Detall intervenció

RE: RE: RE: Això és una prova.

Intervenció de: Joan Colom | 29-09-2024

--->


Respostes

  • Tu que ets molt llesta!
    nuriagau | 03/05/2011 a les 07:26
    Anem a veure si l'enigma d'avui també el traiem!
    • RE: Tu que ets molt llesta!
      Joan Colom | 05/07/2024 a les 09:04












      • RE: RE: Tu que ets molt llesta!
        Joan Colom | 05/07/2024 a les 09:11
        —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

        —D
        ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.
        • RE: RE: RE: Tu que ets molt llesta!
          Joan Colom | 05/07/2024 a les 09:16
          —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

          —D
          ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.
      • RE: RE: Tu que ets molt llesta!
        Joan Colom | 05/07/2024 a les 12:03











        • RE: RE: RE: Tu que ets molt llesta!
          Joan Colom | 05/07/2024 a les 12:04
          —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

          —D
          ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.

          —Potser sí, que els pals i els penjolls de les minúscules ajuden a evitar una imatge compacta del text, similar a una successió de caràcters numèrics: fixa't que "012345 678 90123 4 567 89012" s'assembla força a l'últim que acabes de dir, "
          PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL", amb la diferència que els nombres tenen alçada de majúscules i les teves són versaletes, més baixes.

          —I
          ARA QUE PARLEM D'AIXÒ PENSA QUE, QUAN ESCRIVIM A MÀ, SI NO HO FEM AMB CAL·LIGRAFIA LLIGADA HO FEM AMB LLETRA D'IMPREMTA, I GAIREBÉ SEMPRE AMB MAJÚSCULES EXCLUSIVAMENT. O SIGUI QUE POTSER HI HA UNA TENDÈNCIA NATURAL A L'ÚS DE LES MAJÚSCULES, I L'ESTIL VERSALETA EL QUE FA ÉS RESPECTAR AQUESTA TENDÈNCIA SENSE OBLIDAR LA JERARQUIA ENTRE ELS INICIS DE FRASE I DE NOMS PROPIS, I LA RESTA DE LLETRES: TOTES TENEN LA MATEIXA FORMA I NOMÉS ES DIFERENCIEN EN LA MIDA; ÉS ALLÒ QUE EN GEOMETRIA EN DIUEN FIGURES SEMBLANTS.

          —És ben curiós, això dels caràcters alfanumèrics. Recordo que fa més de dos anys, deixa que ho busqui... sí, el vint de maig del vint-i-dos, vaig escriure un relat de tres minuts que es deia "Divagació tipològica tipogràfica" i era una disquisició poca-solta sobre la "t" minúscula. Ho recordava perquè gràcies als comentaris de SrGarcia vaig assabentar-me que amb un simple tag HTML podia canviar la mida de lletra. Des del relat següent, "La xocolata no mata", fins ara, a la meva pàgina escric amb lletra més gran. El que passa és que sóc un perepunyetes i, com que em va semblar que el punt, la coma, els dos punts i el punt i coma sortien poc marcats en comparació als altres caràcters, em complico la vida passant-los a negreta abans d'enviar el relat perquè me'l publiquin. Teòricament sols és aplicar quatre vegades el procés d'edició "buscar i reemplaçar", un per a cadascun d'aquests signes de puntuació, però sempre hi ha excepcions que t'obliguen a intervenir-hi manualment. A més, l'estimació de temps de lectura amb què em surten publicats els relats està hipertrofiada per la presència dels tags strong (negreta), cosa que m'obliga a incloure, després dels títols, l'aclariment "[temps real de lectura: X minuts]".

          —D
          ONCS, PEL QUE VEIG, EL MANIÀTIC ETS TU. JO NO TINDRIA PAS PACIÈNCIA DE FER TOT AIXÒ.

          —Doncs si et dic quina en tinc al cap... En el present relat he descobert una cosa: que entre la mida mínima font_size=1, la mida per defecte a Relats, font_size=2, la 3, que és la que jo he anat gastant els últims dos anys, i la 4, que és la de SrGarcia, hi ha la possibilitat de fer font_size=1,5, 2,5 i 3,5. Sense anar més lluny, la lletra versaleta amb què escric les teves intervencions l'he simulada amb majúscules de mida 1,5, enfront la resta de mida 2,5. Havia començat amb majúscules de mida 2,5 enfront la resta de mida 3, però no m'ha fet el pes: la proporció de mides de 2,5 a 3 ja m'anava bé, però no m'agradava que el traç de les versaletes sortís molt més fi que el de les minúscules ordinàries o les majúscules grans. Tanmateix, aquesta observació m'ha donat peu a pensar que, si en comptes de lletra font_size=3, d'ara endavant em conformés amb 2,5, segurament no hi hauria necessitat de tocar punts, comes, dos punts i punts i comes. He anat fent proves a pàgines antigues del Fòrum i l'aspecte l'he trobat prou satisfactori; em sembla que d'ara endavant ho faré així.

          —V
          ALGA'M DÉU, JOAN: AIXÒ JA ÉS LA REPERA!

          —Doncs això només pel que fa a la mida global de les lletres, referida a la seva alçada. Si entrem en el tema de l'amplada, t'hauria d'explicar com m'ho munto: per estalviar-me tabulador, determinació de marges, sagnats, etc. al Word, fa anys que els esborranys els escric amb lletres "Courier New", que a més d'agradar-me perquè em recorden els textos mecanografiats, tenen amplada constant i em permeten resoldre les alineacions verticals amb pocs recursos. En alguna ocasió havia pensat si fer-los servir, amb caràcter general, a la meva pàgina de Relats, però finalment m'he limitat als relats que ho requerien per exigències del guió, com "Verbs acabats en 'pondre' i 'posar'", "Fibonacci i cia", "Fibonacci, punt i seguit" i "Fibonacci, punt final". A "El nombre e i la mare que el va parir" vaig desistir de fer-ho, perquè malgrat ser senzilla l'adopció d'aquest tipus de lletra, amb el tag font_face=courier, conjuntament amb l'activació o desactivació de la negreta i els canvis de mida, la cosa s'embolicava tant que era difícil no equivocar-se.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 19/04/2024 a les 19:03
    (Continuació de "Fibonacci i cia".)

    Aquell cop m'agafà a la dutxa. De primer va sonar el telèfon de la saleta i, poc després, el mòbil que havia deixat al prestatge del quarto de bany. Així que vaig estirar el braç per prendre'l i vaig tornar-lo a deixar en veure que era en Lluís.
    Deu minuts més tard, ja vestit i planxat, el trucà jo:

    —Hola, maco. Sóc Joan...

    —Sí, és clar. Espero no haver-te tret del llit...

    —No, home; els diumenges em llevo una mica més tard, però no tant. No em diguis que encara estàs remenant allò del Fibonacci...

    —Doncs sí, i és per això que et trucava. El cas és que no em vaig donar per vençut, després de l'última trobada, i mirant-me i remirant-me els papers, vaig adonar-me que les dues successions tipus Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13..., obtinguda primer escapçant la Successió de Fibonacci però també sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent, i 1, 3, 4, 7, 11, 18..., obtinguda sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent del precedent, eren generalitzables... Vull dir que podien ser considerades com a casos particulars d'una família de successions...

    —Eeep, para el carro, Lluís!!! Suposo que vols que miri les maravelles que has descobert i, de passada, voldràs fer-me unes preguntes, no? Doncs, si vols que vingui a casa teva, digues-li a la Carme que avui tindrà un convidat a dinar. El vi el porto jo.

    —Espera un moment, que li ho dic... Joan? Sí, mira: em diu la Carme que els caps de setmana ho compra tot justet, per menjar, però això no és problema perquè anirem al restaurant. Tu, convidat, per descomptat...

    Un cop a casa de Lluís, i abans que m'exposés les seves diguem-ne troballes, vaig insistir en què em deixés proposar un parell de qüestions de forma:

    —En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no t'acabava de fer el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "successions fibonaccianes" o simplement "fibonaccianes", a la manera de les suites bachianes d'Heitor Villa-Lobos. I quant a la notació, ja que havíem vist que els dos primers membres d'una successió tipus Fibonacci —perdó: successió fibonacciana—, determinaven tota la resta, una que comenci per a i b, la podríem anomenar Fa+b; i, com a cas particular, la Successió de Fibonacci seria la F0+1. Així, a més, podrem prescindir d'aquell equívoc adjectivat de "dependent primera, segona... i-ena", que volia il·lustrar el nombre de transformacions aplicades a la Successió de Fibonacci per tal d'obtenir una fibonacciana determinada, una perquè de segur que hi ha més d'un camí que porta a Roma, i dues perquè l'únic que ens pot interessar és la fibonacciana en si, perfectament identificada, com acabo de dir, pels dos primers membres. Et sembla bé?

    —Del tot. I ara mira, això és el que he fet: generalitzar el que havia fet la setmana passada.

    I, sense més preàmbul, em va passar un full quadriculat:

    ******************************************

    ····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·

    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    7··························13··22··35··57··92·149·

    8······························21··35··56··91·147·

    9··································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    11·········································89·145·

    12············································144·
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 19/04/2024 a les 20:23

    ····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·


    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    7··························13··22··35··57··92·149·

    8······························21··35··56··91·147·

    9··································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    11·········································89·145·

    12············································144·

    —Com fèiem fa una setmana, dalt de tot tens la successió dels nombres naturals n seguida de la de Fibonacci, com si fos l'eix d'abscisses, i a l'esquerra, augmentant cap avall la dimensió m, l'eix d'ordenades. Començant per m = 1 i m = 2, que eren dues de les successions que ens havien sortit, i generalitzant el joc, cada línia horitzontal és l'inici d'una successió on cada membre d'ordre n s'obté de la Successió de Fibonacci, sumant l'homòleg amb el situat en primer, segon, ... m-èsim lloc a l'esquerra. Jo anomenava aquestes successions Fm,n = F0,n + F0,n-m, però després del que has proposat crec que hauria de ser Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m, no? Això, genèricament, perquè els noms específics serien F1+2, F1+3, F2+4, F3+6, etc. Ah, i com és lògic, la meitat de les posicions, en què n < m, queden buides. Dit això, què hi trobes de particular, Joan?

    —Suposo que et refereixes a que totes aquestes successions són fibonaccianes...

    —Efectivament, em referia a això: cada membre -es suma dels dos precedents. Ho podem comprovar fins a m = 10, i amb els membres que figuren a la taula, però caldria demostrar-ho.

    —I aquí és on entro jo, no? A veure... es tractaria de demostrar que
    Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2
    a partir d'aquestes tres equacions:
    Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m
    Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1-m
    Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2-m
    Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1-m = F0+1n-m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n-m-2:
    Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n-m-1 + F0+1n-m-2) = F0+1n + F0+1n-m = Fa+bm,n


    Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fa+bm,n = Fa+b10,12, F0+1n = F0+112 i F0+1n-m = F0+12:
    Fa+b10,10 = F0+110 + F0+10 = 55 + 0 = 55
    Fa+b10,11 = F0+111 + F0+11 = 89 + 1 = 90
    Fa+b10,12 = F0+112 + F0+12 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    Fa+b10,10 + Fa+b10,11 = 55 + 90 = 145 = Fa+b10,12


    —Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil, per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat per llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. I, no ens enganyem, segur que això que acabes de descobrir sols és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver de generar successions, basades en la de Fibonacci, que resulten ser fibonaccianes, i encara tractada de forma parcial: quan venia cap aquí, pensant en la generalització que m'havies anunciat per telèfon, suposava que tindria més volada; en veure el que havies preparat, m'ha semblat que t'havies quedat a mig camí. Però ara podem completar-ho: les teves successions partien del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci, sumant-n'hi un d'anterior; doncs bé, ara ho podem capgirar i sumar al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?

    —Ès clar que sí. Tot el que sigui millorar és benvingut.

    —Doncs som-hi: porta paper i posem-nos-hi... Com abans, començarem amb la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions, que ara resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, tot i que alguns d'aquests segons sumands se situarien a la dreta del full de paper i per tant no hi figuren escrits. Com abans, numerarem aquestes posicions n a dalt de tot i m a l'esquerra. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci:

    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·


    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·
    m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 19/04/2024 a les 20:42
    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fa+bm,n = Fa+b10,12, F0+1n = F0+112 i F0+1n-m = F0+12:
    Fa+b10,10 = F0+110 + F0+10 = 55 + 0 = 55
    Fa+b10,11 = F0+111 + F0+11 = 89 + 1 = 90
    Fa+b10,12 = F0+112 + F0+12 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    Fa+b10,10 + Fa+b10,11 = 55 + 90 = 145 = Fa+b10,12


    —Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil, per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat per llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. I, no ens enganyem, segur que això que acabes de descobrir sols és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver de generar successions, basades en la de Fibonacci, que resulten ser fibonaccianes, i encara tractada de forma parcial: quan venia cap aquí, pensant en la generalització que m'havies anunciat per telèfon, suposava que tindria més volada; en veure el que havies preparat, m'ha semblat que t'havies quedat a mig camí. Però ara podem completar-ho: les teves successions partien del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci, sumant-n'hi un d'anterior; doncs bé, ara ho podem capgirar i sumar al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?

    —Ès clar que sí. Tot el que sigui millorar és benvingut.

    —Doncs som-hi: porta paper i posem-nos-hi... Com abans, començarem amb la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions, que ara resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, tot i que alguns d'aquests segons sumands se situarien a la dreta del full de paper i per tant no hi figuren escrits. Com abans, numerarem aquestes posicions n a dalt de tot i m a l'esquerra. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci:

    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·


    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 19/04/2024 a les 21:03
    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fa+bm,n = Fa+b10,12, F0+1n = F0+112 i F0+1n-m = F0+12:
    Fa+b10,10 = F0+110 + F0+10 = 55 + 0 = 55
    Fa+b10,11 = F0+111 + F0+11 = 89 + 1 = 90
    Fa+b10,12 = F0+112 + F0+12 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    Fa+b10,10 + Fa+b10,11 = 55 + 90 = 145 = Fa+b10,12


    —Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil, per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat per llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. I, no ens enganyem, segur que això que acabes de descobrir sols és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver de generar successions, basades en la de Fibonacci, que resulten ser fibonaccianes, i encara tractada de forma parcial: quan venia cap aquí, pensant en la generalització que m'havies anunciat per telèfon, suposava que tindria més volada; en veure el que havies preparat, m'ha semblat que t'havies quedat a mig camí. Però ara podem completar-ho: les teves successions partien del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci, sumant-n'hi un d'anterior; doncs bé, ara ho podem capgirar i sumar al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?

    —Ès clar que sí. Tot el que sigui millorar és benvingut.

    —Doncs som-hi: porta paper i posem-nos-hi... Com abans, començarem amb la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions, que ara resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, tot i que alguns d'aquests segons sumands se situarien a la dreta del full de paper i per tant no hi figuren escrits. Com abans, numerarem aquestes posicions n a dalt de tot i m a l'esquerra. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci:

    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·


    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·
    • RE: RE: Això és una prova.
      Joan Colom | 20/04/2024 a les 10:12
      (Continuació de "Fibonacci i cia".)

      Aquell cop m'agafà a la dutxa. De primer va sonar el telèfon de la saleta i, poc després, el mòbil que havia deixat al prestatge del quarto de bany. Així que vaig estirar el braç per prendre'l i vaig tornar-lo a deixar en veure que era en Lluís.
      Deu minuts més tard, ja vestit i planxat, el trucà jo:

      —Hola, maco. Sóc Joan...

      —Sí, és clar. Espero no haver-te tret del llit...

      —No, home; els diumenges em llevo una mica més tard, però no tant. No em diguis que encara estàs remenant allò del Fibonacci...

      —Doncs sí, i és per això que et trucava. El cas és que no em vaig donar per vençut, després de l'última trobada, i mirant-me i remirant-me els papers, vaig adonar-me que les dues successions tipus Fibonacci1, 2, 3,5, 8, 13..., obtinguda primer escapçant la Successió de Fibonacci però també sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent, i 1, 3, 4, 7, 11, 18..., obtinguda sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent del precedent, eren generalitzables... Vull dir que podien ser considerades com a casos particulars d'una família de successions...

      —Eeep, para el carro, Lluís!!! Suposo que vols que miri les maravelles que has descobert i, de passada, voldràs fer-me unes preguntes, no? Doncs, si vols que vingui a casa teva, digues-li a la Carme que avui tindrà un convidat a dinar. El vi el porto jo.

      —Espera un moment, que li ho dic... Joan? Sí, mira: em diu la Carme que els caps de setmana ho compra tot justet, per menjar, però això no és problema perquè anirem al restaurant. Tu, convidat, per descomptat...

      Un cop a casa de Lluís, i abans que m'exposés les seves diguem-ne troballes, vaig insistir en què em deixés proposar un parell de qüestions de forma:

      —En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no t'acabava de fer el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "successions fibonaccianes" o simplement "fibonaccianes", a la manera de les suites bachianes d'Heitor Villa-Lobos. I quant a la notació, ja que havíem vist que els dos primers membres d'una successió tipus Fibonacci —perdó: successió fibonacciana—, determinaven tota la resta, una que comenci per a i b, la podríem anomenar Fa+b;i, com a cas particular, la Successió de Fibonacci seria la F0+1. Així, a més, podrem prescindir d'aquell equívoc adjectivat de "dependent primera, segona... i-ena", que volia il·lustrar el nombre de transformacions aplicades a la Successió de Fibonacci per tal d'obtenir una fibonacciana determinada, una perquè de segur que hi ha més d'un camí que porta a Roma, i dues perquè l'únic que ens pot interessar és la fibonacciana en si, perfectament identificada, com acabo de dir, pels dos primers membres. Et sembla bé?

      —Del tot. I ara mira, això és el que he fet: generalitzar el que havia fet la setmana passada.

      I, sense més preàmbul, em va passar un full quadriculat:


      ····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·

      0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·


      1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

      2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

      3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

      4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

      5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

      6·······················8··14··22··36··58··94·152·

      7··························13··22··35··57··92·149·

      8······························21··35··56··91·147·

      9··································34··56··90·146·

      m······································55··90·145·

      11·········································89·145·

      12············································144·

      —Com fèiem fa una setmana, dalt de tot tens la successió dels nombres naturals n seguida de la de Fibonacci, com si fos l'eix d'abscisses, i a l'esquerra, augmentant cap avall la dimensió m, l'eix d'ordenades. Començant per m = 1 i m = 2, que eren dues de les successions que ens havien sortit, i generalitzant el joc, cada línia horitzontal és l'inici d'una successió on cada membre d'ordre n s'obté de la Successió de Fibonacci, sumant l'homòleg amb el situat en primer, segon, ... m-èsim lloc a l'esquerra. Jo anomenava aquestes successions Fm,n = F0,n + F0,n-m, però després del que has proposat crec que hauria de ser Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m, no? Això, genèricament, perquè els noms específics serien F1+2, F1+3, F2+4, F3+6, etc. Ah, i com és lògic, la meitat de les posicions, en què n < m, queden buides. Dit això, què hi trobes de particular, Joan?

      —Suposo que et refereixes a que totes aquestes successions són fibonaccianes...

      —Efectivament, em referia a això: cada membre és suma dels dos precedents. Ho podem comprovar fins a m = 10, i amb els membres que figuren a la taula, però caldria demostrar-ho.

      —I aquí és on entro jo, no? A veure... es tractaria de demostrar que
      Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2
      a partir d'aquestes tres equacions:
      Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m
      Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1-m
      Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2-m
      Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1-m = F0+1n-m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n-m-2:
      Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n-m-1 + F0+1n-m-2) = F0+1n + F0+1n-m = Fa+bm,n


      Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

      —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

      —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10
      , n = 12, amb Fa+bm,n = Fa+b10,12, F0+1n = F0+112 i F0+1n-m = F0+12:
      Fa+b10,10 = F0+110 + F0+10 = 55 + 0 = 55
      Fa+b10,11 = F0+111 + F0+11 = 89 + 1 = 90
      Fa+b10,12 = F0+112 + F0+12 = 144 + 1 = 145

      I, efectivament:
      Fa+b10,10 + Fa+b10,11 = 55 + 90 = 145 = Fa+b10,12


      —Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

      —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil, per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat per llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. I, no ens enganyem, segur que això que acabes de descobrir sols és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver de generar successions, basades en la de Fibonacci, que resulten ser fibonaccianes, i encara tractada de forma parcial: quan venia cap aquí, pensant en la generalització que m'havies anunciat per telèfon, suposava que tindria més volada; en veure el que havies preparat, m'ha semblat que t'havies quedat a mig camí. Però ara podem completar-ho: les teves successions partien del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci, sumant-n'hi un d'anterior; doncs bé, ara ho podem capgirar i sumar al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?

      —Ès clar que sí. Tot el que sigui millorar és benvingut.

      —Doncs som-hi: porta paper i posem-nos-hi... Com abans, començarem amb la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions, que ara resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, tot i que alguns d'aquests segons sumands se situarien a la dreta del full de paper i per tant no hi figuren escrits. Com abans, numerarem aquestes posicions n a dalt de tot i m a l'esquerra. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci:

      ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·


      0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

      1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

      2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

      3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

      4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

      m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

      6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

      7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

      8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

      9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 20/04/2024 a les 10:22
    (Continuació de "Fibonacci i cia".)

    Aquell cop m'agafà a la dutxa. De primer va sonar el telèfon de la saleta i, poc després, el mòbil que havia deixat al prestatge del quarto de bany. Així que vaig estirar el braç per prendre'l i vaig tornar-lo a deixar en veure que era en Lluís.
    Deu minuts més tard, ja vestit i planxat, el trucà jo:

    —Hola, maco. Sóc Joan...

    —Sí, és clar. Espero no haver-te tret del llit...

    —No, home; els diumenges em llevo una mica més tard, però no tant. No em diguis que encara estàs remenant allò del Fibonacci...

    —Doncs sí, i és per això que et trucava. El cas és que no em vaig donar per vençut, després de l'última trobada, i mirant-me i remirant-me els papers, vaig adonar-me que les dues successions tipus Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13..., obtinguda primer escapçant la Successió de Fibonacci però també sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent, i 1, 3, 4, 7, 11, 18..., obtinguda sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent del precedent, eren generalitzables... Vull dir que podien ser considerades com a casos particulars d'una família de successions...

    —Eeep, para el carro, Lluís!!! Suposo que vols que miri les maravelles que has descobert i, de passada, voldràs fer-me unes preguntes, no? Doncs, si vols que vingui a casa teva, digues-li a la Carme que avui tindrà un convidat a dinar. El vi el porto jo.

    —Espera un moment, que li ho dic... Joan? Sí, mira: em diu la Carme que els caps de setmana ho compra tot justet, per menjar, però això no és problema perquè anirem al restaurant. Tu, convidat, per descomptat...

    Un cop a casa de Lluís, i abans que m'exposés les seves diguem-ne troballes, vaig insistir en què em deixés proposar un parell de qüestions de forma:

    —En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no t'acabava de fer el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "successions fibonaccianes" o simplement "fibonaccianes", a la manera de les suites bachianes d'Heitor Villa-Lobos. I quant a la notació, ja que havíem vist que els dos primers membres d'una successió tipus Fibonacci —perdó: successió fibonacciana—, determinaven tota la resta, una que comenci per a i b, la podríem anomenar Fa+b; i, com a cas particular, la Successió de Fibonacci seria la F0+1. Així, a més, podrem prescindir d'aquell equívoc adjectivat de "dependent primera, segona... i-ena", que volia il·lustrar el nombre de transformacions aplicades a la Successió de Fibonacci per tal d'obtenir una fibonacciana determinada, una perquè de segur que hi ha més d'un camí que porta a Roma, i dues perquè l'únic que ens pot interessar és la fibonacciana en si, perfectament identificada, com acabo de dir, pels dos primers membres. Et sembla bé?

    —Del tot. I ara mira, això és el que he fet: generalitzar el que havia fet la setmana passada.

    I, sense més preàmbul, em va passar un full quadriculat:


    ····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·


    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    7··························13··22··35··57··92·149·

    8······························21··35··56··91·147·

    9··································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    11·········································89·145·

    12············································144·

    —Com fèiem fa una setmana, dalt de tot tens la successió dels nombres naturals n seguida de la de Fibonacci, com si fos l'eix d'abscisses, i a l'esquerra, augmentant cap avall la dimensió m, l'eix d'ordenades. Començant per m = 1 i m = 2, que eren dues de les successions que ens havien sortit, i generalitzant el joc, cada línia horitzontal és l'inici d'una successió on cada membre d'ordre n s'obté de la Successió de Fibonacci, sumant l'homòleg amb el situat en primer, segon, ... m-èsim lloc a l'esquerra. Jo anomenava aquestes successions Fm,n = F0,n + F0,n-m, però després del que has proposat crec que hauria de ser Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m, no? Això, genèricament, perquè els noms específics serien F1+2, F1+3, F2+4, F3+6, etc. Ah, i com és lògic, la meitat de les posicions, en què n < m, queden buides. Dit això, què hi trobes de particular, Joan?

    —Suposo que et refereixes a que totes aquestes successions són fibonaccianes...

    —Efectivament, em referia a això: cada membre és suma dels dos precedents. Ho podem comprovar fins a m = 10, i amb els membres que figuren a la taula, però caldria demostrar-ho.

    —I aquí és on entro jo, no? A veure... es tractaria de demostrar que
    Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2
    a partir d'aquestes tres equacions:
    Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m
    Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1-m
    Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2-m
    Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1-m = F0+1n-m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n-m-2:
    Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n-m-1 + F0+1n-m-2) = F0+1n + F0+1n-m = Fa+bm,n


    Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fa+bm,n = Fa+b10,12, F0+1n = F0+112 i F0+1n-m = F0+12:
    Fa+b10,10 = F0+110 + F0+10 = 55 + 0 = 55
    Fa+b10,11 = F0+111 + F0+11 = 89 + 1 = 90
    Fa+b10,12 = F0+112 + F0+12 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    Fa+b10,10 + Fa+b10,11 = 55 + 90 = 145 = Fa+b10,12


    —Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil, per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat per llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. I, no ens enganyem, segur que això que acabes de descobrir sols és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver de generar successions, basades en la de Fibonacci, que resulten ser fibonaccianes, i encara tractada de forma parcial: quan venia cap aquí, pensant en la generalització que m'havies anunciat per telèfon, suposava que tindria més volada; en veure el que havies preparat, m'ha semblat que t'havies quedat a mig camí. Però ara podem completar-ho: les teves successions partien del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci, sumant-n'hi un d'anterior; doncs bé, ara ho podem capgirar i sumar al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?

    —Ès clar que sí. Tot el que sigui millorar és benvingut.

    —Doncs som-hi: porta paper i posem-nos-hi... Com abans, començarem amb la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions, que ara resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, tot i que alguns d'aquests segons sumands se situarien a la dreta del full de paper i per tant no hi figuren escrits. Com abans, numerarem aquestes posicions n a dalt de tot i m a l'esquerra. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci:

    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·


    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    Anomenant F0,1, F0,2, F0,3... els membres de la Successió de Fibonacci F0,
    F1,1, F1,2, F1,3... els de la successió resultant de sumar homòleg i primer successor,
    F2,1, F2,2, F2,3... els de la resultant de sumar homòleg i segon successor,
    F3,1, F3,2, F3,3... els de la resultant de sumar homòleg i tercer successor, etc., es tracta de demostrar que aquestes altres són successions fibonaccianes:

    Fm,n = F0,n + F0,n+m
    Fm,n-1 = F0,n-1 + F0,n-1+m
    Fm,n-2 = F0,n-2 + F0,n-2+m
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 20/04/2024 a les 13:18
    (Continuació de "Fibonacci i cia".)

    Aquell cop m'agafà a la dutxa. De primer va sonar el telèfon de la saleta i, poc després, el mòbil que havia deixat al prestatge del quarto de bany. Així que vaig estirar el braç per prendre'l i vaig tornar-lo a deixar en veure que era en Lluís.
    Deu minuts més tard, ja vestit i planxat, el trucà jo:

    —Hola, maco. Sóc Joan...

    —Sí, és clar. Espero no haver-te tret del llit...

    —No, home; els diumenges em llevo una mica més tard, però no tant. No em diguis que encara estàs remenant allò del Fibonacci...

    —Doncs sí, i és per això que et trucava. El cas és que no em vaig donar per vençut, després de l'última trobada, i mirant-me i remirant-me els papers, vaig adonar-me que les dues successions tipus Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13..., obtinguda primer escapçant la Successió de Fibonacci però també sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent, i 1, 3, 4, 7, 11, 18..., obtinguda sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent del precedent, eren generalitzables... Vull dir que podien ser considerades com a casos particulars d'una família de successions...

    —Eeep, para el carro, Lluís!!! Suposo que vols que miri les maravelles que has descobert i, de passada, voldràs fer-me unes preguntes, no? Doncs, si vols que vingui a casa teva, digues-li a la Carme que avui tindrà un convidat a dinar. El vi el porto jo.

    —Espera un moment, que li ho dic... Joan? Sí, mira: em diu la Carme que els caps de setmana ho compra tot justet, per menjar, però això no és problema perquè anirem al restaurant. Tu, convidat, per descomptat...

    Un cop a casa de Lluís, i abans que m'exposés les seves diguem-ne troballes, vaig insistir en què em deixés proposar un parell de qüestions de forma:

    —En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no t'acabava de fer el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "successions fibonaccianes" o simplement "fibonaccianes", a la manera de les suites bachianes d'Heitor Villa-Lobos. I quant a la notació, ja que havíem vist que els dos primers membres d'una successió tipus Fibonacci —perdó: successió fibonacciana—, determinaven tota la resta, una que comenci per a i b, la podríem anomenar Fa+b; i, com a cas particular, la Successió de Fibonacci seria la F0+1. Així, a més, podrem prescindir d'aquell equívoc adjectivat de "dependent primera, segona... i-ena", que volia il·lustrar el nombre de transformacions aplicades a la Successió de Fibonacci per tal d'obtenir una fibonacciana determinada, una perquè de segur que hi ha més d'un camí que porta a Roma, i dues perquè l'únic que ens pot interessar és la fibonacciana en si, perfectament identificada, com acabo de dir, pels dos primers membres. Et sembla bé?

    —Del tot. I ara mira, això és el que he fet: generalitzar el que havia fet la setmana passada.

    I, sense més preàmbul, em va passar un full quadriculat:


    ····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·


    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    7··························13··22··35··57··92·149·

    8······························21··35··56··91·147·

    9··································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    11·········································89·145·

    12············································144·

    —Com fèiem fa una setmana, dalt de tot tens la successió dels nombres naturals n seguida de la de Fibonacci, com si fos l'eix d'abscisses, i a l'esquerra, augmentant cap avall la dimensió m, l'eix d'ordenades. Començant per m = 1 i m = 2, que eren dues de les successions que ens havien sortit, i generalitzant el joc, cada línia horitzontal és l'inici d'una successió on cada membre d'ordre n s'obté de la Successió de Fibonacci, sumant l'homòleg amb el situat en primer, segon, ... m-èsim lloc a l'esquerra. Jo anomenava aquestes successions Fm,n = F0,n + F0,n-m, però després del que has proposat crec que hauria de ser Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m, no? Això, genèricament, perquè els noms específics serien F1+2, F1+3, F2+4, F3+6, etc. Ah, i com és lògic, la meitat de les posicions, en què n < m, queden buides. Dit això, què hi trobes de particular, Joan?

    —Suposo que et refereixes a que totes aquestes successions són fibonaccianes...

    —Efectivament, em referia a això: cada membre és suma dels dos precedents. Ho podem comprovar fins a m = 10, i amb els membres que figuren a la taula, però caldria demostrar-ho.

    —I aquí és on entro jo, no? A veure... es tractaria de demostrar que
    Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2
    a partir d'aquestes tres equacions:
    Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m
    Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1-m
    Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2-m
    Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1-m = F0+1n-m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n-m-2:
    Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n-m-1 + F0+1n-m-2) = F0+1n + F0+1n-m = Fa+bm,n


    Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fa+bm,n = Fa+b10,12, F0+1n = F0+112 i F0+1n-m = F0+12:
    Fa+b10,10 = F0+110 + F0+10 = 55 + 0 = 55
    Fa+b10,11 = F0+111 + F0+11 = 89 + 1 = 90
    Fa+b10,12 = F0+112 + F0+12 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    Fa+b10,10 + Fa+b10,11 = 55 + 90 = 145 = Fa+b10,12


    —Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil, per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat per llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. I, no ens enganyem, segur que això que acabes de descobrir sols és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver de generar successions, basades en la de Fibonacci, que resulten ser fibonaccianes, i encara tractada de forma parcial: quan venia cap aquí, pensant en la generalització que m'havies anunciat per telèfon, suposava que tindria més volada; en veure el que havies preparat, m'ha semblat que t'havies quedat a mig camí. Però ara podem completar-ho: les teves successions partien del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci, sumant-n'hi un d'anterior; doncs bé, ara ho podem capgirar i sumar al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?

    —Ès clar que sí. Tot el que sigui millorar és benvingut.

    —Doncs som-hi: porta paper i posem-nos-hi... Com abans, començarem amb la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions, que ara resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, tot i que alguns d'aquests segons sumands se situarien a la dreta del full de paper i per tant no hi figuren escrits. Com abans, numerarem aquestes posicions n a dalt de tot i m a l'esquerra. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci:

    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·


    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    També com abans, es tracta de demostrar que aquestes altres successions, genèricament Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m i individualment F2+3, F3+4, F4+6, F6+9, etc., són fibonaccianes, és a dir, que Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2, on Fa+bm,n, és qualsevol membre de la successió Fa+bm tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0+10 = 0 i F0+11 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors.
    Partirem d'aquestes tres equacions:
    Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m
    Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1+m
    Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2+m

    Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1+m = F0+1n+m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n+m-2:
    Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n+m-1 + F0+1n+m-2) = F0+1n + F0+1n+m = Fa+bm,n


    I ara, si com hem fet abans vols un exemple, sobre posicions i valors concrets, podríem situar-nos en la intersecció m = 5, n = 5, amb Fa+bm,n = Fa+b5,5, F0+1n = F0+15 i F0+1n+m = F0+110:
    Fa+b5,3 = F0+13 + F0+18 = 2 + 21 = 23
    Fa+b5,4 = F0+14 + F0+19 = 3 + 34 = 37
    Fa+b5,5 = F0+15 + F0+110 = 5 + 55 = 60

    I, efectivament:
    Fa+b5,3 + Fa+b5,4 = 23 + 37 = 60 = Fa+b5,5


    —Ja ho entenc: ara uniràs les dues taules.

    —No encara. Abans hem de trobar la frontisa m = 0 entre aquestes dues taules; la baula perduda, si t'ho estimes més: la fibonacciana que hi faltava per restaurar la solució de continuïtat. Escriurem

    ·····1····2····3····4····5····6····7···8···9···10·
    0····1····1····2····3····5····8···13··21··34···55·

    ··················································
    2n-1·1····2····3····5····8···13···21··34··55···89·
    2n···2····2····4····6···10···16···26··42··68··110·
    2n+1·2····3····5····8···13···21···34··55··89··144·
    ··················································


    —I ara, com que encara és d'hora, fem les coses bé: editem el contingut d'aquests tres fulls en el portàtil i imprimim-lo. Per fer més via, si vols, jo dicto i tu escrius.

    Al cap de mitja hora havíem unificat els resultats, suprimint les línies en blanc perquè el conjunt quedés més compacte, repetint a l'inici i al final la numeració de referència i la Successió de Fibonacci, per facilitar el seguiment en columna, i deixant sense remarcar en negreta els valors de generació inverificable, disposant d'aquesta taula tan coquetona:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

    ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
    ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
    ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
    ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
    ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
    ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
    ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·

    Com que no es tractava només d'unificar la presentació de dades sinó també l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m per a la meitat superior, Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n = 2F0+1n per a la baula perduda i Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-mper a la inferior, ara era la primera la qui servia per a tots els casos i, a l'esquerra, els valors m de l'eix d'ordenades, anul·lant-se i canviant de signe, tenien continuïtat.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 20/04/2024 a les 13:34
    També com abans, es tracta de demostrar que aquestes altres successions, genèricament Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m i individualment F2+3, F3+4, F4+6, F6+9, etc., són fibonaccianes, és a dir, que Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2, on Fa+bm,n, és qualsevol membre de la successió Fa+bm tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0+10 = 0 i F0+11 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors.
    Partirem d'aquestes tres equacions:
    Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m
    Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1+m
    Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2+m

    Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1+m = F0+1n+m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n+m-2:
    Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n+m-1 + F0+1n+m-2) = F0+1n + F0+1n+m = Fa+bm,n


    I ara, si com hem fet abans vols un exemple, sobre posicions i valors concrets, podríem situar-nos en la intersecció m = 5, n = 5, amb Fa+bm,n = Fa+b5,5, F0+1n = F0+15 i F0+1n+m = F0+110:
    Fa+b5,3 = F0+13 + F0+18 = 2 + 21 = 23
    Fa+b5,4 = F0+14 + F0+19 = 3 + 34 = 37
    Fa+b5,5 = F0+15 + F0+110 = 5 + 55 = 60

    I, efectivament:
    Fa+b5,3 + Fa+b5,4 = 23 + 37 = 60 = Fa+b5,5


    —Ja ho entenc: ara uniràs les dues taules.

    —No encara. Abans hem de trobar la frontisa m = 0 entre aquestes dues taules; la baula perduda, si t'ho estimes més: la fibonacciana que hi faltava per restaurar la solució de continuïtat. Escriurem

    ·····1····2····3····4····5····6····7···8···9···10·
    0····1····1····2····3····5····8···13··21··34···55·

    ··················································
    2n-1·1····2····3····5····8···13···21··34··55···89·
    2n···2····2····4····6···10···16···26··42··68··110·
    2n+1·2····3····5····8···13···21···34··55··89··144·
    ··················································


    —I ara, com que encara és d'hora, fem les coses bé: editem el contingut d'aquests tres fulls en el portàtil i imprimim-lo. Per fer més via, si vols, jo dicto i tu escrius.

    Al cap de mitja hora havíem unificat els resultats, suprimint les línies en blanc perquè el conjunt quedés més compacte, repetint a l'inici i al final la numeració de referència i la Successió de Fibonacci, per facilitar el seguiment en columna, i deixant sense remarcar en negreta els valors de generació inverificable, disposant d'aquesta taula tan coquetona:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

    ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
    ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
    ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
    ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
    ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
    ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
    ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·

    Com que no es tractava només d'unificar la presentació de dades sinó també l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m per a la meitat superior, Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n = 2F0+1n per a la baula perduda i Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-mper a la inferior, ara era la primera la qui servia per a tots els casos i, a l'esquerra, els valors m de l'eix d'ordenades, anul·lant-se i canviant de signe, tenien continuïtat.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 20/04/2024 a les 13:47
    També com abans, es tracta de demostrar que aquestes altres successions, genèricament Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m i individualment F2+3, F3+4, F4+6, F6+9, etc., són fibonaccianes, és a dir, que Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2, on Fa+bm,n és qualsevol membre de la successió Fa+bm, tret dels dos primers, que, com els de la Successió de Fibonacci, F0+10 = 0 i F0+11 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors.
    Partirem d'aquestes tres equacions:
    Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m
    Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1+m
    Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2+m

    Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1+m = F0+1n+m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n+m-2:
    Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n+m-1 + F0+1n+m-2) = F0+1n + F0+1n+m = Fa+bm,n


    I ara, si com hem fet abans vols un exemple, sobre posicions i valors concrets, podríem situar-nos en la intersecció m = 5, n = 5, amb Fa+bm,n = Fa+b5,5, F0+1n = F0+15 i F0+1n+m = F0+110:
    Fa+b5,3 = F0+13 + F0+18 = 2 + 21 = 23
    Fa+b5,4 = F0+14 + F0+19 = 3 + 34 = 37
    Fa+b5,5 = F0+15 + F0+110 = 5 + 55 = 60

    I, efectivament:
    Fa+b5,3 + Fa+b5,4 = 23 + 37 = 60 = Fa+b5,5


    —Ja ho entenc: ara uniràs les dues taules.

    —No encara. Abans hem de trobar la frontisa m = 0 entre aquestes dues taules; la baula perduda, si t'ho estimes més: la fibonacciana que hi faltava per restaurar la solució de continuïtat. Escriurem

    ·····1····2····3····4····5····6····7···8···9···10·
    0····1····1····2····3····5····8···13··21··34···55·

    ··················································
    2n-1·1····2····3····5····8···13···21··34··55···89·
    2n···2····2····4····6···10···16···26··42··68··110·
    2n+1·2····3····5····8···13···21···34··55··89··144·
    ··················································


    —I ara, com que encara és d'hora, fem les coses bé: editem el contingut d'aquests tres fulls en el portàtil i imprimim-lo. Per fer més via, si vols, jo dicto i tu escrius.

