 13a, perquè seria 5b > 10a i b > 2a)
·································
Si aF0+1n+2 < c = aF0+1n + bF0+1n+1 ≤ aF0+1n+3, llavors m = n (no pot ser aF0+1n + bF0+1n+1 > aF0+1n+3, perquè seria bF0+1n+1 > a(F0+1n+3 – F0+1n) = a(F0+1n+2 + F0+1n+1 – F0+1n) = 2aF0+1n+1 i b > 2aF0+1n+1/F0+1n+1 = 2a)
Aniré estudiant els casos segons el valor m.
Quan m = 0, a i c = b són membres consecutius. Els membres que precedeixen aquest parell els podem obtenir recursivament, fent Famc-1 = c – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc1 i fent
Famc2 = a + c, Famc3 = c + Famc2, Famc4 = Famc2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
Quan m = 1 n'hi ha prou a trobar el membre Famc1 fent
Famc1 = c – a
Els valors que precedeixen els tres membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famc-n+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
Els valors que el succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc2 i fent Famc3 = Famc1 + c, Famc4 = c + Famc3, Famc5 = Famc3 + Famc4... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
Quan m = 2 haurem de resoldre un sistema de dues equacions lineals amb les incògnites Famc1 i Famc2:
[1] a + Famc1 = Famc2
[2] Famc1 + Famc2 = c
De [1]: Famc2 – Famc1 = a [3]
Si restem [3] de [2]: 2Famc1 = c – a
Famc1 = (c – a)/2 i si les sumem: 2Famc2 = c + a
Famc2 = (c + a)/2
Els valors que precedeixen els quatre membres coneguts els podem obtenir recursivament, fent Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
Els valors que els succeeixen també els podem obtenir recursivament, abreviant la notació c = Famcm+1 = Famc3 i fent Famc4 = Famc2 + c, Famc5 = c + Famc4, Famc6 = Famc4 + Famc5... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
A partir d'aquí, un cop calculat almenys Famc1, els valors que precedeixen Famc0 = a els podem obtenir recursivament, fent Famc-1 = Famc1 – a, Famc-2 = a – Famc-1, Famc-3 = Famc-1 – Famc-2... Famcn-1 = Famcn+1 – Famcn, amb n < 0, fins que Famcn-1 ≤ 0, i llavors Famcn quedarà com a primer membre de la fibonacciana.
Un cop calculat almenys Famcm, els valors que succeeixen Famcm+1 = c també els podem obtenir recursivament, fent Famcm+2 = Famcm + c, Famcm+3 = c + Famcm+2, Famcm+4 = Famcm+2 + Famc3... Famcn+1 = Famcn-1 + Famcn, amb n > 0.
Una vegada enunciats de manera genèrica, ja no repetiré aquests comentaris per als successius valors de m.
Quan m = 3 haurem de resoldre un sistema de tres equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2 i Famc3:
[1] a + Famc1 = Famc2
[2] Famc1 + Famc2 = Famc3
[3] Famc2 + Famc3 = c
De [1]: Famc2 – Famc1 = a [4]
i de [3] i [2]: Famc2 + Famc3 = Famc2 + Famc1 + Famc2 = Famc1 + 2Famc2 = c [5]
Si multipliquem per 2 [4] i la restem de [5]: 3Famc1 = c - 2a
Famc1 = (c – 2a)/3 i, substituint aquest valor a [1]:
Famc2 = (c – 2a + 3a)/3 = (c + a)/3 i, substituint aquests valors a [2]:
Famc3 = (2c - a)/3
Quan m = 4 haurem de resoldre un sistema de quatre equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3 i Famc4:
[1] a + Famc1 = Famc2
[2] Famc1 + Famc2 = Famc3
[3] Famc2 + Famc3 = Famc4
[4] Famc3 + Famc4 = c
De [1]: Famc2 – Famc1 = a [5]
i de [4], [3] i [2]: Famc3 + Famc4 = Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 2Famc1 + 3Famc2 = c [6]
Si multipliquem per 3 [5] i la restem de [6]: 5Famc1 = c - 3a
Famc1 = (c – 3a)/5 i, substituint aquest valor a [1]:
Famc2 = (c – 3a + 5a)/5 = (c + 2a)/5 i, substituint aquests valors a [2]:
Famc3 = (2c – a)/5 i, substituint aquests valors a [3]:
Famc4 = (3c + a)/5
Quan m = 5 haurem de resoldre un sistema de cinc equacions lineals amb les incògnites Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5:
[1] a + Famc1 = Famc2
[2] Famc1 + Famc2 = Famc3
[3] Famc2 + Famc3 = Famc4
[4] Famc3 + Famc4 = Famc5
[5] Famc4 + Famc5 = c
De [1]: Famc2 – Famc1 = a [6]
i de [5], [4], [3] i [2]: Famc4 + Famc5 = Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc1 + Famc2 + Famc2 + Famc1 + Famc2 = 3Famc1 + 5Famc2 = c [7]
Si multipliquem per 5 [6] i la restem de [7]: 8Famc1 = c - 5a
Famc1 = (c – 5a)/8 i, substituint aquest valor a [1]:
Famc2 = (c – 5a + 8a)/8 = (c + 3a)/8 i, substituint aquests valors a [2]:
Famc3 = (2c – 2a)/8 i, substituint aquests valors a [3]:
Famc4 = (3c + a)/8 i, substituint aquests valors a [4]:
Famc5 = (5c – a)/8
I així podríem seguir amb valors creixents de m, però, com que el que necessitem és una funció Famcm,n que ens doni el membre n-èsim dels m interposats entre les dades aportades, a i c, amb els casos analitzats ja en tinc prou per adonar-me de per on van els trets. De entrada buscava proporcionalitat, directa o inversa, entre els coeficients d'a i c i la posició n del membre interposat a la llista ordenada d'a a c, i entre els denominadors i el nombre de membres interposats m, però ni 1, 1, 2, 3 i 5 ni 1, 2, 3, 5 i 8 eren proporcionals a la successió natural 1, 2, 3, 4 i 5... Fins que se'm va encendre la llumeta, recordant el que havíes comentat fa avui sis dies, que els membres de qualsevol fibonacciana Fa+b es podien calcular com a binomis on les constants eren els dos valors inicials i les variables membres de la Successió de Fibonacci F0+1: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n (ATENCIÓ: a diferència del paper que hi juga ara, del menor dels dos membres que ens proporcionen, en aquesta expressió a era el membre inicial de la fibonacciana). Tornem a mirar aquella triple successió: nombres naturals, Successió de Fibanacci i la fibonacciana F7+14. Aquesta última ens pot anar bé per comprovar si el meu invent funciona.