    Al cap de mitja hora havíem unificat els resultats, suprimint les línies en blanc perquè el conjunt quedés més compacte, repetint a l'inici i al final la numeració de referència i la Successió de Fibonacci, per facilitar el seguiment en columna, i deixant sense remarcar en negreta els valors de generació inverificable, disposant d'aquesta taula tan coquetona:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

    ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
    ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
    ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
    ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
    ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
    ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
    ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·

    Com que no es tractava només d'unificar la presentació de dades sinó també l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m per a la meitat superior, Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n = 2F0+1n per a la baula perduda i Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-mper a la inferior, ara era la primera la qui servia per a tots els casos i, a l'esquerra, els valors m de l'eix d'ordenades, anul·lant-se i canviant de signe, tenien continuïtat.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 20/04/2024 a les 13:54
    També com abans, es tracta de demostrar que aquestes altres successions, genèricament Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m i individualment F2+3, F3+4, F4+6, F6+9, etc., són fibonaccianes, és a dir, que Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2, on Fa+bm,n és qualsevol membre de la successió Fa+bm, tret dels dos primers que, com els de la Successió de Fibonacci, F0+10 = 0 i F0+11 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors.
    Partirem d'aquestes tres equacions:
    Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m
    Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1+m
    Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2+m

    Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1+m = F0+1n+m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n+m-2:
    Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n+m-1 + F0+1n+m-2) = F0+1n + F0+1n+m = Fa+bm,n


    I ara, si com hem fet abans vols un exemple, sobre posicions i valors concrets, podríem situar-nos en la intersecció m = 5, n = 5, amb Fa+bm,n = Fa+b5,5, F0+1n = F0+15 i F0+1n+m = F0+110:
    Fa+b5,3 = F0+13 + F0+18 = 2 + 21 = 23
    Fa+b5,4 = F0+14 + F0+19 = 3 + 34 = 37
    Fa+b5,5 = F0+15 + F0+110 = 5 + 55 = 60

    I, efectivament:
    Fa+b5,3 + Fa+b5,4 = 23 + 37 = 60 = Fa+b5,5


    —Ja ho entenc: ara uniràs les dues taules.

    —No encara. Abans hem de trobar la frontisa m = 0 entre aquestes dues taules; la baula perduda, si t'ho estimes més: la fibonacciana que hi faltava per restaurar la solució de continuïtat. Escriurem

    ·····1····2····3····4····5····6····7···8···9···10·
    0····1····1····2····3····5····8···13··21··34···55·

    ··················································
    2n-1·1····2····3····5····8···13···21··34··55···89·
    2n···2····2····4····6···10···16···26··42··68··110·
    2n+1·2····3····5····8···13···21···34··55··89··144·
    ··················································


    —I ara, com que encara és d'hora, fem les coses bé: editem el contingut d'aquests tres fulls en el portàtil i imprimim-lo. Per fer més via, si vols, jo dicto i tu escrius.

    Al cap de mitja hora havíem unificat els resultats, suprimint les línies en blanc perquè el conjunt quedés més compacte, repetint a l'inici i al final la numeració de referència i la Successió de Fibonacci, per facilitar el seguiment en columna, i deixant sense remarcar en negreta els valors de generació inverificable, disposant d'aquesta taula tan coquetona:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

    ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
    ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
    ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
    ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
    ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
    ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
    ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·

    Com que no es tractava només d'unificar la presentació de dades sinó també l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m per a la meitat superior, Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n = 2F0+1n per a la baula perduda i Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-mper a la inferior, ara era la primera la qui servia per a tots els casos i, a l'esquerra, els valors m de l'eix d'ordenades, anul·lant-se i canviant de signe, tenien continuïtat.
    • RE: RE: Això és una prova.
      Joan Colom | 21/04/2024 a les 13:19
      En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i, si després de la migdiada estava d'humor, meditaria sobre el que havíem fet, per veure si en treia conclusions. Si li anava bé, l'endemà al matí tornaria a passar.

      Així ho vaig fer i, només obrir-me la porta, Lluís em preguntà si les meves cavil·lacions havien estat profitoses. Ja a l'estudi, mentre connectava el pendrive al seu portàtil, vaig contestar, fent-me el misteriós:

      —Bé, segons com es miri... He anat fent proves que m'han reafirmat en allò que ahir intuíem: que hi ha molts camins per construir una fibonacciana a partir de la Successió de Fibonacci F0+1 ,però no sé si val la pena que t'ho comenti...

      —Home, és clar que sí. Ara no em deixaràs amb la mel a la boca...

      —Bé, doncs centrant-nos en la sèrie de vint fibonaccianes d'ahir, de generació Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m, la primera cosa a destacar seria que el seu aspecte és, en general, bastant imprevisible. Limitant-nos a les set centrals F4+6, F3+4, F2+3, F2+2, F1+2, F1+3 i F2+4, és a dir per a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3, vull dir que: F1+2 (m = -1) resultaria d'escapçar els dos primers membres de la Successió de Fibonacci, i F2+3 (m = 1) d'escapçar els tres primers; F2+2 (m = 0) resultaria d'escapçar el primer membre, F2+4 (m = -3) d'escapçar els dos primers i F4,6 (m = 3) d'escapçar els tres primers, multiplicant la resta per 2 en tots tres casos; finalment, F1+3 (m = -2) no guarda cap semblança amb F0+1, i F3+4 (m = 2) resultaria de l'anterior escapçant el primer membre.

      —D'acord, però no deies que hi havia maneres diferents d'arribar a un mateix resultat?

      —Si, home, si no m'interromps te n'explicaré uns quants. Un mètode alternatiu als que t'acabo d'explicar i que permet obtenir ràpidament aquestes successions, com si encara no haguéssim descobert que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials, consistiria a copiar la Successió de Fibonacci F0+1 sota l'original, desplaçar la còpia Fa+b m posicions, de manera que el membre Fa+bn+m se situï sota el membre F0+1n, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels que s'hagin quedat orfes. Veiem-ho, com abans, per a les fibonaccianes centrals m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3. En primer lloc l'ordenacio numérica seguida de la Successió de Fibonacci F0+1 en negreta, com de costum; en tercer lloc, la copia Famb desplaçada i escapçada, també en negreta, i en quart lloc, la fibonacciana resultant de sumar les dues anteriors, membre a membre:

      ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
      ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
      ·······3···5···8··13··21··34···55················
      ··3····4···6··10··16··26··42···68················

      ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
      ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
      ·······2···3···5···8··13··21···34···55···········
      ··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········

      ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
      ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
      ·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
      ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······

      ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
      ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
      ·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
      ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·

      ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
      ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
      ·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
      ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·

      ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
      ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
      ···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
      ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·

      ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
      ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
      ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
      ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 21/04/2024 a les 13:52
    En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i,
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 21/04/2024 a les 13:55
    En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i,
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 21/04/2024 a les 13:58
    En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i, si després de la migdiada estava d'humor,
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 21/04/2024 a les 15:13
    En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i, si després de la migdiada estava d'humor, meditaria sobre el que havíem fet, per veure si en treia conclusions. Si li anava bé, l'endemà al matí tornaria a passar.

    Així ho vaig fer i, només obrir-me la porta, Lluís em preguntà si les meves cavil·lacions havien estat profitoses. Ja a l'estudi, mentre connectava el pendrive al seu portàtil, vaig contestar, fent-me el misteriós:

    —Bé, segons com es miri... He anat fent proves que m'han reafirmat en allò que ahir intuíem: que hi ha molts camins per construir una fibonacciana a partir de la Successió de Fibonacci F0+1, però no sé si val la pena que t'ho comenti...

    —Home, és clar que sí. Ara no em deixaràs amb la mel a la boca...

    —Bé, doncs centrant-nos en la sèrie de vint fibonaccianes d'ahir, de generació Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m, la primera cosa a destacar seria que el seu aspecte és, en general, bastant irrellevant a l'hora de deduir-ne la procedència. Limitant-nos a les set centrals F4+6, F3+4, F2+3, F2+2, F1+2, F1+3 i F2+4, és a dir, a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3: F1+2 (m = -1) resultaria d'escapçar els dos primers membres de la Successió de Fibonacci, i F2+3 (m = 1) d'escapçar els tres primers; F2+2 (m = 0) resultaria d'escapçar el primer membre, F2+4 (m = -3) d'escapçar els dos primers i F4,6 (m = 3) d'escapçar els tres primers, multiplicant la resta per 2 en tots tres casos; finalment, F1+3 (m = -2) no guarda cap semblança amb F0+1, i F3+4 (m = 2) resultaria de l'anterior escapçant el primer membre.

    —D'acord, però no deies que hi havia maneres diferents d'arribar a un mateix resultat?

    —Si, home, si no m'interromps te n'explicaré uns quants. Un mètode alternatiu als que t'acabo d'explicar i que permet obtenir ràpidament aquestes successions, com si encara no haguéssim descobert que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials, consistiria a copiar la Successió de Fibonacci F0+1 sota l'original, desplaçar la còpia Fa+b m posicions, de manera que el membre Fa+bn+m se situï sota el membre F0+1n,
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 21/04/2024 a les 15:27
    En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i, si després de la migdiada estava d'humor, meditaria sobre el que havíem fet, per veure si en treia conclusions. Si li anava bé, l'endemà al matí tornaria a passar.

    Així ho vaig fer i, només obrir-me la porta, Lluís em preguntà si les meves cavil·lacions havien estat profitoses. Ja a l'estudi, mentre connectava el pendrive al seu portàtil, vaig contestar, fent-me el misteriós:

    —Bé, segons com es miri... He anat fent proves que m'han reafirmat en allò que ahir intuíem: que hi ha molts camins per construir una fibonacciana a partir de la Successió de Fibonacci F0+1, però no sé si val la pena que t'ho comenti...

    —Home, és clar que sí. Ara no em deixaràs amb la mel a la boca...

    —Bé, doncs centrant-nos en la sèrie de vint fibonaccianes d'ahir, de generació Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m, la primera cosa a destacar seria que el seu aspecte és, en general, bastant irrellevant a l'hora de deduir-ne la procedència. Limitant-nos a les set centrals, F4+6, F3+4, F2+3, F2+2, F1+2, F1+3 i F2+4, és a dir, a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3: F1+2 (m = -1) resultaria d'escapçar els dos primers membres de la Successió de Fibonacci, i F2+3 (m = 1) d'escapçar els tres primers; F2+2 (m = 0) resultaria d'escapçar el primer membre, F2+4 (m = -3) d'escapçar els dos primers i F4,6 (m = 3) d'escapçar els tres primers, multiplicant la resta per 2 en tots tres casos; finalment, F1+3 (m = -2) no guarda cap semblança amb F0+1, i F3+4 (m = 2) resultaria de l'anterior escapçant el primer membre.

    —D'acord, però no deies que hi havia maneres diferents d'arribar a un mateix resultat?

    —Si, home, si no m'interromps te n'explicaré uns quants. Un mètode alternatiu als que t'acabo d'explicar i que permet obtenir ràpidament aquestes successions, com si encara no haguéssim descobert que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials, consistiria a copiar la Successió de Fibonacci F0+1 sota l'original, desplaçar la còpia Fa+b m posicions, de manera que el membre Fa+bn+m se situï sota el membre F0+1n,
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 21/04/2024 a les 15:36
    En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i, si després de la migdiada estava d'humor, meditaria sobre el que havíem fet, per veure si en treia conclusions. Si li anava bé, l'endemà al matí tornaria a passar.

    Així ho vaig fer i, només obrir-me la porta, Lluís em preguntà si les meves cavil·lacions havien estat profitoses. Ja a l'estudi, mentre connectava el pendrive al seu portàtil, vaig contestar, fent-me el misteriós:

    —Bé, segons com es miri... He anat fent proves que m'han reafirmat en allò que ahir intuíem: que hi ha molts camins per construir una fibonacciana a partir de la Successió de Fibonacci F0+1, però no sé si val la pena que t'ho comenti...

    —Home, és clar que sí. Ara no em deixaràs amb la mel a la boca...

    —Bé, doncs centrant-nos en la sèrie de vint fibonaccianes d'ahir, de generació Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m, la primera cosa a destacar seria que el seu aspecte és, en general, bastant irrellevant a l'hora de deduir-ne la procedència. Limitant-nos a les set centrals, F4+6, F3+4, F2+3, F2+2, F1+2, F1+3 i F2+4, és a dir, a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3: F1+2 (m = -1) resultaria d'escapçar els dos primers membres de la Successió de Fibonacci, i F2+3 (m = 1) d'escapçar els tres primers; F2+2 (m = 0) resultaria d'escapçar el primer membre, F2+4 (m = -3) d'escapçar els dos primers i F4,6 (m = 3) d'escapçar els tres primers, multiplicant la resta per 2 en tots tres casos; finalment, F1+3 (m = -2) no guarda cap semblança amb F0+1, i F3+4 (m = 2) resultaria de l'anterior escapçant el primer membre.

    —D'acord, però no deies que hi havia maneres diferents d'arribar a un mateix resultat?

    —Si, home, si no m'interromps te n'explicaré uns quants. Un mètode alternatiu als que t'acabo d'explicar i que permet obtenir ràpidament aquestes successions, com si encara no haguéssim descobert que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials, consistiria a copiar la Successió de Fibonacci F0+1 sota l'original, desplaçar la còpia Fa+b m posicions, de manera que el membre Fa+bn+m se situï sota el membre F0+1n, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels que s'hagin quedat orfes. Veiem-ho, com abans, per a les fibonaccianes centrals m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3. En primer lloc l'ordenacio numérica seguida de la Successió de Fibonacci F0+1 en negreta, com de costum; en tercer lloc, la copia Famb desplaçada i escapçada, també en negreta, i en quart lloc, la fibonacciana resultant de sumar les dues anteriors, membre a membre:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······3···5···8··13··21··34···55················
    ··3····4···6··10··16··26··42···68················

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······2···3···5···8··13··21···34···55···········
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·

  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 21/04/2024 a les 15:44
    En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i, si després de la migdiada estava d'humor, meditaria sobre el que havíem fet, per veure si en treia conclusions. Si li anava bé, l'endemà al matí tornaria a passar.

    Així ho vaig fer i, només obrir-me la porta, Lluís em preguntà si les meves cavil·lacions havien estat profitoses. Ja a l'estudi, mentre connectava el pendrive al seu portàtil, vaig contestar, fent-me el misteriós:

    —Bé, segons com es miri... He anat fent proves que m'han reafirmat en allò que ahir intuíem: que hi ha molts camins per construir una fibonacciana a partir de la Successió de Fibonacci F0+1, però no sé si val la pena que t'ho comenti...

    —Home, és clar que sí. Ara no em deixaràs amb la mel a la boca...

    —Bé, doncs centrant-nos en la sèrie de vint fibonaccianes d'ahir, de generació Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m, la primera cosa a destacar seria que el seu aspecte és, en general, bastant irrellevant a l'hora de deduir-ne la procedència. Limitant-nos a les set centrals, F4+6, F3+4, F2+3, F2+2, F1+2, F1+3 i F2+4, és a dir, a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3: F1+2 (m = -1) resultaria d'escapçar els dos primers membres de la Successió de Fibonacci, i F2+3 (m = 1) d'escapçar els tres primers; F2+2 (m = 0) resultaria d'escapçar el primer membre, F2+4 (m = -3) d'escapçar els dos primers i F4,6 (m = 3) d'escapçar els tres primers, multiplicant la resta per 2 en tots tres casos; finalment, F1+3 (m = -2) no guarda cap semblança amb F0+1, i F3+4 (m = 2) resultaria de l'anterior escapçant el primer membre.

    —D'acord, però no deies que hi havia maneres diferents d'arribar a un mateix resultat?

    —Si, home, si no m'interromps te n'explicaré uns quants. Un mètode alternatiu als que t'acabo d'explicar i que permet obtenir ràpidament aquestes successions, com si encara no haguéssim descobert que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials, consistiria a copiar la Successió de Fibonacci F0+1 sota l'original, desplaçar la còpia Fa+b m posicions, de manera que el membre Fa+bn+m se situï sota el membre F0+1n, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels que s'hagin quedat orfes. Veiem-ho, com abans, per a les fibonaccianes centrals m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3. En primer lloc l'ordenacio numérica seguida de la Successió de Fibonacci F0+1 en negreta, com de costum; en tercer lloc, la copia Famb desplaçada i escapçada, també en negreta, i en quart lloc, la fibonacciana resultant de sumar les dues anteriors, membre a membre:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······3···5···8··13··21··34···55················
    ··3····4···6··10··16··26··42···68················

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······2···3···5···8··13··21···34···55···········
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·

  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 21/04/2024 a les 15:52
    En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i, si després de la migdiada estava d'humor, meditaria sobre el que havíem fet, per veure si en treia conclusions. Si li anava bé, l'endemà al matí tornaria a passar.

    Així ho vaig fer i, només obrir-me la porta, Lluís em preguntà si les meves cavil·lacions havien estat profitoses. Ja a l'estudi, mentre connectava el pendrive al seu portàtil, vaig contestar, fent-me el misteriós:

    —Bé, segons com es miri... He anat fent proves que m'han reafirmat en allò que ahir intuíem: que hi ha molts camins per construir una fibonacciana a partir de la Successió de Fibonacci F0+1, però no sé si val la pena que t'ho comenti...

    —Home, és clar que sí. Ara no em deixaràs amb la mel a la boca...

    —Bé, doncs centrant-nos en la sèrie de vint fibonaccianes d'ahir, de generació Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m, la primera cosa a destacar seria que el seu aspecte és, en general, bastant irrellevant a l'hora de deduir-ne la procedència. Limitant-nos a les set centrals, F4+6, F3+4, F2+3, F2+2, F1+2, F1+3 i F2+4, és a dir, a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3: F1+2 (m = -1) resultaria d'escapçar els dos primers membres de la Successió de Fibonacci, i F2+3 (m = 1) d'escapçar els tres primers; F2+2 (m = 0) resultaria d'escapçar el primer membre, F2+4 (m = -3) d'escapçar els dos primers i F4,6 (m = 3) d'escapçar els tres primers, multiplicant la resta per 2 en tots tres casos; finalment, F1+3 (m = -2) no guarda cap semblança amb F0+1, i F3+4 (m = 2) resultaria de l'anterior escapçant el primer membre.

    —D'acord, però no deies que hi havia maneres diferents d'arribar a un mateix resultat?

    —Si, home, si no m'interromps te n'explicaré uns quants. Un mètode alternatiu als que t'acabo d'explicar i que permet obtenir ràpidament aquestes successions, com si encara no haguéssim descobert que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials, consistiria a copiar la Successió de Fibonacci F0+1 sota l'original, desplaçar la còpia Fa+b m posicions, de manera que el membre Fa+bn+m se situï sota el membre F0+1n, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels que s'hagin quedat orfes. Veiem-ho, com abans, per a les fibonaccianes centrals m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3. En primer lloc l'ordenacio numérica seguida de la Successió de Fibonacci F0+1 en negreta, com de costum; en tercer lloc, la copia Famb desplaçada i escapçada, també en negreta, i en quart lloc, la fibonacciana resultant de sumar les dues anteriors, membre a membre:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······3···5···8··13··21··34···55················
    ··3····4···6··10··16··26··42···68················

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······2···3···5···8··13··21···34···55···········
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·

  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 21/04/2024 a les 15:58
    En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i, si després de la migdiada estava d'humor, meditaria sobre el que havíem fet, per veure si en treia conclusions. Si li anava bé, l'endemà al matí tornaria a passar.

    Així ho vaig fer i, només obrir-me la porta, Lluís em preguntà si les meves cavil·lacions havien estat profitoses. Ja a l'estudi, mentre connectava el pendrive al seu portàtil, vaig contestar, fent-me el misteriós:

    —Bé, segons com es miri... He anat fent proves que m'han reafirmat en allò que ahir intuíem: que hi ha molts camins per construir una fibonacciana a partir de la Successió de Fibonacci F0+1, però no sé si val la pena que t'ho comenti...

    —Home, és clar que sí. Ara no em deixaràs amb la mel a la boca...

    —Bé, doncs centrant-nos en la sèrie de vint fibonaccianes d'ahir, de generació Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m, la primera cosa a destacar seria que el seu aspecte és, en general, bastant irrellevant a l'hora de deduir-ne la procedència. Limitant-nos a les set centrals, F4+6, F3+4, F2+3, F2+2, F1+2, F1+3 i F2+4, és a dir, a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3: F1+2 (m = -1) resultaria d'escapçar els dos primers membres de la Successió de Fibonacci, i F2+3 (m = 1) d'escapçar els tres primers; F2+2 (m = 0) resultaria d'escapçar el primer membre, F2+4 (m = -3) d'escapçar els dos primers i F4,6 (m = 3) d'escapçar els tres primers, multiplicant la resta per 2 en tots tres casos; finalment, F1+3 (m = -2) no guarda cap semblança amb F0+1, i F3+4 (m = 2) resultaria de l'anterior escapçant el primer membre.

    —D'acord, però no deies que hi havia maneres diferents d'arribar a un mateix resultat?

    —Si, home, si no m'interromps te n'explicaré uns quants. Un mètode alternatiu als que t'acabo d'explicar i que permet obtenir ràpidament aquestes successions, com si encara no haguéssim descobert que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials, consistiria a copiar la Successió de Fibonacci F0+1 sota l'original, desplaçar la còpia Fa+b m posicions, de manera que el membre Fa+bn+m se situï sota el membre F0+1n, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels que s'hagin quedat orfes. Veiem-ho, com abans, per a les fibonaccianes centrals m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3. En primer lloc l'ordenacio numérica seguida de la Successió de Fibonacci F0+1 en negreta, com de costum; en tercer lloc, la copia Famb desplaçada i escapçada, també en negreta, i en quart lloc, la fibonacciana resultant de sumar les dues anteriors, membre a membre:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······3···5···8··13··21··34···55················
    ··3····4···6··10··16··26··42···68················

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······2···3···5···8··13··21···34···55···········
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    • RE: RE: Això és una prova.
      Joan Colom | 22/04/2024 a les 18:02
      —Molt rebé, Joan. Alguna cosa més?

      —Sí: que la principal propietat de la Successió de Fibonacci —que el quocient entre membres consecutius F0+1n i F0+1n-1 convergeix cap a la proporció àuria, φ = 1,618034..., s'acompleix en les fibonaccianes...

      —Vols dir? Centrant-nos en les que m'ensenyaves fa un moment, que l'acompleixin fibonaccianes com F2+4, F1+2, F2+2, F2+3 o F4+6 (m = -3, -1, 0, 1 o 3), on és fàcil veure que procedeixen de manipular la Successió de Fibonacci F0+1 ,encara ho entenc, però aquelles que no s'hi assemblen gens, com F1+3 o F3+4 (m = -2 o 2) no ho acabo de veure.

      —Fixa-t'hi: tu mateix acabes d'acceptar implícitament que aquestes dues últimes també procedeixen de F0+1, encara que no s'hi assemblin gens. I és que, com veuràs d'aquí un moment, fins i tot aquelles fiboaccianes que s'han estat muntades de manera independent, amb dos primers membres qualssevol, poden construir-se a partir de F0+1, per escapçament, producte per un nombre i suma membre a membre. Però abans vull parlar precisament d'aquestes tres operacions, ja conegudes perquè les hem utilitzat àmpliament. I, per no fer-ho massa llarg, repetint sempre "la Successió de Fibonacci i, en general, qualsevol altra successió fibonacciana...", d'ara endavant em limitaré a dir "qualsevol fibonacciana...", ja que la Successió de Fibonacci no és més que una fibonacciana que comença per 0 i 1: la fibonacciana F0+1. D'acord? Doncs vinga, pren nota d'aquestes tres propietats:

      1) Escapçant qualsevol fibonacciana obtindrem una altra fibonacciana.

      2) Multiplicant els membres de qualsevol fibonacciana per un enter positiu obtindrem una altra fibonacciana.

      3) Sumant ordenadament els membres de dues fibonaccianes obtindrem una altra fibonacciana.

      Ja es comprèn que aquestes manipulacions poden combinar-se i repetir-se ad infinitum.

      —Ja està?

      —Una última cosa, per rematar, i ja pots cridar la Carme que es vagi arreglant per anar a dinar. De vegades pot interessar conèixer l'n-èsim membre d'una fibonacciana Fa+b sense haver de calcular recursivament tota la seqüència de membres precedents: per exemple, quan no disposem d'un dispositiu programable i n és elevat. Aquests últims dies se m'ha ocorregut un mètode senzill per calcular directament aquest valor: només necessitem conèixer els dos primers membres, n0 = a i n1 = b, i tenir a mà una llista prou llarga de nombres de Fibonacci —a Internet trobaràs fàcilment llistes de fins a 300 nombres— o obtenir els valors (n-1)-èsim i n-èsim amb la fórmula de Binet —que trobaràs a l'article "Nombres de Fibonacci" de la Viquipèdia—. A més, a cavall de la justificació d'aquest mètode, veurem que els membres d'una fibonacciana qualsevol Fa+b es poden expressar com la suma dels productes de dos enters per sengles successions de Fibonacci F0+1 escapçades. (Per cert, havent mencionat la fórmula de Binet, on crec recordar que hi surt una arrel quadrada de cinc, ens hauríem de posar d'acord sobre com representem, si és donés el cas, les arrels quadrades: mentre ens ho maneguem tu i jo a llapis no hi ha problema, però si hem d'imprimir-ho haurem de buscar la manera de com donar continuïtat al símbol √, amb una línia horitzontal elevada que doni cobertura a la base.)

      A partir dels elements inicials Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, formem la fibonacciana Fa+b:

      Fa+b2 = Fa+b0 + Fa+b1 = a + b
      Fa+b3 = Fa+b1 + Fa+b2 = a + 2b
      Fa+b4 = Fa+b2 + Fa+b3 = 2a + 3b
      Fa+b5 = Fa+b3 + Fa+b4 = 3a + 5b
      Fa+b6 = Fa+b4 + Fa+b5 = 5a + 8b
      Fa+b7 = Fa+b5 + Fa+b6 = 8a + 13b
      Fa+b8 = Fa+b6 + Fa+b7 = 13a + 21b
      ·································
      Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n

      Perquè vegis que la fórmula funciona, calculem, per exemple, el membre novè de la fibonacciana F7+11 (n = 9, a = 7 i b = 11):

      n·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
      F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
      F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·

      F7+11 = 7·21 + 11·34 = 147 + 374 = 521

      I ara tornem a les set expressions Fa+b2 a Fa+b8 per fixar-nos en els tercers membres de les igualtats, que són binomis: els primers termes són els productes de l'enter a per uns membres de la fibonacciana F1+1 (F0+1 amb el membre 0 escapçat) i els segons són els productes de l'enter b per uns altres membres de la fibonacciana F1+2 (F0+1 amb els membres 0 i 1 escapçats), avançats una posició respecte els primers. Dit d'una altra manera, els termes de la primera columna són els productes de la constant a pels coeficients 1, 1, 2, 3, 5, 8 i 13, i els de la segona columna són els productes de la constant b pels coeficients 1, 2, 3, 5, 8, 13 i 21.

      Fixa't que cada coeficient de la segona columna F0+1n té l'immediat inferior F0+1n-1 repetit damunt (el coeficient precedent, en la mateixa columna) i a l'esquerra (el coeficient de la primera columna). Vull dir que, prenent per exemple l'element 8b de la segona columna, a sobre hi té 5b i a l'esquerra 5a, i que, en ser aquests coeficients nombres consecutius de versions escapçades de la Successió de Fibonacci, 8/5 = 1,6 ≈ 1,618034... = φ. Provant-ho amb nombres consecutius més elevats, com 13/8 = 1,625 o 21/13 = 1,615385..., veureu que l'aproximació a la proporció àuria és cada cop més gran. Però, sabent que F0+1n/F0+1n-1 ≈ φ, el que volem esbrinar és si també tot Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ φ.

      D'una banda: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n ≈ aF0+1n-1 + φbF0+1n-1 = F0+1n-1(a + φb)

      De l'altra: Fa+bn-1 = Fa+bn-3 + Fa+bn-2 = aF0+1n-2 + bF0+1n-1 ≈ aF0+1n-2 + φbF0+1n-2 = F0+1n-2(a + φb)

      Substituint aquestes equivalències: Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ F0+1n-1(a + φb)/F0+1n-2(a + φb) = F0+1n-1/F0+1n-2 ≈ φ

      És a dir, que el quocient entre membres consecutius de qualsevol successió fibonaccioana Fa+b tendeix a la proporció àuria φ, com el de la Successió de Fibonacci F0+1. D'acord?

      —Si, home. Però després d'aquest patracol, què deixes per a mi? —exclamà Lluís, amb posat abatut i veu compungida.

      —No t'amoïnis, que també havia pensat amb els teus deures... Vols que te'ls expliqui ara o ho deixem per després de dinar, mentre prenem cafè i copa?

      —Res de deixar-ho per després de dinar, que si ens sent la Carme pensarà que estem bojos. Digues-m'ho ara i així en prendré nota perquè no se m'oblidi.

      —Doncs mira, no cal que t'apuntis res, perquè és molt senzill d'entendre: ara que sabem construir una fibonacciana a partir dels dos primers membres, i també obtenir-la d'altres fibonaccianes mitjançant les operacions que hem descrit, no aniria malament definir una fibonacciana a partir de dos membres qualssevol. Vols pensar-t'ho?

      —Bé, suposo que no deus voler únicament que m'ho pensi, sinó que arribi a uns resultats, a uns procediments d'actuació, no?

      —És clar, Lluís. Tampoc crec que costi tant. En fi, tu mateix...

      —D'acord, doncs. Recullo el guant i em comprometo a tenir resultats abans d'una setmana.

      —Tranquil, no cal exagerar... Recorda la dita italiana: "piano, piano, si va lontano".

  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 22/04/2024 a les 18:26
    —Molt rebé, Joan. Alguna cosa més?

    —Sí: que la principal propietat de la Successió de Fibonacci —que el quocient entre membres consecutius F0+1n i F0+1n-1 convergeix cap a la proporció àuria, φ = 1,618034..., s'acompleix en les fibonaccianes...

    —Vols dir? Centrant-nos en les que m'ensenyaves fa un moment, que l'acompleixin fibonaccianes com F2+4, F1+2, F2+2, F2+3 o F4+6 (m = -3, -1, 0, 1 o 3), on és fàcil veure que procedeixen de manipular la Successió de Fibonacci F0+1, encara ho entenc, però aquelles que no s'hi assemblen gens, com F1+3 o F3+4 (m = -2 o 2) no ho acabo de veure.

    —Fixa-t'hi: tu mateix acabes d'acceptar implícitament que aquestes dues últimes també procedeixen de F0+1, encara que no s'hi assemblin gens. I és que, com veuràs d'aquí un moment, fins i tot aquelles fiboaccianes que s'han estat muntades de manera independent, amb dos primers membres qualssevol, poden construir-se a partir de F0+1, per escapçament, producte per un nombre i suma membre a membre. Però abans vull parlar precisament d'aquestes tres operacions, ja conegudes perquè les hem utilitzat àmpliament. I, per no fer-ho massa llarg, repetint sempre "la Successió de Fibonacci i, en general, qualsevol altra successió fibonacciana...", d'ara endavant em limitaré a dir "qualsevol fibonacciana...", ja que la Successió de Fibonacci no és més que una fibonacciana que comença per 0 i 1: la fibonacciana F0+1. D'acord? Doncs vinga, pren nota d'aquestes tres propietats:

    1) Escapçant qualsevol fibonacciana obtindrem una altra fibonacciana.

    2) Multiplicant els membres de qualsevol fibonacciana per un enter positiu obtindrem una altra fibonacciana.

    3) Sumant ordenadament els membres de dues fibonaccianes obtindrem una altra fibonacciana.

    Ja es comprèn que aquestes manipulacions poden combinar-se i repetir-se ad infinitum.

    —Ja està?

    —Una última cosa, per rematar, i ja pots cridar la Carme que es vagi arreglant per anar a dinar. De vegades pot interessar conèixer l'n-èsim membre d'una fibonacciana Fa+b sense haver de calcular recursivament tota la seqüència de membres precedents: per exemple, quan no disposem d'un dispositiu programable i n és elevat. Aquests últims dies se m'ha ocorregut un mètode senzill per calcular directament aquest valor: només necessitem conèixer els dos primers membres, n0 = a i n1 = b, i tenir a mà una llista prou llarga de nombres de Fibonacci —a Internet trobaràs fàcilment llistes de fins a 300 nombres— o obtenir els valors (n-1)-èsim i n-èsim amb la fórmula de Binet —que trobaràs a l'article "Nombres de Fibonacci" de la Viquipèdia—. A més, a cavall de la justificació d'aquest mètode, veurem que els membres d'una fibonacciana qualsevol Fa+b es poden expressar com la suma dels productes de dos enters per sengles successions de Fibonacci F0+1 escapçades. (Per cert, havent mencionat la fórmula de Binet, on crec recordar que hi surt una arrel quadrada de cinc, ens hauríem de posar d'acord sobre com representem, si és donés el cas, les arrels quadrades: mentre ens ho maneguem tu i jo a llapis no hi ha problema, però si hem d'imprimir-ho haurem de buscar la manera de com donar continuïtat al símbol , amb una línia horitzontal elevada que doni cobertura a la base.)

    A partir dels elements inicials Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, formem la fibonacciana Fa+b:

    Fa+b2 = Fa+b0 + Fa+b1 = a + b
    Fa+b3 = Fa+b1 + Fa+b2 = a + 2b
    Fa+b4 = Fa+b2 + Fa+b3 = 2a + 3b
    Fa+b5 = Fa+b3 + Fa+b4 = 3a + 5b
    Fa+b6 = Fa+b4 + Fa+b5 = 5a + 8b
    Fa+b7 = Fa+b5 + Fa+b6 = 8a + 13b
    Fa+b8 = Fa+b6 + Fa+b7 = 13a + 21b
    ·································
    Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n

    Perquè vegis que la fórmula funciona, calculem, per exemple, el membre novè de la fibonacciana F7+11 (n = 9, a = 7 i b = 11):

    n·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·

    F7+11 = 7·21 + 11·34 = 147 + 374 = 521

    I ara tornem a les set expressions Fa+b2 a Fa+b8 per fixar-nos en els tercers membres de les igualtats, que són binomis: els primers termes són els productes de l'enter a per uns membres de la fibonacciana F1+1 (F0+1 amb el membre 0 escapçat) i els segons són els productes de l'enter b per uns altres membres de la fibonacciana F1+2 (F0+1 amb els membres 0 i 1 escapçats), avançats una posició respecte els primers. Dit d'una altra manera, els termes de la primera columna són els productes de la constant a pels coeficients 1, 1, 2, 3, 5, 8 i 13, i els de la segona columna són els productes de la constant b pels coeficients 1, 2, 3, 5, 8, 13 i 21.

    Fixa't que cada coeficient de la segona columna F0+1n té l'immediat inferior F0+1n-1 repetit damunt (el coeficient precedent, en la mateixa columna) i a l'esquerra (el coeficient de la primera columna). Vull dir que, prenent per exemple l'element 8b de la segona columna, a sobre hi té 5b i a l'esquerra 5a, i que, en ser aquests coeficients nombres consecutius de versions escapçades de la Successió de Fibonacci, 8/5 = 1,6 ≈ 1,618034... = φ. Provant-ho amb nombres consecutius més elevats, com 13/8 = 1,625 o 21/13 = 1,615385..., veureu que l'aproximació a la proporció àuria és cada cop més gran. Però, sabent que F0+1n/F0+1n-1 ≈ φ, el que volem esbrinar és si també tot Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ φ.

    D'una banda: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n ≈ aF0+1n-1 + φbF0+1n-1 = F0+1n-1(a + φb)

    De l'altra: Fa+bn-1 = Fa+bn-3 + Fa+bn-2 = aF0+1n-2 + bF0+1n-1 ≈ aF0+1n-2 + φbF0+1n-2 = F0+1n-2(a + φb)

    Substituint aquestes equivalències: Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ F0+1n-1(a + φb)/F0+1n-2(a + φb) = F0+1n-1/F0+1n-2 ≈ φ

    És a dir, que el quocient entre membres consecutius de qualsevol successió fibonaccioana Fa+b tendeix a la proporció àuria φ, com el de la Successió de Fibonacci F0+1. D'acord?

    —Si, home. Però després d'aquest patracol, què deixes per a mi? —exclamà Lluís, amb posat abatut i veu compungida.

    —No t'amoïnis, que també havia pensat amb els teus deures... Vols que te'ls expliqui ara o ho deixem per després de dinar, mentre prenem cafè i copa?

    —Res de deixar-ho per després de dinar, que si ens sent la Carme pensarà que estem bojos. Digues-m'ho ara i així en prendré nota perquè no se m'oblidi.

    —Doncs mira, no cal que t'apuntis res, perquè és molt senzill d'entendre: ara que sabem construir una fibonacciana a partir dels dos primers membres, i també obtenir-la d'altres fibonaccianes mitjançant les operacions que hem descrit, no aniria malament definir una fibonacciana a partir de dos membres qualssevol. Vols pensar-t'ho?

    —Bé, suposo que no deus voler únicament que m'ho pensi, sinó que arribi a uns resultats, a uns procediments d'actuació, no?

    —És clar, Lluís. Tampoc crec que costi tant. En fi, tu mateix...

    —D'acord, doncs. Recullo el guant i em comprometo a tenir resultats abans d'una setmana.

    —Tranquil, no cal exagerar... Recorda la dita italiana: "piano, piano, si va lontano".
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 22/04/2024 a les 18:37
    —Molt rebé, Joan. Alguna cosa més?

    —Sí: que la principal propietat de la Successió de Fibonacci —que el quocient entre membres consecutius F0+1n i F0+1n-1 convergeix cap a la proporció àuria, φ = 1,618034..., s'acompleix en les fibonaccianes...

    —Vols dir? Centrant-nos en les que m'ensenyaves fa un moment, que l'acompleixin fibonaccianes com F2+4, F1+2, F2+2, F2+3 o F4+6 (m = -3, -1, 0, 1 o 3), on és fàcil veure que procedeixen de manipular la Successió de Fibonacci F0+1, encara ho entenc, però aquelles que no s'hi assemblen gens, com F1+3 o F3+4 (m = -2 o 2) no ho acabo de veure.

    —Fixa-t'hi: tu mateix acabes d'acceptar implícitament que aquestes dues últimes també procedeixen de F0+1, encara que no s'hi assemblin gens. I és que, com veuràs d'aquí un moment, fins i tot aquelles fiboaccianes que s'han estat muntades de manera independent, amb dos primers membres qualssevol, poden construir-se a partir de F0+1, per escapçament, producte per un nombre i suma membre a membre. Però abans vull parlar precisament d'aquestes tres operacions, ja conegudes perquè les hem utilitzat àmpliament. I, per no fer-ho massa llarg, repetint sempre "la Successió de Fibonacci i, en general, qualsevol altra successió fibonacciana...", d'ara endavant em limitaré a dir "qualsevol fibonacciana...", ja que la Successió de Fibonacci no és més que una fibonacciana que comença per 0 i 1: la fibonacciana F0+1. D'acord? Doncs vinga, pren nota d'aquestes tres propietats:

    1) Escapçant qualsevol fibonacciana obtindrem una altra fibonacciana.

    2) Multiplicant els membres de qualsevol fibonacciana per un enter positiu obtindrem una altra fibonacciana.

    3) Sumant ordenadament els membres de dues fibonaccianes obtindrem una altra fibonacciana.

    Ja es comprèn que aquestes manipulacions poden combinar-se i repetir-se ad infinitum.

    —Ja està?

    —Una última cosa, per rematar, i ja pots cridar la Carme que es vagi arreglant per anar a dinar. De vegades pot interessar conèixer l'n-èsim membre d'una fibonacciana Fa+b sense haver de calcular recursivament tota la seqüència de membres precedents: per exemple, quan no disposem d'un dispositiu programable i n és elevat. Aquests últims dies se m'ha ocorregut un mètode senzill per calcular directament aquest valor: només necessitem conèixer els dos primers membres, n0 = a i n1 = b, i tenir a mà una llista prou llarga de nombres de Fibonacci —a Internet trobaràs fàcilment llistes de fins a 300 nombres— o obtenir els valors (n-1)-èsim i n-èsim amb la fórmula de Binet —que trobaràs a l'article "Nombres de Fibonacci" de la Viquipèdia—. A més, a cavall de la justificació d'aquest mètode, veurem que els membres d'una fibonacciana qualsevol Fa+b es poden expressar com la suma dels productes de dos enters per sengles successions de Fibonacci F0+1 escapçades. (Per cert, havent mencionat la fórmula de Binet, on crec recordar que hi surt una arrel quadrada de cinc, ens hauríem de posar d'acord sobre com representem, si és donés el cas, les arrels quadrades: mentre ens ho maneguem tu i jo a llapis no hi ha problema, però si hem d'imprimir-ho haurem de buscar la manera de com donar continuïtat al símbol , amb una línia horitzontal elevada que doni cobertura a la base.)

    A partir dels elements inicials Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, formem la fibonacciana Fa+b:

    Fa+b2 = Fa+b0 + Fa+b1 = a + b
    Fa+b3 = Fa+b1 + Fa+b2 = a + 2b
    Fa+b4 = Fa+b2 + Fa+b3 = 2a + 3b
    Fa+b5 = Fa+b3 + Fa+b4 = 3a + 5b
    Fa+b6 = Fa+b4 + Fa+b5 = 5a + 8b
    Fa+b7 = Fa+b5 + Fa+b6 = 8a + 13b
    Fa+b8 = Fa+b6 + Fa+b7 = 13a + 21b
    ·································
    Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n

    Perquè vegis que la fórmula funciona, calculem, per exemple, el membre novè de la fibonacciana F7+11 (n = 9, a = 7 i b = 11):

    n·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·

    F7+11 = 7·21 + 11·34 = 147 + 374 = 521

    I ara tornem a les set expressions Fa+b2 a Fa+b8 per fixar-nos en els tercers membres de les igualtats, que són binomis: els primers termes són els productes de l'enter a per uns membres de la fibonacciana F1+1 (F0+1 amb el membre 0 escapçat) i els segons són els productes de l'enter b per uns altres membres de la fibonacciana F1+2 (F0+1 amb els membres 0 i 1 escapçats), avançats una posició respecte els primers. Dit d'una altra manera, els termes de la primera columna són els productes de la constant a pels coeficients 1, 1, 2, 3, 5, 8 i 13, i els de la segona columna són els productes de la constant b pels coeficients 1, 2, 3, 5, 8, 13 i 21.

    Fixa't que cada coeficient de la segona columna F0+1n té l'immediat inferior F0+1n-1 repetit damunt (el coeficient precedent, en la mateixa columna) i a l'esquerra (el coeficient de la primera columna). Vull dir que, prenent per exemple l'element 8b de la segona columna, a sobre hi té 5b i a l'esquerra 5a, i que, en ser aquests coeficients nombres consecutius de versions escapçades de la Successió de Fibonacci, 8/5 = 1,6 ≈ 1,618034... = φ. Provant-ho amb nombres consecutius més elevats, com 13/8 = 1,625 o 21/13 = 1,615385..., veureu que l'aproximació a la proporció àuria és cada cop més gran. Però, sabent que F0+1n/F0+1n-1 ≈ φ, el que volem esbrinar és si també tot Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ φ.

    D'una banda: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n ≈ aF0+1n-1 + φbF0+1n-1 = F0+1n-1(a + φb)

    De l'altra: Fa+bn-1 = Fa+bn-3 + Fa+bn-2 = aF0+1n-2 + bF0+1n-1 ≈ aF0+1n-2 + φbF0+1n-2 = F0+1n-2(a + φb)

    Substituint aquestes equivalències: Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ F0+1n-1(a + φb)/F0+1n-2(a + φb) = F0+1n-1/F0+1n-2 ≈ φ

    És a dir, que el quocient entre membres consecutius de qualsevol successió fibonaccioana Fa+b tendeix a la proporció àuria φ, com el de la Successió de Fibonacci F0+1. D'acord?

    —Si, home. Però després d'aquest patracol, què deixes per a mi? —exclamà Lluís, amb posat abatut i veu compungida.

    —No t'amoïnis, que també havia pensat amb els teus deures... Vols que te'ls expliqui ara o ho deixem per després de dinar, mentre prenem cafè i copa?

    —Res de deixar-ho per després de dinar, que si ens sent la Carme pensarà que estem bojos. Digues-m'ho ara i així en prendré nota perquè no se m'oblidi.

    —Doncs mira, no cal que t'apuntis res, perquè és molt senzill d'entendre: ara que sabem construir una fibonacciana a partir dels dos primers membres, i també obtenir-la d'altres fibonaccianes mitjançant les operacions que hem descrit, no aniria malament definir una fibonacciana a partir de dos membres qualssevol. Vols pensar-t'ho?

    —Bé, suposo que no deus voler únicament que m'ho pensi, sinó que arribi a uns resultats, a uns procediments d'actuació, no?

    —És clar, Lluís. Tampoc crec que costi tant. En fi, tu mateix...

    —D'acord, doncs. Recullo el guant i em comprometo a tenir resultats abans d'una setmana.

    —Tranquil, no cal exagerar... Recorda la dita italiana: "piano, piano, si va lontano".

  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 22/04/2024 a les 18:39
    —Molt rebé, Joan. Alguna cosa més?

    —Sí: que la principal propietat de la Successió de Fibonacci —que el quocient entre membres consecutius F0+1n i F0+1n-1 convergeix cap a la proporció àuria, φ = 1,618034..., s'acompleix en les fibonaccianes...

    —Vols dir? Centrant-nos en les que m'ensenyaves fa un moment, que l'acompleixin fibonaccianes com F2+4, F1+2, F2+2, F2+3 o F4+6 (m = -3, -1, 0, 1 o 3), on és fàcil veure que procedeixen de manipular la Successió de Fibonacci F0+1, encara ho entenc, però aquelles que no s'hi assemblen gens, com F1+3 o F3+4 (m = -2 o 2) no ho acabo de veure.

    —Fixa-t'hi: tu mateix acabes d'acceptar implícitament que aquestes dues últimes també procedeixen de F0+1, encara que no s'hi assemblin gens. I és que, com veuràs d'aquí un moment, fins i tot aquelles fiboaccianes que s'han estat muntades de manera independent, amb dos primers membres qualssevol, poden construir-se a partir de F0+1, per escapçament, producte per un nombre i suma membre a membre. Però abans vull parlar precisament d'aquestes tres operacions, ja conegudes perquè les hem utilitzat àmpliament. I, per no fer-ho massa llarg, repetint sempre "la Successió de Fibonacci i, en general, qualsevol altra successió fibonacciana...", d'ara endavant em limitaré a dir "qualsevol fibonacciana...", ja que la Successió de Fibonacci no és més que una fibonacciana que comença per 0 i 1: la fibonacciana F0+1. D'acord? Doncs vinga, pren nota d'aquestes tres propietats:

    1) Escapçant qualsevol fibonacciana obtindrem una altra fibonacciana.

    2) Multiplicant els membres de qualsevol fibonacciana per un enter positiu obtindrem una altra fibonacciana.

    3) Sumant ordenadament els membres de dues fibonaccianes obtindrem una altra fibonacciana.

    Ja es comprèn que aquestes manipulacions poden combinar-se i repetir-se ad infinitum.

    —Ja està?

    —Una última cosa, per rematar, i ja pots cridar la Carme que es vagi arreglant per anar a dinar. De vegades pot interessar conèixer l'n-èsim membre d'una fibonacciana Fa+b sense haver de calcular recursivament tota la seqüència de membres precedents: per exemple, quan no disposem d'un dispositiu programable i n és elevat. Aquests últims dies se m'ha ocorregut un mètode senzill per calcular directament aquest valor: només necessitem conèixer els dos primers membres, n0 = a i n1 = b, i tenir a mà una llista prou llarga de nombres de Fibonacci —a Internet trobaràs fàcilment llistes de fins a 300 nombres— o obtenir els valors (n-1)-èsim i n-èsim amb la fórmula de Binet —que trobaràs a l'article "Nombres de Fibonacci" de la Viquipèdia—. A més, a cavall de la justificació d'aquest mètode, veurem que els membres d'una fibonacciana qualsevol Fa+b es poden expressar com la suma dels productes de dos enters per sengles successions de Fibonacci F0+1 escapçades. (Per cert, havent mencionat la fórmula de Binet, on crec recordar que hi surt una arrel quadrada de cinc, ens hauríem de posar d'acord sobre com representem, si és donés el cas, les arrels quadrades: mentre ens ho maneguem tu i jo a llapis no hi ha problema, però si hem d'imprimir-ho haurem de buscar la manera de com donar continuïtat al símbol , amb una línia horitzontal elevada que doni cobertura a la base.)

    A partir dels elements inicials Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, formem la fibonacciana Fa+b:

    Fa+b2 = Fa+b0 + Fa+b1 = a + b
    Fa+b3 = Fa+b1 + Fa+b2 = a + 2b
    Fa+b4 = Fa+b2 + Fa+b3 = 2a + 3b
    Fa+b5 = Fa+b3 + Fa+b4 = 3a + 5b
    Fa+b6 = Fa+b4 + Fa+b5 = 5a + 8b
    Fa+b7 = Fa+b5 + Fa+b6 = 8a + 13b
    Fa+b8 = Fa+b6 + Fa+b7 = 13a + 21b
    ·································
    Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n

    Perquè vegis que la fórmula funciona, calculem, per exemple, el membre novè de la fibonacciana F7+11 (n = 9, a = 7 i b = 11):

    n·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·

    F7+11 = 7·21 + 11·34 = 147 + 374 = 521

    I ara tornem a les set expressions Fa+b2 a Fa+b8 per fixar-nos en els tercers membres de les igualtats, que són binomis: els primers termes són els productes de l'enter a per uns membres de la fibonacciana F1+1 (F0+1 amb el membre 0 escapçat) i els segons són els productes de l'enter b per uns altres membres de la fibonacciana F1+2 (F0+1 amb els membres 0 i 1 escapçats), avançats una posició respecte els primers. Dit d'una altra manera, els termes de la primera columna són els productes de la constant a pels coeficients 1, 1, 2, 3, 5, 8 i 13, i els de la segona columna són els productes de la constant b pels coeficients 1, 2, 3, 5, 8, 13 i 21.

    Fixa't que cada coeficient de la segona columna F0+1n té l'immediat inferior F0+1n-1 repetit damunt (el coeficient precedent, en la mateixa columna) i a l'esquerra (el coeficient de la primera columna). Vull dir que, prenent per exemple l'element 8b de la segona columna, a sobre hi té 5b i a l'esquerra 5a, i que, en ser aquests coeficients nombres consecutius de versions escapçades de la Successió de Fibonacci, 8/5 = 1,6 ≈ 1,618034... = φ. Provant-ho amb nombres consecutius més elevats, com 13/8 = 1,625 o 21/13 = 1,615385..., veureu que l'aproximació a la proporció àuria és cada cop més gran. Però, sabent que F0+1n/F0+1n-1 ≈ φ, el que volem esbrinar és si també tot Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ φ.

    D'una banda: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n ≈ aF0+1n-1 + φbF0+1n-1 = F0+1n-1(a + φb)

    De l'altra: Fa+bn-1 = Fa+bn-3 + Fa+bn-2 = aF0+1n-2 + bF0+1n-1 ≈ aF0+1n-2 + φbF0+1n-2 = F0+1n-2(a + φb)

    Substituint aquestes equivalències: Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ F0+1n-1(a + φb)/F0+1n-2(a + φb) = F0+1n-1/F0+1n-2 ≈ φ

    És a dir, que el quocient entre membres consecutius de qualsevol successió fibonaccioana Fa+b tendeix a la proporció àuria φ, com el de la Successió de Fibonacci F0+1. D'acord?

    —Si, home. Però després d'aquest patracol, què deixes per a mi? —exclamà Lluís, amb posat abatut i veu compungida.

    —No t'amoïnis, que també havia pensat amb els teus deures... Vols que te'ls expliqui ara o ho deixem per després de dinar, mentre prenem cafè i copa?

    —Res de deixar-ho per després de dinar, que si ens sent la Carme pensarà que estem bojos. Digues-m'ho ara i així en prendré nota perquè no se m'oblidi.

    —Doncs mira, no cal que t'apuntis res, perquè és molt senzill d'entendre: ara que sabem construir una fibonacciana a partir dels dos primers membres, i també obtenir-la d'altres fibonaccianes mitjançant les operacions que hem descrit, no aniria malament definir una fibonacciana a partir de dos membres qualssevol. Vols pensar-t'ho?

    —Bé, suposo que no deus voler únicament que m'ho pensi, sinó que arribi a uns resultats, a uns procediments d'actuació, no?

    —És clar, Lluís. Tampoc crec que costi tant. En fi, tu mateix...

    —D'acord, doncs. Recullo el guant i em comprometo a tenir resultats abans d'una setmana.

    —Tranquil, no cal exagerar... Recorda la dita italiana: "piano, piano, si va lontano".

  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 22/04/2024 a les 18:49
    Fibonacci, punt i seguit. [temps real de lectura: X minuts]


    (Continuació de "Fibonacci i cia".)

    Aquell cop m'agafà a la dutxa. De primer va sonar el telèfon de la saleta i, poc després, el mòbil que havia deixat al prestatge del quarto de bany. Així que vaig estirar el braç per prendre'l i vaig tornar-lo a deixar en veure que era en Lluís.
    Deu minuts més tard, ja vestit i planxat, el trucà jo:

    —Hola, maco. Sóc Joan...

    —Sí, és clar. Espero no haver-te tret del llit...

    —No, home; els diumenges em llevo una mica més tard, però no tant. No em diguis que encara estàs remenant allò del Fibonacci...

    —Doncs sí, i és per això que et trucava. El cas és que no em vaig donar per vençut, després de l'última trobada, i mirant-me i remirant-me els papers, vaig adonar-me que les dues successions tipus Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13..., obtinguda primer escapçant la Successió de Fibonacci però també sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent, i 1, 3, 4, 7, 11, 18..., obtinguda sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent del precedent, eren generalitzables... Vull dir que podien ser considerades com a casos particulars d'una família de successions...

    —Eeep, para el carro, Lluís!!! Suposo que vols que miri les maravelles que has descobert i, de passada, voldràs fer-me unes preguntes, no? Doncs, si vols que vingui a casa teva, digues-li a la Carme que avui tindrà un convidat a dinar. El vi el porto jo.

    —Espera un moment, que li ho dic... Joan? Sí, mira: em diu la Carme que els caps de setmana ho compra tot justet, per menjar, però això no és problema perquè anirem al restaurant. Tu, convidat, per descomptat...

    Un cop a casa de Lluís, i abans que m'exposés les seves diguem-ne troballes, vaig insistir en què em deixés proposar un parell de qüestions de forma:

    —En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no t'acabava de fer el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "successions fibonaccianes" o simplement "fibonaccianes", a la manera de les suites bachianes d'Heitor Villa-Lobos. I quant a la notació, ja que havíem vist que els dos primers membres d'una successió tipus Fibonacci —perdó: successió fibonacciana—, determinaven tota la resta, una que comenci per a i b, la podríem anomenar Fa+b; i, com a cas particular, la Successió de Fibonacci seria la F0+1. Així, a més, podrem prescindir d'aquell equívoc adjectivat de "dependent primera, segona... i-ena", que volia il·lustrar el nombre de transformacions aplicades a la Successió de Fibonacci per tal d'obtenir una fibonacciana determinada, una perquè de segur que hi ha més d'un camí que porta a Roma, i dues perquè l'únic que ens pot interessar és la fibonacciana en si, perfectament identificada, com acabo de dir, pels dos primers membres. Et sembla bé?

    —Del tot. I ara mira, això és el que he fet: generalitzar el que havia fet la setmana passada.

    I, sense més preàmbul, em va passar un full quadriculat:


    ····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·

    0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·


    1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

    2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

    3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

    4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

    5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

    6·······················8··14··22··36··58··94·152·

    7··························13··22··35··57··92·149·

    8······························21··35··56··91·147·

    9··································34··56··90·146·

    m······································55··90·145·

    11·········································89·145·

    12············································144·

    —Com fèiem fa una setmana, dalt de tot tens la successió dels nombres naturals n seguida de la de Fibonacci, com si fos l'eix d'abscisses, i a l'esquerra, augmentant cap avall la dimensió m, l'eix d'ordenades. Començant per m = 1 i m = 2, que eren dues de les successions que ens havien sortit, i generalitzant el joc, cada línia horitzontal és l'inici d'una successió on cada membre d'ordre n s'obté de la Successió de Fibonacci, sumant l'homòleg amb el situat en primer, segon, ... m-èsim lloc a l'esquerra. Jo anomenava aquestes successions Fm,n = F0,n + F0,n-m, però després del que has proposat crec que hauria de ser Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m, no? Això, genèricament, perquè els noms específics serien F1+2, F1+3, F2+4, F3+6, etc. Ah, i com és lògic, la meitat de les posicions, en què n < m, queden buides. Dit això, què hi trobes de particular, Joan?

    —Suposo que et refereixes a que totes aquestes successions són fibonaccianes...

    —Efectivament, em referia a això: cada membre és suma dels dos precedents. Ho podem comprovar fins a m = 10, i amb els membres que figuren a la taula, però caldria demostrar-ho.

    —I aquí és on entro jo, no? A veure... es tractaria de demostrar que
    Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2
    a partir d'aquestes tres equacions:
    Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m
    Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1-m
    Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2-m
    Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1-m = F0+1n-m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n-m-2:
    Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n-m-1 + F0+1n-m-2) = F0+1n + F0+1n-m = Fa+bm,n


    Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

    —Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

    —I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fa+bm,n = Fa+b10,12, F0+1n = F0+112 i F0+1n-m = F0+12:
    Fa+b10,10 = F0+110 + F0+10 = 55 + 0 = 55
    Fa+b10,11 = F0+111 + F0+11 = 89 + 1 = 90
    Fa+b10,12 = F0+112 + F0+12 = 144 + 1 = 145

    I, efectivament:
    Fa+b10,10 + Fa+b10,11 = 55 + 90 = 145 = Fa+b10,12


    —Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

    —En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil, per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat per llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. I, no ens enganyem, segur que això que acabes de descobrir sols és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver de generar successions, basades en la de Fibonacci, que resulten ser fibonaccianes, i encara tractada de forma parcial: quan venia cap aquí, pensant en la generalització que m'havies anunciat per telèfon, suposava que tindria més volada; en veure el que havies preparat, m'ha semblat que t'havies quedat a mig camí. Però ara podem completar-ho: les teves successions partien del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci, sumant-n'hi un d'anterior; doncs bé, ara ho podem capgirar i sumar al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?

    —Ès clar que sí. Tot el que sigui millorar és benvingut.

    —Doncs som-hi: porta paper i posem-nos-hi... Com abans, començarem amb la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions, que ara resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, tot i que alguns d'aquests segons sumands se situarien a la dreta del full de paper i per tant no hi figuren escrits. Com abans, numerarem aquestes posicions n a dalt de tot i m a l'esquerra. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci:

    ····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·

    0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·


    1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

    2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

    3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

    4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

    m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

    6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

    7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

    8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

    9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·

    També com abans, es tracta de demostrar que aquestes altres successions, genèricament Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m i individualment F2+3, F3+4, F4+6, F6+9, etc., són fibonaccianes, és a dir, que Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2, on Fa+bm,n és qualsevol membre de la successió Fa+bm, tret dels dos primers que, com els de la Successió de Fibonacci, F0+10 = 0 i F0+11 = 1, no són determinats per inexistents membres precedents però sí que determinen els posteriors.
    Partirem d'aquestes tres equacions:
    Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m
    Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1+m
    Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2+m

    Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1+m = F0+1n+m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n+m-2:
    Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n+m-1 + F0+1n+m-2) = F0+1n + F0+1n+m = Fa+bm,n


    I ara, si com hem fet abans vols un exemple, sobre posicions i valors concrets, podríem situar-nos en la intersecció m = 5, n = 5, amb Fa+bm,n = Fa+b5,5, F0+1n = F0+15 i F0+1n+m = F0+110:
    Fa+b5,3 = F0+13 + F0+18 = 2 + 21 = 23
    Fa+b5,4 = F0+14 + F0+19 = 3 + 34 = 37
    Fa+b5,5 = F0+15 + F0+110 = 5 + 55 = 60

    I, efectivament:
    Fa+b5,3 + Fa+b5,4 = 23 + 37 = 60 = Fa+b5,5


    —Ja ho entenc: ara uniràs les dues taules.

    —No encara. Abans hem de trobar la frontisa m = 0 entre aquestes dues taules; la baula perduda, si t'ho estimes més: la fibonacciana que hi faltava per restaurar la solució de continuïtat. Escriurem

    ·····1····2····3····4····5····6····7···8···9···10·
    0····1····1····2····3····5····8···13··21··34···55·

    ··················································
    2n-1·1····2····3····5····8···13···21··34··55···89·
    2n···2····2····4····6···10···16···26··42··68··110·
    2n+1·2····3····5····8···13···21···34··55··89··144·
    ··················································


    —I ara, com que encara és d'hora, fem les coses bé: editem el contingut d'aquests tres fulls en el portàtil i imprimim-lo. Per fer més via, si vols, jo dicto i tu escrius.

    Al cap de mitja hora havíem unificat els resultats, suprimint les línies en blanc perquè el conjunt quedés més compacte, repetint a l'inici i al final la numeració de referència i la Successió de Fibonacci, per facilitar el seguiment en columna, i deixant sense remarcar en negreta els valors de generació inverificable, disposant d'aquesta taula tan coquetona:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·

    ··9···56··90·146·236·382·618·1000·1618·2618·4236·
    ··8···35··56··91·147·238·385··623·1008·1631·2639·
    ··7···22··35··57··92·149·241··390··631·1021·1652·
    ··6···14··22··36··58··94·152··246··398··644·1042·
    ··5····9··14··23··37··60··97··157··254··411··665·
    ··4····6···9··15··24··39··63··102··165··267··432·
    ··3····4···6··10··16··26··42···68··110··178··288·
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76··123··199·
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89··144·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·
    ·-4················3···6···9···15···24···39···63·
    ·-5····················5···9···14···23···37···60·
    ·-6························8···14···22···36···58·
    ·-7····························13···22···35···57·
    ·-8·································21···35···56·
    ·-9······································34···56·
    -10···········································55·

    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·

    Com que no es tractava només d'unificar la presentació de dades sinó també l'algorisme generador de les successions, en lloc de les tres fórmules Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m per a la meitat superior, Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n = 2F0+1n per a la baula perduda i Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m per a la inferior, ara era la primera la qui servia per a tots els casos i, a l'esquerra, els valors m de l'eix d'ordenades, anul·lant-se i canviant de signe, tenien continuïtat.

    En Lluís em va deixar un llapis de memòria i m'hi vaig copiar la taula. Li vaig dir que després de dinar me n'aniria a casa i, si després de la migdiada estava d'humor, meditaria sobre el que havíem fet, per veure si en treia conclusions. Si li anava bé, l'endemà al matí tornaria a passar.

    Així ho vaig fer i, només obrir-me la porta, Lluís em preguntà si les meves cavil·lacions havien estat profitoses i m'anuncià que tornava a estar convidat a dinar. Ja a l'estudi, mentre connectava el pendrive al seu portàtil, vaig contestar, fent-me el misteriós:

    —Bé, segons com es miri... He anat fent proves que m'han reafirmat en allò que ahir intuíem: que hi ha molts camins per construir una fibonacciana a partir de la Successió de Fibonacci F0+1, però no sé si val la pena que t'ho comenti...

    —Home, és clar que sí. Ara no em deixaràs amb la mel a la boca...

    —Bé, doncs centrant-nos en la sèrie de vint fibonaccianes d'ahir, de generació Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n+m, la primera cosa a destacar seria que el seu aspecte és, en general, bastant irrellevant a l'hora de deduir-ne la procedència. Limitant-nos a les set centrals, F4+6, F3+4, F2+3, F2+2, F1+2, F1+3 i F2+4, és a dir, a m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3: F1+2 (m = -1) resultaria d'escapçar els dos primers membres de la Successió de Fibonacci, i F2+3 (m = 1) d'escapçar els tres primers; F2+2 (m = 0) resultaria d'escapçar el primer membre, F2+4 (m = -3) d'escapçar els dos primers i F4,6 (m = 3) d'escapçar els tres primers, multiplicant la resta per 2 en tots tres casos; finalment, F1+3 (m = -2) no guarda cap semblança amb F0+1, i F3+4 (m = 2) resultaria de l'anterior escapçant el primer membre.

    —D'acord, però no deies que hi havia maneres diferents d'arribar a un mateix resultat?

    —Si, home, si no m'interromps te n'explicaré uns quants. Un mètode alternatiu als que t'acabo d'explicar i que permet obtenir ràpidament aquestes successions, com si encara no haguéssim descobert que són fibonaccianes que es poden calcular iterativament a partir dels dos membres inicials, consistiria a copiar la Successió de Fibonacci F0+1 sota l'original, desplaçar la còpia Fa+b m posicions, de manera que el membre Fa+bn+m se situï sota el membre F0+1n, i sumar membre a membre les dues successions, prescindint dels que s'hagin quedat orfes. Veiem-ho, com abans, per a les fibonaccianes centrals m = 3, 2, 1, 0, -1, -2 i -3. En primer lloc l'ordenacio numérica seguida de la Successió de Fibonacci F0+1 en negreta, com de costum; en tercer lloc, la copia Famb desplaçada i escapçada, també en negreta, i en quart lloc, la fibonacciana resultant de sumar les dues anteriors, membre a membre:

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······3···5···8··13··21··34···55················
    ··3····4···6··10··16··26··42···68················

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······2···3···5···8··13··21···34···55···········
    ··2····3···4···7··11··18··29···47···76···········

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···2···3···5···8··13···21···34···55······
    ··1····2···3···5···8··13··21···34···55···89······

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ··0····2···2···4···6··10··16···26···42···68··110·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ·······0···1···1···2···3···5····8···13···21···34·
    ·-1····1···2···3···5···8··13···21···34···55···89·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···········0···1···1···2···3····5····8···13···21·
    ·-2········1···3···4···7··11···18···29···47···76·

    ·······1···2···3···4···5···6····7····8····9···10·
    ··0····1···1···2···3···5···8···13···21···34···55·
    ···············0···1···1···2····3····5····8···13·
    ·-3············2···4···6··10···16···26···42···68·


    —Molt rebé, Joan. Alguna cosa més?

    —Sí: que la principal propietat de la Successió de Fibonacci —que el quocient entre membres consecutius F0+1n i F0+1n-1 convergeix cap a la proporció àuria, φ = 1,618034..., s'acompleix en les fibonaccianes...

    —Vols dir? Centrant-nos en les que m'ensenyaves fa un moment, que l'acompleixin fibonaccianes com F2+4, F1+2, F2+2, F2+3 o F4+6 (m = -3, -1, 0, 1 o 3), on és fàcil veure que procedeixen de manipular la Successió de Fibonacci F0+1, encara ho entenc, però aquelles que no s'hi assemblen gens, com F1+3 o F3+4 (m = -2 o 2) no ho acabo de veure.

    —Fixa-t'hi: tu mateix acabes d'acceptar implícitament que aquestes dues últimes també procedeixen de F0+1, encara que no s'hi assemblin gens. I és que, com veuràs d'aquí un moment, fins i tot aquelles fiboaccianes que s'han estat muntades de manera independent, amb dos primers membres qualssevol, poden construir-se a partir de F0+1, per escapçament, producte per un nombre i suma membre a membre. Però abans vull parlar precisament d'aquestes tres operacions, ja conegudes perquè les hem utilitzat àmpliament. I, per no fer-ho massa llarg, repetint sempre "la Successió de Fibonacci i, en general, qualsevol altra successió fibonacciana...", d'ara endavant em limitaré a dir "qualsevol fibonacciana...", ja que la Successió de Fibonacci no és més que una fibonacciana que comença per 0 i 1: la fibonacciana F0+1. D'acord? Doncs vinga, pren nota d'aquestes tres propietats:

    1) Escapçant qualsevol fibonacciana obtindrem una altra fibonacciana.

    2) Multiplicant els membres de qualsevol fibonacciana per un enter positiu obtindrem una altra fibonacciana.

    3) Sumant ordenadament els membres de dues fibonaccianes obtindrem una altra fibonacciana.

    Ja es comprèn que aquestes manipulacions poden combinar-se i repetir-se ad infinitum.

    —Ja està?

    —Una última cosa, per rematar, i ja pots cridar la Carme que es vagi arreglant per anar a dinar. De vegades pot interessar conèixer l'n-èsim membre d'una fibonacciana Fa+b sense haver de calcular recursivament tota la seqüència de membres precedents: per exemple, quan no disposem d'un dispositiu programable i n és elevat. Aquests últims dies se m'ha ocorregut un mètode senzill per calcular directament aquest valor: només necessitem conèixer els dos primers membres, n0 = a i n1 = b, i tenir a mà una llista prou llarga de nombres de Fibonacci —a Internet trobaràs fàcilment llistes de fins a 300 nombres— o obtenir els valors (n-1)-èsim i n-èsim amb la fórmula de Binet —que trobaràs a l'article "Nombres de Fibonacci" de la Viquipèdia—. A més, a cavall de la justificació d'aquest mètode, veurem que els membres d'una fibonacciana qualsevol Fa+b es poden expressar com la suma dels productes de dos enters per sengles successions de Fibonacci F0+1 escapçades. (Per cert, havent mencionat la fórmula de Binet, on crec recordar que hi surt una arrel quadrada de cinc, ens hauríem de posar d'acord sobre com representem, si és donés el cas, les arrels quadrades: mentre ens ho maneguem tu i jo a llapis no hi ha problema, però si hem d'imprimir-ho haurem de buscar la manera de com donar continuïtat al símbol , amb una línia horitzontal elevada que doni cobertura a la base.)

    A partir dels elements inicials Fa+b0 = a i Fa+b1 = b, formem la fibonacciana Fa+b:

    Fa+b2 = Fa+b0 + Fa+b1 = a + b
    Fa+b3 = Fa+b1 + Fa+b2 = a + 2b
    Fa+b4 = Fa+b2 + Fa+b3 = 2a + 3b
    Fa+b5 = Fa+b3 + Fa+b4 = 3a + 5b
    Fa+b6 = Fa+b4 + Fa+b5 = 5a + 8b
    Fa+b7 = Fa+b5 + Fa+b6 = 8a + 13b
    Fa+b8 = Fa+b6 + Fa+b7 = 13a + 21b
    ·································
    Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n

    Perquè vegis que la fórmula funciona, calculem, per exemple, el membre novè de la fibonacciana F7+11 (n = 9, a = 7 i b = 11):

    n·············1···2···3···4···5···6···7···8···9··10·
    F0+1······0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55·
    F7+11·····7··11··18··29··47··76·123·199·322·521·843·

    F7+11 = 7·21 + 11·34 = 147 + 374 = 521

    I ara tornem a les set expressions Fa+b2 a Fa+b8 per fixar-nos en els tercers membres de les igualtats, que són binomis: els primers termes són els productes de l'enter a per uns membres de la fibonacciana F1+1 (F0+1 amb el membre 0 escapçat) i els segons són els productes de l'enter b per uns altres membres de la fibonacciana F1+2 (F0+1 amb els membres 0 i 1 escapçats), avançats una posició respecte els primers. Dit d'una altra manera, els termes de la primera columna són els productes de la constant a pels coeficients 1, 1, 2, 3, 5, 8 i 13, i els de la segona columna són els productes de la constant b pels coeficients 1, 2, 3, 5, 8, 13 i 21.

    Fixa't que cada coeficient de la segona columna F0+1n té l'immediat inferior F0+1n-1 repetit damunt (el coeficient precedent, en la mateixa columna) i a l'esquerra (el coeficient de la primera columna). Vull dir que, prenent per exemple l'element 8b de la segona columna, a sobre hi té 5b i a l'esquerra 5a, i que, en ser aquests coeficients nombres consecutius de versions escapçades de la Successió de Fibonacci, 8/5 = 1,6 ≈ 1,618034... = φ. Provant-ho amb nombres consecutius més elevats, com 13/8 = 1,625 o 21/13 = 1,615385..., veureu que l'aproximació a la proporció àuria és cada cop més gran. Però, sabent que F0+1n/F0+1n-1 ≈ φ, el que volem esbrinar és si també tot Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ φ.

    D'una banda: Fa+bn = Fa+bn-2 + Fa+bn-1 = aF0+1n-1 + bF0+1n ≈ aF0+1n-1 + φbF0+1n-1 = F0+1n-1(a + φb)

    De l'altra: Fa+bn-1 = Fa+bn-3 + Fa+bn-2 = aF0+1n-2 + bF0+1n-1 ≈ aF0+1n-2 + φbF0+1n-2 = F0+1n-2(a + φb)

    Substituint aquestes equivalències: Fa+bn/Fa+bn-1 ≈ F0+1n-1(a + φb)/F0+1n-2(a + φb) = F0+1n-1/F0+1n-2 ≈ φ

    És a dir, que el quocient entre membres consecutius de qualsevol successió fibonaccioana Fa+b tendeix a la proporció àuria φ, com el de la Successió de Fibonacci F0+1. D'acord?

    —Si, home. Però després d'aquest patracol, què deixes per a mi? —exclamà Lluís, amb posat abatut i veu compungida.

    —No t'amoïnis, que també havia pensat amb els teus deures... Vols que te'ls expliqui ara o ho deixem per després de dinar, mentre prenem cafè i copa?

    —Res de deixar-ho per després de dinar, que si ens sent la Carme pensarà que estem bojos. Digues-m'ho ara i així en prendré nota perquè no se m'oblidi.

    —Doncs mira, no cal que t'apuntis res, perquè és molt senzill d'entendre: ara que sabem construir una fibonacciana a partir dels dos primers membres, i també obtenir-la d'altres fibonaccianes mitjançant les operacions que hem descrit, no aniria malament definir una fibonacciana a partir de dos membres qualssevol. Vols pensar-t'ho?

    —Bé, suposo que no deus voler únicament que m'ho pensi, sinó que arribi a uns resultats, a uns procediments d'actuació, no?

    —És clar, Lluís. Tampoc crec que costi tant. En fi, tu mateix...

    —D'acord, doncs. Recullo el guant i em comprometo a tenir resultats abans d'una setmana.

    —Tranquil, no cal exagerar... Recorda la dita italiana: "piano, piano, si va lontano".
    • RE: RE: Això és una prova.
      Joan Colom | 14/06/2024 a les 18:26
      —Recapitulem: els últims dies hem estat veient les successions: en general i dos tipus de successions molt particulars, les progressions aritmètiques i les geomètriques. També havíem vist les sèries, suma dels membres d'una successió. Avui us en seguiré parlant, centrant-me en els valors cap on convergeixen; això les que convergeixen, és clar.

      Les progressions aritmètiques creixen indefinidament quan la diferència de la progressió és positiva, com aquesta —i seguí parlant mentre es girava i escrivia a la pissarra—; decreixen indefinidament quan la diferència és negativa, com aquesta, i no cal parlar de què passa quan la diferència és zero, perquè surt una ximpleria que no serveix per a res, amb tots els termes iguals.

      Les progressions geomètriques creixen indefinidament quan el primer terme és positiu i la raó de progressió és més gran que u; creixen cap a zero quan el primer terme és negatiu i la raó està entre zero i u —i seguí parlant mentre esborrava la pissarra i tornava a escriure-hi—; decreixen indefinidament quan el primer terme és negatiu i la raó és més gran que u; creixen cap a zero quan el primer terme és positiu i la raó està entre zero i u. I no cal parlar de què passa quan la raó és u, perquè surt una ximpleria que no serveix per a res, amb tots els termes iguals. O de quan és negativa, perquè llavors els termes van alternant el signe, passant de positiu a negatiu i de negatiu a positiu.

      Si voleu un exemple de progressió geomètrica que arrenca amb el nombre u i té una raó de progressió dos, recordeu la faula d'aquell rei que, volent recompensar l'inventor del joc d'escacs, va accedir a donar-li tants grans de blat com hi cabessin en un tauler, començant per posar-ne un a la primera casella, dos a la segona, i així posar a cada casella el doble de la precedent, fins a arribar a la seixanta-quatrena. Com sabeu, la successió seria dos elevat a la potència 0 (1), dos elevat a 1 (2), dos elevat a 2 (4), dos elevat a 3 (8)... i dos elevat a la 63 (més de nou trilions de grans de blat). Això, quedant-nos només amb els seixanta-quatre primers termes de la successió; ja us podeu imaginar si seguíssim...

      Però, fora de les progressions, el comportament de les altres successions és bastant imprevisible. Algunes també es veu que creixen indefinidament, com la de Fibonacci, que, començant amb zero i un, els altres termes s'obtenen sumant els dos precedents —i, després d'esborrar un altre cop la pissarra, escriví 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144. Però d'altres decreixen fins a convergir en zero, com la definida per una de les paradoxes de Zenó. Zenó era un filòsof de l'antiga Grècia, d'una escola que postulava que el moviment és una il·lusió dels sentits i que la raó ens du a concloure que, en realitat, res no es mou. Una de les paradoxes que es va empescar, per entabanar al personal, és que si algú pretén córrer una distància, dos-cents metres per exemple, no ho aconseguirà mai perquè, abans de poder-ne fer 200, ha de passar per la meitat del recorregut, és a dir, pels cent metres; però, abans de fer-ne 100, n'ha de fer cinquanta; abans de fer-ne 50 n'ha de fer vint-i-cinc, i així successivament fins a arribar a la conclusió que, per més temps que hi dediqués, no es podria moure ni un pam. Efectivament, si jo formo la successió de les distàncies que NO POT RECÓRRER, escrivint 200 100 50 25 12,50 6,25... m'adono que cada cop són més petites i convergeixen a 0.

      Les successions també poder convergir a valors diferents de zero. I començarem amb un exemple en què aquest valor el veu a venir. Seguint amb Zenó, una altra de les seves paradoxes és la d'Aquil·les i la tortuga. Volies alguna cosa, Jaumet?

      —Sí, profe: aquest Aquil·les és el Brad Pitt de la pel·lícula?

      —Sí, el de la pel·lícula "Troia", que tenia fama de ser molt ràpid corrent, amb armadura i tot. Una tortuga més llesta que la fam repta a Aquil·les a una carrera, sabent que correrà deu vegades més ràpid que ella, a condició que li doni un avantatge de 100 m. Aquil·les ho accepta i, quan la tortuga comença a caminar, Aquil·les arrenca a córrer i de seguida fa 100 m. Però quan els ha fet, arribant a on era la tortuga, aquesta mentrestant n'haurà avançat deu; quan Aquil·les hagi cobert també aquests 10, la tortuga haurà fet un metre més; quan Aquil·les faci aquest metre, la tortuga haurà fet un decímetre més, i així successivament: Aquil·les estarà cada cop més a prop de la tortuga, però mai no podrà atrapar-la. Almenys això era el que deia Zenó, que es refiava més d'aquest fals raonament que del que veia. Però nosaltres sabem que Aquil·les atraparà la tortuga i la sobrepassarà, i podem calcular quan haurà recorregut cadascú en aquell moment, amb una senzilla equació. A veure, Quimeta, com es calcula la velocitat? Tu dicta'm, que jo ho aniré escrivint a la pissarra.

      —Doncs la velocitat és l'espai recorregut dividit per temps que es triga a recórrer-lo.

      -Molt bé —i el professor anà escrivint a la pissarra—, V = E/T, i concretant anomenarem Va = Ea/T la velocitat a què va Aquil·les i Vt = Et/T la velocitat a què va la tortuga. Quina relació hi ha entre les dues velocitats?

      —Doncs la d'Aquil·les és 10 vegades la de la tortuga.

      —Doncs posem-ho: Va = 10·Vt, és a dir, Ea/T = 10·Et/T i, eliminant el denominador comú, tindrem que Ea = 10·Et. Però també sabem una altra cosa, Carmeta: quina relació hi ha entre els espais recorreguts per Aquil·les i per la tortuga?

      —Aquil·les ha recorregut 100 m. més que la tortuga.

      —Sí, senyora: Ea = Et + 100. I, si ara substituïm aquest valor en la igualtat d'abans: Ea = Et + 100 = 10 Et. Passant Et a l'altra banda, tindrem que 100 = 9·Et, així que Et = 100/9 = 11,111111. En realitat és 11,1 periòdic, però així, amb sis decimals ens adonem millor que no s'acaben mai. Substituint ara aquest valor en l'equivalència d'abans, tant és que fem Ea = 10·Et = 10·11,111111 = 111,111111 o que fem Ea = Et + 100 = 11,111111 + 100 = 111,111111, perquè dóna el mateix: 111,1 periòdic. Si ho volem resoldre d'una altra manera, la successió formada pels trams en què considerem descomposta la carrera d'Aquil·les, expressada en metres, és 100 10 1 0,1 0,01 0,001 ... i convergeix cap a 0, com en el cas de l'anterior paradoxa de Zenó, però si considerem el que porta corregut en cada instant hem d'anar a la sèrie d'aquesta successió, que és 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..., que convergeix cap a 111,111... Potser quedarà mes clara, aquesta convergència, si la representem com a successió de les sumes parcials d'aquesta sèrie: 100 100+10=110 110+1=111 111+0,1=111,1 111,1+0,01=111,11 111,11+0,001=111,111 ... En definitiva, convergeix cap al valor 111,1 periòdic que havíem trobat resolent aquella equació.