n·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·
La Succesió de Fibonacci F0+1 és l'enllaç entre les variables m i n i la fibonacciana Famcm,n, ponderant les constants a i c, segons aquesta expressió:
Famcm,n = (cF0+1n ± aF0+1m-n+1)/F0+1m+1
on el signe en el binomi numerador és + per a n parell i – per a n senar.
Aquesta expressió és la formulació genèrica dels valors Famc1, Famc2, Famc3, Famc4 i Famc5 obtinguts fins ara, per a a i c donats i m = 1, 2, 3, 4 i 5, però a efectes de verificació de resultats he volgut extrapolar-los a m = 6 i 7, ampliant aquests resultats amb Famc6 i Famc7. A continuació tens totes les formulacions concretes en aquest domini:
· n · · m = 1 · · m = 2 · · · m = 3· · · · m = 4
Famc1 · c – a · (c – a)/2 · (c – 2a)/3 · (c – 3a)/5
Famc2 · · · · · (c + a)/2 · ·(c + a)/3 · (c + 2a)/5
Famc3 · · · · · · · · · · · (2c – a)/3 · (2c – a)/5
Famc4 · · · · · · · · · · · · · · · · · ·(3c + a)/5
· n · · · · m = 5 · · · · m = 6 · · · · m = 7
Famc1 · ·(c – 5a)/8 · ·(c – 8a)/13 · (c – 13a)/21 ·
Famc2 · ·(c + 3a)/8 · ·(c + 5a)/13 · ·(c + 8a)/21 ·
Famc3 · (2c – 2a)/8 · (2c – 3a)/13 · (2c – 5a)/21 ·
Famc4 · ·(3c + a)/8 · (3c + 2a)/13 · (3c + 3a)/21 ·
Famc5 · ·(5c - a)/8 · ·(5c – a)/13 · (5c – 2a)/21 ·
Famc6 · · · · · · · · ·(8c + a)/13 · ·(8c + a)/21 ·
Famc7 · · · · · · · · · · · · · · · ·(13c – a)/21 ·
Jo m'he limitat a calcular els resultats, utilitzant les últimes expressions, per a un nombre de membres interposats m = 6 i 7, comprovant que coincideixen amb els membres de la fibonacciana F7+11. Si tu tens ganes de comprovar-ho per a m = 1, 2, 3, 4 i 5, amb a i c donats, t'ho deixo preparat.
m = 1 · · · · m = 2 · · · · m = 3 · · · · m = 4
a =· · ·76 · a = · · ·47 · a = · · ·47 · a = · · ·29
Famc1= 123 · Famc1 = ·76 · Famc1 = ·76 · Famc1 = ·47
c =· · 199 · Famc2 = 123 · Famc2 = 123 · Famc2 = ·76
·· · · · · · c = · · 199 · Famc3 = 199 · Famc3 = 123
·· · · · · · · · · · · · · c = · · 322 · Famc4 = 199
·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · c = · · 322
m = 5 · · · · m = 6 · · · · · · · m = 7
a = · · ·29 · a = · ·18 · · · · · a = · ·18
Famc1 = ·47 · Famc1= 29= 377/13 · Famc1= 29= ·609/21
Famc2 = ·76 · Famc2= 47= 611/13 · Famc2= 47= ·987/21
Famc3 = 123 · Famc3= 76= 988/13 · Famc3= 76= 1596/21
Famc4 = 199 · Famc4=123=1599/13 · Famc4=123= 2583/21
Famc5 = 322 · Famc5=199=2587/13 · Famc5=199= 4179/21
c = · · 521 · Famc6=322=4186/13 · Famc6=322= 6762/21
· · · · · · · c = · 521 · · · · · Famc7=521=10941/21
· · · · · · · · · · · · · · · · · c = · 843
En la presentació de valors Famcn, per a m = 6 i 7, m'he limitat a representar la penúltima etapa d'un procés de càlcul laboriós, simplement per una qüestió tipogràfica, de manca d'espai: per a m = 7, per exemple, on he escrit
Famc5=199= 4179/21
en realitat hauria d'haver escrit
Famc5 = 199 = (5·843 – 2·18)/21 = (4215 – 36)/ 21 = 4179/21
Precisament perquè és laboriós, tret que tinguem motius per calcular Famc2, Famc3, Famc4, Famc5 o Famc6 abans que Famc1 o Famc7, surt més a compte calcular abans un d'aquests dos i la resta de forma recursiva ascendent:
Famc1 = (843 - 13·18)/21 = (843 – 234)/21 = 609/21 = 29
Famc2 = 18 + 29 = 47
Famc3 = 29 + 47 = 76
Famc4 = 47 + 76 = 123
Famc5 = 76 + 123 = 199
Famc6 = 123 + 199 = 322
Famc7 = 199 + 322 = 521
o descendent:
Famc7 = (13·843 – 18)/21 = (10959 – 18)/21 = 10941/21 = 521
Famc6 = 843 – 521 = 322
Famc5 = 521 – 322 = 199
Famc4 = 322 – 199 = 123
Famc3 = 199 – 123 = 76
Famc2 = 123 – 76 = 47
Famc1 = 76 – 47 = 29
I ara, Joan, deixa de fer aquest posat d'estupefacció i maravella'm proposant-me dos enters triats a l'atzar, a i c, que suposarem que són membres d'una fibonacciana, i el nombre m de membres que suposarem compresos entre aquests dos, i jugarem a veure com ens ho fem per afinar els valors resultants, perquè de segur que ens surten amb decimals.
—A l'atzar? Doncs vinga: 500 i 1500, amb cinc valors interposats.
—Ep, això no pot ser: recorda que havia de ser aF0+1m+2 < c ≤ aF0+1m+3 i, per a m = 5, la condició es concreta en 13a < c ≤ 21a. O sigui que, mantenint a = 500 ha de ser 6500 < c ≤ 10500: o augmentes c, si més no passant-lo de 1500 a 6500, o redueixes el nombre m de valors interposats, conformant-te amb un de sol.
—D'acord, doncs: mantinguem 500 i 1500, i entremig que hi hagi un sol membre.
—Bé, doncs apliquem la fórmula màgica:
Famc1 = (cF0+1n ± aF0+1m-n+1)/F0+1m+1 = (1500F0+11 – 500F0+11)/F0+12 = (1500·1 - 500·1)/1 = (1500 – 500)/1 = 1000
Per pura xiripa ens ha sortit un membre enter, així que la fibonacciana seria:
500, 500, 1000, 1500, 2500, 4000, 6500...
M'està fent quedar malament, jo que havia dit que era molt més probable que sortissin decimals. A veure si tornant a m = 5 i apujant c fins a 8500...
Famc1 = (cF0+1n ± aF0+1m-n+1)/F0+1m+1 = (8500F0+11 – 500F0+15)/F0+16 = (8500·1 - 500·5)/8 = (8500 – 2500)/8 = 6000/8 = 750
250, 250, 500, 750, 1250, 2000, 3250, 5250, 8500, 13750, 22250, 36000...
Doncs tampoc: si fos conspiranoic sospitaria d'algun contuberni entre les fibonaccianes i la successió de múltiples de cinquanta. Seguim provant, per forçar l'aparició de decimals: per exemple, seguirem amb a = 500 però passarem a c = 12000 i m = 6
Famc1 = (cF0+1n ± aF0+1m-n+1)/F0+1m+1 = (12000F0+11 - 500F0+16)/F0+17 = (12000·1 - 500·8)/13 = (12000 – 4000)/13 = 8000/13 = 615,3846
Aquest i els altres valors, estenent la successió més enllà de Famc7 = c i més ençà de Famc0 = a (amb només un membre, que serà el primer de la fibonacciana), els tens representats en primer lloc. Què podem fer amb aquests valors per reduir-los a enters, mantenint alhora la llei de recurrència? Jo crec que dependrà de les regles del joc: si volem conservar la precisió i ens permeten aplicar un factor d'escala, podríem multiplicar tots els membres per 10000 (a sota de l'original); altrament només podrem respectar Famc0 = a acceptant l'afectació de Famc7 ≈ c, temptejant opcionalment les aproximacions que resulten d'augmentar o disminuir Famc-1 en una unitat (a la dreta de l'original), o respectar Famc7 = c acceptant l'afectació de Famc0 ≈ a, temptejant opcionalment les aproximacions que resulten d'augmentar o disminuir Famc8 en una unitat (a sota de les anteriors).
Famc-1 = 115,3846 · · ·115 · · ·116 · · ·114
Famc0· = 500 = a· · · ·500 · · ·500 · · ·500
Famc1· = 615,3846 · · ·615 · · ·616 · · ·614
Famc2 = 1115,3846 · · 1115 · · 1116 · · 1114
Famc3 = 1730,7692 · · 1730 · · 1732 · · 1728
Famc4 = 2846,1538 · · 2845 · · 2848 · · 2842
Famc5 = 4576,9231 · · 4575 · · 4580 · · 4570
Famc6 = 7423,0769 · · 7420 · · 7428 · · 7412
Famc7 =12000 = c· · ·11995 · ·12008 · ·11982
Famc8 =19423,0769 · ·19415 · ·19436 · ·19394
Famc9 =31423,0769 · ·31410 · ·31444 · ·31376
Famc10=50846,1538 · ·50825 · ·50880 · ·50770
················· · ······ · ······ · ······
Famc-1 = 1153846 · · · 117 · · · 96 · · ·138
Famc0· = 5000000 · · · 499 · · ·512 · · ·486
Famc1· = 6153846 · · · 616 · · ·608 · · ·624
Famc2 = 11153846 · · ·1115 · · 1120 · · 1110
Famc3 = 17307692 · · ·1731 · · 1728 · · 1734
Famc4 = 28461538 · · ·2846 · · 2848 · · 2844
Famc5 = 45769231 · · ·4577 · · 4576 · · 4578
Famc6 = 74230769 · · ·7423 · · 7424 · · 7422
Famc7 =120000000 · · 12000 · ·12000 · ·12000
Famc8 =194230769 · · 19423 · ·19424 · ·19422
Famc9 =314230769 · · 31423 · ·31424 · ·31422
Famc10=508461538 · · 50846 · ·50848 · ·50844
················ · · ····· · ······ · ······
I ara que has vist que he fet els deures, una qüestió que he volgut deixar per al final, precisament per evitar que pensessis que era un pretext per no fer-los. Inicialment era jo qui volia...