      —Doncs no és pas tan complicat —se li escapà a Quimeta.

      —Sí, però ara ve quan el maten, perquè després de veure el cas de convergència d'una successió cap a un valor fàcilment previsible, ara en veureu un altre no gens intuïtiu: la població d'un país augmenta vegetativament (naixements menys defuncions, suposant que no hi ha migració de cap mena) un 5 per cent cada any, equivalent a 0,05 per u, sabem que en un moment determinat és de 20 milions de persones i ens demanen quantes tindrà al cap d'un any, dos, tres, etc. Abans de seguir, però fixem-nos que, si al cap d'un any la població ha passat de 20.000.000 de persones a 21.000.000 i ens diuen que seguirà creixent al mateix ritme del 0,05 anual, podríem precipitar-nos i pensar que al segon any la població arribarà a 22.000.000 i al tercer any a 23.000.000. L'error rauria a calcular sempre el 0,05 d'increment anual sobre 20.000.000, quan cal aplicar-lo a la població existent en cada moment: només al cap del primer any és correcte aplicar-lo a 20.000.000 per obtenir 21.000.000; al cap del segon haurem d'aplicar-lo a aquests 21.000.000 per obtenir 22.050.000, i al cap del tercer haurem d'aplicar-lo a aquests 22.050.000 per obtenir 23.152.500.

      Us ho escric: al cap d'un any hi haurà
      20.000.000 + 0,05·20.000.000 = 20.000.000 (1 + 0,05) = 1,05·20.000.000 = 21.000.000,
      al cap de dos, com he dit,
      21.000.000 + 0,05·21.000.000 = 21.000.000 (1 + 0,05) = 1,05·21.000.000 = 22.050.000,
      al cap de tres
      22.050.000 + 0,05·22.050.000 = 22.050.000 (1 + 0,05) = 1,05·22.050.000 = 23.152.500,
      etcètera. Però, si ens interessa calcular directament la població al cap de un, de dos o de tres anys (P1, P2 o P3), sense haver de calcular prèviament la d'anys precedents, hauríem de fer
      P0 = 1,05^0·20.000.000 = 20.000.000
      P1 = 1,05^1·20.000.000 = 21.000.000
      P2 = 1,05^2·20.000.000 = 22.050.000
      P3 = 1,05^3·20.000.000 = 23.152.500

      I, si volguéssim generalitzar el sistema per a qualsevol població inicial (P0), índex de creixement anual (Ia) i anys transcorreguts (t), la població final seria
      Pt = P0·(1 + Ia)^t.

      (El profe ha anotat les potències a la pissarra en la forma habitual, però com que la transcripció aquí és problemàtica, he optat per representar-les fent ús del signe ^, que precedirà l'exponent.)

      Fins aquí, com heu vist, calcular la població és bufar i fer ampolles. Però, si no en tinguéssim prou a conèixer-la al cap d'un, dos, tres ... t anys, podríem calcular-la per mesos, prenent un Im = Ia/12 que fos l'index de creixement per mesos i un exponent que fos el nombre de mesos considerat, 12·t; o per dies, prenent un Id = Ia/365 que fos l'index de creixement per dies i un exponent que fos el nombre de dies considerat, 365·t; per hores, prenent un Id = Ia/8.760 que fos l'index de creixement per hores i un exponent que fos el nombre d'hores considerat, 8.760·t (on 8.760 = 24·365), o per minuts, prenent un Id = Ia/525.600 que fos l'index de creixement per hores i un exponent que fos el nombre d'hores considerat, 525.600·t (on 525.600 = 60·8.760)... Així, anomenant n el nombre de parts en què considerem dividit l'any, 1, 12, 365, 8.760 o 525.600, la fórmula següent serveix per a tots els casos:
      Pnt = P0·(1 + Ia/n)^n·t.
      Calculem, doncs, la població al cap d'un any (t = 1), considerant 1 any, 12 mesos, 365 dies, 8.760 hores o 525.600 minuts:
      P1a = 20.000.000·(1 + 0,05) = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,00
      P12m = 20.000.000·(1 + 0,05/12)^12 = 20.000.000·1,00416666^12 = 21.023.237,96
      P365d = 20.000.000·(1 + 0,05/365)^365 = 20.000.000·1,000136986^365 = 21.025.349,93
      P8760h = 20.000.000·(1 + 0,05/8.760)^8.760 = 20.000.000·1,00000570776^365 = 21.025.418,93
      P525600mi = 20.000.000·(1 + 0,05/525.600)^525.600 = 20.000.000·1,0000000951294^525.600 = 21.025.421,88,
      i encara considerarem els 60·525.600 = 31.536.000 segons de l'any, perquè no sigui dit:
      P31536000s = 20.000.000·(1 + 0,05/31.536.000)^31.536.000 = 20.000.000·1,00000000158549^31.536.000 = 21.025.421,93.


      El que faré ara serà reproduir aquests resultats en el trocet de pissarra neta, i dividir-los tots per 21.000.000:
      Pa = 21.000.000,00,
      i 21.000.000,00/21.000.000,00 = 1,00000000
      Pm = 21.023.237,96,
      i 21.023.237,96/21.000.000,00 = 1,00110657
      Pd = 21.025.349,93,
      i 21.025.349,93/21.000.000,00 = 1,00120714
      Ph = 21.025.418,93,
      i 21.025.418,93/21.000.000,00 = 1,00121043
      Pmi= 21.025.421,88,
      i 21.025.421,88/21.000.000,00 = 1,00121057
      Ps = 21.025.421,93,
      i 21.025.421,93/21.000.000,00 = 1,00121057
      I ara us dono dos minuts perquè us els mireu i em digueu quines conclusions se us acudeixen.

      —No sé si la pila de la calculadora li fa figa, profe, però em sembla que ha fet malament les operacions —va deixar anar en Rafelet, sense aixecar-se—, perquè la població al cap d'un any hauria de donar sempre 21.000.000, s'hagués comptat l'any en dies, hores o minuts, i totes les divisions haurien de donar la unitat...

      ... I a més passa una cosa estranya —intervingué Quimeta amb contundència, sense deixar-lo acabar—: cada vegada que ho calculem fent servir espais de temps més petits, aquests quocients són més grans, però cada vegada menys grans. No sé si m'explico.

      —Us expliqueu molt bé i tots dos teniu raó. Efectivament, totes les divisions haurien d'haver donat u, perquè al cap de l'any la població actualitzada hauria d'haver estat sempre 21.000.000, amb independència de la unitat de temps utilitzada i de quantes actualitzacions s'haguessin fet. Però el problema no són les piles ni que la calculadora estigui espatllada, sinó que hauria d'haver agafat uns valors una mica més petits que 1/12, 1/365, 1/8.760, 1/525.600 o 1/31.536.000. Ara bé —digué el professor, adreçant-se a Quimeta—, la veritat és que els errors, les desviacions respecte a 21.000.000, són petits, cada vegada creixen menys i, si us fixeu en les dues últimes línies, s'estanquen en el valor 1,00121057, o sigui que, dintre de l'ordre de valors en què ens movem, comuns en estudis demogràfics, la desviació no supera l'1,2 per mil, marge perfectament assumible perquè les dades estadístiques encara són menys fiables.

      El que vull que tragueu de tot això és que el valor de convergència d'una successió no sempre està clar, com en la juguesca entre Aquil·les i la tortuga, però hi ha una sèrie de processos que es donen a la natura, entre ells el creixement de comunitats on ningú entra ni surt del territori i on, per tant, els nounats se sumen a la població,
      que tenen en comú la convergència en un valor anomenat e i també constant d'Euler. N'hi ha prou que l'índex de creixement Ia (augment de població per unitat de temps i persona) sigui constant al llarg del temps: llavors el creixement (augment de població per unitat de temps) serà proporcional a la població en cada moment i estarem en un cas de l'anomenat creixement exponencial. No us donaré el valor d'e perquè vull que el descobriu vosaltres mateixos. I, com que encara heu de menjar moltes sopes per estudiar teoria de límits, que és la porta d'entrada al càlcul infinitesimal, ho fareu empíricament.

      La primera cosa és desempallegar-vos del que és accessori, reduint
      Pnt = P0·(1 + Ia/n)^n·t
      a un any,
      Pn = P0·(1 + Ia/n)^n
      i deixant el segon terme de l'equació
      Pn/P0 = (1 + Ia/n)^n = [(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
      (Pn/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia

      en aquesta forma; perfecta per deixar-nos en el dubte de quina tendència prevaldrà, perquè, a mesura que n creixi, l'exponent n/Ia tendirà a infinit, però Ia/n tendirà a zero i la base de la potència, 1 + Ia/n, tendirà a u. Si voleu, us podeu estalviar de fer el càlcul complet per a n = 12, 365, 8.760, 525.600 i 31.536.000, aprofitant els sis valors d'abans:
      com que 1/Ia = 1/0,05 = 20 i
      Pn/P0 = (Pa/P0)·(Pn/Pa) = (21.000.000/20.000.000)·(Pn/Pa) = 1,05·Pn/Pa
      només cal elevar a la potència 20 el producte 1,05·Pn/Pa, que són aquells valors, per tenir
      (1,05·Pn/Pa)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia:
      (1,05·1,00000000)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,653298,
      per a n = 1,
      (1,05·1,00110657)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,712640,
      per a n = 12,
      (1,05·1,00120714)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718096,
      per a n = 365,
      (1,05·1,00121043)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718274,
      per a n = 8.760,
      (1,05·1,00121057)^20 = (1 + Ia/n)^n/Iam= 2,718282,
      per a n = 525.600 i
      (1,05·1,00121057)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 31.536.000.

      Considerant que el nombre e té infinites xifres decimals però que, per a aplicacions demogràfiques com la comentada va que xuta amb sis, amb n = 525.600 i probablement amb força menys ja haurà assolit el valor definitiu. Interessant, no?

      —Qui el va parir! —se sentí a l'última fila.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 14/06/2024 a les 19:50
    —Recapitulem: els últims dies hem estat veient les successions: en general i dos tipus de successions molt particulars, les progressions aritmètiques i les geomètriques. També havíem vist les sèries, suma dels membres d'una successió. Avui us en seguiré parlant, centrant-me en els valors cap on convergeixen; això les que convergeixin, és clar.

    Les progressions aritmètiques creixen indefinidament quan la diferència de la progressió és positiva, com aquesta —i seguí parlant mentre es girava i escrivia a la pissarra—; decreixen indefinidament quan la diferència és negativa, com aquesta, i no cal parlar de què passa quan la diferència és zero, perquè surt una ximpleria que no serveix per a res, amb tots els membres iguals.

    Les progressions geomètriques creixen indefinidament quan el primer terme és positiu i la raó de progressió és més gran que u; creixen cap a zero quan el primer terme és negatiu i la raó està entre zero i u —i seguí parlant mentre esborrava la pissarra i tornava a escriure-hi—; decreixen indefinidament quan el primer terme és negatiu i la raó és més gran que u; creixen cap a zero quan el primer terme és positiu i la raó està entre zero i u. I no cal parlar de què passa quan la raó és u, perquè surt una ximpleria que no serveix per a res, amb tots els membres iguals. O de quan és negativa, perquè llavors els termes van alternant el signe, passant de positiu a negatiu i de negatiu a positiu.

    Si voleu un exemple de progressió geomètrica que arrenca amb el nombre u i té una raó de progressió dos, recordeu la faula d'aquell rei que, volent recompensar l'inventor del joc d'escacs, va accedir a donar-li tants grans de blat com hi cabessin en un tauler, començant per posar-ne un a la primera casella, dos a la segona, i així posar a cada casella el doble de la precedent, fins a arribar a la seixanta-quatrena. Com sabeu, la successió seria dos elevat a la potència 0 (1), dos elevat a 1 (2), dos elevat a 2 (4), dos elevat a 3 (8)... i dos elevat a la 63 (més de nou trilions de grans de blat). Això, quedant-nos només amb els seixanta-quatre primers termes de la successió; ja us podeu imaginar si seguíssim...

    Però, fora de les progressions, el comportament de les altres successions és bastant imprevisible. Algunes també es veu que creixen indefinidament, com la de Fibonacci, que, començant amb zero i un, els altres membres s'obtenen sumant els dos precedents —i, després d'esborrar un altre cop la pissarra, escriví 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144. Però d'altres decreixen fins a convergir en zero, com la definida per una de les paradoxes de Zenó. Zenó era un filòsof de l'antiga Grècia, d'una escola que postulava que el moviment és una il·lusió dels sentits i que la raó ens du a concloure que, en realitat, res no es mou. Una de les paradoxes que es va empescar, per entabanar al personal, era que si algú pretén córrer una distància, dos-cents metres per exemple, no ho aconseguirà mai perquè, abans de poder-ne fer 200, ha de passar per la meitat del recorregut, és a dir, pels cent metres; però, abans de fer-ne 100, n'ha de fer cinquanta; abans de fer-ne 50 n'ha de fer vint-i-cinc, i així successivament fins a arribar a la conclusió que, per més temps que hi dediqués, no es podria moure ni un pam. Efectivament, si jo formo la successió de les distàncies que NO POT RECÓRRER, escrivint 200 100 50 25 12,50 6,25... m'adono que cada cop són més petites i convergeixen a 0.

    Les successions també poder convergir a valors diferents de zero. I començarem amb un exemple en què aquest valor el veu a venir. Seguint amb Zenó, una altra de les seves paradoxes era la d'Aquil·les i la tortuga. Volies alguna cosa, Jaumet?

    —Sí, profe: aquest Aquil·les és el Brad Pitt de la pel·lícula?

    —Sí, el de la pel·lícula "Troia", que tenia fama de ser molt ràpid corrent, amb armadura i tot. Una tortuga més llesta que la fam repta a Aquil·les a una carrera, sabent que correrà deu vegades més ràpid que ella, a condició que li doni un avantatge de 100 m. Aquil·les ho accepta i, quan la tortuga comença a caminar, Aquil·les arrenca a córrer i de seguida fa 100 m. Però quan els ha fet, arribant a on era la tortuga, aquesta mentrestant n'haurà avançat deu; quan Aquil·les hagi cobert també aquests 10, la tortuga haurà fet un metre més; quan Aquil·les faci aquest metre, la tortuga haurà fet un decímetre més, i així successivament: Aquil·les estarà cada cop més a prop de la tortuga, però mai no podrà atrapar-la. Almenys això era el que deia Zenó, que es refiava més d'aquest fals raonament que del que veia. Però nosaltres sabem que Aquil·les atraparà la tortuga i la sobrepassarà, i podem calcular quan haurà recorregut cadascú en aquell moment, amb una senzilla equació. A veure, Quimeta, com es calcula la velocitat? Tu dicta'm, que jo ho aniré escrivint a la pissarra.

    —Doncs la velocitat és l'espai recorregut dividit per temps que es triga a recórrer-lo.

    -Molt bé —i el professor anà escrivint a la pissarra—, V = E/T, i concretant anomenarem V
    a = Ea/T la velocitat a què va Aquil·les i Vt = Et/T la velocitat a què va la tortuga. Quina relació hi ha entre les dues velocitats?

    —Doncs la d'Aquil·les és 10 vegades la de la tortuga.

    —Doncs posem-ho: V
    a = 10·Vt, és a dir, Ea/T = 10·Et/T i, eliminant el denominador comú, tindrem que Ea = 10·Et. Però també sabem una altra cosa, Carmeta: quina relació hi ha entre els espais recorreguts per Aquil·les i per la tortuga?

    —Aquil·les haurà recorregut 100 m. més que la tortuga.

    —Sí, senyora: E
    a = Et + 100. I, si ara substituïm aquest valor en la igualtat d'abans: Ea = Et + 100 = 10 Et. Passant Et a l'altra banda, tindrem que 100 = 9·Et, així que Et = 100/9 = 11,111111. En realitat és 11,1 periòdic, però així, amb sis decimals ens adonem millor que no s'acaben mai. Substituint ara aquest valor en l'equivalència d'abans, tant és que fem Ea = 10·Et = 10·11,111111 = 111,111111 o que fem Ea = Et + 100 = 11,111111 + 100 = 111,111111, perquè dóna el mateix: 111,1 periòdic. Si ho volem resoldre d'una altra manera, la successió formada pels trams en què considerem descomposta la carrera d'Aquil·les, expressada en metres, és 100 10 1 0,1 0,01 0,001 ... i convergeix cap a 0, com en el cas de l'anterior paradoxa de Zenó, però si considerem el que porta corregut en cada instant hem d'anar a la sèrie d'aquesta successió, que és 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..., que convergeix cap a 111,111... Potser quedarà mes clara, aquesta convergència, si la representem com a successió de les sumes parcials d'aquesta sèrie: 100 100+10=110 110+1=111 111+0,1=111,1 111,1+0,01=111,11 111,11+0,001=111,111 ... En definitiva, convergeix cap al valor 111,1 periòdic que havíem trobat resolent aquella equació.

    —Doncs no és pas tan complicat —se li escapà a Quimeta.

    —Sí, però ara ve quan el maten, perquè després de veure el cas de convergència d'una successió cap a un valor fàcilment previsible, ara en veureu un altre no gens intuïtiu: la població d'un país augmenta vegetativament (naixements menys defuncions, suposant que no hi ha migració de cap mena) un 5 per cent cada any, equivalent a 0,05 per u; sabem que en un moment determinat és de 20 milions de persones i ens demanen quantes tindrà al cap d'un any, dos, tres, etc. Abans de seguir, però fixem-nos que, si al cap d'un any la població ha passat de 20.000.000 de persones a 21.000.000 i ens diuen que seguirà creixent al mateix ritme del 0,05 anual, podríem precipitar-nos i pensar que al segon any la població arribarà a 22.000.000 i al tercer any a 23.000.000. L'error rauria a calcular sempre el 0,05 d'increment anual sobre 20.000.000, quan cal aplicar-lo a la població existent en cada moment: només al cap del primer any és correcte aplicar-lo a 20.000.000 per obtenir 21.000.000; al cap del segon haurem d'aplicar-lo a aquests 21.000.000 per obtenir 22.050.000, i al cap del tercer haurem d'aplicar-lo a aquests 22.050.000 per obtenir 23.152.500.

    Us ho escric: al cap d'un any hi haurà
    20.000.000 + 0,05·20.000.000 = 20.000.000 (1 + 0,05) = 1,05·20.000.000 = 21.000.000,
    al cap de dos, com he dit,
    21.000.000 + 0,05·21.000.000 = 21.000.000 (1 + 0,05) = 1,05·21.000.000 = 22.050.000,
    al cap de tres
    22.050.000 + 0,05·22.050.000 = 22.050.000 (1 + 0,05) = 1,05·22.050.000 = 23.152.500,
    etcètera. Però, si ens interessa calcular directament la població al cap de un, de dos o de tres anys (P
    1, P2 o 3), sense haver de calcular prèviament la d'anys precedents, hauríem de fer
    P
    0 = 1,05^0·20.000.000 = 20.000.000
    P
    1 = 1,05^1·20.000.000 = 21.000.000
    P
    2 = 1,05^2·20.000.000 = 22.050.000
    P
    3 = 1,05^3·20.000.000 = 23.152.500

    I, si volguéssim generalitzar el sistema per a qualsevol població inicial (P
    0), índex de creixement anual (Ia) i anys transcorreguts (t), la població final seria
    P
    t = P0·(1 + Ia)^t.

    (El profe ha anotat les potències a la pissarra en la forma habitual, però com que la transcripció aquí és problemàtica, he optat per representar-les fent ús del signe ^, que precedirà l'exponent.)

    Fins aquí, com heu vist, calcular la població és bufar i fer ampolles. Però, si no en tinguéssim prou a conèixer-la al cap d'un, dos, tres ... t anys, podríem calcular-la per mesos, prenent un I
    m = Ia/12 que fos l'index de creixement per mesos i un exponent que fos el nombre de mesos considerat, 12·t; o per dies, prenent un Id = Ia/365 que fos l'index de creixement per dies i un exponent que fos el nombre de dies considerat, 365·t; per hores, prenent un Ih = Ia/8.760 que fos l'index de creixement per hores i un exponent que fos el nombre d'hores considerat, 8.760·t (on 8.760 = 24·365), o per minuts, prenent un Imi = Ia/525.600 que fos l'index de creixement per minuts i un exponent que fos el nombre de minuts considerat, 525.600·t (on 525.600 = 60·8.760)... Així, anomenant n el nombre de parts en què considerem dividit l'any, 1, 12, 365, 8.760 o 525.600, la fórmula següent serveix per a tots els casos:
    P
    nt = Pa·(1 + Ia/n)^n·t.
    Calculem, doncs, la població al cap d'un any (t = 1), considerant 1 any, 12 mesos, 365 dies, 8.760 hores o 525.600 minuts:
    P
    1a = 20.000.000·(1 + 0,05) = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,00
    P
    12m = 20.000.000·(1 + 0,05/12)^12 = 20.000.000·1,00416666^12 = 21.023.237,96
    P
    365d = 20.000.000·(1 + 0,05/365)^365 = 20.000.000·1,000136986^365 = 21.025.349,93
    P
    8760h = 20.000.000·(1 + 0,05/8.760)^8.760 = 20.000.000·1,00000570776^365 = 21.025.418,93
    P
    525600mi = 20.000.000·(1 + 0,05/525.600)^525.600 = 20.000.000·1,0000000951294^525.600 = 21.025.421,88,
    i encara considerarem els 60·525.600 = 31.536.000 segons de l'any, perquè no sigui dit:
    P
    31536000s = 20.000.000·(1 + 0,05/31.536.000)^31.536.000 = 20.000.000·1,00000000158549^31.536.000 = 21.025.421,93.

    El que faré ara serà reproduir aquests resultats en el trocet de pissarra neta, i dividir-los tots per 21.000.000:
    P
    a = 21.000.000,00, i 21.000.000,00/21.000.000,00 = 1,00000000
    P
    m = 21.023.237,96, i 21.023.237,96/21.000.000,00 = 1,00110657
    P
    d = 21.025.349,93, i 21.025.349,93/21.000.000,00 = 1,00120714
    P
    h = 21.025.418,93, i 21.025.418,93/21.000.000,00 = 1,00121043
    P
    mi= 21.025.421,88, i 21.025.421,88/21.000.000,00 = 1,00121057
    P
    s = 21.025.421,93, i 21.025.421,93/21.000.000,00 = 1,00121057
    I ara us dono dos minuts perquè us els mireu i em digueu quines conclusions se us acudeixen.

    —No sé si la pila de la calculadora li fa figa, profe, però em sembla que ha fet malament les operacions —va deixar anar en Rafelet, sense aixecar-se—, perquè la població al cap d'un any hauria de donar sempre 21.000.000, s'hagués comptat l'any en dies, hores o minuts, i totes les divisions haurien de donar la unitat...

    ... I a més passa una cosa estranya —intervingué Quimeta amb contundència, sense deixar-lo acabar—: cada vegada que ho calculem fent servir espais de temps més petits, aquests quocients són més grans, però cada vegada menys grans. No sé si m'explico.

    —Us expliqueu molt bé i tots dos teniu raó. Efectivament, totes les divisions haurien d'haver donat u, perquè al cap de l'any la població actualitzada hauria d'haver estat sempre 21.000.000, amb independència de la unitat de temps utilitzada i de quantes actualitzacions s'haguessin fet. Però el problema no són les piles ni que la calculadora estigui espatllada, sinó que hauria d'haver agafat uns valors una mica més petits que 1/12, 1/365, 1/8.760, 1/525.600 o 1/31.536.000. Ara bé —digué el professor, adreçant-se a Quimeta—, la veritat és que els errors, les desviacions respecte a 21.000.000, són petits, cada vegada creixen menys i, si us fixeu en les dues últimes línies, s'estanquen en el valor 1,00121057, o sigui que, dintre de l'ordre de valors en què ens movem, comuns en estudis demogràfics, la desviació no supera l'1,2 per mil, marge perfectament assumible perquè les dades estadístiques encara són menys fiables.

    El que vull que tragueu de tot això és que el valor de convergència d'una successió no sempre està clar, com en la juguesca entre Aquil·les i la tortuga, però hi ha una sèrie de processos que es donen a la natura, entre ells el creixement de comunitats on ningú entra ni surt del territori i on, per tant, els nounats se sumen a la població,
    que tenen en comú la convergència en un valor anomenat e i també constant d'Euler. N'hi ha prou que l'índex de creixement I
    a (augment de població per unitat de temps i persona) sigui constant al llarg del temps: llavors el creixement (augment de població per unitat de temps) serà proporcional a la població en cada moment i estarem en un cas de l'anomenat creixement exponencial. No us donaré el valor d'e perquè vull que el descobriu vosaltres mateixos. I, com que encara heu de menjar moltes sopes per estudiar teoria de límits, que és la porta d'entrada al càlcul infinitesimal, ho fareu empíricament.

    La primera cosa és desempallegar-vos del que és accessori, reduint
    P
    nt = P0·(1 + Ia/n)^n·t
    a un any,
    P
    n = P0·(1 + Ia/n)^n
    i deixant el segon terme de l'equació
    P
    n/P0 = (1 + Ia/n)^n = [(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
    (P
    n/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia

    en aquesta forma; perfecta per deixar-nos en el dubte de quina tendència prevaldrà, perquè, a mesura que n creixi, l'exponent n/I
    tendirà a infinit, però Ia/n tendirà a zero i la base de la potència, 1 + Ia/n, tendirà a u. Si voleu, us podeu estalviar de fer el càlcul complet per a n = 12, 365, 8.760, 525.600 i 31.536.000, aprofitant els sis valors d'abans:
    com que 1/I
    a = 1/0,05 = 20 i
    P
    n/P0 = (Pa/P0)·(Pn/Pa) = (21.000.000/20.000.000)·(Pn/Pa) = 1,05·Pn/Pa
    només cal elevar a la potència 20 el producte 1,05·P
    n/Pa, que són aquells valors, per tenir
    (1,05·P
    n/Pa)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia:
    (1,05·1,00000000)^20 = (1 + I
    a/n)^n/Ia = 2,653298,
    per a n = 1,
    (1,05·1,00110657)^20 = (1 + I
    a/n)^n/Ia = 2,712640, per a n = 12,
    (1,05·1,00120714)^20 = (1 + I
    a/n)^n/Ia = 2,718096, per a n = 365,
    (1,05·1,00121043)^20 = (1 + I
    a/n)^n/Ia = 2,718274, per a n = 8.760,
    (1,05·1,00121057)^20 = (1 + I
    a/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 525.600 i
    (1,05·1,00121057)^20 = (1 + I
    a/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 31.536.000.

    Considerant que el nombre e té infinites xifres decimals però que, per a aplicacions demogràfiques com la comentada va que xuta amb sis, amb n = 525.600 i probablement amb força menys ja haurà assolit el valor definitiu. Interessant, no?

    —Qui el va parir! —se sentí a l'última fila.
    • RE: RE: Això és una prova.
      Joan Colom | 15/06/2024 a les 10:42
      La primera cosa és desempallegar-vos del que és accessori, reduint
      P
      nt = P0·(1 + Ia/n)^n·t
      a un any,
      P
      n = P0·(1 + Ia/n)^n = P0·[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
      i deixant el segon terme de l'equació
      P
      n/P0 = [(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
      (P
      n/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia

      en aquesta forma; perfecta per deixar-nos en el dubte de quina tendència prevaldrà, perquè, a mesura que n creixi, l'exponent n/I
      a tendirà a infinit, però Ia/n tendirà a zero i la base de la potència, 1 + Ia/n, tendirà a u. Si voleu, us podeu estalviar de fer el càlcul complet per a n = 12, 365, 8.760, 525.600 i 31.536.000, aprofitant els sis valors d'abans:
      com que 1/Ia = 1/0,05 = 20 i
      P
      n/P0 = (Pa/P0)·(Pn/Pa) = (21.000.000/20.000.000)·(Pn/Pa) = 1,05·Pn/Pa
      nomès cal elevar a la potència 20 el producte de 1,05 i P
      n/Pa, que són aquells valors, per tenir
      (1,05·P
      n/Pa)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia:
      (1,05·1,00000000)^20 = (1 + I
      a/n)^n/Ia = 2,653298,
      per a n = 1,
      (1,05·1,00110657)^20 = (1 + I
      a/n)^n/Ia = 2,712640, per a n = 12,
      (1,05·1,00120714)^20 = (1 + I
      a/n)^n/Ia = 2,718096, per a n = 365,
      (1,05·1,00121043)^20 = (1 + I
      a/n)^n/Ia = 2,718274, per a n = 8.760,
      (1,05·1,00121057)^20 = (1 + I
      a/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 525.600 i
      (1,05·1,00121057)^20 = (1 + I
      a/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 31.536.000.

      Fixeu-vos que, entre n = 1 i n = 8.760, creix poquíssim, i que, entre aquest últim valor i n = 525.600, ja haurà assolit el valor 2,718282: si en tenim prou amb una aproximació de sis xifres decimals, no creix més. Doncs bé, anomenarem e el valor al qual s'estabilitza l'expressió
      (P
      n/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia
      per a valors n creixents. En no estar ja lligat Pn a cap valor n concret, l'anomenarem P, i
      (P/P
      0)^1/Ia = e
      P/P
      0 = e^Ia
      P = P
      0·e^Ia

      i, generalitzant la fórmula a t anys,
      P
      t = P0·e^Ia·t
      El nombre e té un nombre infinit de xifres decimals, però se n'agafen de més o de menys segons la precisió requerida per cada aplicació. En la nostra va que xuta amb sis i serà e = 2,718282. Interessant, no?
    • RE: RE: Això és una prova.
      Joan Colom | 15/06/2024 a les 13:10
      els rendiments eren cada vegada més grans, ja que Pmiliómilionèsima = 21.025.421,90> P365d = 21.025.349,93> P12m = 21.023.237,96> P1a = 21.000.000.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 15/06/2024 a les 11:10
    La primera cosa és desempallegar-nos del que és accessori, reduint
    P
    nt = P0·(1 + Ia/n)^n·t
    a un any,
    P
    n = P0·(1 + Ia/n)^n = P0·[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
    i deixant l'últim terme de l'expressió en la forma
    P
    n/P0 = [(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia
    (P
    n/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia,

    perfecta per deixar-nos en el dubte de quina tendència prevaldrà; perquè, a mesura que n creixi, l'exponent n/I
    a tendirà a infinit, però Ia/n tendirà a zero i la base de la potència, 1 + Ia/n, tendirà a u. Si voleu, us podeu estalviar de fer el càlcul complet per a n = 12, 365, 8.760, 525.600 i 31.536.000, aprofitant els sis valors d'abans:
    com que 1/Ia = 1/0,05 = 20 i
    P
    n/P0 = (Pa/P0)·(Pn/Pa) = (21.000.000/20.000.000)·(Pn/Pa) = 1,05·Pn/Pa
    nomès cal elevar a la potència 20 el producte de 1,05 i P
    n/Pa, que són aquells valors, per tenir
    (1,05·P
    n/Pa)^20 = (1 + Ia/n)^n/Ia:
    (1,05·1,00000000)^20 = (1 + I
    a/n)^n/Ia = 2,653298,
    per a n = 1,
    (1,05·1,00110657)^20 = (1 + I
    a/n)^n/Ia = 2,712640, per a n = 12,
    (1,05·1,00120714)^20 = (1 + I
    a/n)^n/Ia = 2,718096, per a n = 365,
    (1,05·1,00121043)^20 = (1 + I
    a/n)^n/Ia = 2,718274, per a n = 8.760,
    (1,05·1,00121057)^20 = (1 + I
    a/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 525.600 i
    (1,05·1,00121057)^20 = (1 + I
    a/n)^n/Ia = 2,718282, per a n = 31.536.000.

    Fixeu-vos que, entre n = 1 i n = 8.760, creix poquíssim, i que, entre aquest últim valor i n = 525.600, ja haurà assolit el valor 2,718282: si en tenim prou amb una aproximació de sis xifres decimals, no creix més. Doncs bé, anomenarem e el valor al qual s'estabilitza l'expressió
    (P
    n/P0)^1/Ia = (1 + Ia/n)^n/Ia
    per a valors n creixents. En no estar ja lligat Pn a cap valor n concret, l'anomenarem P, i
    (P/P
    0)^1/Ia = e
    P/P
    0 = e^Ia
    P = P
    0·e^Ia

    i, generalitzant la fórmula a t anys,
    P
    t = P0·e^Ia·t
    El nombre e té un nombre infinit de xifres decimals, però se n'agafen de més o de menys segons la precisió requerida per cada aplicació. En la nostra va que xuta amb sis i serà e = 2,718282. Interessant, no?
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 15/06/2024 a les 15:35
    Nota de l'autor:

    Aquest relat està especialment dedicat a SrGarcia, que en un comentari a "Pi i la quadratura del cercle" venia a dir que, a "Fibonacci, punt final", jo parlava de l'interès compost i del nombre e quan, de fet, m'havia limitat a escriure que les funcions exponencials eren models matemàtics utilitzats per descriure, entre altres aplicacions, la capitalització periòdica d'interessos en règim d'interès compost. A més, tot i que el nombre e sols intervé en l'interès compost continu, com de seguida veureu, el present relat ja aborda el tema: el professor és un abusananos que, amb el pretext d'avançar uns conceptes que no s'estudien fins a quart d'ESO, està donant gat per llebre als alumnes de segon, amb la justificació implícita (es farà explícita, en boca de l'autor, en aquesta nota) que l'explicació real seria massa complicada i que tampoc s'adonaran de la tergiversació. D'altra banda, us haig d'advertir que, com que em feia mandra desempolsar els vells llibres de mates i a vosaltres encara us n'hauria fet més seguir els meus raonaments, en lloc d'explicar amb rigor els passos al límit, seguiré la via empírica d'aplicar valors progressius a les variables de les funcions.

    També aprofito l'avinentesa per advertir als lectors que mai més no repetiré els recursos tipogràfics usats en la trilogia de Fibonacci, passant al tipus de lletra Courier per aconseguir que les columnes estiguin ben alineades verticalment i complicant-me la vida fins a extrems inimaginables per representar potències i arrels. Únicament mantindré l'ús de la negreta per distingir les expressions matemàtiques del text narratiu o discursiu, i una mida de caràcters més menuda per als subíndexs. Pel que fa a potències i arrels, faré servir la notació habitual en programació informàtica, base^exponent i arrel^1/grau, amb el benentès que al relat utilitzo aquesta notació de cara als lectors: en la ficció relatada haureu d'imaginar que el professor escriu a la pissarra les expressions matemàtiques com Déu mana, perquè ho entenguin els alumnes.

    Pel que he vist a Internet, el creixement exponencial i el nombre e s'acostumen a introduir amb la primera aproximació que hi va fer Jakob Bernouilli (1654-1705) i la posterior categorització de Leonard Euler (1707-1783). El primer, interessat en els rendiments generats aplicant interès compost, va adonar-se que si, en comptes de capitalitzar un dipòsit per anys, amb un capital inicial P0 = 20.000.000 € i un interès anual Ia = 0,05, amb aquests capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys,
    P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) = P0(1 + Ia)^2
    P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
    ··················
    Pta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000

    P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000

    P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500

    ·······················
    Pta = 20.000.000·1,05^t
    ,
    ho feia per mesos, amb un interès mensual Im = Ia/12 = 0,05/12 = 0,004167 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 12 mesos,
    P1m = P0 + P0·Im = P0(1 + Im)
    P2m = P0(1 + Im) + P0·Im(1 + Im) = P0(1 + Im)(1 + Im) = P0(1 + Im)^2
    P3m = P0(1 + Im)^2 + P0·Im(1 + Im)^2 = P0(1 + Im)(1 + Im)^2 = P0(1 + Im)^3
    ··················
    Pim = P0(1 + Im)^i
    ··················
    P12m = P0(1 + Im)^12,

    és a dir,
    P1m = 20.000.000·1,004167 = 20.167.013,89

    P2m = 20.000.000·1,004167^2 = 20.251.043,11

    P3m = 20.000.000·1,004167^3 = 20.335.422,46

    ···········································
    P12m = 20.000.000·1,004167^12 = 21.023.237,96
    ;
    per dies, amb un interès diari Id = Ia/365 = 0,05/365 = 0,000137 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 365 dies,
    P1d = P0 + P0·Id = P0(1 + Id)
    P2d = P0(1 + Id) + P0·Id(1 + Id) = P0(1 + Id)(1 + Id) = P0(1 + Id)^2
    P3d = P0(1 + Id)^2 + P0·Id(1 + Id)^2 = P0(1 + Id)(1 + Id)^2 = P0(1 + Id)^3
    ··················
    Pid = P0(1 + Id)^i
    ··················
    P365d = P0(1 + Id)^365,

    és a dir,
    P1d = 20.000.000·1,000137 = 20.002.739,73

    P2d = 20.000.000·1,000137^2 = 20.005.479,83

    P3d = 20.000.000·1,000137^3 = 20.008.220,30

    ···········································
    P365d = 20.000.000·1,000137^365 = 21.025.349,93
    ,
    o per fraccions milionèsimes d'any (gairebé el doble que fer-ho per minuts, i més rodó), amb un interès Imilionèsima = 0,05/1.000.000 = 0,00000005 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 1.000.000 milionèsimes d'any,
    P1milionèsima = P0 + P0·Imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)
    P2milionèsima = P0(1 + Imilionèsima) + P0·Imilionèsima(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)^2
    P3milionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^2 + P0·Id(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)^3
    ······································
    Pimilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i
    ······································
    Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000,

    és a dir,
    P1milionèsima = 20.000.000·1,00000005 = 20.000.001,00

    P2milionèsima = 20.000.000·1,00000005^2 = 20.000.002,00

    P3milionèsima = 20.000.000·1,00000005^3 = 20.000.003,00

    ·······················································
    Pmiliómilionèsima = 20.000.000·1,00000005^1.000.000 = 21.025.421,90
    ,
    els rendiments eren cada vegada més grans, ja que Pmiliómilionèsima = 21.025.421,90> P365d = 21.025.349,93> P12m = 21.023.237,96> P1a = 21.000.000.

    Resumint, per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    Pin = P0(1 + In)^i, on In = Ia/n.

    Òbviament, Bernouilli no comptava els diners en euros, crec haver llegit que l'operació financera que estudiava no era un dipòsit sinó un crèdit i, pel que fa al capital inicial de 20.000.000 i a l'interès anual de 0,05, els he assignat aquests valors per fer-los coincidir amb la població i l'índex de creixement de l'exemple que el professor planteja a classe. Però tornant a Bernouilli, el descobriment que la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia), el va dur a preguntar-se si aquesta tendència tenia o no aturador, perquè s'adonava que multiplicant per 12 el nombre de capitalitzacions i disminuint l'interès en la mateixa proporció, la rendibilitat augmentava (21.023.321,70 – 21.000.000 = 23.321,70, cosa que representa passar de l'1,05 a l'1,051166), però que, procedint anàlogament amb 365, la rendibilitat seguia augmentant però no molt més (21.025.378,31 – 21.023.321,70 = 2.056,61, passant de l'1,051166 a l'1,051269) i que fent tres quarts del mateix amb 1.000.000, la rendibilitat gairebé no havia augmentat (21.025.421,90 – 21.025.378,31 = 43,59, passant de l'1,051269 a l'1,051271). Ho va sistematitzar, estudiant el comportament de l'expressió (1 + Ia/n)^n/Ia amb valors de n cada cop més elevats, perquè era difícil avançar-ne el comportament: prevaldria el contingut del parèntesi tendint a un o el de l'exponent tendint a infinit? Calia esperar Euler i el càlcul diferencial per passar-la al límit.

    Retinguem el valor 1/Ia = 20, que sortirà en aquest paràgraf i en els dos següents, i comencem amb les capitalitzacions mensuals:
    P12m = P0(1 + Im)^12 = P0(1 + Ia/12)^12 = P0[(1 + Ia/12)^12/Ia]^Ia
    (P12m/P0)^1/Ia = (1 + Ia/12)^12/Ia
    i, anomenant N12 = 12/Ia = 240,
    (P12m/P0)^1/Ia = (1 + 1/N12)^N12.

    Substituint valors,
    1,051166^20 = (1 + 1/240)^240 = 2,712640.


    Continuem amb les capitalitzacions diàries:
    P365d = P0(1 + Id)^365 = P0(1 + Ia/365)^365 = P0[(1 + Ia/365)^365/Ia]^Ia
    (P365d/P0)^1/Ia = (1 + Ia/365)^365/Ia i, anomenant N365 = 365/Ia = 7.300,
    (P365/P0)^1/Ia = (1 + 1/N365)^N365.

    Substituint valors,
    1,051269^20 = (1 + 1/7.300)^7.300 = 2,718096.


    I acabem amb les capitalitzacions de milionèsima part d'any:
    Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P0(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000 = P0[(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia]^Ia
    (Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia
    i, anomenant Nmilionèsim = 1.000.000/Ia = 20.000.000,
    (Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + 1/Nmilionèsim)^Nmilionèsim.

    Substituint valors,
    1,051271^20 = (1 + 1/20.000.000)^20.000.000 = 2,718282 ≈ e.


    Tenint en compte que e = 2,718281828459045235360287471... es un nombre irracional, l'aproximació precedent amb sis xifres decimals és la que utilitzarem habitualment. No cal seguir aplicant valors més alts encara, per adonar-se que (Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia no creix indefinidament sinó que queda estabilitzat al valor e. Però si, per generalitzar, seguíssim fent créixer la partició de l'any a n períodes de capitalització i anomenéssim N = n/Ia i Pn el capital obtingut al cap de l'any amb aquest sistema, tindríem
    (1 + 1/N)^N = e i
    Pn = P0·e^Ia,

    expressió que es transforma en
    Pt = P0(e^Ia)^t = P0·e^Ia·t si considerem t anys.
    La manera rigorosa d'enunciar-ho, seria:
    Per a n → ∞:
    N = n/Ia → ∞,
    (1 + 1/N)^N → e
    i
    Pt = P0[(1 + 1/N)^N]^Ia·t → P0·e^Ia·t

    Aquest interés compost s'anomena continu, perquè obeeix a la ràpida successió de "capitalitzacions instantànies".

    Resumint, en l'exemple serà
    Pt = 20.000.000·e^0,05·t, considerant t anys en capitalització contínua, o bé
    Pt = 20.000.000·1,05^t
    , considerant t anys en capitalització anual,
    Pim = 20.000.000·1,00416667^i
    , considerant i mesos en capitalització mensual,
    Pid = 20.000.000·1,000136986^i €, considerant i dies en capitalització diària o
    Pimilionèsima = 20.000.000·1,00000005^i, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Com que Bernouilli no disposava de calculadora, hem de suposar que va resoldre aquestes equacions traient logaritmes, tècnica ideada per John Napier (1550-1617) gairebé un segle abans. Si voleu construir la gràfica de la funció y = (1 + Ia/N)^N/Ia, amb aquesta variable en ordenades i x = N/Ia en abscisses, veureu que arrenca de (0 1), es corba cap amunt i cap a la dreta i s'aproxima asimptòticament a la recta horitzontal y = (1 + Ia/N)^N/Ia = e. Podeu servir-vos d'aquests quinze punts: (0,000001 1,000014), (0,001 1,006933), (0,0625 1,193722), (0,125 1,316074), (0,25 1,495349), (0,5 1,732051), (1 2), (1,5 2,151657), (2 2,25), (2,5 2,319103), (3 2,370370), (5 2,48832), (10 2,593742), (100 2,704814) i (1000 2,716924).

    I ara ve quan el maten, perquè em proposo posar en qüestió gairebé tot aquest desenvolupament algebraic. Quan no fa massa escrivia "la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia)", referint-me a Bernouilli, posava en dubte que, capitalitzant 12, 365 o 1.000.000 vegades al cap de l'any, i prenent com a interès per a cadascun d'aquests períodes Ia/12, Ia/365 o Ia/1.000.000, que era l'INTERÈS SIMPLE mensual, diari o corresponent a una milionèsima part d'any, l'interès anual Ia no es veiés afectat de retruc, ja que s'acceptava que el rendiment anual havia augmentat. I, com que a partir d'ara caldrà filar prim, en lloc de seguir amb l'ús extensiu de la paraula "interès", parlarem de "rèdit" (rendiment relatiu al capital en tant per u, per unitat de temps), "interès" (rendiment absolut, per unitat de temps) i "guany" (rendiment absolut en el temps especificat).

    Jo diria que la hipòtesi de treball hauria de ser justament la contrària: en lloc d'adoptar els rèdits propis de l'interès simple i calcular quins guanys produiran en interès compost al cap d'un temps, caldria calcular quins rèdits mensuals, diaris o milionèsims s'haurien d'utilitzar per tal que, després de 12, 365 o 1.000.000 capitalitzacions, el guany fos igual a l'interès generat pel rèdit Ia al cap d'un any.

    Pel que fa als capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys, tot serà com abans,
    P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) = P0(1 + Ia)^2
    P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
    ··················
    Pta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000

    P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000

    P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500

    ·······················
    Pta = 20.000.000·1,05^t
    .
    Però, a diferència de l'anterior, en el mètode present haurà de ser Im < Ia/12, Id < Ia/365 i Imilionèsima < Ia/1.000.000. Segons aquesta premisa, el rèdit mensual, diari i milionèsim no vindrà donat sinó que l'haurem de deduir de les condicions d'arribada, considerant que P1a = P12m = P365d = Pmiliómilionèsima. Les equacions en P són les mateixes del mètode precedent, amb l'única particularitat que ara Im, Id i Imilionèsima seran les incògnites.

    P12m = P0(1 + Im)^12 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + Im)^12 = 1 + Ia
    1 + Im = (1 + Ia)^1/12
    Im = (1 + Ia)^1/12 – 1
    Pim = P0(1 + Im)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/12 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/12

    és a dir,
    Im = 1,05^0,0833333 – 1 = 0,00407412
    P1m = 20.000.000·1,00407412 = 20.081.482,4

    P2m = 20.000.000·1,00407412^2 = 20.000.000·1,008165 = 20.163.296,77

    P3m = 20.000.000·1,00407412^3 = 20.000.000·1,012272 = 20.245.444,46

    ······························································
    P12m = 20.000.000·1,00407412^12 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    ,

    P365d = P0(1 + Id)^365 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + Id)^365 = 1 + Ia
    1 + Id = (1 + Ia)^1/365
    Id = (1 + Ia)^1/365 – 1
    Pid = P0(1 + Id)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/365 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/365

    és a dir,
    Id = 1,05^0,00273973 – 1 = 0,000133681
    P1d = 20.000.000·1,000133681 = 20.002.673,62

    P2d = 20.000.000·1,000133681^2 = 20.000.000·1,000267379 = 20.005.347,60

    P3d = 20.000.000·1,000133681^3 = 20.000.000·1,000401095 = 20.008.021,93

    ·································································
    P365d = 20.000.000·1,000133681^365 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    ,

    Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + Imilionèsima)^1.000.000 = 1 + Ia
    1 + Imilionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000
    Imilionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1
    Pimilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/1.000.000

    és a dir,
    Imilionèsima = 1,05^0,000001 – 1 = 0,0000000487902
    P1milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902 = 20.000.000,98

    P2milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^2 = 20.000.000·1,0000000975804 = 20.000.001,95

    P3milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^3 = 20.000.000·1,000000146371 = 20.000.002,93

    ············································································
    Pmiliómilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^1.000.000 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    .

    Resumint: per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    Pin = P0(1 + In)^i, on In = (1 + Ia)^1/n – 1
    Pin = P0[1 + {(1 + Ia)^1/n} - 1]^i = P0[(1 + Ia)^1/n]^i = P0(1 + Ia)^i/n.


    Descrit aquest mètode alternatiu i recapitulant, en tots dos mètodes l'expressió
    Pin = P0(1 + In)^i és idèntica, i només es diferencia en In: en el primer
    In(1) = Ia/n,
    mentre que en el segon
    In(2) = (1 + Ia)^1/n – 1, com acabem de veure.
    Si comparem els valors d'In en ambdós mètodes, per a n = 12, 365 i 1.000.000,
    I12(1) = 0,00416667
    I12(2) = 0,00407412
    I365(1) = 0,000136986
    I365(2) = 0,000133681
    Imilionèsima(1) = 0,00000005
    Imilionèsima(2) = 0,0000000487902,

    no detectem res significatiu, a banda que els valors In(2) són lleugerament menors que In(1), com havíem previst.

    Tornant al segon mètode i a diferència del primer, cal aclarir que no té massa sentit distingir entre aplicacions discretes i contínues: de fet, igual que en el primer
    Pn = P0(1 + In)^n = P0(1 + Ia/n)^n = P0[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia, i
    (1 + Ia/n)^n/Ia
    tendia a la constant e quan n tendia a infinit, en el segon
    Pin = P0(1 + In)^i = P0(1 + Ia)^i/n,
    i
    (1 + Ia)^i/n
    tendeix a la constant (1 + Ia) quan i tendeix a n, amb independència dels valors n i per la pròpia definició dels rèdits In, i en aquest sentit podem parlar d'aplicacions contínues. Així doncs,
    Pt = P0(1 + Ia)^t,
    si considerem t anys, i
    Pin = P0(1 + Ia)^i/n
    o
    Pim = P0(1 + Ia)^i/12
    Pid = P0(1 + Ia)^i/365
    i
    Pimilionèsima = P0(1 + Ia)^i/1.000.000.

    Resumint, en l'exemple serà
    Pt = 20.000.000·1,05^t
    , considerant t anys en capitalització anual, o bé
    Pim = 20.000.000·1,00407412^i
    , considerant i mesos en capitalització mensual,
    Pid = 20.000.000·1,000133681^i
    , considerant i dies en capitalització diària,
    Pimilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^i
    , considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Aquest segon model defineix un interès compost homogeni, on tant se val capitalitzar per fraccions milionèsimes d'any, dies, mesos o anys, perquè els rendiments obtinguts per un procediment o altre, en un mateix període de temps, són idèntics i sols depenen del capital inicial i d'aquest període. Però llavors un es pregunta: de què serveix capitalitzar per mesos, dies o milionèsimes d'any, podent-ho fer per anys? Doncs per calcular més còmodament els guanys quan el període impositiu, expressat en anys, mesos o dies no sigui enter, a banda que interessava fer-ho així per apreciar millor les diferències amb el primer mètode. També podríem adduir, a favor d'aquest model, que el tractament de les capitalitzacions, per fraccions d'any, per anys o per múltiples d'any, és únic. Així, si volguessin crear una imposició quinquennal a interès compost Iq, tindríem que: Imilionèsim < Ia/1.000.000, Id < Ia/365, Im < Ia/12 i Ia < Iq/5. I tant és calcular el rèdit quinquennal Iq a partir del rèdit anual Ia (Iq > 5·Ia), com procedir al revés (Ia < Iq/5):
    Si volem conèixer el rèdit quinquennal Iq a partir de Ia, farem
    Pq = P0(1 + Iq) = P5a = P0(1 + Ia)^5
    1 + Iq = (1 + Ia)^5
    Iq = (1 + Ia)^5 – 1

    és a dir,
    Iq = 1,05^5 – 1 = 1,276282 – 1 = 0,276282
    i
    Piq = P0(1 + Iq)^i = 20.000.000· 1,276282^i
    , considerant i quinquennis en capitalització quinquennal.
    Inversament, per conèixer Ia a partir de Iq,
    1 + Iq = (1 + Ia)^5
    (1 + Iq)^1/5 = 1 + Ia
    Ia = [(1 + Iq)^1/5] – 1

    és a dir
    Ia = (1,276282^1/5) – 1 = 1,05.

    El primer model és aplicable a processos depenents de paràmetres fixats arbitràriament, com els del món de les finances, on tot és possible si és negoci, però no serveix per reproduir lleis físiques o demogràfiques de formulació inamovible. Si intentem aplicar-lo, per exemple, al problema que el professor del relat proposa als alumnes, on les dades numèriques són les mateixes però canvia allò representat (el capital és població, el rendiment és increment demogràfic i el rèdit anual és l'índex anual de creixement vegetatiu), tot trontollarà. Mentre ens limitem a usar l'índex de creixement anual Ia = 0,05 anirem bé: al cap dels primers anys, la població inicial de P0 = 20.000.000 persones s'haurà transformat en
    P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) = P0(1 + Ia)^2
    P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
    ··················
    Pta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    persones
    P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
    persones
    P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
    persones
    ·······················
    Pta = 20.000.000·1,05^t
    persones.
    Però no tindrà solta ni volta que, en comptar-la per mesos, aquesta població sigui més gran, que en comptar-la per dies encara sigui més gran ni que en comptar-la per milionèsimes d'any (i no diguem per parts infinitesimals!) encara ho sigui més: el creixement vegetatiu en un any és el que és, naixements menys defuncions, i el sistema de càlcul no pot modificar aquesta realitat objectiva. I, com que el segon mètode no presenta aquestes contradiccions, és el que cal adoptar.

    Llavors, per què el professor del relat explica el primer model, venent-lo com si fos el segon? Doncs perquè fa trampa, o més ben dit, jo, que sóc el titellaire que en mou els fils, faig trampa. I en faig perquè ja trobo prou agafat pels pèls explicar aquest model i el descobriment de e a xavals de dotze anys, però no em veig amb cor d'explicar el segon, que és el que realment caldria utilitzar. Si us val com a circumstància atenuant, us haig de confessar que m'he tornat mico provant de trobar a Internet la justificació de les expressions matemàtiques utilitzades per calcular el creixement exponencial continu de la població, però ha estat en va: de justificacions de l'ínterès compost continu, les que vulgueu; però en aplicacions demogràfiques, que fan servir les mateixes fórmules i que per això mateix m'interessaven, cap ni una. De manera que m'he hagut d'espavilar sol, reinventant un cop més la sopa d'all, i m'ha semblat que, endinyar als pobres vailets de segon d'ESO aquest plus de dificultat i transmetre'ls les meves inseguretats, encara que fos en la ficció, ja era massa. Si havia d'acabar explicant el que aquí he anomenat "primer mètode", també pensareu que hauria pogut escollir l'interès continu com aplicació a comentar, en lloc del creixement demogràfic d'una població sense migrants. Potser sí, però em repugnava influir ideològicament sobre angelets innocents (innocents si ens oblidem de la roba i el calçat de marca, del mòbil i dels videojocs), iniciant-los en les males arts del capitalisme financer.

    He parlat de les meves inseguretats, d'una banda, perquè no sé a què atribuir l'omissió demostrativa de Pt = P0·e^Ia·t quan s'enuncia en el camp de la demografia: És per no repetir la demostració de la fórmula, realitzada ja en l'apartat capitalització contínua, donant per fet que són processos paral·lels quan no ho són en absolut? És que, igual que el profe del relat, els internautas divulgadors saben perfectament que els dos processos no ho són, de paral·lels, però no volen exposar a la crítica una argumentació poc consistent? O és que, en aquest últim supòsit, no es vol desvelar que la unificació només obeeix a raons de conveniència, atès que els resultats d'aplicar Pt = P0·e^Ia·t i Pt = P0(1 + Ia)^t són acceptablement pròxims en el domini habitual de valors Ia (divergències menors que el 2 per mil: 20.506.302,41/20.493.901,53 = 1,0006, 21.025.421,93/21.000.000 = 1,0012 i 21.557.683,02/21.518.596,61 = 1,0018, obtingudes dividint valors homòlegs en el recull de dades final)? Com veieu, quan un no troba una resposta satisfactòria a allò que li sembla un despropòsit, tendeix a admetre autèntiques bajanades com a explicació.

    N'he parlat, d'altra banda, perquè això de trobar arreu afirmacions no compartides condueix a la conclusió que qui s'enganya és un mateix. En què m'hauré equivocat?: no pot ser que tots errin i només jo estigui en possessió de la veritat, que a més té una formulació ben simple. Suposo que aquestes consideracions i un elemental sentit de la prudència m'han acabat d'ajudar a prendre la covarda decisió d'ensarronar els alumnes descrivint un fenomen i donant-li un tractament matemàtic que, en opinió meva, no li escau.

    Ja us he marejat prou. Agrairé qualsevol comentari assenyalant-me les relliscades que hagi pogut cometre en aquesta llarga nota, que pretenia ser aclaridora.

    Per acabar, tornarem als rendiments de l'interés compost (P0 = 20.000.000 € i rendiment Ia = 0,05, per € i any), continu o discret, per comparar els resultats d'aplicar els dos mètodes. Calcularem el capital final en tres períodes: 0,5 d'any (o 0,1 de quinquenni, o bé 6 mesos, 182,5 dies o 500.000 milionèsimes d'any), 1 any (o 0,2 de quinquenni, o bé 12 mesos, 356 dies o 1.000.000 milionèsimes d'any) i 1,5 anys (o 0,3 de quinquenni, o bé 18 mesos, 547,5 dies o 1.500.000 milionèsimes d'any).

    Mètode I amb capitalització contínua:
    Mig any: 20.506.302,41; un any: 21.025.421,93; un any i mig: 21.557.683,02.

    Mètode I amb capitalització quinquennal:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització anual:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització mensual:
    Mig any: 20.505.278,20; un any: 21.023.321,70; un any i mig: 21.554.453,01.

    Mètode I amb capitalització diaria:
    Mig any: 20.506.281,14; un any: 21.025.378,31; un any i mig: 21.557.615,93.

    Mètode I amb capitalització per milionèsimas d'any:
    Mig any: 20.506.302,40; un any: 21.025.421,90; un any i mig: 21.557.682,98.

    Mètode II amb capitalització quinquennal (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització anual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització mensual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització diaria (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 15/06/2024 a les 16:32
    Nota de l'autor:

    Aquest relat està especialment dedicat a SrGarcia, que en un comentari a "Pi i la quadratura del cercle" venia a dir que, a "Fibonacci, punt final", jo parlava de l'interès compost i del nombre e quan, de fet, m'havia limitat a escriure que les funcions exponencials eren models matemàtics utilitzats per descriure, entre altres aplicacions, la capitalització periòdica d'interessos en règim d'interès compost. A més, tot i que el nombre e sols intervé en l'interès compost continu, com de seguida veureu, el present relat ja aborda el tema: el professor és un abusananos que, amb el pretext d'avançar uns conceptes que no s'estudien fins a quart d'ESO, està donant gat per llebre als alumnes de segon, amb la justificació implícita (es farà explícita, en boca de l'autor, en aquesta nota) que l'explicació real seria massa complicada i que tampoc s'adonaran de la tergiversació. D'altra banda, us haig d'advertir que, com que em feia mandra desempolsar els vells llibres de mates i a vosaltres encara us n'hauria fet més seguir els meus raonaments, en lloc d'explicar amb rigor els passos al límit, seguiré la via empírica d'aplicar valors progressius a les variables de les funcions.

    També aprofito l'avinentesa per advertir als lectors que mai més no repetiré els recursos tipogràfics usats en la trilogia de Fibonacci, passant al tipus de lletra Courier per aconseguir que les columnes estiguin ben alineades verticalment i complicant-me la vida fins a extrems inimaginables per representar potències i arrels. Únicament mantindré l'ús de la negreta per distingir les expressions matemàtiques del text narratiu o discursiu, i una mida de caràcters més menuda per als subíndexs. Pel que fa a potències i arrels, faré servir la notació habitual en programació informàtica, base^exponent i arrel^1/grau, amb el benentès que al relat utilitzo aquesta notació de cara als lectors: en la ficció relatada haureu d'imaginar que el professor escriu a la pissarra les expressions matemàtiques com Déu mana, perquè ho entenguin els alumnes.

    Pel que he vist a Internet, el creixement exponencial i el nombre e s'acostumen a introduir amb la primera aproximació que hi va fer Jakob Bernouilli (1654-1705) i la posterior categorització de Leonard Euler (1707-1783). El primer, interessat en els rendiments generats aplicant interès compost, va adonar-se que si, en comptes de capitalitzar un dipòsit per anys, amb un capital inicial P0 = 20.000.000 € i un interès anual Ia = 0,05, amb aquests capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys,
    P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P0(1 + Ia)^2
    P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
    P0(1 + Ia)^3
    ·······················
    Pta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000

    P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000

    P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500

    ····························
    Pta = 20.000.000·1,05^t
    ,
    ho feia per mesos, amb un interès mensual Im = Ia/12 = 0,05/12 = 0,004167 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 12 mesos,
    P1m = P0 + P0·Im = P0(1 + Im)
    P2m = P0(1 + Im) + P0·Im(1 + Im) = P0(1 + Im)(1 + Im) = P0(1 + Im)^2
    P3m = P0(1 + Im)^2 + P0·Im(1 + Im)^2 = P0(1 + Im)(1 + Im)^2 =
    P0(1 + Im)^3
    ·······················
    Pim = P0(1 + Im)^i
    ·······················
    P12m = P0(1 + Im)^12,

    és a dir,
    P1m = 20.000.000·1,004167 = 20.167.013,89

    P2m = 20.000.000·1,004167^2 = 20.251.043,11

    P3m = 20.000.000·1,004167^3 = 20.335.422,46

    ··································································
    P12m = 20.000.000·1,004167^12 = 21.023.237,96
    ;
    per dies, amb un interès diari Id = Ia/365 = 0,05/365 = 0,000137 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 365 dies,
    P1d = P0 + P0·Id = P0(1 + Id)
    P2d = P0(1 + Id) + P0·Id(1 + Id) = P0(1 + Id)(1 + Id) = P0(1 + Id)^2
    P3d = P0(1 + Id)^2 + P0·Id(1 + Id)^2 = P0(1 + Id)(1 + Id)^2 =
    P0(1 + Id)^3
    ····························
    Pid = P0(1 + Id)^i
    ····························
    P365d = P0(1 + Id)^365,

    és a dir,
    P1d = 20.000.000·1,000137 = 20.002.739,73

    P2d = 20.000.000·1,000137^2 = 20.005.479,83

    P3d = 20.000.000·1,000137^3 = 20.008.220,30

    ··································································
    P365d = 20.000.000·1,000137^365 = 21.025.349,93
    ,
    o per fraccions milionèsimes d'any (gairebé el doble que fer-ho per minuts, i més rodó), amb un interès Imilionèsima = 0,05/1.000.000 = 0,00000005 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 1.000.000 milionèsimes d'any,
    P1milionèsima = P0 + P0·Imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)
    P2milionèsima = P0(1 + Imilionèsima) + P0·Imilionèsima(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)^2
    P3milionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^2 + P0·Id(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)^3
    ··············································
    Pimilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i
    ··············································
    Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000,

    és a dir,
    P1milionèsima = 20.000.000·1,00000005 = 20.000.001,00

    P2milionèsima = 20.000.000·1,00000005^2 = 20.000.002,00

    P3milionèsima = 20.000.000·1,00000005^3 = 20.000.003,00

    ·······················································
    Pmiliómilionèsima = 20.000.000·1,00000005^1.000.000 = 21.025.421,90
    ,
    els rendiments eren cada vegada més grans, ja que Pmiliómilionèsima = 21.025.421,90> P365d = 21.025.349,93> P12m = 21.023.237,96> P1a = 21.000.000.

    Resumint, per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    Pin = P0(1 + In)^i, on In = Ia/n.

    Òbviament, Bernouilli no comptava els diners en euros, crec haver llegit que l'operació financera que estudiava no era un dipòsit sinó un crèdit i, pel que fa al capital inicial de 20.000.000 i a l'interès anual de 0,05, els he assignat aquests valors per fer-los coincidir amb la població i l'índex de creixement de l'exemple que el professor planteja a classe. Però tornant a Bernouilli, el descobriment que la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia), el va dur a preguntar-se si aquesta tendència tenia o no aturador, perquè s'adonava que multiplicant per 12 el nombre de capitalitzacions i disminuint l'interès en la mateixa proporció, la rendibilitat augmentava (21.023.321,70 – 21.000.000 = 23.321,70, cosa que representa passar de l'1,05 a l'1,051166), però que, procedint anàlogament amb 365, la rendibilitat seguia augmentant però no molt més (21.025.378,31 – 21.023.321,70 = 2.056,61, passant de l'1,051166 a l'1,051269) i que fent tres quarts del mateix amb 1.000.000, la rendibilitat gairebé no havia augmentat (21.025.421,90 – 21.025.378,31 = 43,59, passant de l'1,051269 a l'1,051271). Ho va sistematitzar, estudiant el comportament de l'expressió (1 + Ia/n)^n/Ia amb valors de n cada cop més elevats, perquè era difícil avançar-ne el comportament: prevaldria el contingut del parèntesi tendint a un o el de l'exponent tendint a infinit? Calia esperar Euler i el càlcul diferencial per passar-la al límit.

    Retinguem el valor 1/Ia = 20, que sortirà en aquest paràgraf i en els dos següents, i comencem amb les capitalitzacions mensuals:
    P12m = P0(1 + Im)^12 = P0(1 + Ia/12)^12 =
    P0[(1 + Ia/12)^12/Ia]^Ia
    (P12m/P0)^1/Ia = (1 + Ia/12)^12/Ia
    i, anomenant N12 = 12/Ia = 240,
    (P12m/P0)^1/Ia = (1 + 1/N12)^N12.

    Substituint valors,
    1,051166^20 = (1 + 1/240)^240 = 2,712640.


    Continuem amb les capitalitzacions diàries:
    P365d = P0(1 + Id)^365 = P0(1 + Ia/365)^365 = P0[(1 + Ia/365)^365/Ia]^Ia
    (P365d/P0)^1/Ia = (1 + Ia/365)^365/Ia
    i, anomenant N365 = 365/Ia = 7.300,
    (P365/P0)^1/Ia = (1 + 1/N365)^N365.

    Substituint valors,
    1,051269^20 = (1 + 1/7.300)^7.300 = 2,718096.


    I acabem amb les capitalitzacions de milionèsima part d'any:
    Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P0(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000 = P0[(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia]^Ia
    (Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia
    i, anomenant Nmilionèsim = 1.000.000/Ia = 20.000.000,
    (Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + 1/Nmilionèsim)^Nmilionèsim.

    Substituint valors,
    1,051271^20 = (1 + 1/20.000.000)^20.000.000 = 2,718282 ≈ e.


    Tenint en compte que e = 2,718281828459045235360287471... es un nombre irracional, l'aproximació precedent amb sis xifres decimals és la que utilitzarem habitualment. No cal seguir aplicant valors més alts encara, per adonar-se que (Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia no creix indefinidament sinó que queda estabilitzat al valor e. Però si, per generalitzar, seguíssim fent créixer la partició de l'any a n períodes de capitalització i anomenéssim N = n/Ia i Pn el capital obtingut al cap de l'any amb aquest sistema, tindríem
    (1 + 1/N)^N = e i
    Pn = P0·e^Ia,

    expressió que es transforma en
    Pt = P0(e^Ia)^t = P0·e^Ia·t
    si considerem t anys.
    La manera rigorosa d'enunciar-ho, seria:
    Per a n tendint a infinit:
    N = n/Ia
    tendeix a infinit,
    (1 + 1/N)^N
    tendeix a e i
    Pt = P0[(1 + 1/N)^N]^Ia·t
    tendeix a P0·e^Ia·t
    Aquest interés compost s'anomena continu, perquè obeeix a la ràpida successió de "capitalitzacions instantànies".

    Resumint, en l'exemple serà
    Pt = 20.000.000·e^0,05·t, considerant t anys en capitalització contínua, o bé
    Pt = 20.000.000·1,05^t
    , considerant t anys en capitalització anual,
    Pim = 20.000.000·1,00416667^i
    , considerant i mesos en capitalització mensual,
    Pid = 20.000.000·1,000136986^i
    , considerant i dies en capitalització diària o
    Pimilionèsima = 20.000.000·1,00000005^i, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Com que Bernouilli no disposava de calculadora, hem de suposar que va resoldre aquestes equacions traient logaritmes, tècnica ideada per John Napier (1550-1617) gairebé un segle abans. Si voleu construir la gràfica de la funció y = (1 + Ia/N)^N/Ia, amb aquesta variable en ordenades i x = N/Ia en abscisses, veureu que arrenca de (0 1), es corba cap amunt i cap a la dreta i s'aproxima asimptòticament a la recta horitzontal y = (1 + Ia/N)^N/Ia = e. Podeu servir-vos d'aquests quinze punts: (0,000001 1,000014), (0,001 1,006933), (0,0625 1,193722), (0,125 1,316074), (0,25 1,495349), (0,5 1,732051), (1 2), (1,5 2,151657), (2 2,25), (2,5 2,319103), (3 2,370370), (5 2,48832), (10 2,593742), (100 2,704814) i (1000 2,716924).

    I ara ve quan el maten, perquè em proposo posar en qüestió gairebé tot aquest desenvolupament algebraic. Quan no fa massa escrivia "la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia)", referint-me a Bernouilli, posava en dubte que, capitalitzant 12, 365 o 1.000.000 vegades al cap de l'any, i prenent com a interès per a cadascun d'aquests períodes Ia/12, Ia/365 o Ia/1.000.000, que era l'INTERÈS SIMPLE mensual, diari o corresponent a una milionèsima part d'any, l'interès anual Ia no es veiés afectat de retruc, ja que s'acceptava que el rendiment anual havia augmentat. I, com que a partir d'ara caldrà filar prim, en lloc de seguir amb l'ús extensiu de la paraula "interès", parlarem de "rèdit" (rendiment relatiu al capital en tant per u, per unitat de temps), "interès" (rendiment absolut, per unitat de temps) i "guany" (rendiment absolut en el temps especificat).

    Jo diria que la hipòtesi de treball hauria de ser justament la contrària: en lloc d'adoptar els rèdits propis de l'interès simple i calcular quins guanys produiran en interès compost al cap d'un temps, caldria calcular quins rèdits mensuals, diaris o milionèsims s'haurien d'utilitzar per tal que, després de 12, 365 o 1.000.000 capitalitzacions, el guany fos igual a l'interès generat pel rèdit Ia al cap d'un any.

    Pel que fa als capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys, tot serà com abans,
    P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) = P0(1 + Ia)^2
    P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
    ··················
    Pta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000

    P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000

    P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500

    ·······················
    Pta = 20.000.000·1,05^t
    .
    Però, a diferència de l'anterior, en el mètode present haurà de ser Im < Ia/12, Id < Ia/365 i Imilionèsima < Ia/1.000.000. Segons aquesta premisa, el rèdit mensual, diari i milionèsim no vindrà donat sinó que l'haurem de deduir de les condicions d'arribada, considerant que P1a = P12m = P365d = Pmiliómilionèsima. Les equacions en P són les mateixes del mètode precedent, amb l'única particularitat que ara Im, Id i Imilionèsima seran les incògnites.

    P12m = P0(1 + Im)^12 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + Im)^12 = 1 + Ia
    1 + Im = (1 + Ia)^1/12
    Im = (1 + Ia)^1/12 – 1
    Pim = P0(1 + Im)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/12 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/12

    és a dir,
    Im = 1,05^0,0833333 – 1 = 0,00407412
    P1m = 20.000.000·1,00407412 = 20.081.482,4

    P2m = 20.000.000·1,00407412^2 = 20.000.000·1,008165 = 20.163.296,77

    P3m = 20.000.000·1,00407412^3 = 20.000.000·1,012272 = 20.245.444,46

    ······························································
    P12m = 20.000.000·1,00407412^12 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    ,

    P365d = P0(1 + Id)^365 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + Id)^365 = 1 + Ia
    1 + Id = (1 + Ia)^1/365
    Id = (1 + Ia)^1/365 – 1
    Pid = P0(1 + Id)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/365 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/365

    és a dir,
    Id = 1,05^0,00273973 – 1 = 0,000133681
    P1d = 20.000.000·1,000133681 = 20.002.673,62

    P2d = 20.000.000·1,000133681^2 = 20.000.000·1,000267379 = 20.005.347,60

    P3d = 20.000.000·1,000133681^3 = 20.000.000·1,000401095 = 20.008.021,93

    ·································································
    P365d = 20.000.000·1,000133681^365 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    ,

    Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + Imilionèsima)^1.000.000 = 1 + Ia
    1 + Imilionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000
    Imilionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1
    Pimilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/1.000.000

    és a dir,
    Imilionèsima = 1,05^0,000001 – 1 = 0,0000000487902
    P1milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902 = 20.000.000,98

    P2milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^2 = 20.000.000·1,0000000975804 = 20.000.001,95

    P3milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^3 = 20.000.000·1,000000146371 = 20.000.002,93

    ············································································
    Pmiliómilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^1.000.000 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    .

    Resumint: per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    Pin = P0(1 + In)^i, on In = (1 + Ia)^1/n – 1
    Pin = P0[1 + {(1 + Ia)^1/n} - 1]^i = P0[(1 + Ia)^1/n]^i = P0(1 + Ia)^i/n.


    Descrit aquest mètode alternatiu i recapitulant, en tots dos mètodes l'expressió
    Pin = P0(1 + In)^i és idèntica, i només es diferencia en In: en el primer
    In(1) = Ia/n,
    mentre que en el segon
    In(2) = (1 + Ia)^1/n – 1, com acabem de veure.
    Si comparem els valors d'In en ambdós mètodes, per a n = 12, 365 i 1.000.000,
    I12(1) = 0,00416667
    I12(2) = 0,00407412
    I365(1) = 0,000136986
    I365(2) = 0,000133681
    Imilionèsima(1) = 0,00000005
    Imilionèsima(2) = 0,0000000487902,

    no detectem res significatiu, a banda que els valors In(2) són lleugerament menors que In(1), com havíem previst.

    Tornant al segon mètode i a diferència del primer, cal aclarir que no té massa sentit distingir entre aplicacions discretes i contínues: de fet, igual que en el primer
    Pn = P0(1 + In)^n = P0(1 + Ia/n)^n = P0[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia, i
    (1 + Ia/n)^n/Ia
    tendia a la constant e quan n tendia a infinit, en el segon
    Pin = P0(1 + In)^i = P0(1 + Ia)^i/n,
    i
    (1 + Ia)^i/n
    tendeix a la constant (1 + Ia) quan i tendeix a n, amb independència dels valors n i per la pròpia definició dels rèdits In, i en aquest sentit podem parlar d'aplicacions contínues. Així doncs,
    Pt = P0(1 + Ia)^t,
    si considerem t anys, i
    Pin = P0(1 + Ia)^i/n
    o
    Pim = P0(1 + Ia)^i/12
    Pid = P0(1 + Ia)^i/365
    i
    Pimilionèsima = P0(1 + Ia)^i/1.000.000.

    Resumint, en l'exemple serà
    Pt = 20.000.000·1,05^t
    , considerant t anys en capitalització anual, o bé
    Pim = 20.000.000·1,00407412^i
    , considerant i mesos en capitalització mensual,
    Pid = 20.000.000·1,000133681^i
    , considerant i dies en capitalització diària,
    Pimilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^i
    , considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Aquest segon model defineix un interès compost homogeni, on tant se val capitalitzar per fraccions milionèsimes d'any, dies, mesos o anys, perquè els rendiments obtinguts per un procediment o altre, en un mateix període de temps, són idèntics i sols depenen del capital inicial i d'aquest període. Però llavors un es pregunta: de què serveix capitalitzar per mesos, dies o milionèsimes d'any, podent-ho fer per anys? Doncs per calcular més còmodament els guanys quan el període impositiu, expressat en anys, mesos o dies no sigui enter, a banda que interessava fer-ho així per apreciar millor les diferències amb el primer mètode. També podríem adduir, a favor d'aquest model, que el tractament de les capitalitzacions, per fraccions d'any, per anys o per múltiples d'any, és únic. Així, si volguessin crear una imposició quinquennal a interès compost Iq, tindríem que: Imilionèsim < Ia/1.000.000, Id < Ia/365, Im < Ia/12 i Ia < Iq/5. I tant és calcular el rèdit quinquennal Iq a partir del rèdit anual Ia (Iq > 5·Ia), com procedir al revés (Ia < Iq/5):
    Si volem conèixer el rèdit quinquennal Iq a partir de Ia, farem
    Pq = P0(1 + Iq) = P5a = P0(1 + Ia)^5
    1 + Iq = (1 + Ia)^5
    Iq = (1 + Ia)^5 – 1

    és a dir,
    Iq = 1,05^5 – 1 = 1,276282 – 1 = 0,276282
    i
    Piq = P0(1 + Iq)^i = 20.000.000· 1,276282^i
    , considerant i quinquennis en capitalització quinquennal.
    Inversament, per conèixer Ia a partir de Iq,
    1 + Iq = (1 + Ia)^5
    (1 + Iq)^1/5 = 1 + Ia
    Ia = [(1 + Iq)^1/5] – 1

    és a dir
    Ia = (1,276282^1/5) – 1 = 1,05.

    El primer model és aplicable a processos depenents de paràmetres fixats arbitràriament, com els del món de les finances, on tot és possible si és negoci, però no serveix per reproduir lleis físiques o demogràfiques de formulació inamovible. Si intentem aplicar-lo, per exemple, al problema que el professor del relat proposa als alumnes, on les dades numèriques són les mateixes però canvia allò representat (el capital és població, el rendiment és increment demogràfic i el rèdit anual és l'índex anual de creixement vegetatiu), tot trontollarà. Mentre ens limitem a usar l'índex de creixement anual Ia = 0,05 anirem bé: al cap dels primers anys, la població inicial de P0 = 20.000.000 persones s'haurà transformat en
    P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) = P0(1 + Ia)^2
    P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
    ··················
    Pta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    persones
    P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
    persones
    P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
    persones
    ·······················
    Pta = 20.000.000·1,05^t
    persones.
    Però no tindrà solta ni volta que, en comptar-la per mesos, aquesta població sigui més gran, que en comptar-la per dies encara sigui més gran ni que en comptar-la per milionèsimes d'any (i no diguem per parts infinitesimals!) encara ho sigui més: el creixement vegetatiu en un any és el que és, naixements menys defuncions, i el sistema de càlcul no pot modificar aquesta realitat objectiva. I, com que el segon mètode no presenta aquestes contradiccions, és el que cal adoptar.

    Llavors, per què el professor del relat explica el primer model, venent-lo com si fos el segon? Doncs perquè fa trampa, o més ben dit, jo, que sóc el titellaire que en mou els fils, faig trampa. I en faig perquè ja trobo prou agafat pels pèls explicar aquest model i el descobriment de e a xavals de dotze anys, però no em veig amb cor d'explicar el segon, que és el que realment caldria utilitzar. Si us val com a circumstància atenuant, us haig de confessar que m'he tornat mico provant de trobar a Internet la justificació de les expressions matemàtiques utilitzades per calcular el creixement exponencial continu de la població, però ha estat en va: de justificacions de l'ínterès compost continu, les que vulgueu; però en aplicacions demogràfiques, que fan servir les mateixes fórmules i que per això mateix m'interessaven, cap ni una. De manera que m'he hagut d'espavilar sol, reinventant un cop més la sopa d'all, i m'ha semblat que, endinyar als pobres vailets de segon d'ESO aquest plus de dificultat i transmetre'ls les meves inseguretats, encara que fos en la ficció, ja era massa. Si havia d'acabar explicant el que aquí he anomenat "primer mètode", també pensareu que hauria pogut escollir l'interès continu com aplicació a comentar, en lloc del creixement demogràfic d'una població sense migrants. Potser sí, però em repugnava influir ideològicament sobre angelets innocents (innocents si ens oblidem de la roba i el calçat de marca, del mòbil i dels videojocs), iniciant-los en les males arts del capitalisme financer.

    He parlat de les meves inseguretats, d'una banda, perquè no sé a què atribuir l'omissió demostrativa de Pt = P0·e^Ia·t quan s'enuncia en el camp de la demografia: És per no repetir la demostració de la fórmula, realitzada ja en l'apartat capitalització contínua, donant per fet que són processos paral·lels quan no ho són en absolut? És que, igual que el profe del relat, els internautas divulgadors saben perfectament que els dos processos no ho són, de paral·lels, però no volen exposar a la crítica una argumentació poc consistent? O és que, en aquest últim supòsit, no es vol desvelar que la unificació només obeeix a raons de conveniència, atès que els resultats d'aplicar Pt = P0·e^Ia·t i Pt = P0(1 + Ia)^t són acceptablement pròxims en el domini habitual de valors Ia (divergències menors que el 2 per mil: 20.506.302,41/20.493.901,53 = 1,0006, 21.025.421,93/21.000.000 = 1,0012 i 21.557.683,02/21.518.596,61 = 1,0018, obtingudes dividint valors homòlegs en el recull de dades final)? Com veieu, quan un no troba una resposta satisfactòria a allò que li sembla un despropòsit, tendeix a admetre autèntiques bajanades com a explicació.