—Deixa-la anar d'una vegada i no em facis patir.
—Torno a començar. Inicialment era jo qui volia fer recerca, en minúscula molt minúscula, sobre els nombres de Fibonacci, però al final has estat tu qui has volgut prendre volada sobre el tema, amb petites aportacions meves, si vols. Però hi ha un dubte, des de fa dies, que m'està rosegant per dins: aquestes coses que hem aclarit i, en concret, els resultats de l'estudi que m'havies encomanat, em pots dir PER A QUÈ CONY SERVEIXEN?
—Ara sí que m'has ben mort... A veure, deixa'm pensar una mica sobre aquesta qüestió... Mira, la primera cosa que crida l'atenció, quan obrim l'article de la Viquipèdia "Successió de Fibonacci", és el dibuix d'una espiral. Com saps, una espiral és el lloc geomètric de les posicions recorregudes al llarg del temps per un punt que s'allunya d'un centre fix alhora que gira a velocitat angular constant al voltant d'aquest centre. Si la velocitat d'allunyament també és constant, tenim una espiral d'Arquimedes, i si és progressiva tenim una espiral logarítmica. L'espiral d'or és una espiral logarítmica en què el factor de creixement és el nombre auri φ = 1,618034... i l'espiral de Fibonacci és una aproximació a l'espiral d'or a base d'arcs de circumferència, normalment de 90º, amb els radis que van adoptant el valor dels nombres de Fibonacci. No et volia impressionar: és que aquests dies m'ho he estat mirant... Doncs bé, una aplicació del teu treball podria ser que ens donessin dos membres d'una fibonacciana, dient que són els radis corresponents a punts homòlegs de dos cicles consecutius d'una espiral logarítmica aproximada per arcs quadrants de cercle, i ens demanessin els tres membres que s'interposen entre els dos donats, per tal de poder construir aquest cicle i, si convé, els successius o els precedents.
—Joan, no fotis! Ara em dius que la feinada que m'he pres queda justificada per la possibilitat de dibuixar una espiral?
—No, home, no és això: intuitivament estic convençut que les fibonaccianes donen molt de joc, però necessitaria una mica de tranquil·litat per reflexionar-hi i documentar-me a la Viquipèdia. Per què no ho deixem, per avui, i quedem demà d'hora? Així avui podrem dinar ben d'hora i anar al cine a primera sessió; tant a la Carme com a mi ens fa mandra, però és que a la segona hi ha massa gent i encara ens fan més mandra aquelles llargues cues que veiem gairebé sempre, en sortir. Va, quedem per esmorzar en alguna granja del carrer Petritxol, et convido. A la plaça del Pi a dos quarts de deu?
A l'endemà, vam entrar en matèria deprés d'una estona llarga de parlar de banalitats mentre esmorçàvem. Jo havia tingut el caprici de demanar un arròs amb llet, però no vaig arribar a la quarta cullerada, perquè la llet estava agra. No devia ser el primer a deixar-lo, aquell matí, perquè la mestressa no em va preguntar res abans d'endur-se'l. Vaig acabar demanant una xicra de xocolata desfeta, que vaig trobar aigualida: a mi m'agrada ben espessa, a l'espanyola, i allò era un Cola-Cao.
—A veure, Lluís, posem-nos-hi... Com que encara ho tinc recent i me'n recordo prou bé, començaré parlant del creixement exponencial. A diferència de la funció lineal, en què el creixement de y = a x és constant (a), i de la potencial, en què el creixement de y = xⁿ, amb n > 1, serà menys o més progressiu segons que sigui quadràtica, cúbica, etc. (nxⁿ‾¹), en la funció exponencial y = bˣ el creixement és proporcional a la pròpia potència (bˣlogeb) i, per tant, encara més progressiu. Si de les funcions contínues passem a les discretes, l'equivalent a una funció lineal serà una progressió aritmètica (an = a + (n – 1)d o an = nd, si la diferència de la progressió d és igual al primer terme a) i l'equivalent a una funció exponencial serà una progressió geomètrica (an = arⁿ‾¹ o an = rⁿ, si la raó de progressió r és igual al primer terme a). Doncs bé, hi ha una fibonacciana que, per les pròpies característiques del nombre auri φ = 1,618034..., és una progressió geomètrica que té aquest valor com a raó de progressió. A aquesta fibonacciana li escauria ser anomenada Successió de Fibonacci Plusquamperfecta, perquè des del primer membre el quocient φⁿ/φⁿ‾¹ = φ es manté constant
φº = 1
φ¹ = 1,618034
φ² = 2,618034
φ³ = 4,236068
·············
a diferència de totes les altres fibonaccianes, inclosa la F0+1, que, només s'hi aproximen, a una progressió geomètrica de raó φ; i encara, això, prescindint dels primers membres, que van per lliure. Dit d'una altra manera, és l'única en què les dues formes de definir recursivament la successió són coincidents:
φⁿ = φ φⁿ‾¹ = φⁿ‾² + φⁿ‾¹
Tot això es podria generalitzar introduint una constant a:
Fφn = aφⁿ = φ aφⁿ‾¹ = aφⁿ‾² + aφⁿ‾¹
Aquesta constant podria ser a = 10000 i comportar la eliminació dels decimals restants, com havies fet fa una estona, per retornar al domini dels nombres enters aquella fibonacciana en què Famc0 = 500 i Famc7 = 12000 eren les dades subministrades. Tot i que en aquest cas, per ser rigorosos, hauríem de parlar d'igualtats aproximades:
Fφn ≈ φFφn-1 ≈ Fφn-2 + Fφn-1
Però ja m'estic entretenint amb arbres que no deixen veure el bosc... Amb decimals o sense, on volia anar a parar era a la mena de successos que poden ser descrits per les fibonaccianes, ja que m'estaves demanant aplicacions. Deia que les fibonaccianes Fφn eren progressions geomètriques, i que les progressions geomètriques no eren sinó la discretització de funcions exponencials. I vet aquí que les funcions exponencials són models matemàtics utilitzats per descriure una sèrie de fenòmens que tenen en comú que, en una població on periòdicament neixen descendents en una proporció determinada, aquests descendents no són apartats sinó que s'integren en la població amb aptitud per aportar-hi els seus propis descendents. Com a exemples:
1) La la capitalització periòdica d'interessos en règim d'interès compost. A diferència de l'interès simple, en què el capital invertit roman constant i la liquidació de guanys es fa en un altre compte, aquests guanys es reinverteixen automàticament.
2) La subdivisió de la branca d'un arbre en branquetes que al seu torn, quan han adquirit prou longitud i gruix, tornen a subdividir-se. En informàtica, això s'esdevé de forma més ràpida i regular en l'estructura de dades anomenada "arbres" (binaris, ternaris, n-aris...).
3) La bipartició de les cèl·lules embrionàries no diferenciades a l'úter matern, en la primera fase de gestació, o la dels bacteris d'un cultiu.
N'hi ha més, però com que em sembla que tu demanaves exemples d'aplicació immediata de les eines que acabaves de fabricar, me n'he empescat uns quants...
—Perdona que et talli, Joan, però és que jo també vaig cavil·lar-hi, ahir a la nit, perquè a la tele no feien res que valgués la pena. I mira per on, també vaig acabar descobrint la doble condició del que estaves anomenant Fφn, com a fibonacciana i com a progressió geomètrica, que tampoc no és una gran descoberta perquè implícitament ho havíem enunciat moltes vegades. Però el teu discurs pot resultar equívoc perquè jo t'havia demanat aplicacions de les fibonaccianes i, en concret, de les Famcn que venen determinades per dos membres a i c que no són els inicials ni són consecutius, i tu, en canvi, has desplegat una panoràmica que pot dur a la falsa conclusió que totes les fibonaccianes poden ser utilitzades en aquests camps, quan no hi ha res més allunyat de la realitat: només Fφn és aplicable, i com a progressió geomètrica, no pas com a fibonacciana; i encara afegiria que de forma molt restrictiva. Però no avancem atropelladament i anem a pams...
—Si, vinga, et cedeixo el torn.
—Gràcies. Abans que res, les equacions que et vaig ensenyar ahir, que serveixen per al problema que em vas proposar, el de l'espiral... i para de comptar, com veuràs de seguida. L'espiral la construíem amb arcs de circumferència de 90º, amb la tangent comuna en els punts de connexió, tal com t'ho estic dibuixant a mà alçada. Cada arc té el radi més gran que el precedent i ens centrarem en un cicle d'espiral; bé, en realitat un cicle i quart: cinc arcs, per poder comparar els radis a i c del primer arc d'un cicle i del primer arc del cicle següent, perquè just el quocient c/a és la raó de progressió de l'espiral, tot i que en una fibonacciana qualsevol no té massa sentit parlar d'una raó constant, sobretot a l'inici. El que ens demanen són els radis dels tres arcs intermedis, és a dir els tres membres de la fibonacciana interposats entre els dos que ens donen, a i c. En primer lloc, cal recordar que no som del tot lliures, a l'hora d'escollir aquests dos valors: vull dir que, fixat el primer, per exemple a = Famc0 = 50, haurem de triar un c = Famc4 comprès entre aquests dos valors, si parlem de m = 3 membres interposats, Famc1, Famc2 i Famc3: 5a = 250 < c ≤ 8a = 400. Doncs som-hi, prenem c = 300 i apliquem les fórmules corresponents:
Famc1 = (c – 2a)/3 = (400 – 2·50)/3 = 100
Famc2 = (c + a)/3 = (400 + 50)/3 = 150
Famc3 = (2c – a)/3 = (2·400 – 50)/3 = 250
Comprovem que, efectivament 50 + 100 = 150, 100 + 150 = 250, 150 + 250 = 400, i feina feta.
—Veus, com surt? Deus estar satisfet, no?