    N'he parlat, d'altra banda, perquè això de trobar arreu afirmacions no compartides condueix a la conclusió que qui s'enganya és un mateix. En què m'hauré equivocat?: no pot ser que tots errin i només jo estigui en possessió de la veritat, que a més té una formulació ben simple. Suposo que aquestes consideracions i un elemental sentit de la prudència m'han acabat d'ajudar a prendre la covarda decisió d'ensarronar els alumnes descrivint un fenomen i donant-li un tractament matemàtic que, en opinió meva, no li escau.

    Ja us he marejat prou. Agrairé qualsevol comentari assenyalant-me les relliscades que hagi pogut cometre en aquesta llarga nota, que pretenia ser aclaridora.

    Per acabar, tornarem als rendiments de l'interés compost (P0 = 20.000.000 € i rendiment Ia = 0,05, per € i any), continu o discret, per comparar els resultats d'aplicar els dos mètodes. Calcularem el capital final en tres períodes: 0,5 d'any (o 0,1 de quinquenni, o bé 6 mesos, 182,5 dies o 500.000 milionèsimes d'any), 1 any (o 0,2 de quinquenni, o bé 12 mesos, 356 dies o 1.000.000 milionèsimes d'any) i 1,5 anys (o 0,3 de quinquenni, o bé 18 mesos, 547,5 dies o 1.500.000 milionèsimes d'any).

    Mètode I amb capitalització contínua:
    Mig any: 20.506.302,41; un any: 21.025.421,93; un any i mig: 21.557.683,02.

    Mètode I amb capitalització quinquennal:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització anual:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització mensual:
    Mig any: 20.505.278,20; un any: 21.023.321,70; un any i mig: 21.554.453,01.

    Mètode I amb capitalització diaria:
    Mig any: 20.506.281,14; un any: 21.025.378,31; un any i mig: 21.557.615,93.

    Mètode I amb capitalització per milionèsimas d'any:
    Mig any: 20.506.302,40; un any: 21.025.421,90; un any i mig: 21.557.682,98.

    Mètode II amb capitalització quinquennal (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització anual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització mensual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització diaria (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 15/06/2024 a les 16:39
    Nota de l'autor:

    Aquest relat està especialment dedicat a SrGarcia, que en un comentari a "Pi i la quadratura del cercle" venia a dir que, a "Fibonacci, punt final", jo parlava de l'interès compost i del nombre e quan, de fet, m'havia limitat a escriure que les funcions exponencials eren models matemàtics utilitzats per descriure, entre altres aplicacions, la capitalització periòdica d'interessos en règim d'interès compost. A més, tot i que el nombre e sols intervé en l'interès compost continu, com de seguida veureu, el present relat ja aborda el tema: el professor és un abusananos que, amb el pretext d'avançar uns conceptes que no s'estudien fins a quart d'ESO, està donant gat per llebre als alumnes de segon, amb la justificació implícita (es farà explícita, en boca de l'autor, en aquesta nota) que l'explicació real seria massa complicada i que tampoc s'adonaran de la tergiversació. D'altra banda, us haig d'advertir que, com que em feia mandra desempolsar els vells llibres de mates i a vosaltres encara us n'hauria fet més seguir els meus raonaments, en lloc d'explicar amb rigor els passos al límit, seguiré la via empírica d'aplicar valors progressius a les variables de les funcions.

    També aprofito l'avinentesa per advertir als lectors que mai més no repetiré els recursos tipogràfics usats en la trilogia de Fibonacci, passant al tipus de lletra Courier per aconseguir que les columnes estiguin ben alineades verticalment i complicant-me la vida fins a extrems inimaginables per representar potències i arrels. Únicament mantindré l'ús de la negreta per distingir les expressions matemàtiques del text narratiu o discursiu, i una mida de caràcters més menuda per als subíndexs. Pel que fa a potències i arrels, faré servir la notació habitual en programació informàtica, base^exponent i arrel^1/grau, amb el benentès que al relat utilitzo aquesta notació de cara als lectors: en la ficció relatada haureu d'imaginar que el professor escriu a la pissarra les expressions matemàtiques com Déu mana, perquè ho entenguin els alumnes.

    Pel que he vist a Internet, el creixement exponencial i el nombre e s'acostumen a introduir amb la primera aproximació que hi va fer Jakob Bernouilli (1654-1705) i la posterior categorització de Leonard Euler (1707-1783). El primer, interessat en els rendiments generats aplicant interès compost, va adonar-se que si, en comptes de capitalitzar un dipòsit per anys, amb un capital inicial P0 = 20.000.000 € i un interès anual Ia = 0,05, amb aquests capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys,
    P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P0(1 + Ia)^2
    P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
    P0(1 + Ia)^3
    ·······················
    Pta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000

    P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000

    P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500

    ····························
    Pta = 20.000.000·1,05^t
    ,
    ho feia per mesos, amb un interès mensual Im = Ia/12 = 0,05/12 = 0,004167 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 12 mesos,
    P1m = P0 + P0·Im = P0(1 + Im)
    P2m = P0(1 + Im) + P0·Im(1 + Im) = P0(1 + Im)(1 + Im) = P0(1 + Im)^2
    P3m = P0(1 + Im)^2 + P0·Im(1 + Im)^2 = P0(1 + Im)(1 + Im)^2 =
    P0(1 + Im)^3
    ·······················
    Pim = P0(1 + Im)^i
    ·······················
    P12m = P0(1 + Im)^12,

    és a dir,
    P1m = 20.000.000·1,004167 = 20.167.013,89

    P2m = 20.000.000·1,004167^2 = 20.251.043,11

    P3m = 20.000.000·1,004167^3 = 20.335.422,46

    ··································································
    P12m = 20.000.000·1,004167^12 = 21.023.237,96
    ;
    per dies, amb un interès diari Id = Ia/365 = 0,05/365 = 0,000137 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 365 dies,
    P1d = P0 + P0·Id = P0(1 + Id)
    P2d = P0(1 + Id) + P0·Id(1 + Id) = P0(1 + Id)(1 + Id) = P0(1 + Id)^2
    P3d = P0(1 + Id)^2 + P0·Id(1 + Id)^2 = P0(1 + Id)(1 + Id)^2 =
    P0(1 + Id)^3
    ····························
    Pid = P0(1 + Id)^i
    ····························
    P365d = P0(1 + Id)^365,

    és a dir,
    P1d = 20.000.000·1,000137 = 20.002.739,73

    P2d = 20.000.000·1,000137^2 = 20.005.479,83

    P3d = 20.000.000·1,000137^3 = 20.008.220,30

    ··································································
    P365d = 20.000.000·1,000137^365 = 21.025.349,93
    ,
    o per fraccions milionèsimes d'any (gairebé el doble que fer-ho per minuts, i més rodó), amb un interès Imilionèsima = 0,05/1.000.000 = 0,00000005 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 1.000.000 milionèsimes d'any,
    P1milionèsima = P0 + P0·Imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)
    P2milionèsima = P0(1 + Imilionèsima) + P0·Imilionèsima(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)^2
    P3milionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^2 + P0·Id(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)^3
    ··············································
    Pimilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i
    ··············································
    Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000,

    és a dir,
    P1milionèsima = 20.000.000·1,00000005 = 20.000.001,00

    P2milionèsima = 20.000.000·1,00000005^2 = 20.000.002,00

    P3milionèsima = 20.000.000·1,00000005^3 = 20.000.003,00

    ·······················································
    Pmiliómilionèsima = 20.000.000·1,00000005^1.000.000 = 21.025.421,90
    ,
    els rendiments eren cada vegada més grans, ja que Pmiliómilionèsima = 21.025.421,90> P365d = 21.025.349,93> P12m = 21.023.237,96> P1a = 21.000.000.

    Resumint, per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    Pin = P0(1 + In)^i, on In = Ia/n.

    Òbviament, Bernouilli no comptava els diners en euros, crec haver llegit que l'operació financera que estudiava no era un dipòsit sinó un crèdit i, pel que fa al capital inicial de 20.000.000 i a l'interès anual de 0,05, els he assignat aquests valors per fer-los coincidir amb la població i l'índex de creixement de l'exemple que el professor planteja a classe. Però tornant a Bernouilli, el descobriment que la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia), el va dur a preguntar-se si aquesta tendència tenia o no aturador, perquè s'adonava que multiplicant per 12 el nombre de capitalitzacions i disminuint l'interès en la mateixa proporció, la rendibilitat augmentava (21.023.321,70 – 21.000.000 = 23.321,70, cosa que representa passar de l'1,05 a l'1,051166), però que, procedint anàlogament amb 365, la rendibilitat seguia augmentant però no molt més (21.025.378,31 – 21.023.321,70 = 2.056,61, passant de l'1,051166 a l'1,051269) i que fent tres quarts del mateix amb 1.000.000, la rendibilitat gairebé no havia augmentat (21.025.421,90 – 21.025.378,31 = 43,59, passant de l'1,051269 a l'1,051271). Ho va sistematitzar, estudiant el comportament de l'expressió (1 + Ia/n)^n/Ia amb valors de n cada cop més elevats, perquè era difícil avançar-ne el comportament: prevaldria el contingut del parèntesi tendint a un o el de l'exponent tendint a infinit? Calia esperar Euler i el càlcul diferencial per passar-la al límit.

    Retinguem el valor 1/Ia = 20, que sortirà en aquest paràgraf i en els dos següents, i comencem amb les capitalitzacions mensuals:
    P12m = P0(1 + Im)^12 = P0(1 + Ia/12)^12 =
    P0[(1 + Ia/12)^12/Ia]^Ia
    (P12m/P0)^1/Ia = (1 + Ia/12)^12/Ia
    i, anomenant N12 = 12/Ia = 240,
    (P12m/P0)^1/Ia = (1 + 1/N12)^N12.

    Substituint valors,
    1,051166^20 = (1 + 1/240)^240 = 2,712640.


    Continuem amb les capitalitzacions diàries:
    P365d = P0(1 + Id)^365 = P0(1 + Ia/365)^365 = P0[(1 + Ia/365)^365/Ia]^Ia
    (P365d/P0)^1/Ia = (1 + Ia/365)^365/Ia
    i, anomenant N365 = 365/Ia = 7.300,
    (P365/P0)^1/Ia = (1 + 1/N365)^N365.

    Substituint valors,
    1,051269^20 = (1 + 1/7.300)^7.300 = 2,718096.


    I acabem amb les capitalitzacions de milionèsima part d'any:
    Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P0(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000 = P0[(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia]^Ia
    (Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia
    i, anomenant Nmilionèsim = 1.000.000/Ia = 20.000.000,
    (Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + 1/Nmilionèsim)^Nmilionèsim.

    Substituint valors,
    1,051271^20 = (1 + 1/20.000.000)^20.000.000 = 2,718282 ≈ e.


    Tenint en compte que e = 2,718281828459045235360287471... es un nombre irracional, l'aproximació precedent amb sis xifres decimals és la que utilitzarem habitualment. No cal seguir aplicant valors més alts encara, per adonar-se que (Pmiliómilionèsima/P0)^1/Ia no creix indefinidament sinó que queda estabilitzat al valor e. Però si, per generalitzar, seguíssim fent créixer la partició de l'any a n períodes de capitalització i anomenéssim N = n/Ia i Pn el capital obtingut al cap de l'any amb aquest sistema, tindríem
    (1 + 1/N)^N = e i
    Pn = P0·e^Ia,

    expressió que es transforma en
    Pt = P0(e^Ia)^t = P0·e^Ia·t
    si considerem t anys.
    La manera rigorosa d'enunciar-ho, seria:
    Per a n tendint a infinit:
    N = n/Ia
    tendeix a infinit,
    (1 + 1/N)^N
    tendeix a e i
    Pt = P0[(1 + 1/N)^N]^Ia·t
    tendeix a P0·e^Ia·t
    Aquest interés compost s'anomena continu, perquè obeeix a la ràpida successió de "capitalitzacions instantànies".

    Resumint, en l'exemple serà
    Pt = 20.000.000·e^0,05·t, considerant t anys en capitalització contínua, o bé
    Pt = 20.000.000·1,05^t
    , considerant t anys en capitalització anual,
    Pim = 20.000.000·1,00416667^i
    , considerant i mesos en capitalització mensual,
    Pid = 20.000.000·1,000136986^i
    , considerant i dies en capitalització diària o
    Pimilionèsima = 20.000.000·1,00000005^i, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Com que Bernouilli no disposava de calculadora, hem de suposar que va resoldre aquestes equacions traient logaritmes, tècnica ideada per John Napier (1550-1617) gairebé un segle abans. Si voleu construir la gràfica de la funció y = (1 + Ia/N)^N/Ia, amb aquesta variable en ordenades i x = N/Ia en abscisses, veureu que arrenca de (0 1), es corba cap amunt i cap a la dreta i s'aproxima asimptòticament a la recta horitzontal y = (1 + Ia/N)^N/Ia = e. Podeu servir-vos d'aquests quinze punts: (0,000001 1,000014), (0,001 1,006933), (0,0625 1,193722), (0,125 1,316074), (0,25 1,495349), (0,5 1,732051), (1 2), (1,5 2,151657), (2 2,25), (2,5 2,319103), (3 2,370370), (5 2,48832), (10 2,593742), (100 2,704814) i (1000 2,716924).

    I ara ve quan el maten, perquè em proposo posar en qüestió gairebé tot aquest desenvolupament algebraic. Quan no fa massa escrivia "la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia)", referint-me a Bernouilli, posava en dubte que, capitalitzant 12, 365 o 1.000.000 vegades al cap de l'any, i prenent com a interès per a cadascun d'aquests períodes Ia/12, Ia/365 o Ia/1.000.000, que era l'INTERÈS SIMPLE mensual, diari o corresponent a una milionèsima part d'any, l'interès anual Ia no es veiés afectat de retruc, ja que s'acceptava que el rendiment anual havia augmentat. I, com que a partir d'ara caldrà filar prim, en lloc de seguir amb l'ús extensiu de la paraula "interès", parlarem de "rèdit" (rendiment relatiu al capital en tant per u, per unitat de temps), "interès" (rendiment absolut, per unitat de temps) i "guany" (rendiment absolut en el temps especificat).

    Jo diria que la hipòtesi de treball hauria de ser justament la contrària: en lloc d'adoptar els rèdits propis de l'interès simple i calcular quins guanys produiran en interès compost al cap d'un temps, caldria calcular quins rèdits mensuals, diaris o milionèsims s'haurien d'utilitzar per tal que, després de 12, 365 o 1.000.000 capitalitzacions, el guany fos igual a l'interès generat pel rèdit Ia al cap d'un any.

    Pel que fa als capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys, tot serà com abans,
    P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) = P0(1 + Ia)^2
    P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
    ··················
    Pta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000

    P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000

    P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500

    ·······················
    Pta = 20.000.000·1,05^t
    .
    Però, a diferència de l'anterior, en el mètode present haurà de ser Im < Ia/12, Id < Ia/365 i Imilionèsima < Ia/1.000.000. Segons aquesta premisa, el rèdit mensual, diari i milionèsim no vindrà donat sinó que l'haurem de deduir de les condicions d'arribada, considerant que P1a = P12m = P365d = Pmiliómilionèsima. Les equacions en P són les mateixes del mètode precedent, amb l'única particularitat que ara Im, Id i Imilionèsima seran les incògnites.

    P12m = P0(1 + Im)^12 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + Im)^12 = 1 + Ia
    1 + Im = (1 + Ia)^1/12
    Im = (1 + Ia)^1/12 – 1
    Pim = P0(1 + Im)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/12 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/12

    és a dir,
    Im = 1,05^0,0833333 – 1 = 0,00407412
    P1m = 20.000.000·1,00407412 = 20.081.482,4

    P2m = 20.000.000·1,00407412^2 = 20.000.000·1,008165 = 20.163.296,77

    P3m = 20.000.000·1,00407412^3 = 20.000.000·1,012272 = 20.245.444,46

    ······························································
    P12m = 20.000.000·1,00407412^12 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    ,

    P365d = P0(1 + Id)^365 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + Id)^365 = 1 + Ia
    1 + Id = (1 + Ia)^1/365
    Id = (1 + Ia)^1/365 – 1
    Pid = P0(1 + Id)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/365 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/365

    és a dir,
    Id = 1,05^0,00273973 – 1 = 0,000133681
    P1d = 20.000.000·1,000133681 = 20.002.673,62

    P2d = 20.000.000·1,000133681^2 = 20.000.000·1,000267379 = 20.005.347,60

    P3d = 20.000.000·1,000133681^3 = 20.000.000·1,000401095 = 20.008.021,93

    ·································································
    P365d = 20.000.000·1,000133681^365 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    ,

    Pmiliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + Imilionèsima)^1.000.000 = 1 + Ia
    1 + Imilionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000
    Imilionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1
    Pimilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/1.000.000

    és a dir,
    Imilionèsima = 1,05^0,000001 – 1 = 0,0000000487902
    P1milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902 = 20.000.000,98

    P2milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^2 = 20.000.000·1,0000000975804 = 20.000.001,95

    P3milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^3 = 20.000.000·1,000000146371 = 20.000.002,93

    ············································································
    Pmiliómilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^1.000.000 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    .

    Resumint: per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    Pin = P0(1 + In)^i, on In = (1 + Ia)^1/n – 1
    Pin = P0[1 + {(1 + Ia)^1/n} - 1]^i = P0[(1 + Ia)^1/n]^i = P0(1 + Ia)^i/n.


    Descrit aquest mètode alternatiu i recapitulant, en tots dos mètodes l'expressió
    Pin = P0(1 + In)^i és idèntica, i només es diferencia en In: en el primer
    In(1) = Ia/n,
    mentre que en el segon
    In(2) = (1 + Ia)^1/n – 1, com acabem de veure.
    Si comparem els valors d'In en ambdós mètodes, per a n = 12, 365 i 1.000.000,
    I12(1) = 0,00416667
    I12(2) = 0,00407412
    I365(1) = 0,000136986
    I365(2) = 0,000133681
    Imilionèsima(1) = 0,00000005
    Imilionèsima(2) = 0,0000000487902,

    no detectem res significatiu, a banda que els valors In(2) són lleugerament menors que In(1), com havíem previst.

    Tornant al segon mètode i a diferència del primer, cal aclarir que no té massa sentit distingir entre aplicacions discretes i contínues: de fet, igual que en el primer
    Pn = P0(1 + In)^n = P0(1 + Ia/n)^n = P0[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia, i
    (1 + Ia/n)^n/Ia
    tendia a la constant e quan n tendia a infinit, en el segon
    Pin = P0(1 + In)^i = P0(1 + Ia)^i/n,
    i
    (1 + Ia)^i/n
    tendeix a la constant (1 + Ia) quan i tendeix a n, amb independència dels valors n i per la pròpia definició dels rèdits In, i en aquest sentit podem parlar d'aplicacions contínues. Així doncs,
    Pt = P0(1 + Ia)^t,
    si considerem t anys, i
    Pin = P0(1 + Ia)^i/n
    o
    Pim = P0(1 + Ia)^i/12
    Pid = P0(1 + Ia)^i/365
    i
    Pimilionèsima = P0(1 + Ia)^i/1.000.000.

    Resumint, en l'exemple serà
    Pt = 20.000.000·1,05^t €, considerant t anys en capitalització anual, o bé
    Pim = 20.000.000·1,00407412^i
    , considerant i mesos en capitalització mensual,
    Pid = 20.000.000·1,000133681^i
    , considerant i dies en capitalització diària,
    Pimilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^i
    , considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Aquest segon model defineix un interès compost homogeni, on tant se val capitalitzar per fraccions milionèsimes d'any, dies, mesos o anys, perquè els rendiments obtinguts per un procediment o altre, en un mateix període de temps, són idèntics i sols depenen del capital inicial i d'aquest període. Però llavors un es pregunta: de què serveix capitalitzar per mesos, dies o milionèsimes d'any, podent-ho fer per anys? Doncs per calcular més còmodament els guanys quan el període impositiu, expressat en anys, mesos o dies no sigui enter, a banda que interessava fer-ho així per apreciar millor les diferències amb el primer mètode. També podríem adduir, a favor d'aquest model, que el tractament de les capitalitzacions, per fraccions d'any, per anys o per múltiples d'any, és únic. Així, si volguessin crear una imposició quinquennal a interès compost Iq, tindríem que: Imilionèsim < Ia/1.000.000, Id < Ia/365, Im < Ia/12 i Ia < Iq/5. I tant és calcular el rèdit quinquennal Iq a partir del rèdit anual Ia (Iq > 5·Ia), com procedir al revés (Ia < Iq/5):
    Si volem conèixer el rèdit quinquennal Iq a partir de Ia, farem
    Pq = P0(1 + Iq) = P5a = P0(1 + Ia)^5
    1 + Iq = (1 + Ia)^5
    Iq = (1 + Ia)^5 – 1

    és a dir,
    Iq = 1,05^5 – 1 = 1,276282 – 1 = 0,276282
    i
    Piq = P0(1 + Iq)^i = 20.000.000· 1,276282^i
    , considerant i quinquennis en capitalització quinquennal.
    Inversament, per conèixer Ia a partir de Iq,
    1 + Iq = (1 + Ia)^5
    (1 + Iq)^1/5 = 1 + Ia
    Ia = [(1 + Iq)^1/5] – 1

    és a dir
    Ia = (1,276282^1/5) – 1 = 1,05.

    El primer model és aplicable a processos depenents de paràmetres fixats arbitràriament, com els del món de les finances, on tot és possible si és negoci, però no serveix per reproduir lleis físiques o demogràfiques de formulació inamovible. Si intentem aplicar-lo, per exemple, al problema que el professor del relat proposa als alumnes, on les dades numèriques són les mateixes però canvia allò representat (el capital és població, el rendiment és increment demogràfic i el rèdit anual és l'índex anual de creixement vegetatiu), tot trontollarà. Mentre ens limitem a usar l'índex de creixement anual Ia = 0,05 anirem bé: al cap dels primers anys, la població inicial de P0 = 20.000.000 persones s'haurà transformat en
    P1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) = P0(1 + Ia)^2
    P3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
    ··················
    Pta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    persones
    P2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
    persones
    P3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
    persones
    ·······················
    Pta = 20.000.000·1,05^t
    persones.
    Però no tindrà solta ni volta que, en comptar-la per mesos, aquesta població sigui més gran, que en comptar-la per dies encara sigui més gran ni que en comptar-la per milionèsimes d'any (i no diguem per parts infinitesimals!) encara ho sigui més: el creixement vegetatiu en un any és el que és, naixements menys defuncions, i el sistema de càlcul no pot modificar aquesta realitat objectiva. I, com que el segon mètode no presenta aquestes contradiccions, és el que cal adoptar.

    Llavors, per què el professor del relat explica el primer model, venent-lo com si fos el segon? Doncs perquè fa trampa, o més ben dit, jo, que sóc el titellaire que en mou els fils, faig trampa. I en faig perquè ja trobo prou agafat pels pèls explicar aquest model i el descobriment de e a xavals de dotze anys, però no em veig amb cor d'explicar el segon, que és el que realment caldria utilitzar. Si us val com a circumstància atenuant, us haig de confessar que m'he tornat mico provant de trobar a Internet la justificació de les expressions matemàtiques utilitzades per calcular el creixement exponencial continu de la població, però ha estat en va: de justificacions de l'ínterès compost continu, les que vulgueu; però en aplicacions demogràfiques, que fan servir les mateixes fórmules i que per això mateix m'interessaven, cap ni una. De manera que m'he hagut d'espavilar sol, reinventant un cop més la sopa d'all, i m'ha semblat que, endinyar als pobres vailets de segon d'ESO aquest plus de dificultat i transmetre'ls les meves inseguretats, encara que fos en la ficció, ja era massa. Si havia d'acabar explicant el que aquí he anomenat "primer mètode", també pensareu que hauria pogut escollir l'interès continu com aplicació a comentar, en lloc del creixement demogràfic d'una població sense migrants. Potser sí, però em repugnava influir ideològicament sobre angelets innocents (innocents si ens oblidem de la roba i el calçat de marca, del mòbil i dels videojocs), iniciant-los en les males arts del capitalisme financer.

    He parlat de les meves inseguretats, d'una banda, perquè no sé a què atribuir l'omissió demostrativa de Pt = P0·e^Ia·t quan s'enuncia en el camp de la demografia: És per no repetir la demostració de la fórmula, realitzada ja en l'apartat capitalització contínua, donant per fet que són processos paral·lels quan no ho són en absolut? És que, igual que el profe del relat, els internautas divulgadors saben perfectament que els dos processos no ho són, de paral·lels, però no volen exposar a la crítica una argumentació poc consistent? O és que, en aquest últim supòsit, no es vol desvelar que la unificació només obeeix a raons de conveniència, atès que els resultats d'aplicar Pt = P0·e^Ia·t i Pt = P0(1 + Ia)^t són acceptablement pròxims en el domini habitual de valors Ia (divergències menors que el 2 per mil: 20.506.302,41/20.493.901,53 = 1,0006, 21.025.421,93/21.000.000 = 1,0012 i 21.557.683,02/21.518.596,61 = 1,0018, obtingudes dividint valors homòlegs en el recull de dades final)? Com veieu, quan un no troba una resposta satisfactòria a allò que li sembla un despropòsit, tendeix a admetre autèntiques bajanades com a explicació.

    N'he parlat, d'altra banda, perquè això de trobar arreu afirmacions no compartides condueix a la conclusió que qui s'enganya és un mateix. En què m'hauré equivocat?: no pot ser que tots errin i només jo estigui en possessió de la veritat, que a més té una formulació ben simple. Suposo que aquestes consideracions i un elemental sentit de la prudència m'han acabat d'ajudar a prendre la covarda decisió d'ensarronar els alumnes descrivint un fenomen i donant-li un tractament matemàtic que, en opinió meva, no li escau.

    Ja us he marejat prou. Agrairé qualsevol comentari assenyalant-me les relliscades que hagi pogut cometre en aquesta llarga nota, que pretenia ser aclaridora.

    Per acabar, tornarem als rendiments de l'interés compost (P0 = 20.000.000 € i rendiment Ia = 0,05, per € i any), continu o discret, per comparar els resultats d'aplicar els dos mètodes. Calcularem el capital final en tres períodes: 0,5 d'any (o 0,1 de quinquenni, o bé 6 mesos, 182,5 dies o 500.000 milionèsimes d'any), 1 any (o 0,2 de quinquenni, o bé 12 mesos, 356 dies o 1.000.000 milionèsimes d'any) i 1,5 anys (o 0,3 de quinquenni, o bé 18 mesos, 547,5 dies o 1.500.000 milionèsimes d'any).

    Mètode I amb capitalització contínua:
    Mig any: 20.506.302,41; un any: 21.025.421,93; un any i mig: 21.557.683,02.

    Mètode I amb capitalització quinquennal:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització anual:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització mensual:
    Mig any: 20.505.278,20; un any: 21.023.321,70; un any i mig: 21.554.453,01.

    Mètode I amb capitalització diaria:
    Mig any: 20.506.281,14; un any: 21.025.378,31; un any i mig: 21.557.615,93.

    Mètode I amb capitalització per milionèsimas d'any:
    Mig any: 20.506.302,40; un any: 21.025.421,90; un any i mig: 21.557.682,98.

    Mètode II amb capitalització quinquennal (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització anual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització mensual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització diaria (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 15/06/2024 a les 18:57
    Nota de l'autor:

    Aquest relat està especialment dedicat a SrGarcia, que en un comentari a "Pi i la quadratura del cercle" venia a dir que, a "Fibonacci, punt final", jo parlava de l'interès compost i del nombre e quan, de fet, m'havia limitat a escriure que les funcions exponencials eren models matemàtics utilitzats per descriure, entre altres aplicacions, la capitalització periòdica d'interessos en règim d'interès compost. A més, tot i que el nombre e sols intervé en l'interès compost continu, com de seguida veureu, el present relat ja aborda el tema: el professor és un abusananos que, amb el pretext d'avançar uns conceptes que no s'estudien fins a quart d'ESO, està donant gat per llebre als alumnes de segon, amb la justificació implícita (es farà explícita, en boca de l'autor, en aquesta nota) que l'explicació real seria massa complicada i que tampoc s'adonaran de la tergiversació. D'altra banda, us haig d'advertir que, com que em feia mandra desempolsar els vells llibres de mates i a vosaltres encara us n'hauria fet més seguir els meus raonaments, en lloc d'explicar amb rigor els passos al límit, seguiré la via empírica d'aplicar valors progressius a les variables de les funcions.

    També aprofito l'avinentesa per advertir als lectors que mai més no repetiré els recursos tipogràfics usats en la trilogia de Fibonacci, passant al tipus de lletra Courier per aconseguir que les columnes estiguin ben alineades verticalment i complicant-me la vida fins a extrems inimaginables per representar potències i arrels. Únicament mantindré l'ús de la negreta per distingir les expressions matemàtiques del text narratiu o discursiu, i una mida de caràcters més menuda per als subíndexs. Pel que fa a potències i arrels, faré servir la notació habitual en programació informàtica, base^exponent i arrel^1/grau, amb el benentès que al relat utilitzo aquesta notació de cara als lectors: en la ficció relatada haureu d'imaginar que el professor escriu a la pissarra les expressions matemàtiques com Déu mana, perquè ho entenguin els alumnes.

    Pel que he vist a Internet, el creixement exponencial i el nombre e s'acostumen a introduir amb la primera aproximació que hi va fer Jakob Bernouilli (1654-1705) i la posterior categorització de Leonard Euler (1707-1783). El primer, interessat en els rendiments generats aplicant interès compost, va adonar-se que si, en comptes de capitalitzar un dipòsit per anys, amb un capital inicial P
    0 = 20.000.000 € i un interès anual Ia = 0,05, amb aquests capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys,
    P
    1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P
    2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P
    0(1 + Ia)^2
    P
    3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
    P
    0(1 + Ia)^3
    ····························
    P
    ta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P
    1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    P
    2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
    P
    3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
    ·······························
    P
    ta = 20.000.000·1,05^t,
    ho feia per mesos, amb un interès mensual Im = I
    a/12 = 0,05/12 = 0,004167 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 12 mesos,
    P
    1m = P0 + P0·Im = P0(1 + Im)
    P
    2m = P0(1 + Im) + P0·Im(1 + Im) = P0(1 + Im)(1 + Im) =
    P
    0(1 + Im)^2
    P
    3m = P0(1 + Im)^2 + P0·Im(1 + Im)^2 = P0(1 + Im)(1 + Im)^2 =
    P
    0(1 + Im)^3
    ··························
    P
    im = P0(1 + Im)^i
    ··························
    P
    12m = P0(1 + Im)^12,

    és a dir,
    P
    1m = 20.000.000·1,004167 = 20.167.013,89
    P
    2m = 20.000.000·1,004167^2 = 20.251.043,11
    P
    3m = 20.000.000·1,004167^3 = 20.335.422,46
    ··································································
    P
    12m = 20.000.000·1,004167^12 = 21.023.237,96;
    per dies, amb un interès diari Id = I
    a/365 = 0,05/365 = 0,000137 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 365 dies,
    P
    1d = P0 + P0·Id = P0(1 + Id)
    P
    2d = P0(1 + Id) + P0·Id(1 + Id) = P0(1 + Id)(1 + Id) = P0(1 + Id)^2
    P
    3d = P0(1 + Id)^2 + P0·Id(1 + Id)^2 = P0(1 + Id)(1 + Id)^2 =
    P
    0(1 + Id)^3
    ····························
    P
    id = P0(1 + Id)^i
    ····························
    P
    365d = P0(1 + Id)^365,

    és a dir,
    P
    1d = 20.000.000·1,000137 = 20.002.739,73
    P
    2d = 20.000.000·1,000137^2 = 20.005.479,83
    P
    3d = 20.000.000·1,000137^3 = 20.008.220,30
    ··································································
    P
    365d = 20.000.000·1,000137^365 = 21.025.349,93,
    o per fraccions milionèsimes d'any (gairebé el doble que fer-ho per minuts, i més rodó), amb un interès Imilionèsima = 0,05/1.000.000 = 0,00000005 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 1.000.000 milionèsimes d'any,
    P
    1milionèsima = P0 + P0·Imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)
    P
    2milionèsima = P0(1 + Imilionèsima) + P0·Imilionèsima(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)^2
    P
    3milionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^2 + P0·Id(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)^3
    ··············································
    P
    imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i
    ··············································
    P
    miliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000,

    és a dir,
    P
    1milionèsima = 20.000.000·1,00000005 = 20.000.001,00
    P
    2milionèsima = 20.000.000·1,00000005^2 = 20.000.002,00
    P
    3milionèsima = 20.000.000·1,00000005^3 = 20.000.003,00
    ·······················································
    P
    miliómilionèsima = 20.000.000·1,00000005^1.000.000 = 21.025.421,90,
    els rendiments eren cada vegada més grans, ja que P
    miliómilionèsima = 21.025.421,90> P365d = 21.025.349,93> P12m = 21.023.237,96> P1a = 21.000.000.

    Resumint, per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    Pin = P
    0(1 + In)^i, on In = Ia/n.

    Òbviament, Bernouilli no comptava els diners en euros, crec haver llegit que l'operació financera que estudiava no era un dipòsit sinó un crèdit i, pel que fa al capital inicial de 20.000.000 i a l'interès anual de 0,05, els he assignat aquests valors per fer-los coincidir amb la població i l'índex de creixement de l'exemple que el professor planteja a classe. Però tornant a Bernouilli, el descobriment que la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia), el va dur a preguntar-se si aquesta tendència tenia o no aturador, perquè s'adonava que multiplicant per 12 el nombre de capitalitzacions i disminuint l'interès en la mateixa proporció, la rendibilitat augmentava (21.023.321,70 – 21.000.000 = 23.321,70, cosa que representa passar de l'1,05 a l'1,051166), però que, procedint anàlogament amb 365, la rendibilitat seguia augmentant però no molt més (21.025.378,31 – 21.023.321,70 = 2.056,61, passant de l'1,051166 a l'1,051269) i que fent tres quarts del mateix amb 1.000.000, la rendibilitat gairebé no havia augmentat (21.025.421,90 – 21.025.378,31 = 43,59, passant de l'1,051269 a l'1,051271). Ho va sistematitzar, estudiant el comportament de l'expressió (1 + I
    a/n)^n/Ia amb valors de n cada cop més elevats, perquè era difícil avançar-ne el comportament: prevaldria el contingut del parèntesi tendint a un o el de l'exponent tendint a infinit? Calia esperar Euler i el càlcul diferencial per passar-la al límit.

    Retinguem el valor 1/I
    a = 20, que sortirà en aquest paràgraf i en els dos següents, i comencem amb les capitalitzacions mensuals:
    P
    12m = P0(1 + Im)^12 = P0(1 + Ia/12)^12 =
    P
    0[(1 + Ia/12)^12/Ia]^Ia
    (P
    12m/P0)^1/Ia = (1 + Ia/12)^12/Ia
    i, anomenant N12 = 12/Ia = 240,
    (P
    12m/P0)^1/Ia = (1 + 1/N12)^N12.

    Substituint valors,
    1,051166^20 = (1 + 1/240)^240 = 2,712640.


    Continuem amb les capitalitzacions diàries:
    P
    365d = P0(1 + Id)^365 = P0(1 + Ia/365)^365 =
    P
    0[(1 + Ia/365)^365/Ia]^Ia
    (P
    365d/P0)^1/Ia = (1 + Ia/365)^365/Ia
    i, anomenant N365 =
    365/I
    a = 7.300,
    (P365/P
    0)^1/Ia = (1 + 1/N365)^N365.

    Substituint valors,
    1,051269^20 = (1 + 1/7.300)^7.300 = 2,718096.


    I acabem amb les capitalitzacions de milionèsima part d'any:
    P
    miliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P0(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000 = P0[(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia]^Ia
    (P
    miliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia
    i, anomenant Nmilionèsim = 1.000.000/Ia = 20.000.000,
    (P
    miliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + 1/Nmilionèsim)^Nmilionèsim.

    Substituint valors,
    1,051271^20 = (1 + 1/20.000.000)^20.000.000 = 2,718282 ≈ e.


    Tenint en compte que e = 2,718281828459045235360287471... es un nombre irracional, l'aproximació precedent amb sis xifres decimals és la que utilitzarem habitualment. No cal seguir aplicant valors més alts encara, per adonar-se que (P
    miliómilionèsima/P0)^1/Ia no creix indefinidament sinó que queda estabilitzat al valor e. Però si, per generalitzar, seguíssim fent créixer la partició de l'any a n períodes de capitalització i anomenéssim N = n/Ia i Pn el capital obtingut al cap de l'any amb aquest sistema, tindríem
    (1 + 1/N)^N = e i
    P
    n = P0·e^Ia,
    expressió que es transforma en
    Pt = P
    0(e^Ia)^t = P0·e^Ia·t si considerem t anys.
    La manera rigorosa d'enunciar-ho, seria:
    Per a n tendint a infinit:
    N = n/I
    a tendeix a infinit,
    (1 + 1/N)^N
    tendeix a e i
    Pt = P
    0[(1 + 1/N)^N]^Ia·t tendeix a P0·e^Ia·t
    Aquest interés compost s'anomena continu, perquè obeeix a la ràpida successió de "capitalitzacions instantànies".

    Resumint, en l'exemple serà
    Pt = 20.000.000·e^0,05·t, considerant t anys en capitalització contínua, o bé
    Pt = 20.000.000·1,05^t
    , considerant t anys en capitalització anual,
    P
    im = 20.000.000·1,00416667^i, considerant i mesos en capitalització mensual,
    P
    id = 20.000.000·1,000136986^i, considerant i dies en capitalització diària o
    P
    imilionèsima = 20.000.000·1,00000005^i, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Com que Bernouilli no disposava de calculadora, hem de suposar que va resoldre aquestes equacions traient logaritmes, tècnica ideada per John Napier (1550-1617) gairebé un segle abans. Si voleu construir la gràfica de la funció y = (1 + I
    a/N)^N/Ia, amb aquesta variable en ordenades i x = N/Ia en abscisses, veureu que arrenca de (0 1), es corba cap amunt i cap a la dreta i s'aproxima asimptòticament a la recta horitzontal y = (1 + Ia/N)^N/Ia = e. Podeu servir-vos d'aquests quinze punts: (0,000001 1,000014), (0,001 1,006933), (0,0625 1,193722), (0,125 1,316074), (0,25 1,495349), (0,5 1,732051), (1 2), (1,5 2,151657), (2 2,25), (2,5 2,319103), (3 2,370370), (5 2,48832), (10 2,593742), (100 2,704814) i (1000 2,716924).

    I ara ve quan el maten, perquè em proposo posar en qüestió gairebé tot aquest desenvolupament algebraic. Quan no fa massa escrivia "la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia)", referint-me a Bernouilli, posava en dubte que, capitalitzant 12, 365 o 1.000.000 vegades al cap de l'any, i prenent com a interès per a cadascun d'aquests períodes I
    a/12, Ia/365 o Ia/1.000.000, que era l'INTERÈS SIMPLE mensual, diari o corresponent a una milionèsima part d'any, l'interès anual Ia no es veiés afectat de retruc, ja que s'acceptava que el rendiment anual havia augmentat. I, com que a partir d'ara caldrà filar prim, en lloc de seguir amb l'ús extensiu de la paraula "interès", parlarem de "rèdit" (rendiment relatiu al capital en tant per u, per unitat de temps), "interès" (rendiment absolut, per unitat de temps) i "guany" (rendiment absolut en el temps especificat).

    Jo diria que la hipòtesi de treball hauria de ser justament la contrària: en lloc d'adoptar els rèdits propis de l'interès simple i calcular quins guanys produiran en interès compost al cap d'un temps, caldria calcular quins rèdits mensuals, diaris o milionèsims s'haurien d'utilitzar per tal que, després de 12, 365 o 1.000.000 capitalitzacions, el guany fos igual a l'interès generat pel rèdit I
    a al cap d'un any.

    Pel que fa als capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys, tot serà com abans,
    P
    1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P
    2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P
    0(1 + Ia)^2
    P
    3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
    P
    0(1 + Ia)^3
    ························
    P
    ta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P
    1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    P
    2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
    P
    3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
    ·································
    P
    ta = 20.000.000·1,05^t.
    Però, a diferència de l'anterior, en el mètode present haurà de ser Im < I
    a/12, Id < Ia/365 i Imilionèsima < Ia/1.000.000. Segons aquesta premisa, el rèdit mensual, diari i milionèsim no vindrà donat sinó que l'haurem de deduir de les condicions d'arribada, considerant que P1a = P12m = P365d = Pmiliómilionèsima. Les equacions en P són les mateixes del mètode precedent, amb l'única particularitat que ara Im, Id i Imilionèsima seran les incògnites.