—Doncs no massa, perquè de seguida em vaig posar a descobrir els límits d'aquest procediment, passant a la fibonacciana àuria φº = 1, φ¹ = 1,618034, φ² = 2,618034, φ³ = 4,236068... Naturalment, la qüestió de com arrodoniríem els resultats era secundari , i escollint a = Famc0 = 1 i c = Famc4 = 6,854102 (5a = 5 < c ≤ 8a = 8) només calia comprovar si Famc1 = 1,618034, Famc2 = 2,618034 i Famc3 = 4,236068 satisfeien les fórmules que ens havíem estalviat d'aplicar. Efectivament:
Famc1 = (c – 2a)/3 = (6,854102 – 2·1)/3 = 1,618034
Famc2 = (c + a)/3 = (6,854102 + 1)/3 = 2,618034
Famc3 = (2c – a)/3 = (2·6,854102 – 1)/3 = 4,236068
Però llavors em van venir ganes de provar com m'ho faria per obtenir una espiral en què φ no fos la raó de progressió entre quadrants sinó entre cicles d'espiral, és a dir, amb a = Famc0 = 1 i c = Famc4 = 1,618034. I de seguida vaig veure que no podria aplicar les mateixes fórmules senzillament perquè la successió dels radis dels quadrants ja no seria una fibonacciana. I ara hauré de fer un incís, perquè mirant-me la successió Fφn, de la que per escrit només puc representar els resultats numèrics de les potències de φ però no els símbols, perquè no tinc manera d'editar exponents més grans de 3, vaig adonar-me que formant una successió amb membres alterns, és a dir quedant-me només amb els membres φⁿ d'exponent n parell, seguia sent una progressió geomètrica, de raó φ²; si em quedava només amb els membres d'exponent múltiple de 3, seguía sent una progressió geomètrica, de raó φ³... i si em quedava només amb els membres d'exponent múltiple d'n, seguia sent una progressió geomètrica, de raó φⁿ, tot i que ja cap d'aquestes successions era fibonacciana.
·1,000000 · · ·1,000000 · · ·1,000000 · · ·1,000000
·1,618034 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
·2,618034 · · ·2,618034 · · · · · · · · · · · · · ·
·4,236068 · · · · · · · · · ·4,236068 · · · · · · ·
·6,854102 · · ·6,854102 · · · · · · · · · ·6,854102
11,090170 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
17,944272 · · 17,944272 · · 17,944272 · · · · · · ·
29,034442 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
46,978714 · · 46,978714 · · · · · · · · · 46,978714
76,013156 · · · · · · · · · 76,013156 · · · · · · ·
········· · · ········· · · ········· · · ·········
I, si en comptes de membres amb l'exponent de φ múltiple de 2, 3, ... n, interposava entre φº = 1,000000 i φ¹ = 1,618034 nous membres que fossin radicals de φ, és a dir amb exponent 1/2, 1/3, ... 1/n, resultarien progressions geomètriques de raó arrel quadrada, cúbica, ... n-èsima de φ. En concret, per resoldre el traçat d'un cicle i quart d'espiral logarítmica (però ja no fibonacciana) aproximada per quadrants de circumferència, amb una raó φ entre radis d'arcs homòlegs de cicles consecutius, només havia de formar una progressió geomètrica de raó arrel quarta de φ, valor aquest que seria la raó entre radis d'arcs consecutius.
Famc0 = 1,000000
Famc1 = 1,127839 (arrel quarta de φ¹)
Famc2 = 1,272020 (arrel quarta de φ², equivalent a arrel quadrada de φ)
Famc3 = 1,434633 (arrel quarta de φ³)
Famb4 = 1,618034
················
—Explicat així sembla complicat, però en el fons és molt senzill.
—Sí, collons, però si, fins i tot per als problemes de progressions geomètriques, les fórmules de gestió Famcn només les puc usar en el cas particular de raó φ, de poc serveixen. Així que, pensant en altres tipus de problema on les pogués aplicar, se me'n va ocórrer un de ben elegant i que, a més, tenia a veure amb allò que has comentat sobre el creixement vegetatiu d'una població on periòdicament neixen descendents en una proporció determinada, descendents que no són apartats sinó que s'integren en la població, a la qual hi aporten els seus propis descendents. Aquest era l'enunciat que havia redactat:
En un moment determinat el país A té 60 milions d'habitants i el país B, 40; si el creixement demogràfic net d'A (naixements menys defuncions) és del 10% cada dècada i el de B és del 15%, quantes dècades trigarà B a superar A en població? Com que algebraicament tampoc no és bufar i fer ampolles (l'equació exponencial 60·1,1ⁿ = 40·1,15ⁿ s'ha de resoldre treient logaritmes), es tracta de resoldre'l mitjançant fibonaccianes.
Però, de seguida em vaig adonar que tampoc aquí eren aplicables, i no ho eren per partida doble: encara que hagués posat que A creixia cada dècada un 61,8034% (raó de pregressió φ = 1,618034) en lloc del 10%, el creixement de la població B havia de ser més gran, si volia que B atrapés i superés A, i en aquest cas ja no serien d'aplicació les fórmules Famcn. L'únic procediment alternatiu a l'equació exponencial era agafar la calculadora, per obtenir parells de resultats decenals, i no deixar-la fins que la població de B igualés i superés la d'A. Així que, per veure si la cosa s'allargava molt, vaig fer el compte de la vella:
· · · · · · A· · · · · · B
t = ·0: · ·60· · · · · ·40
t = 10: · ·66· · · · · ·46
t = 20: · ·72,6· · · · ·52,8
t = 30: · ·79,86 · · · ·60,83
t = 40: · ·87,846· · · ·69,960
t = 50: · ·96,6306 · · ·80,4543
t = 60: · 106,29366· · ·92,52243
t = 70: · 116,923026 · 106,400795
t = 80: · 128,615328 · 122,360914
t = 90: · 141,476861 · 140,715051
t =100: · 155,624547 · 161,822309
Aquí em vaig aturar: al cap de poc temps d'encetada la novena dècada, la població de B hauria d'haver igualat a la d'A, perquè al complir-se el segle ja li duia un avantatge considerable. Per buscar més precisió hauria d'efectuar una laboriosa interpolació geomètrica i vaig pensar que, posats a fer, igual em sortiria més a compte resoldre l'equació exponencial, on jugaria directament amb els factors de creixement (en tant per u) 1,1 i 1,15, sent n el nombre de dècades:
60·1,1ⁿ = 40·1,15ⁿ
log(60·1,1ⁿ) = log(40·1,15ⁿ)
log60 + log1,1ⁿ = log40 + log1,15ⁿ
log60 + n·log1,1 = log40 + n·log1,15
n(log1,15 – log1,1) = log60 – log40
n = (log60 – log40)/(log1,15 – log1,1)
n = log(60/40)/log(1,15/1,1) = log1,5/log1,045 = 0,176091/0,019305 = 9,12
El resultat confirma, afinant el resultat, que B aconseguia la població d'A al cap de poc temps d'encetada la novena dècada.
—Doncs veig que te n'has sortit prou bé, no sé de què et queixes.
—Em queixo d'haver-te fet cas diumenge passat, Joan, quan em vas suggerir que estudiés i RESOLGUÉS el tema de la determinació d'una fibonacciana per dos punts qualssevol. Em queixo i et retrec que m'hagis fet perdre el temps en entelèquies que no serveixen per a res.
—Ep, ep, para el carro, Lluís! No crec que estiguis en situació de retreure'm res. Sense ànim d'entrar en polèmica i acabar amb mal rotllo, em permeto recordar-te que vas ser tu qui em va ficar a mi en aquest merder. Però és que, a més de ser injust amb mi, crec que ho ets amb tu mateix, quan menysprees la feina que has fet, argumentant que només és aplicable a un cas particularíssim de fibonacciana: la progressió geomètrica de raó φ.
—Ara no sé on vols anar...
—Doncs deixa que et presenti una progressió geomètrica tan important, tan important, que només té una aplicació... però una aplicació sense la qual teva vida professional, parint plànols i més plànols, no hauria estat ben bé igual.
—Segueixo sense entendre cap a on vols anar.
—Sí, et vull parlar d'una progressió geomètrica que no té φ = (1 + √ ̅5̅ )/2 = 1,618034 com a raó, sinó √ ̅2̅ = 1,414214:
√ ̅2̅º̅ = 1
√ ̅2̅¹̅ = 1,414214
√ ̅2̅²̅ = 2
√ ̅2̅³̅ = 2,828429
··············
No et sona de res, aquesta progressió?
—M'hauria de sonar?
—A veure: si multipliquem els membres d'aquesta progressió, 1, 1,414214, 2, 2,828429, 4, 5,656861, 8, 11,313712, 16, 22,627424, 32, 45,254876, ... per 26 i arrodonim a enters, tindrem 26, 37, 52, 74, 105, 148, 210, 297, 420, 594, 841, 1189... Et sona?
—Doncs no.
—I ara?: 26·37, 37·52, 52·74, 74·105, 105·148, 148·210, 210·297, 297·420, 420·594, 594·841 i 841·1189. Espera, millor així:
A10: 26·37
A9 : 37·52
A8 : 52·74
A7 : 74·105
A6 : 105·148
A5 : 148·210
A4 : 210·297
A3 : 297·420
A2 : 420·594
A1 : 594·841
A0 : 841·1189
I millor encara, si afegeixo que són mides en mil·límetres.
—Ara sí: ho he vist clar quan has escrit A4: 210·297.
—Es clar, és la norma alemanya DIN 476 de formats de fulls de paper, ara norma europea ISO 216. Tot va començar amb la necessitat de racionalitzar les mesures, de manera que doblegant o tallant en dues meitats un full de la sèrie en sortissin dos del format immediatament inferior, que havia de mantenir la mateixa proporció entre costats. Anomenant a i b el costat curt i llarg respectivament, d'aquest mig full, el que he dit es tradueix en l'equació següent:
b/a = a/(b/2) = 2a/b
b² = 2a²
b = a√ ̅2̅
La proporció b/a = √ ̅2̅ = 1,414214 era una condició; l'altra, partir d'una peça de paper que tingués aquesta proporció i fes un metre quadrat de superfície (a·b = 1000000 mm²), que anomenaríem A0 i i que seria l'origen de la sèrie A:
a·b = a·a√ ̅2̅ = 1,414214a² = 1000000
a² = 1000000/1,414214 = 707106,562373
d'on surten les dimensions en mil·límetres:
a = √ ̅7̅0̅7̅1̅0̅6̅,̅5̅6̅2̅3̅7̅3̅ = 840,896285 ≈ 841
b = 1,414214b = 1,41421·840,896285 = 1189,207299 ≈ 1189
En realitat, les dimensions dels formats progressivament més petits (A1, A2, A3... A10) es van obtenint en successives divisions per 1,414214 i no, com les havia presentat, en l'ordre creixent d'una progressió geomètrica.