    P
    12m = P0(1 + Im)^12 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + Im)^12 = 1 + I
    a
    1 + Im = (1 + I
    a)^1/12
    Im = (1 + I
    a)^1/12 – 1
    P
    im = P0(1 + Im)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/12 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/12

    és a dir,
    Im = 1,05^0,0833333 – 1 = 0,00407412
    P
    1m = 20.000.000·1,00407412 = 20.081.482,4
    P
    2m = 20.000.000·1,00407412^2 = 20.000.000·1,008165 = 20.163.296,77
    P
    3m = 20.000.000·1,00407412^3 = 20.000.000·1,012272 = 20.245.444,46
    ··········································································
    P
    12m = 20.000.000·1,00407412^12 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,

    P
    365d = P0(1 + Id)^365 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + Id)^365 = 1 + I
    a
    1 + Id = (1 + I
    a)^1/365
    Id = (1 + I
    a)^1/365 – 1
    P
    id = P0(1 + Id)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/365 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/365

    és a dir,
    Id = 1,05^0,00273973 – 1 = 0,000133681
    P
    1d = 20.000.000·1,000133681 = 20.002.673,62
    P
    2d = 20.000.000·1,000133681^2 = 20.000.000·1,000267379 = 20.005.347,60
    P
    3d = 20.000.000·1,000133681^3 = 20.000.000·1,000401095 = 20.008.021,93
    ·············································································
    P
    365d = 20.000.000·1,000133681^365 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,

    P
    miliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + Imilionèsima)^1.000.000 = 1 + I
    a
    1 + Imilionèsima = (1 + I
    a)^1/1.000.000
    Imilionèsima = (1 + I
    a)^1/1.000.000 – 1
    P
    imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/1.000.000

    és a dir,
    Imilionèsima = 1,05^0,000001 – 1 = 0,0000000487902
    P
    1milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902 = 20.000.000,98
    P
    2milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^2 = 20.000.000·1,0000000975804 = 20.000.001,95
    P
    3milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^3 = 20.000.000·1,000000146371 = 20.000.002,93
    ······················································································
    P
    miliómilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^1.000.000 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000.

    Resumint: per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    Pin = P
    0(1 + In)^i, on In = (1 + Ia)^1/n – 1
    Pin = P
    0[1 + {(1 + Ia)^1/n} - 1]^i = P0[(1 + Ia)^1/n]^i =
    P
    0(1 + Ia)^i/n.


    Descrit aquest mètode alternatiu i recapitulant, en tots dos mètodes l'expressió
    Pin = P
    0(1 + In)^i és idèntica, i només es diferencia en In: en el primer
    In(1) = I
    a/n, mentre que en el segon
    In(2) = (1 + I
    a)^1/n – 1, com acabem de veure.
    Si comparem els valors d'In en ambdós mètodes, per a n = 12, 365 i 1.000.000,
    I12(1) = 0,00416667
    I12(2) = 0,00407412
    I365(1) = 0,000136986
    I365(2) = 0,000133681
    Imilionèsima(1) = 0,00000005
    Imilionèsima(2) = 0,0000000487902,

    no detectem res significatiu, a banda que els valors In(2) són lleugerament menors que In(1), com havíem previst.

    Tornant al segon mètode i a diferència del primer, cal aclarir que no té massa sentit distingir entre aplicacions discretes i contínues: de fet, igual que en el primer
    P
    n = P0(1 + In)^n = P0(1 + Ia/n)^n = P0[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia, i
    (1 + I
    a/n)^n/Ia tendia a la constant e quan n tendia a infinit, en el segon
    Pin = P
    0(1 + In)^i = P0(1 + Ia)^i/n, i
    (1 + I
    a)^i/n tendeix a la constant (1 + Ia) quan i tendeix a n, amb independència dels valors n i per la pròpia definició dels rèdits In, i en aquest sentit podem parlar d'aplicacions contínues. Així doncs,
    Pt = P
    0(1 + Ia)^t, si considerem t anys, i
    Pin = P
    0(1 + Ia)^i/n o
    P
    im = P0(1 + Ia)^i/12
    P
    id = P0(1 + Ia)^i/365
    i
    P
    imilionèsima = P0(1 + Ia)^i/1.000.000.
    Resumint, en l'exemple serà
    Pt = 20.000.000·1,05^t
    , considerant t anys en capitalització anual, o bé
    P
    im = 20.000.000·1,00407412^i, considerant i mesos en capitalització mensual,
    P
    id = 20.000.000·1,000133681^i, considerant i dies en capitalització diària,
    P
    imilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^i, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Aquest segon model defineix un interès compost homogeni, on tant se val capitalitzar per fraccions milionèsimes d'any, dies, mesos o anys, perquè els rendiments obtinguts per un procediment o altre, en un mateix període de temps, són idèntics i sols depenen del capital inicial i d'aquest període. Però llavors un es pregunta: de què serveix capitalitzar per mesos, dies o milionèsimes d'any, podent-ho fer per anys? Doncs per calcular més còmodament els guanys quan el període impositiu, expressat en anys, mesos o dies no sigui enter, a banda que interessava fer-ho així per apreciar millor les diferències amb el primer mètode. També podríem adduir, a favor d'aquest model, que el tractament de les capitalitzacions, per fraccions d'any, per anys o per múltiples d'any, és únic. Així, si volguessin crear una imposició quinquennal a interès compost Iq, tindríem que: Imilionèsim < I
    a/1.000.000, Id < Ia/365, Im < Ia/12 i Ia < Iq/5. I tant és calcular el rèdit quinquennal Iq a partir del rèdit anual Ia (Iq > 5·Ia), com procedir al revés (Ia < Iq/5):
    Si volem conèixer el rèdit quinquennal Iq a partir de I
    a, farem
    Pq = P
    0(1 + Iq) = P5a = P0(1 + Ia)^5
    1 + Iq = (1 + I
    a)^5
    Iq = (1 + I
    a)^5 – 1

    és a dir,
    Iq = 1,05^5 – 1 = 1,276282 – 1 = 0,276282
    i
    Piq = P
    0(1 + Iq)^i = 20.000.000· 1,276282^i, considerant i quinquennis en capitalització quinquennal.
    Inversament, per conèixer I
    a a partir de Iq,
    1 + Iq = (1 + I
    a)^5
    (1 + Iq)^1/5 = 1 + I
    a
    I
    a = [(1 + Iq)^1/5] – 1

    és a dir
    I
    a = (1,276282^1/5) – 1 = 1,05.

    El primer model és aplicable a processos depenents de paràmetres fixats arbitràriament, com els del món de les finances, on tot és possible si és negoci, però no serveix per reproduir lleis físiques o demogràfiques de formulació inamovible. Si intentem aplicar-lo, per exemple, al problema que el professor del relat proposa als alumnes, on les dades numèriques són les mateixes però canvia allò representat (el capital és població, el rendiment és increment demogràfic i el rèdit anual és l'índex anual de creixement vegetatiu), tot trontollarà. Mentre ens limitem a usar l'índex de creixement anual I
    a = 0,05 anirem bé: al cap dels primers anys, la població inicial de P0 = 20.000.000 persones s'haurà transformat en
    P
    1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P
    2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P
    0(1 + Ia)^2
    P
    3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
    ·······················
    P
    ta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P
    1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 persones
    P
    2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000 persones
    P
    3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500 persones
    ······································
    P
    ta = 20.000.000·1,05^t persones.
    Però no tindrà solta ni volta que, en comptar-la per mesos, aquesta població sigui més gran, que en comptar-la per dies encara sigui més gran ni que en comptar-la per milionèsimes d'any (i no diguem per parts infinitesimals!) encara ho sigui més: el creixement vegetatiu en un any és el que és, naixements menys defuncions, i el sistema de càlcul no pot modificar aquesta realitat objectiva. I, com que el segon mètode no presenta aquestes contradiccions, és el que cal adoptar.

    Llavors, per què el professor del relat explica el primer model, venent-lo com si fos el segon? Doncs perquè fa trampa, o més ben dit, jo, que sóc el titellaire que en mou els fils, faig trampa. I en faig perquè ja trobo prou agafat pels pèls explicar aquest model i el descobriment de e a xavals de dotze anys, però no em veig amb cor d'explicar el segon, que és el que realment caldria utilitzar. Si us val com a circumstància atenuant, us haig de confessar que m'he tornat mico provant de trobar a Internet la justificació de les expressions matemàtiques utilitzades per calcular el creixement exponencial continu de la població, però ha estat en va: de justificacions de l'ínterès compost continu, les que vulgueu; però en aplicacions demogràfiques, que fan servir les mateixes fórmules i que per això mateix m'interessaven, cap ni una. De manera que m'he hagut d'espavilar sol, reinventant un cop més la sopa d'all, i m'ha semblat que, endinyar als pobres vailets de segon d'ESO aquest plus de dificultat i transmetre'ls les meves inseguretats, encara que fos en la ficció, ja era massa. Si havia d'acabar explicant el que aquí he anomenat "primer mètode", també pensareu que hauria pogut escollir l'interès continu com aplicació a comentar, en lloc del creixement demogràfic d'una població sense migrants. Potser sí, però em repugnava influir ideològicament sobre angelets innocents (innocents si ens oblidem de la roba i el calçat de marca, del mòbil i dels videojocs), iniciant-los en les males arts del capitalisme financer.

    He parlat de les meves inseguretats, d'una banda, perquè no sé a què atribuir l'omissió demostrativa de Pt = P
    0·e^Ia·t quan s'enuncia en el camp de la demografia: És per no repetir la demostració de la fórmula, realitzada ja en l'apartat capitalització contínua, donant per fet que són processos paral·lels quan no ho són en absolut? És que, igual que el profe del relat, els internautas divulgadors saben perfectament que els dos processos no ho són, de paral·lels, però no volen exposar a la crítica una argumentació poc consistent? O és que, en aquest últim supòsit, no es vol desvelar que la unificació només obeeix a raons de conveniència, atès que els resultats d'aplicar Pt = P0·e^Ia·t i Pt = P0(1 + Ia)^t són acceptablement pròxims en el domini habitual de valors Ia (divergències menors que el 2 per mil: 20.506.302,41/20.493.901,53 = 1,0006, 21.025.421,93/21.000.000 = 1,0012 i 21.557.683,02/21.518.596,61 = 1,0018, obtingudes dividint valors homòlegs en el recull de dades final)? Com veieu, quan un no troba una resposta satisfactòria a allò que li sembla un despropòsit, tendeix a admetre autèntiques bajanades com a explicació.

    N'he parlat, d'altra banda, perquè això de trobar arreu afirmacions no compartides condueix a la conclusió que qui s'enganya és un mateix. En què m'hauré equivocat?: no pot ser que tots errin i només jo estigui en possessió de la veritat, que a més té una formulació ben simple. Suposo que aquestes consideracions i un elemental sentit de la prudència m'han acabat d'ajudar a prendre la covarda decisió d'ensarronar els alumnes descrivint un fenomen i donant-li un tractament matemàtic que, en opinió meva, no li escau.

    Ja us he marejat prou. Agrairé qualsevol comentari assenyalant-me les relliscades que hagi pogut cometre en aquesta llarga nota, que pretenia ser aclaridora.

    Per acabar, tornarem als rendiments de l'interés compost (P
    0 = 20.000.000 € i rendiment Ia = 0,05, per € i any), continu o discret, per comparar els resultats d'aplicar els dos mètodes. Calcularem el capital final en tres períodes: 0,5 d'any (o 0,1 de quinquenni, o bé 6 mesos, 182,5 dies o 500.000 milionèsimes d'any), 1 any (o 0,2 de quinquenni, o bé 12 mesos, 356 dies o 1.000.000 milionèsimes d'any) i 1,5 anys (o 0,3 de quinquenni, o bé 18 mesos, 547,5 dies o 1.500.000 milionèsimes d'any).

    Mètode I amb capitalització contínua:
    Mig any: 20.506.302,41; un any: 21.025.421,93; un any i mig: 21.557.683,02.

    Mètode I amb capitalització quinquennal:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització anual:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització mensual:
    Mig any: 20.505.278,20; un any: 21.023.321,70; un any i mig: 21.554.453,01.

    Mètode I amb capitalització diaria:
    Mig any: 20.506.281,14; un any: 21.025.378,31; un any i mig: 21.557.615,93.

    Mètode I amb capitalització per milionèsimas d'any:
    Mig any: 20.506.302,40; un any: 21.025.421,90; un any i mig: 21.557.682,98.

    Mètode II amb capitalització quinquennal (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització anual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització mensual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització diaria (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 15/06/2024 a les 20:01
    Nota de l'autor:

    Aquest relat està especialment dedicat a SrGarcia, que en un comentari a "Pi i la quadratura del cercle" venia a dir que, a "Fibonacci, punt final", jo parlava de l'interès compost i del nombre e quan, de fet, m'havia limitat a escriure que les funcions exponencials eren models matemàtics utilitzats per descriure, entre altres aplicacions, la capitalització periòdica d'interessos en règim d'interès compost. A més, tot i que el nombre e sols intervé en l'interès compost continu, com de seguida veureu, el present relat ja aborda el tema: el professor és un abusananos que, amb el pretext d'avançar uns conceptes que no s'estudien fins a quart d'ESO, està donant gat per llebre als alumnes de segon, amb la justificació implícita (es farà explícita, en boca de l'autor, en aquesta nota) que l'explicació real seria massa complicada i que tampoc s'adonaran de la tergiversació. D'altra banda, us haig d'advertir que, com que em feia mandra desempolsar els vells llibres de mates i a vosaltres encara us n'hauria fet més seguir els meus raonaments, en lloc d'explicar amb rigor els passos al límit, seguiré la via empírica d'aplicar valors progressius a les variables de les funcions.

    També aprofito l'avinentesa per advertir als lectors que mai més no repetiré els recursos tipogràfics usats en la trilogia de Fibonacci, passant al tipus de lletra Courier per aconseguir que les columnes estiguin ben alineades verticalment i complicant-me la vida fins a extrems inimaginables per representar potències i arrels. Únicament mantindré l'ús de la negreta per distingir les expressions matemàtiques del text narratiu o discursiu, i una mida de caràcters més menuda per als subíndexs. Pel que fa a potències i arrels, faré servir la notació habitual en programació informàtica, base^exponent i arrel^1/grau, amb el benentès que al relat utilitzo aquesta notació de cara als lectors: en la ficció relatada haureu d'imaginar que el professor escriu a la pissarra les expressions matemàtiques com Déu mana, perquè ho entenguin els alumnes.

    Pel que he vist a Internet, el creixement exponencial i el nombre e s'acostumen a introduir amb la primera aproximació que hi va fer Jakob Bernouilli (1654-1705) i la posterior categorització de Leonard Euler (1707-1783). El primer, interessat en els rendiments generats aplicant interès compost, va adonar-se que si, en comptes de capitalitzar un dipòsit per anys, amb un capital inicial P
    0 = 20.000.000 € i un interès anual Ia = 0,05, amb aquests capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys,
    P
    1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P
    2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P
    0(1 + Ia)^2
    P
    3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
    P
    0(1 + Ia)^3
    ···········
    P
    ta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P
    1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    P
    2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
    P
    3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
    ································
    P
    ta = 20.000.000·1,05^t,
    ho feia per mesos, amb un interès mensual I
    m = Ia/12 = 0,05/12 = 0,004167 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 12 mesos,
    P
    1m = P0 + P0·Im = P0(1 + Im)
    P
    2m = P0(1 + Im) + P0·Im(1 + Im) = P0(1 + Im)(1 + Im) =
    P
    0(1 + Im)^2
    P
    3m = P0(1 + Im)^2 + P0·Im(1 + Im)^2 = P0(1 + Im)(1 + Im)^2 =
    P
    0(1 + Im)^3
    ··························
    P
    im = P0(1 + Im)^i
    ··························
    P
    12m = P0(1 + Im)^12,

    és a dir,
    P
    1m = 20.000.000·1,004167 = 20.167.013,89
    P
    2m = 20.000.000·1,004167^2 = 20.251.043,11
    P
    3m = 20.000.000·1,004167^3 = 20.335.422,46
    ··································································
    P
    12m = 20.000.000·1,004167^12 = 21.023.237,96;
    per dies, amb un interès diari Id = I
    a/365 = 0,05/365 = 0,000137 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 365 dies,
    P
    1d = P0 + P0·Id = P0(1 + Id)
    P
    2d = P0(1 + Id) + P0·Id(1 + Id) = P0(1 + Id)(1 + Id) = P0(1 + Id)^2
    P
    3d = P0(1 + Id)^2 + P0·Id(1 + Id)^2 = P0(1 + Id)(1 + Id)^2 =
    P
    0(1 + Id)^3
    ····························
    P
    id = P0(1 + Id)^i
    ····························
    P
    365d = P0(1 + Id)^365,

    és a dir,
    P
    1d = 20.000.000·1,000137 = 20.002.739,73
    P
    2d = 20.000.000·1,000137^2 = 20.005.479,83
    P
    3d = 20.000.000·1,000137^3 = 20.008.220,30
    ··································································
    P
    365d = 20.000.000·1,000137^365 = 21.025.349,93,
    o per fraccions milionèsimes d'any (gairebé el doble que fer-ho per minuts, i més rodó), amb un interès I
    milionèsima = 0,05/1.000.000 = 0,00000005 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 1.000.000 milionèsimes d'any,
    P
    1milionèsima = P0 + P0·Imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)
    P
    2milionèsima = P0(1 + Imilionèsima) + P0·Imilionèsima(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)^2
    P
    3milionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^2 + P0·Id(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)^3
    ··············································
    P
    imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i
    ··············································
    P
    miliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000,

    és a dir,
    P
    1milionèsima = 20.000.000·1,00000005 = 20.000.001,00
    P
    2milionèsima = 20.000.000·1,00000005^2 = 20.000.002,00
    P
    3milionèsima = 20.000.000·1,00000005^3 = 20.000.003,00
    ·······················································
    P
    miliómilionèsima = 20.000.000·1,00000005^1.000.000 = 21.025.421,90,
    els rendiments eren cada vegada més grans, ja que P
    miliómilionèsima = 21.025.421,90> P365d = 21.025.349,93> P12m = 21.023.237,96> P1a = 21.000.000.

    Resumint, per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    Pin = P
    0(1 + In)^i, on In = Ia/n.

    Òbviament, Bernouilli no comptava els diners en euros, crec haver llegit que l'operació financera que estudiava no era un dipòsit sinó un crèdit i, pel que fa al capital inicial de 20.000.000 i a l'interès anual de 0,05, els he assignat aquests valors per fer-los coincidir amb la població i l'índex de creixement de l'exemple que el professor planteja a classe. Però tornant a Bernouilli, el descobriment que la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia), el va dur a preguntar-se si aquesta tendència tenia o no aturador, perquè s'adonava que multiplicant per 12 el nombre de capitalitzacions i disminuint l'interès en la mateixa proporció, la rendibilitat augmentava (21.023.321,70 – 21.000.000 = 23.321,70, cosa que representa passar de l'1,05 a l'1,051166), però que, procedint anàlogament amb 365, la rendibilitat seguia augmentant però no molt més (21.025.378,31 – 21.023.321,70 = 2.056,61, passant de l'1,051166 a l'1,051269) i que fent tres quarts del mateix amb 1.000.000, la rendibilitat gairebé no havia augmentat (21.025.421,90 – 21.025.378,31 = 43,59, passant de l'1,051269 a l'1,051271). Ho va sistematitzar, estudiant el comportament de l'expressió (1 + I
    a/n)^n/Ia amb valors de n cada cop més elevats, perquè era difícil avançar-ne el comportament: prevaldria el contingut del parèntesi tendint a un o el de l'exponent tendint a infinit? Calia esperar Euler i el càlcul diferencial per passar-la al límit.

    Retinguem el valor 1/I
    a = 20, que sortirà en aquest paràgraf i en els dos següents, i comencem amb les capitalitzacions mensuals:
    P
    12m = P0(1 + Im)^12 = P0(1 + Ia/12)^12 =
    P
    0[(1 + Ia/12)^12/Ia]^Ia
    (P
    12m/P0)^1/Ia = (1 + Ia/12)^12/Ia
    i, anomenant N12 = 12/Ia = 240,
    (P
    12m/P0)^1/Ia = (1 + 1/N12)^N12.

    Substituint valors,
    1,051166^20 = (1 + 1/240)^240 = 2,712640.


    Continuem amb les capitalitzacions diàries:
    P
    365d = P0(1 + Id)^365 = P0(1 + Ia/365)^365 =
    P
    0[(1 + Ia/365)^365/Ia]^Ia
    (P
    365d/P0)^1/Ia = (1 + Ia/365)^365/Ia
    i, anomenant N365 =
    365/I
    a = 7.300,
    (P365/P
    0)^1/Ia = (1 + 1/N365)^N365.

    Substituint valors,
    1,051269^20 = (1 + 1/7.300)^7.300 = 2,718096.


    I acabem amb les capitalitzacions de milionèsima part d'any:
    P
    miliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P0(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000 = P0[(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia]^Ia
    (P
    miliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia
    i, anomenant Nmilionèsim = 1.000.000/Ia = 20.000.000,
    (P
    miliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + 1/Nmilionèsim)^Nmilionèsim.

    Substituint valors,
    1,051271^20 = (1 + 1/20.000.000)^20.000.000 = 2,718282 ≈ e.


    Tenint en compte que e = 2,718281828459045235360287471... es un nombre irracional, l'aproximació precedent amb sis xifres decimals és la que utilitzarem habitualment. No cal seguir aplicant valors més alts encara, per adonar-se que (P
    miliómilionèsima/P0)^1/Ia no creix indefinidament sinó que queda estabilitzat al valor e. Però si, per generalitzar, seguíssim fent créixer la partició de l'any a n períodes de capitalització i anomenéssim N = n/Ia i Pn el capital obtingut al cap de l'any amb aquest sistema, tindríem
    (1 + 1/N)^N = e i
    P
    n = P0·e^Ia,
    expressió que es transforma en
    Pt = P
    0(e^Ia)^t = P0·e^Ia·t si considerem t anys.
    La manera rigorosa d'enunciar-ho, seria:
    Per a n tendint a infinit:
    N = n/I
    a tendeix a infinit,
    (1 + 1/N)^N
    tendeix a e i
    Pt = P
    0[(1 + 1/N)^N]^Ia·t tendeix a P0·e^Ia·t
    Aquest interés compost s'anomena continu, perquè obeeix a la ràpida successió de "capitalitzacions instantànies".

    Resumint, en l'exemple serà
    Pt = 20.000.000·e^0,05·t, considerant t anys en capitalització contínua, o bé
    Pt = 20.000.000·1,05^t
    , considerant t anys en capitalització anual,
    P
    im = 20.000.000·1,00416667^i, considerant i mesos en capitalització mensual,
    P
    id = 20.000.000·1,000136986^i, considerant i dies en capitalització diària o
    P
    imilionèsima = 20.000.000·1,00000005^i, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Com que Bernouilli no disposava de calculadora, hem de suposar que va resoldre aquestes equacions traient logaritmes, tècnica ideada per John Napier (1550-1617) gairebé un segle abans. Si voleu construir la gràfica de la funció y = (1 + I
    a/N)^N/Ia, amb aquesta variable en ordenades i x = N/Ia en abscisses, veureu que arrenca de (0 1), es corba cap amunt i cap a la dreta i s'aproxima asimptòticament a la recta horitzontal y = (1 + Ia/N)^N/Ia = e. Podeu servir-vos d'aquests quinze punts: (0,000001 1,000014), (0,001 1,006933), (0,0625 1,193722), (0,125 1,316074), (0,25 1,495349), (0,5 1,732051), (1 2), (1,5 2,151657), (2 2,25), (2,5 2,319103), (3 2,370370), (5 2,48832), (10 2,593742), (100 2,704814) i (1000 2,716924).

    I ara ve quan el maten, perquè em proposo posar en qüestió gairebé tot aquest desenvolupament algebraic. Quan no fa massa escrivia "la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia)", referint-me a Bernouilli, posava en dubte que, capitalitzant 12, 365 o 1.000.000 vegades al cap de l'any, i prenent com a interès per a cadascun d'aquests períodes I
    a/12, Ia/365 o Ia/1.000.000, que era l'INTERÈS SIMPLE mensual, diari o corresponent a una milionèsima part d'any, l'interès anual Ia no es veiés afectat de retruc, ja que s'acceptava que el rendiment anual havia augmentat. I, com que a partir d'ara caldrà filar prim, en lloc de seguir amb l'ús extensiu de la paraula "interès", parlarem de "rèdit" (rendiment relatiu al capital en tant per u, per unitat de temps), "interès" (rendiment absolut, per unitat de temps) i "guany" (rendiment absolut en el temps especificat).

    Jo diria que la hipòtesi de treball hauria de ser justament la contrària: en lloc d'adoptar els rèdits propis de l'interès simple i calcular quins guanys produiran en interès compost al cap d'un temps, caldria calcular quins rèdits mensuals, diaris o milionèsims s'haurien d'utilitzar per tal que, després de 12, 365 o 1.000.000 capitalitzacions, el guany fos igual a l'interès generat pel rèdit I
    a al cap d'un any.

    Pel que fa als capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys, tot serà com abans,
    P
    1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P
    2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P
    0(1 + Ia)^2
    P
    3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
    P
    0(1 + Ia)^3
    ························
    P
    ta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P
    1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    P
    2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
    P
    3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
    ·································
    P
    ta = 20.000.000·1,05^t.
    Però, a diferència de l'anterior, en el mètode present haurà de ser I
    m < Ia/12, Id < Ia/365 i Imilionèsima < Ia/1.000.000. Segons aquesta premisa, el rèdit mensual, diari i milionèsim no vindrà donat sinó que l'haurem de deduir de les condicions d'arribada, considerant que P1a = P12m = P365d = Pmiliómilionèsima. Les equacions en P són les mateixes del mètode precedent, amb l'única particularitat que ara Im, Id i Imilionèsima seran les incògnites.

    P
    12m = P0(1 + Im)^12 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + I
    m)^12 = 1 + Ia
    1 + I
    m = (1 + Ia)^1/12
    I
    m = (1 + Ia)^1/12 – 1
    P
    im = P0(1 + Im)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/12 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/12

    és a dir,
    I
    m = 1,05^0,0833333 – 1 = 0,00407412
    P
    1m = 20.000.000·1,00407412 = 20.081.482,4

    P
    2m = 20.000.000·1,00407412^2 = 20.000.000·1,008165 = 20.163.296,77
    P
    3m = 20.000.000·1,00407412^3 = 20.000.000·1,012272 = 20.245.444,46
    ··········································································
    P
    12m = 20.000.000·1,00407412^12 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,

    P
    365d = P0(1 + Id)^365 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + I
    d)^365 = 1 + Ia
    1 + I
    d = (1 + Ia)^1/365
    I
    d = (1 + Ia)^1/365 – 1
    P
    id = P0(1 + Id)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/365 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/365

    és a dir,
    I
    d = 1,05^0,00273973 – 1 = 0,000133681
    P
    1d = 20.000.000·1,000133681 = 20.002.673,62

    P
    2d = 20.000.000·1,000133681^2 = 20.000.000·1,000267379 = 20.005.347,60
    P
    3d = 20.000.000·1,000133681^3 = 20.000.000·1,000401095 = 20.008.021,93
    ·············································································
    P
    365d = 20.000.000·1,000133681^365 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,

    P
    miliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + I
    milionèsima)^1.000.000 = 1 + Ia
    1 + I
    milionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000
    I
    milionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1
    P
    imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/1.000.000

    és a dir,
    I
    milionèsima = 1,05^0,000001 – 1 = 0,0000000487902
    P
    1milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902 = 20.000.000,98

    P
    2milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^2 = 20.000.000·1,0000000975804 = 20.000.001,95
    P
    3milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^3 = 20.000.000·1,000000146371 = 20.000.002,93
    ······················································································
    P
    miliómilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^1.000.000 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000.

    Resumint: per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    Pin = P
    0(1 + In)^i, on In = (1 + Ia)^1/n – 1
    Pin = P
    0[1 + {(1 + Ia)^1/n} - 1]^i = P0[(1 + Ia)^1/n]^i =
    P
    0(1 + Ia)^i/n.


    Descrit aquest mètode alternatiu i recapitulant, en tots dos mètodes l'expressió
    P
    in = P0(1 + In)^i és idèntica, i només es diferencia en In: en el primer
    I
    n(1) = Ia/n, mentre que en el segon
    I
    n(2) = (1 + Ia)^1/n – 1, com acabem de veure.
    Si comparem els valors d'I
    n en ambdós mètodes, per a n = 12, 365 i 1.000.000,
    I
    12(1) = 0,00416667
    I
    12(2) = 0,00407412
    I
    365(1) = 0,000136986
    I
    365(2) = 0,000133681
    I
    milionèsima(1) = 0,00000005
    I
    milionèsima(2) = 0,0000000487902,

    no detectem res significatiu, a banda que els valors I
    n(2) són lleugerament menors que In(1), com havíem previst.

    Tornant al segon mètode i a diferència del primer, cal aclarir que no té massa sentit distingir entre aplicacions discretes i contínues: de fet, igual que en el primer
    P
    n = P0(1 + In)^n = P0(1 + Ia/n)^n = P0[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia, i
    (1 + I
    a/n)^n/Ia tendia a la constant e quan n tendia a infinit, en el segon
    Pin = P
    0(1 + In)^i = P0(1 + Ia)^i/n, i
    (1 + I
    a)^i/n tendeix a la constant (1 + Ia) quan i tendeix a n, amb independència dels valors n i per la pròpia definició dels rèdits In, i en aquest sentit podem parlar d'aplicacions contínues. Així doncs,
    Pt = P
    0(1 + Ia)^t, si considerem t anys, i
    Pin = P
    0(1 + Ia)^i/n o
    P
    im = P0(1 + Ia)^i/12
    P
    id = P0(1 + Ia)^i/365
    i
    P
    imilionèsima = P0(1 + Ia)^i/1.000.000.
    Resumint, en l'exemple serà
    Pt = 20.000.000·1,05^t
    , considerant t anys en capitalització anual, o bé
    P
    im = 20.000.000·1,00407412^i, considerant i mesos en capitalització mensual,
    P
    id = 20.000.000·1,000133681^i, considerant i dies en capitalització diària,
    P
    imilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^i, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Aquest segon model defineix un interès compost homogeni, on tant se val capitalitzar per fraccions milionèsimes d'any, dies, mesos o anys, perquè els rendiments obtinguts per un procediment o altre, en un mateix període de temps, són idèntics i sols depenen del capital inicial i d'aquest període. Però llavors un es pregunta: de què serveix capitalitzar per mesos, dies o milionèsimes d'any, podent-ho fer per anys? Doncs per calcular més còmodament els guanys quan el període impositiu, expressat en anys, mesos o dies no sigui enter, a banda que interessava fer-ho així per apreciar millor les diferències amb el primer mètode. També podríem adduir, a favor d'aquest model, que el tractament de les capitalitzacions, per fraccions d'any, per anys o per múltiples d'any, és únic. Així, si volguessin crear una imposició quinquennal a interès compost Iq, tindríem que: Imilionèsim < I
    a/1.000.000, Id < Ia/365, Im < Ia/12 i Ia < Iq/5. I tant és calcular el rèdit quinquennal Iq a partir del rèdit anual Ia (Iq > 5·Ia), com procedir al revés (Ia < Iq/5):
    Si volem conèixer el rèdit quinquennal Iq a partir de I
    a, farem
    Pq = P
    0(1 + Iq) = P5a = P0(1 + Ia)^5
    1 + Iq = (1 + I
    a)^5
    Iq = (1 + I
    a)^5 – 1

    és a dir,
    Iq = 1,05^5 – 1 = 1,276282 – 1 = 0,276282
    i
    Piq = P
    0(1 + Iq)^i = 20.000.000· 1,276282^i, considerant i quinquennis en capitalització quinquennal.
    Inversament, per conèixer I
    a a partir de Iq,
    1 + Iq = (1 + I
    a)^5
    (1 + Iq)^1/5 = 1 + I
    a
    I
    a = [(1 + Iq)^1/5] – 1

    és a dir
    I
    a = (1,276282^1/5) – 1 = 1,05.

    El primer model és aplicable a processos depenents de paràmetres fixats arbitràriament, com els del món de les finances, on tot és possible si és negoci, però no serveix per reproduir lleis físiques o demogràfiques de formulació inamovible. Si intentem aplicar-lo, per exemple, al problema que el professor del relat proposa als alumnes, on les dades numèriques són les mateixes però canvia allò representat (el capital és població, el rendiment és increment demogràfic i el rèdit anual és l'índex anual de creixement vegetatiu), tot trontollarà. Mentre ens limitem a usar l'índex de creixement anual I
    a = 0,05 anirem bé: al cap dels primers anys, la població inicial de P0 = 20.000.000 persones s'haurà transformat en
    P
    1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P
    2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P
    0(1 + Ia)^2
    P
    3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
    ·······················
    P
    ta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P
    1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 persones
    P
    2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000 persones
    P
    3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500 persones
    ······································
    P
    ta = 20.000.000·1,05^t persones.
    Però no tindrà solta ni volta que, en comptar-la per mesos, aquesta població sigui més gran, que en comptar-la per dies encara sigui més gran ni que en comptar-la per milionèsimes d'any (i no diguem per parts infinitesimals!) encara ho sigui més: el creixement vegetatiu en un any és el que és, naixements menys defuncions, i el sistema de càlcul no pot modificar aquesta realitat objectiva. I, com que el segon mètode no presenta aquestes contradiccions, és el que cal adoptar.

    Llavors, per què el professor del relat explica el primer model, venent-lo com si fos el segon? Doncs perquè fa trampa, o més ben dit, jo, que sóc el titellaire que en mou els fils, faig trampa. I en faig perquè ja trobo prou agafat pels pèls explicar aquest model i el descobriment de e a xavals de dotze anys, però no em veig amb cor d'explicar el segon, que és el que realment caldria utilitzar. Si us val com a circumstància atenuant, us haig de confessar que m'he tornat mico provant de trobar a Internet la justificació de les expressions matemàtiques utilitzades per calcular el creixement exponencial continu de la població, però ha estat en va: de justificacions de l'ínterès compost continu, les que vulgueu; però en aplicacions demogràfiques, que fan servir les mateixes fórmules i que per això mateix m'interessaven, cap ni una. De manera que m'he hagut d'espavilar sol, reinventant un cop més la sopa d'all, i m'ha semblat que, endinyar als pobres vailets de segon d'ESO aquest plus de dificultat i transmetre'ls les meves inseguretats, encara que fos en la ficció, ja era massa. Si havia d'acabar explicant el que aquí he anomenat "primer mètode", també pensareu que hauria pogut escollir l'interès continu com aplicació a comentar, en lloc del creixement demogràfic d'una població sense migrants. Potser sí, però em repugnava influir ideològicament sobre angelets innocents (innocents si ens oblidem de la roba i el calçat de marca, del mòbil i dels videojocs), iniciant-los en les males arts del capitalisme financer.

    He parlat de les meves inseguretats, d'una banda, perquè no sé a què atribuir l'omissió demostrativa de Pt = P
    0·e^Ia·t quan s'enuncia en el camp de la demografia: És per no repetir la demostració de la fórmula, realitzada ja en l'apartat capitalització contínua, donant per fet que són processos paral·lels quan no ho són en absolut? És que, igual que el profe del relat, els internautas divulgadors saben perfectament que els dos processos no ho són, de paral·lels, però no volen exposar a la crítica una argumentació poc consistent? O és que, en aquest últim supòsit, no es vol desvelar que la unificació només obeeix a raons de conveniència, atès que els resultats d'aplicar Pt = P0·e^Ia·t i Pt = P0(1 + Ia)^t són acceptablement pròxims en el domini habitual de valors Ia (divergències menors que el 2 per mil: 20.506.302,41/20.493.901,53 = 1,0006, 21.025.421,93/21.000.000 = 1,0012 i 21.557.683,02/21.518.596,61 = 1,0018, obtingudes dividint valors homòlegs en el recull de dades final)? Com veieu, quan un no troba una resposta satisfactòria a allò que li sembla un despropòsit, tendeix a admetre autèntiques bajanades com a explicació.

    N'he parlat, d'altra banda, perquè això de trobar arreu afirmacions no compartides condueix a la conclusió que qui s'enganya és un mateix. En què m'hauré equivocat?: no pot ser que tots errin i només jo estigui en possessió de la veritat, que a més té una formulació ben simple. Suposo que aquestes consideracions i un elemental sentit de la prudència m'han acabat d'ajudar a prendre la covarda decisió d'ensarronar els alumnes descrivint un fenomen i donant-li un tractament matemàtic que, en opinió meva, no li escau.

    Ja us he marejat prou. Agrairé qualsevol comentari assenyalant-me les relliscades que hagi pogut cometre en aquesta llarga nota, que pretenia ser aclaridora.

    Per acabar, tornarem als rendiments de l'interés compost (P
    0 = 20.000.000 € i rendiment Ia = 0,05, per € i any), continu o discret, per comparar els resultats d'aplicar els dos mètodes. Calcularem el capital final en tres períodes: 0,5 d'any (o 0,1 de quinquenni, o bé 6 mesos, 182,5 dies o 500.000 milionèsimes d'any), 1 any (o 0,2 de quinquenni, o bé 12 mesos, 356 dies o 1.000.000 milionèsimes d'any) i 1,5 anys (o 0,3 de quinquenni, o bé 18 mesos, 547,5 dies o 1.500.000 milionèsimes d'any).

    Mètode I amb capitalització contínua:
    Mig any: 20.506.302,41; un any: 21.025.421,93; un any i mig: 21.557.683,02.

    Mètode I amb capitalització quinquennal:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització anual:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització mensual:
    Mig any: 20.505.278,20; un any: 21.023.321,70; un any i mig: 21.554.453,01.

    Mètode I amb capitalització diaria:
    Mig any: 20.506.281,14; un any: 21.025.378,31; un any i mig: 21.557.615,93.

    Mètode I amb capitalització per milionèsimas d'any:
    Mig any: 20.506.302,40; un any: 21.025.421,90; un any i mig: 21.557.682,98.

    Mètode II amb capitalització quinquennal (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització anual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització mensual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització diaria (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 15/06/2024 a les 21:03
    Nota de l'autor:

    Aquest relat està especialment dedicat a SrGarcia, que en un comentari a "Pi i la quadratura del cercle" venia a dir que, a "Fibonacci, punt final", jo parlava de l'interès compost i del nombre e quan, de fet, m'havia limitat a escriure que les funcions exponencials eren models matemàtics utilitzats per descriure, entre altres aplicacions, la capitalització periòdica d'interessos en règim d'interès compost. A més, tot i que el nombre e sols intervé en l'interès compost continu, com de seguida veureu, el present relat ja aborda el tema: el professor és un abusananos que, amb el pretext d'avançar uns conceptes que no s'estudien fins a quart d'ESO, està donant gat per llebre als alumnes de segon, amb la justificació implícita (es farà explícita, en boca de l'autor, en aquesta nota) que l'explicació real seria massa complicada i que tampoc s'adonaran de la tergiversació. D'altra banda, us haig d'advertir que, com que em feia mandra desempolsar els vells llibres de mates i a vosaltres encara us n'hauria fet més seguir els meus raonaments, en lloc d'explicar amb rigor els passos al límit, seguiré la via empírica d'aplicar valors progressius a les variables de les funcions.

    També aprofito l'avinentesa per advertir als lectors que mai més no repetiré els recursos tipogràfics usats en la trilogia de Fibonacci, passant al tipus de lletra Courier per aconseguir que les columnes estiguin ben alineades verticalment i complicant-me la vida fins a extrems inimaginables per representar potències i arrels. Únicament mantindré l'ús de la negreta per distingir les expressions matemàtiques del text narratiu o discursiu, i una mida de caràcters més menuda per als subíndexs. Pel que fa a potències i arrels, faré servir la notació habitual en programació informàtica, base^exponent i arrel^1/grau, amb el benentès que al relat utilitzo aquesta notació de cara als lectors: en la ficció relatada haureu d'imaginar que el professor escriu a la pissarra les expressions matemàtiques com Déu mana, perquè ho entenguin els alumnes.