—I quina moralitat n'he de treure, d'una progressió geomètrica de raó 1,414214?
—Doncs que, d'aplicació pràctica, només en té una... PERÒ QUINA UUUNA —hem coincidit, a cor, tots dos—. Així doncs, no t'has de fer mala sang perquè les teves excelses fórmules només siguin aplicables a una progressió geomètrica de raó φ = 1,618034: queden per a la posteritat. D'altra banda, cada cosa serveix per a allò que serveix, i aquesta serveix per quantificar determinats fenòmens de la natura i para de comptar. Si la volguéssim aplicar a un domini que no és el seu, com la normalització de formats de paper d'oficina, segurament faríem riure... Mira, se m'acaba d'ocórrer una idea brillant, que no sé si incloure-la en el digest que acostumo a publicar en Relats en Català, de aquestes sessions, perquè algú encara me l'afusellaria per al guió d'una pel·li de ciència-ficció poca-solta, que ja saps que la indústria del cine va escassa d'idees originals i, quan en troben una que fa fortuna, no paren d'esprémer-la amb preqüeles i seqüeles... Va, la deixo anar, com a epíleg a les nostres cuites, i de passada veuràs d'on surt el valor φ que, dit sigui de passada, és un nombre irracional, com π o com √ ̅2̅. Aquesta és la introducció; el primer quart d'hora, abans que la història se centri en la peripècia dels protagonistes:
Som en una societat distòpica en què el poder està en mans d'una minoria de sonats pitagòrics i perepunyetes, entestats a reduir-ho tot a quadrats i a rectangles de proporció àuria: de fet, si agafem un full de proporció àuria i el tallem en dos trossos de forma que un sigui un quadrat a·a, l'altra tros tindrà la mateixa proporció que el full original b/a = a/(b - a). Aquesta hipòtesi generativa és la que determina la proporció:
b(b - a) = b² - a·b = a²
b² – a·b – a² = 0
b = (a ± √ ̅ä̅²̅ ̅+̅ ̅4̅·̅1̅·̅ä̅²̅ )/2·1 = (a ± √ ̅5̅·̅ä̅²̅ )/2 = (a + a√ ̅5̅ )/2 = a(1 + √ ̅5̅ )/2
φ = b/a = (1 + √ ̅5̅ )/2 = 1,618034
Des d'un punt de vista pràctic, i fora del paper tissú en determinades aplicacions higièniques com tovallons i mocadors d'un sol ús, no crec que els formats quadrats a·a tinguessin sortida fàcil al mercat. I després hi ha el problema de "la torna": què en faríem, de la peça excedent (b – a)·a? Es miri com es miri, seria un despropòsit.
Vinga, anem recollint, que jo crec que ens miren malament perquè fa dues hores que estem aquí i més d'una que no hem demanat res. Encara que no hi ha ningú esperant; de fet, ja no és l'hora d'esmorçar sinó la de l'aperitiu. Potser és que tanquen per dinar i no tornen a obrir fins a mitja tarda.
—Sí, pleguem. No sé si hem lligat tots els caps però començo a estar-ne fins al capdamunt, de Fibonacci, fibonaccianes i progressions geomètriques, i em sembla bé que hi posem punt i final, entre altres coses perquè ja ho sospitava però avui m'ho has confirmat, que totes aquestes intimitats les estàs filtrant a Relats en Català... I, la veritat, no em fa gens de gràcia ser la riota d'una colla de lletraferits que, a més, deuen anar més peixos que nosaltres, en mates.
—Pots pujar-hi de peus, en això. Nosaltres les tenim molt rovellades, les mates, però no sé per què, la majoria de gent de formació humanística, que en diuen, ja no és que en sàpiguen poc o molt: és que hi tenen autèntica aversió. Els poetes, sobretot, només són capaços d'interessar-se per l'amor, platònic o carnal, i d'incórrer en els llocs comuns i suats del que jo en dic "l'estètica de les flors i violes i romaní", però són del tot negats per rendir-se a la màgia dels nombres o quedar embadalits apreciant l'elegància d'una demostració matemàtica.
Comentaris
-
Jo he quedat embadalit![Ofensiu]llpages | 26-04-2024 | Valoració: 10
Un aplaudiment per tenir la gosadia d'inserir un text matemàtic en una pàgina de relats. Potser és perquè la bellesa no només rau en la literatura, també en el raonament lògic de les matemàtiques. Agraït per dedicar molt més de 42 minuts a un text fascinant.
l´Autor
Últims relats de l'autor
- Llegir i escriure.
- Divagacions macabres. [temps real de lectura: 1 minut]
- Mentider! [temps real de lectura: 2 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre ESGLAONS I GRAONS [temps real de lectura: 3 minuts]
- Fibonacci, punt final. [temps real de lectura: 42 minuts]
- Fibonacci, punt i seguit. [temps real de lectura: 26 minuts]
- Crim i càstig.
- Santa innocència. [temps real de lectura: 2 minuts]
- Un lletraferit malastruc. [temps real de lectura: 3 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre LLEPAR [temps real de lectura: 3 minuts]
- Vint nanoocurrències sobre SEXE [temps real de lectura: 3 minuts]
- DEP, germana.
- Vint nanoocurrències sobre PA AMB TOMÀQUET [temps real de lectura: 3 minuts]
- Esferes.
- TOC, TOC. [temps real de lectura: 4 minuts]