    Pel que he vist a Internet, el creixement exponencial i el nombre e s'acostumen a introduir amb la primera aproximació que hi va fer Jakob Bernouilli (1654-1705) i la posterior categorització de Leonard Euler (1707-1783). El primer, interessat en els rendiments generats aplicant interès compost, va adonar-se que si, en comptes de capitalitzar un dipòsit per anys, amb un capital inicial P
    0 = 20.000.000 € i un interès anual Ia = 0,05, amb aquests capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys,
    P
    1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P
    2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P
    0(1 + Ia)^2
    P
    3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
    P
    0(1 + Ia)^3
    ······················
    P
    ta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P
    1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    P
    2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
    P
    3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
    ································
    P
    ta = 20.000.000·1,05^t,
    ho feia per mesos, amb un interès mensual I
    m = Ia/12 = 0,05/12 = 0,004167 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 12 mesos,
    P
    1m = P0 + P0·Im = P0(1 + Im)
    P
    2m = P0(1 + Im) + P0·Im(1 + Im) = P0(1 + Im)(1 + Im) =
    P
    0(1 + Im)^2
    P
    3m = P0(1 + Im)^2 + P0·Im(1 + Im)^2 = P0(1 + Im)(1 + Im)^2 =
    P
    0(1 + Im)^3
    ························
    P
    im = P0(1 + Im)^i
    ·····························
    P
    12m = P0(1 + Im)^12,

    és a dir,
    P
    1m = 20.000.000·1,004167 = 20.167.013,89
    P
    2m = 20.000.000·1,004167^2 = 20.251.043,11
    P
    3m = 20.000.000·1,004167^3 = 20.335.422,46
    ··································································
    P
    12m = 20.000.000·1,004167^12 = 21.023.237,96;
    per dies, amb un interès diari Id = I
    a/365 = 0,05/365 = 0,000137 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 365 dies,
    P
    1d = P0 + P0·Id = P0(1 + Id)
    P
    2d = P0(1 + Id) + P0·Id(1 + Id) = P0(1 + Id)(1 + Id) = P0(1 + Id)^2
    P
    3d = P0(1 + Id)^2 + P0·Id(1 + Id)^2 = P0(1 + Id)(1 + Id)^2 =
    P
    0(1 + Id)^3
    ·······················
    P
    id = P0(1 + Id)^i
    ······························
    P
    365d = P0(1 + Id)^365,

    és a dir,
    P
    1d = 20.000.000·1,000137 = 20.002.739,73
    P
    2d = 20.000.000·1,000137^2 = 20.005.479,83
    P
    3d = 20.000.000·1,000137^3 = 20.008.220,30
    ··································································
    P
    365d = 20.000.000·1,000137^365 = 21.025.349,93,
    o per fraccions milionèsimes d'any (gairebé el doble que fer-ho per minuts, i més rodó), amb un interès I
    milionèsima = 0,05/1.000.000 = 0,00000005 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 1.000.000 milionèsimes d'any,
    P
    1milionèsima = P0 + P0·Imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)
    P
    2milionèsima = P0(1 + Imilionèsima) + P0·Imilionèsima(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)^2
    P
    3milionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^2 + P0·Id(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)^3
    ··············································
    P
    imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i
    ··············································
    P
    miliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000,

    és a dir,
    P
    1milionèsima = 20.000.000·1,00000005 = 20.000.001,00
    P
    2milionèsima = 20.000.000·1,00000005^2 = 20.000.002,00
    P
    3milionèsima = 20.000.000·1,00000005^3 = 20.000.003,00
    ·········································································
    P
    miliómilionèsima = 20.000.000·1,00000005^1.000.000 = 21.025.421,90,
    els rendiments eren cada vegada més grans, ja que P
    miliómilionèsima = 21.025.421,90> P365d = 21.025.349,93> P12m = 21.023.237,96> P1a = 21.000.000.

    Resumint, per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    P
    in = P0(1 + In)^i, on In = Ia/n.

    Òbviament, Bernouilli no comptava els diners en euros, crec haver llegit que l'operació financera que estudiava no era un dipòsit sinó un crèdit i, pel que fa al capital inicial de 20.000.000 i a l'interès anual de 0,05, els he assignat aquests valors per fer-los coincidir amb la població i l'índex de creixement de l'exemple que el professor planteja a classe. Però tornant a Bernouilli, el descobriment que la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia), el va dur a preguntar-se si aquesta tendència tenia o no aturador, perquè s'adonava que multiplicant per 12 el nombre de capitalitzacions i disminuint l'interès en la mateixa proporció, la rendibilitat augmentava (21.023.321,70 – 21.000.000 = 23.321,70, cosa que representa passar de l'1,05 a l'1,051166), però que, procedint anàlogament amb 365, la rendibilitat seguia augmentant però no molt més (21.025.378,31 – 21.023.321,70 = 2.056,61, passant de l'1,051166 a l'1,051269) i que fent tres quarts del mateix amb 1.000.000, la rendibilitat gairebé no havia augmentat (21.025.421,90 – 21.025.378,31 = 43,59, passant de l'1,051269 a l'1,051271). Ho va sistematitzar, estudiant el comportament de l'expressió (1 + I
    a/n)^n/Ia amb valors de n cada cop més elevats, perquè era difícil avançar-ne el comportament: prevaldria el contingut del parèntesi tendint a un o el de l'exponent tendint a infinit? Calia esperar Euler i el càlcul diferencial per passar-la al límit.

    Retinguem el valor 1/I
    a = 20, que sortirà en aquest paràgraf i en els dos següents, i comencem amb les capitalitzacions mensuals:
    P
    12m = P0(1 + Im)^12 = P0(1 + Ia/12)^12 =
    P
    0[(1 + Ia/12)^12/Ia]^Ia
    (P
    12m/P0)^1/Ia = (1 + Ia/12)^12/Ia
    i, anomenant N12 = 12/Ia = 240,
    (P
    12m/P0)^1/Ia = (1 + 1/N12N12

    Substituint valors,
    1,051166^20 = (1 + 1/240)^240 = 2,712640.


    Continuem amb les capitalitzacions diàries:
    P
    365d = P0(1 + Id)^365 = P0(1 + Ia/365)^365 =
    P
    0[(1 + Ia/365)^365/Ia]^Ia
    (P
    365d/P0)^1/Ia = (1 + Ia/365)^365/Ia
    i, anomenant N365 =
    365/I
    a = 7.300,
    (P365/P
    0)^1/Ia = (1 + 1/N365)^N365.

    Substituint valors,
    1,051269^20 = (1 + 1/7.300)^7.300 = 2,718096.


    I acabem amb les capitalitzacions de milionèsima part d'any:
    P
    miliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P0(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000 = P0[(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia]^Ia
    (P
    miliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia
    i, anomenant Nmilionèsim = 1.000.000/Ia = 20.000.000,
    (P
    miliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + 1/Nmilionèsim)^Nmilionèsim.

    Substituint valors,
    1,051271^20 = (1 + 1/20.000.000)^20.000.000 = 2,718282 ≈ e.


    Tenint en compte que e = 2,718281828459045235360287471... es un nombre irracional, l'aproximació precedent amb sis xifres decimals és la que utilitzarem habitualment. No cal seguir aplicant valors més alts encara, per adonar-se que (P
    miliómilionèsima/P0)^1/Ia no creix indefinidament sinó que queda estabilitzat al valor e. Però si, per generalitzar, seguíssim fent créixer la partició de l'any a n períodes de capitalització i anomenéssim N = n/Ia i Pn el capital obtingut al cap de l'any amb aquest sistema, tindríem
    (1 + 1/N)^N = e i
    P
    n = P0·e^Ia,
    expressió que es transforma en
    Pt = P
    0(e^Ia)^t = P0·e^Ia·t si considerem t anys.
    La manera rigorosa d'enunciar-ho, seria:
    Per a n tendint a infinit:
    N = n/I
    a tendeix a infinit,
    (1 + 1/N)^N
    tendeix a e i
    Pt = P
    0[(1 + 1/N)^N]^Ia·t tendeix a P0·e^Ia·t
    Aquest interés compost s'anomena continu, perquè obeeix a la ràpida successió de "capitalitzacions instantànies".

    Resumint, en l'exemple serà
    Pt = 20.000.000·e^0,05·t, considerant t anys en capitalització contínua, o bé
    Pt = 20.000.000·1,05^t
    , considerant t anys en capitalització anual,
    P
    im = 20.000.000·1,00416667^i, considerant i mesos en capitalització mensual,
    P
    id = 20.000.000·1,000136986^i, considerant i dies en capitalització diària o
    P
    imilionèsima = 20.000.000·1,00000005^i, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Com que Bernouilli no disposava de calculadora, hem de suposar que va resoldre aquestes equacions traient logaritmes, tècnica ideada per John Napier (1550-1617) gairebé un segle abans. Si voleu construir la gràfica de la funció y = (1 + I
    a/N)^N/Ia, amb aquesta variable en ordenades i x = N/Ia en abscisses, veureu que arrenca de (0 1), es corba cap amunt i cap a la dreta i s'aproxima asimptòticament a la recta horitzontal y = (1 + Ia/N)^N/Ia = e. Podeu servir-vos d'aquests quinze punts: (0,000001 1,000014), (0,001 1,006933), (0,0625 1,193722), (0,125 1,316074), (0,25 1,495349), (0,5 1,732051), (1 2), (1,5 2,151657), (2 2,25), (2,5 2,319103), (3 2,370370), (5 2,48832), (10 2,593742), (100 2,704814) i (1000 2,716924).

    I ara ve quan el maten, perquè em proposo posar en qüestió gairebé tot aquest desenvolupament algebraic. Quan no fa massa escrivia "la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia)", referint-me a Bernouilli, posava en dubte que, capitalitzant 12, 365 o 1.000.000 vegades al cap de l'any, i prenent com a interès per a cadascun d'aquests períodes I
    a/12, Ia/365 o Ia/1.000.000, que era l'INTERÈS SIMPLE mensual, diari o corresponent a una milionèsima part d'any, l'interès anual Ia no es veiés afectat de retruc, ja que s'acceptava que el rendiment anual havia augmentat. I, com que a partir d'ara caldrà filar prim, en lloc de seguir amb l'ús extensiu de la paraula "interès", parlarem de "rèdit" (rendiment relatiu al capital en tant per u, per unitat de temps), "interès" (rendiment absolut, per unitat de temps) i "guany" (rendiment absolut en el temps especificat).

    Jo diria que la hipòtesi de treball hauria de ser justament la contrària: en lloc d'adoptar els rèdits propis de l'interès simple i calcular quins guanys produiran en interès compost al cap d'un temps, caldria calcular quins rèdits mensuals, diaris o milionèsims s'haurien d'utilitzar per tal que, després de 12, 365 o 1.000.000 capitalitzacions, el guany fos igual a l'interès generat pel rèdit I
    a al cap d'un any.

    Pel que fa als capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys, tot serà com abans,
    P
    1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P
    2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P
    0(1 + Ia)^2
    P
    3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
    P
    0(1 + Ia)^3
    ························
    P
    ta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P
    1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    P
    2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
    P
    3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
    ·································
    P
    ta = 20.000.000·1,05^t.
    Però, a diferència de l'anterior, en el mètode present haurà de ser I
    m < Ia/12, Id < Ia/365 i Imilionèsima < Ia/1.000.000. Segons aquesta premisa, el rèdit mensual, diari i milionèsim no vindrà donat sinó que l'haurem de deduir de les condicions d'arribada, considerant que P1a = P12m = P365d = Pmiliómilionèsima. Les equacions en P són les mateixes del mètode precedent, amb l'única particularitat que ara Im, Id i Imilionèsima seran les incògnites.

    P
    12m = P0(1 + Im)^12 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + I
    m)^12 = 1 + Ia
    1 + I
    m = (1 + Ia)^1/12
    I
    m = (1 + Ia)^1/12 – 1
    P
    im = P0(1 + Im)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/12 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/12

    és a dir,
    I
    m = 1,05^0,0833333 – 1 = 0,00407412
    P
    1m = 20.000.000·1,00407412 = 20.081.482,4

    P
    2m = 20.000.000·1,00407412^2 = 20.000.000·1,008165 = 20.163.296,77
    P
    3m = 20.000.000·1,00407412^3 = 20.000.000·1,012272 = 20.245.444,46
    ··········································································
    P
    12m = 20.000.000·1,00407412^12 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,

    P
    365d = P0(1 + Id)^365 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + I
    d)^365 = 1 + Ia
    1 + I
    d = (1 + Ia)^1/365
    I
    d = (1 + Ia)^1/365 – 1
    P
    id = P0(1 + Id)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/365 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/365

    és a dir,
    I
    d = 1,05^0,00273973 – 1 = 0,000133681
    P
    1d = 20.000.000·1,000133681 = 20.002.673,62

    P
    2d = 20.000.000·1,000133681^2 = 20.000.000·1,000267379 = 20.005.347,60
    P
    3d = 20.000.000·1,000133681^3 = 20.000.000·1,000401095 = 20.008.021,93
    ·············································································
    P
    365d = 20.000.000·1,000133681^365 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,

    P
    miliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + I
    milionèsima)^1.000.000 = 1 + Ia
    1 + I
    milionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000
    I
    milionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1
    P
    imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/1.000.000

    és a dir,
    I
    milionèsima = 1,05^0,000001 – 1 = 0,0000000487902
    P
    1milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902 = 20.000.000,98

    P
    2milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^2 = 20.000.000·1,0000000975804 = 20.000.001,95
    P
    3milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^3 = 20.000.000·1,000000146371 = 20.000.002,93
    ······················································································
    P
    miliómilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^1.000.000 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000.

    Resumint: per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    P
    in = P0(1 + In)^i, on In = (1 + Ia)^1/n – 1
    P
    in = P0[1 + {(1 + Ia)^1/n} - 1]^i = P0[(1 + Ia)^1/n]^i =
    P
    0(1 + Ia)^i/n.


    Descrit aquest mètode alternatiu i recapitulant, en tots dos mètodes l'expressió
    P
    in = P0(1 + In)^i és idèntica, i només es diferencia en In: en el primer
    I
    n(1) = Ia/n, mentre que en el segon
    I
    n(2) = (1 + Ia)^1/n – 1, com acabem de veure.
    Si comparem els valors d'I
    n en ambdós mètodes, per a n = 12, 365 i 1.000.000,
    I
    12(1) = 0,00416667
    I
    12(2) = 0,00407412
    I
    365(1) = 0,000136986
    I
    365(2) = 0,000133681
    I
    milionèsima(1) = 0,00000005
    I
    milionèsima(2) = 0,0000000487902,

    no detectem res significatiu, a banda que els valors I
    n(2) són lleugerament menors que In(1), com havíem previst.

    Tornant al segon mètode i a diferència del primer, cal aclarir que no té massa sentit distingir entre aplicacions discretes i contínues: de fet, igual que en el primer
    P
    n = P0(1 + In)^n = P0(1 + Ia/n)^n = P0[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia, i
    (1 + I
    a/n)^n/Ia tendia a la constant e quan n tendia a infinit, en el segon
    P
    in = P0(1 + In)^i = P0(1 + Ia)^i/n, i
    (1 + I
    a)^i/n tendeix a la constant (1 + Ia) quan i tendeix a n, amb independència dels valors n i per la pròpia definició dels rèdits In, i en aquest sentit podem parlar d'aplicacions contínues. Així doncs,
    P
    t = P0(1 + Ia)^t, si considerem t anys, i
    P
    in = P0(1 + Ia)^i/n o
    P
    im = P0(1 + Ia)^i/12
    P
    id = P0(1 + Ia)^i/365
    i
    P
    imilionèsima = P0(1 + Ia)^i/1.000.000.
    Resumint, en l'exemple serà
    P
    t = 20.000.000·1,05^t, considerant t anys en capitalització anual, o bé
    P
    im = 20.000.000·1,00407412^i, considerant i mesos en capitalització mensual,
    P
    id = 20.000.000·1,000133681^i, considerant i dies en capitalització diària,
    P
    imilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^i, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Aquest segon model defineix un interès compost homogeni, on tant se val capitalitzar per fraccions milionèsimes d'any, dies, mesos o anys, perquè els rendiments obtinguts per un procediment o altre, en un mateix període de temps, són idèntics i sols depenen del capital inicial i d'aquest període. Però llavors un es pregunta: de què serveix capitalitzar per mesos, dies o milionèsimes d'any, podent-ho fer per anys? Doncs per calcular més còmodament els guanys quan el període impositiu, expressat en anys, mesos o dies no sigui enter, a banda que interessava fer-ho així per apreciar millor les diferències amb el primer mètode. També podríem adduir, a favor d'aquest model, que el tractament de les capitalitzacions, per fraccions d'any, per anys o per múltiples d'any, és únic. Així, si volguessin crear una imposició quinquennal a interès compost I
    q, tindríem que: Imilionèsim < Ia/1.000.000, Id < Ia/365, Im < Ia/12 i Ia < Iq/5. I tant és calcular el rèdit quinquennal Iq a partir del rèdit anual Ia (Iq > 5·Ia), com procedir al revés (Ia < Iq/5):
    Si volem conèixer el rèdit quinquennal I
    q a partir de Ia, farem
    P
    q = P0(1 + I) = P5a = P0(1 + Ia)^5
    1 + I
    q = (1 + Ia)^5
    I
    q = (1 + Ia)^5 – 1

    és a dir,
    I
    q = 1,05^5 – 1 = 1,276282 – 1 = 0,276282 i
    P
    q = P0(1 + Iq)^i = 20.000.000· 1,276282^i, considerant i quinquennis en capitalització quinquennal.
    Inversament, per conèixer I
    a a partir de Iq,
    1 + I
    q = (1 + Ia)^5
    (1 + I
    q)^1/5 = 1 + Ia
    I
    a = [(1 + Iq)^1/5] – 1

    és a dir
    I
    a = (1,276282^1/5) – 1 = 1,05.

    El primer model és aplicable a processos depenents de paràmetres fixats arbitràriament, com els del món de les finances, on tot és possible si és negoci, però no serveix per reproduir lleis físiques o demogràfiques de formulació inamovible. Si intentem aplicar-lo, per exemple, al problema que el professor del relat proposa als alumnes, on les dades numèriques són les mateixes però canvia allò representat (el capital és població, el rendiment és increment demogràfic i el rèdit anual és l'índex anual de creixement vegetatiu), tot trontollarà. Mentre ens limitem a usar l'índex de creixement anual I
    a = 0,05 anirem bé: al cap dels primers anys, la població inicial de P0 = 20.000.000 persones s'haurà transformat en
    P
    1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P
    2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P
    0(1 + Ia)^2
    P
    3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
    ·······················
    P
    ta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P
    1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 persones
    P
    2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000 persones
    P
    3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500 persones
    ······································
    P
    ta = 20.000.000·1,05^t persones.
    Però no tindrà solta ni volta que, en comptar-la per mesos, aquesta població sigui més gran, que en comptar-la per dies encara sigui més gran ni que en comptar-la per milionèsimes d'any (i no diguem per parts infinitesimals!) encara ho sigui més: el creixement vegetatiu en un any és el que és, naixements menys defuncions, i el sistema de càlcul no pot modificar aquesta realitat objectiva. I, com que el segon mètode no presenta aquestes contradiccions, és el que cal adoptar.

    Llavors, per què el professor del relat explica el primer model, venent-lo com si fos el segon? Doncs perquè fa trampa, o més ben dit, jo, que sóc el titellaire que en mou els fils, faig trampa. I en faig perquè ja trobo prou agafat pels pèls explicar aquest model i el descobriment de e a xavals de dotze anys, però no em veig amb cor d'explicar el segon, que és el que realment caldria utilitzar. Si us val com a circumstància atenuant, us haig de confessar que m'he tornat mico provant de trobar a Internet la justificació de les expressions matemàtiques utilitzades per calcular el creixement exponencial continu de la població, però ha estat en va: de justificacions de l'ínterès compost continu, les que vulgueu; però en aplicacions demogràfiques, que fan servir les mateixes fórmules i que per això mateix m'interessaven, cap ni una. De manera que m'he hagut d'espavilar sol, reinventant un cop més la sopa d'all, i m'ha semblat que, endinyar als pobres vailets de segon d'ESO aquest plus de dificultat i transmetre'ls les meves inseguretats, encara que fos en la ficció, ja era massa. Si havia d'acabar explicant el que aquí he anomenat "primer mètode", també pensareu que hauria pogut escollir l'interès continu com aplicació a comentar, en lloc del creixement demogràfic d'una població sense migrants. Potser sí, però em repugnava influir ideològicament sobre angelets innocents (innocents si ens oblidem de la roba i el calçat de marca, del mòbil i dels videojocs), iniciant-los en les males arts del capitalisme financer.

    He parlat de les meves inseguretats, d'una banda, perquè no sé a què atribuir l'omissió demostrativa de P
    t = P0·e^Ia·t quan s'enuncia en el camp de la demografia: És per no repetir la demostració de la fórmula, realitzada ja en l'apartat capitalització contínua, donant per fet que són processos paral·lels quan no ho són en absolut? És que, igual que el profe del relat, els internautas divulgadors saben perfectament que els dos processos no ho són, de paral·lels, però no volen exposar a la crítica una argumentació poc consistent? O és que, en aquest últim supòsit, no es vol desvelar que la unificació només obeeix a raons de conveniència, atès que els resultats d'aplicar Pt = P0·e^Ia·t i Pt = P0(1 + Ia)^t són acceptablement pròxims en el domini habitual de valors Ia (divergències menors que el 2 per mil: 20.506.302,41/20.493.901,53 = 1,0006, 21.025.421,93/21.000.000 = 1,0012 i 21.557.683,02/21.518.596,61 = 1,0018, obtingudes dividint valors homòlegs en el recull de dades final)? Com veieu, quan un no troba una resposta satisfactòria a allò que li sembla un despropòsit, tendeix a admetre autèntiques bajanades com a explicació.

    N'he parlat, d'altra banda, perquè això de trobar arreu afirmacions no compartides condueix a la conclusió que qui s'enganya és un mateix. En què m'hauré equivocat?: no pot ser que tots errin i només jo estigui en possessió de la veritat, que a més té una formulació ben simple. Suposo que aquestes consideracions i un elemental sentit de la prudència m'han acabat d'ajudar a prendre la covarda decisió d'ensarronar els alumnes descrivint un fenomen i donant-li un tractament matemàtic que, en opinió meva, no li escau.

    Ja us he marejat prou. Agrairé qualsevol comentari assenyalant-me les relliscades que hagi pogut cometre en aquesta llarga nota, que pretenia ser aclaridora.

    Per acabar, tornarem als rendiments de l'interés compost (P
    0 = 20.000.000 € i rendiment Ia = 0,05, per € i any), continu o discret, per comparar els resultats d'aplicar els dos mètodes. Calcularem el capital final en tres períodes: 0,5 d'any (o 0,1 de quinquenni, o bé 6 mesos, 182,5 dies o 500.000 milionèsimes d'any), 1 any (o 0,2 de quinquenni, o bé 12 mesos, 356 dies o 1.000.000 milionèsimes d'any) i 1,5 anys (o 0,3 de quinquenni, o bé 18 mesos, 547,5 dies o 1.500.000 milionèsimes d'any).

    Mètode I amb capitalització contínua:
    Mig any: 20.506.302,41; un any: 21.025.421,93; un any i mig: 21.557.683,02.

    Mètode I amb capitalització quinquennal:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització anual:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització mensual:
    Mig any: 20.505.278,20; un any: 21.023.321,70; un any i mig: 21.554.453,01.

    Mètode I amb capitalització diaria:
    Mig any: 20.506.281,14; un any: 21.025.378,31; un any i mig: 21.557.615,93.

    Mètode I amb capitalització per milionèsimas d'any:
    Mig any: 20.506.302,40; un any: 21.025.421,90; un any i mig: 21.557.682,98.

    Mètode II amb capitalització quinquennal (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització anual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització mensual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització diaria (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 15/06/2024 a les 21:05
    Nota de l'autor:

    Aquest relat està especialment dedicat a SrGarcia, que en un comentari a "Pi i la quadratura del cercle" venia a dir que, a "Fibonacci, punt final", jo parlava de l'interès compost i del nombre e quan, de fet, m'havia limitat a escriure que les funcions exponencials eren models matemàtics utilitzats per descriure, entre altres aplicacions, la capitalització periòdica d'interessos en règim d'interès compost. A més, tot i que el nombre e sols intervé en l'interès compost continu, com de seguida veureu, el present relat ja aborda el tema: el professor és un abusananos que, amb el pretext d'avançar uns conceptes que no s'estudien fins a quart d'ESO, està donant gat per llebre als alumnes de segon, amb la justificació implícita (es farà explícita, en boca de l'autor, en aquesta nota) que l'explicació real seria massa complicada i que tampoc s'adonaran de la tergiversació. D'altra banda, us haig d'advertir que, com que em feia mandra desempolsar els vells llibres de mates i a vosaltres encara us n'hauria fet més seguir els meus raonaments, en lloc d'explicar amb rigor els passos al límit, seguiré la via empírica d'aplicar valors progressius a les variables de les funcions.

    També aprofito l'avinentesa per advertir als lectors que mai més no repetiré els recursos tipogràfics usats en la trilogia de Fibonacci, passant al tipus de lletra Courier per aconseguir que les columnes estiguin ben alineades verticalment i complicant-me la vida fins a extrems inimaginables per representar potències i arrels. Únicament mantindré l'ús de la negreta per distingir les expressions matemàtiques del text narratiu o discursiu, i una mida de caràcters més menuda per als subíndexs. Pel que fa a potències i arrels, faré servir la notació habitual en programació informàtica, base^exponent i arrel^1/grau, amb el benentès que al relat utilitzo aquesta notació de cara als lectors: en la ficció relatada haureu d'imaginar que el professor escriu a la pissarra les expressions matemàtiques com Déu mana, perquè ho entenguin els alumnes.

    Pel que he vist a Internet, el creixement exponencial i el nombre e s'acostumen a introduir amb la primera aproximació que hi va fer Jakob Bernouilli (1654-1705) i la posterior categorització de Leonard Euler (1707-1783). El primer, interessat en els rendiments generats aplicant interès compost, va adonar-se que si, en comptes de capitalitzar un dipòsit per anys, amb un capital inicial P
    0 = 20.000.000 € i un interès anual Ia = 0,05, amb aquests capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys,
    P
    1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P
    2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P
    0(1 + Ia)^2
    P
    3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
    P
    0(1 + Ia)^3
    ······················
    P
    ta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P
    1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    P
    2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
    P
    3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
    ································
    P
    ta = 20.000.000·1,05^t,
    ho feia per mesos, amb un interès mensual I
    m = Ia/12 = 0,05/12 = 0,004167 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 12 mesos,
    P
    1m = P0 + P0·Im = P0(1 + Im)
    P
    2m = P0(1 + Im) + P0·Im(1 + Im) = P0(1 + Im)(1 + Im) =
    P
    0(1 + Im)^2
    P
    3m = P0(1 + Im)^2 + P0·Im(1 + Im)^2 = P0(1 + Im)(1 + Im)^2 =
    P
    0(1 + Im)^3
    ························
    P
    im = P0(1 + Im)^i
    ·····························
    P
    12m = P0(1 + Im)^12,

    és a dir,
    P
    1m = 20.000.000·1,004167 = 20.167.013,89
    P
    2m = 20.000.000·1,004167^2 = 20.251.043,11
    P
    3m = 20.000.000·1,004167^3 = 20.335.422,46
    ··································································
    P
    12m = 20.000.000·1,004167^12 = 21.023.237,96;
    per dies, amb un interès diari Id = I
    a/365 = 0,05/365 = 0,000137 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 365 dies,
    P
    1d = P0 + P0·Id = P0(1 + Id)
    P
    2d = P0(1 + Id) + P0·Id(1 + Id) = P0(1 + Id)(1 + Id) = P0(1 + Id)^2
    P
    3d = P0(1 + Id)^2 + P0·Id(1 + Id)^2 = P0(1 + Id)(1 + Id)^2 =
    P
    0(1 + Id)^3
    ·······················
    P
    id = P0(1 + Id)^i
    ······························
    P
    365d = P0(1 + Id)^365,

    és a dir,
    P
    1d = 20.000.000·1,000137 = 20.002.739,73
    P
    2d = 20.000.000·1,000137^2 = 20.005.479,83
    P
    3d = 20.000.000·1,000137^3 = 20.008.220,30
    ··································································
    P
    365d = 20.000.000·1,000137^365 = 21.025.349,93,
    o per fraccions milionèsimes d'any (gairebé el doble que fer-ho per minuts, i més rodó), amb un interès I
    milionèsima = 0,05/1.000.000 = 0,00000005 i uns capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... 1.000.000 milionèsimes d'any,
    P
    1milionèsima = P0 + P0·Imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)
    P
    2milionèsima = P0(1 + Imilionèsima) + P0·Imilionèsima(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima) = P0(1 + Imilionèsima)^2
    P
    3milionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^2 + P0·Id(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)(1 + Imilionèsima)^2 = P0(1 + Imilionèsima)^3
    ··············································
    P
    imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i
    ··············································
    P
    miliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000,

    és a dir,
    P
    1milionèsima = 20.000.000·1,00000005 = 20.000.001,00
    P
    2milionèsima = 20.000.000·1,00000005^2 = 20.000.002,00
    P
    3milionèsima = 20.000.000·1,00000005^3 = 20.000.003,00
    ·········································································
    P
    miliómilionèsima = 20.000.000·1,00000005^1.000.000 = 21.025.421,90,
    els rendiments eren cada vegada més grans, ja que P
    miliómilionèsima = 21.025.421,90> P365d = 21.025.349,93> P12m = 21.023.237,96> P1a = 21.000.000.

    Resumint, per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    P
    in = P0(1 + In)^i, on In = Ia/n.

    Òbviament, Bernouilli no comptava els diners en euros, crec haver llegit que l'operació financera que estudiava no era un dipòsit sinó un crèdit i, pel que fa al capital inicial de 20.000.000 i a l'interès anual de 0,05, els he assignat aquests valors per fer-los coincidir amb la població i l'índex de creixement de l'exemple que el professor planteja a classe. Però tornant a Bernouilli, el descobriment que la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia), el va dur a preguntar-se si aquesta tendència tenia o no aturador, perquè s'adonava que multiplicant per 12 el nombre de capitalitzacions i disminuint l'interès en la mateixa proporció, la rendibilitat augmentava (21.023.321,70 – 21.000.000 = 23.321,70, cosa que representa passar de l'1,05 a l'1,051166), però que, procedint anàlogament amb 365, la rendibilitat seguia augmentant però no molt més (21.025.378,31 – 21.023.321,70 = 2.056,61, passant de l'1,051166 a l'1,051269) i que fent tres quarts del mateix amb 1.000.000, la rendibilitat gairebé no havia augmentat (21.025.421,90 – 21.025.378,31 = 43,59, passant de l'1,051269 a l'1,051271). Ho va sistematitzar, estudiant el comportament de l'expressió (1 + I
    a/n)^n/Ia amb valors de n cada cop més elevats, perquè era difícil avançar-ne el comportament: prevaldria el contingut del parèntesi tendint a un o el de l'exponent tendint a infinit? Calia esperar Euler i el càlcul diferencial per passar-la al límit.

    Retinguem el valor 1/I
    a = 20, que sortirà en aquest paràgraf i en els dos següents, i comencem amb les capitalitzacions mensuals:
    P
    12m = P0(1 + Im)^12 = P0(1 + Ia/12)^12 =
    P
    0[(1 + Ia/12)^12/Ia]^Ia
    (P
    12m/P0)^1/Ia = (1 + Ia/12)^12/Ia
    i, anomenant N12 = 12/Ia = 240,
    (P
    12m/P0)^1/Ia = (1 + 1/N12N12

    Substituint valors,
    1,051166^20 = (1 + 1/240)^240 = 2,712640.


    Continuem amb les capitalitzacions diàries:
    P
    365d = P0(1 + Id)^365 = P0(1 + Ia/365)^365 =
    P
    0[(1 + Ia/365)^365/Ia]^Ia
    (P
    365d/P0)^1/Ia = (1 + Ia/365)^365/Ia
    i, anomenant N365 =
    365/I
    a = 7.300,
    (P365/P
    0)^1/Ia = (1 + 1/N365)^N365.

    Substituint valors,
    1,051269^20 = (1 + 1/7.300)^7.300 = 2,718096.


    I acabem amb les capitalitzacions de milionèsima part d'any:
    P
    miliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P0(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000 = P0[(1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia]^Ia
    (P
    miliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + Ia/1.000.000)^1.000.000/Ia
    i, anomenant Nmilionèsim = 1.000.000/Ia = 20.000.000,
    (P
    miliómilionèsima/P0)^1/Ia = (1 + 1/Nmilionèsim)^Nmilionèsim.

    Substituint valors,
    1,051271^20 = (1 + 1/20.000.000)^20.000.000 = 2,718282 ≈ e.


    Tenint en compte que e = 2,718281828459045235360287471... es un nombre irracional, l'aproximació precedent amb sis xifres decimals és la que utilitzarem habitualment. No cal seguir aplicant valors més alts encara, per adonar-se que (P
    miliómilionèsima/P0)^1/Ia no creix indefinidament sinó que queda estabilitzat al valor e. Però si, per generalitzar, seguíssim fent créixer la partició de l'any a n períodes de capitalització i anomenéssim N = n/Ia i Pn el capital obtingut al cap de l'any amb aquest sistema, tindríem
    (1 + 1/N)^N = e i
    P
    n = P0·e^Ia,
    expressió que es transforma en
    Pt = P
    0(e^Ia)^t = P0·e^Ia·t si considerem t anys.
    La manera rigorosa d'enunciar-ho, seria:
    Per a n tendint a infinit:
    N = n/I
    a tendeix a infinit,
    (1 + 1/N)^N
    tendeix a e i
    Pt = P
    0[(1 + 1/N)^N]^Ia·t tendeix a P0·e^Ia·t
    Aquest interés compost s'anomena continu, perquè obeeix a la ràpida successió de "capitalitzacions instantànies".

    Resumint, en l'exemple serà
    Pt = 20.000.000·e^0,05·t, considerant t anys en capitalització contínua, o bé
    Pt = 20.000.000·1,05^t
    , considerant t anys en capitalització anual,
    P
    im = 20.000.000·1,00416667^i, considerant i mesos en capitalització mensual,
    P
    id = 20.000.000·1,000136986^i, considerant i dies en capitalització diària o
    P
    imilionèsima = 20.000.000·1,00000005^i, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Com que Bernouilli no disposava de calculadora, hem de suposar que va resoldre aquestes equacions traient logaritmes, tècnica ideada per John Napier (1550-1617) gairebé un segle abans. Si voleu construir la gràfica de la funció y = (1 + I
    a/N)^N/Ia, amb aquesta variable en ordenades i x = N/Ia en abscisses, veureu que arrenca de (0 1), es corba cap amunt i cap a la dreta i s'aproxima asimptòticament a la recta horitzontal y = (1 + Ia/N)^N/Ia = e. Podeu servir-vos d'aquests quinze punts: (0,000001 1,000014), (0,001 1,006933), (0,0625 1,193722), (0,125 1,316074), (0,25 1,495349), (0,5 1,732051), (1 2), (1,5 2,151657), (2 2,25), (2,5 2,319103), (3 2,370370), (5 2,48832), (10 2,593742), (100 2,704814) i (1000 2,716924).

    I ara ve quan el maten, perquè em proposo posar en qüestió gairebé tot aquest desenvolupament algebraic. Quan no fa massa escrivia "la rendibilitat creixia només augmentant el nombre de capitalitzacions, sense necessitat de modificar el capital inicial, el temps considerat ni l'interès (almenys això és el que ell creia)", referint-me a Bernouilli, posava en dubte que, capitalitzant 12, 365 o 1.000.000 vegades al cap de l'any, i prenent com a interès per a cadascun d'aquests períodes I
    a/12, Ia/365 o Ia/1.000.000, que era l'INTERÈS SIMPLE mensual, diari o corresponent a una milionèsima part d'any, l'interès anual Ia no es veiés afectat de retruc, ja que s'acceptava que el rendiment anual havia augmentat. I, com que a partir d'ara caldrà filar prim, en lloc de seguir amb l'ús extensiu de la paraula "interès", parlarem de "rèdit" (rendiment relatiu al capital en tant per u, per unitat de temps), "interès" (rendiment absolut, per unitat de temps) i "guany" (rendiment absolut en el temps especificat).

    Jo diria que la hipòtesi de treball hauria de ser justament la contrària: en lloc d'adoptar els rèdits propis de l'interès simple i calcular quins guanys produiran en interès compost al cap d'un temps, caldria calcular quins rèdits mensuals, diaris o milionèsims s'haurien d'utilitzar per tal que, després de 12, 365 o 1.000.000 capitalitzacions, el guany fos igual a l'interès generat pel rèdit I
    a al cap d'un any.

    Pel que fa als capitals acumulats al cap d'1, 2, 3... t anys, tot serà com abans,
    P
    1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P
    2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P
    0(1 + Ia)^2
    P
    3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 =
    P
    0(1 + Ia)^3
    ························
    P
    ta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P
    1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000
    P
    2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000
    P
    3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500
    ·································
    P
    ta = 20.000.000·1,05^t.
    Però, a diferència de l'anterior, en el mètode present haurà de ser I
    m < Ia/12, Id < Ia/365 i Imilionèsima < Ia/1.000.000. Segons aquesta premisa, el rèdit mensual, diari i milionèsim no vindrà donat sinó que l'haurem de deduir de les condicions d'arribada, considerant que P1a = P12m = P365d = Pmiliómilionèsima. Les equacions en P són les mateixes del mètode precedent, amb l'única particularitat que ara Im, Id i Imilionèsima seran les incògnites.

    P
    12m = P0(1 + Im)^12 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + I
    m)^12 = 1 + Ia
    1 + I
    m = (1 + Ia)^1/12
    I
    m = (1 + Ia)^1/12 – 1
    P
    im = P0(1 + Im)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/12 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/12

    és a dir,
    I
    m = 1,05^0,0833333 – 1 = 0,00407412
    P
    1m = 20.000.000·1,00407412 = 20.081.482,4

    P
    2m = 20.000.000·1,00407412^2 = 20.000.000·1,008165 = 20.163.296,77
    P
    3m = 20.000.000·1,00407412^3 = 20.000.000·1,012272 = 20.245.444,46
    ··········································································
    P
    12m = 20.000.000·1,00407412^12 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,

    P
    365d = P0(1 + Id)^365 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + I
    d)^365 = 1 + Ia
    1 + I
    d = (1 + Ia)^1/365
    I
    d = (1 + Ia)^1/365 – 1
    P
    id = P0(1 + Id)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/365 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/365

    és a dir,
    I
    d = 1,05^0,00273973 – 1 = 0,000133681
    P
    1d = 20.000.000·1,000133681 = 20.002.673,62

    P
    2d = 20.000.000·1,000133681^2 = 20.000.000·1,000267379 = 20.005.347,60
    P
    3d = 20.000.000·1,000133681^3 = 20.000.000·1,000401095 = 20.008.021,93
    ·············································································
    P
    365d = 20.000.000·1,000133681^365 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000,

    P
    miliómilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^1.000.000 = P1a = P0(1 + Ia)
    (1 + I
    milionèsima)^1.000.000 = 1 + Ia
    1 + I
    milionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000
    I
    milionèsima = (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1
    P
    imilionèsima = P0(1 + Imilionèsima)^i = P0[1 + (1 + Ia)^1/1.000.000 – 1]^i = P0(1 + Ia)^i/1.000.000

    és a dir,
    I
    milionèsima = 1,05^0,000001 – 1 = 0,0000000487902
    P
    1milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902 = 20.000.000,98

    P
    2milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^2 = 20.000.000·1,0000000975804 = 20.000.001,95
    P
    3milionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^3 = 20.000.000·1,000000146371 = 20.000.002,93
    ······················································································
    P
    miliómilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^1.000.000 = 20.000.000·1,05 = 21.000.000.

    Resumint: per a una partició n de l'any, el rendiment al cap d'i d'aquests períodes és
    P
    in = P0(1 + In)^i, on In = (1 + Ia)^1/n – 1
    P
    in = P0[1 + {(1 + Ia)^1/n} - 1]^i = P0[(1 + Ia)^1/n]^i =
    P
    0(1 + Ia)^i/n.


    Descrit aquest mètode alternatiu i recapitulant, en tots dos mètodes l'expressió
    P
    in = P0(1 + In)^i és idèntica, i només es diferencia en In: en el primer
    I
    n(1) = Ia/n, mentre que en el segon
    I
    n(2) = (1 + Ia)^1/n – 1, com acabem de veure.
    Si comparem els valors d'I
    n en ambdós mètodes, per a n = 12, 365 i 1.000.000,
    I
    12(1) = 0,00416667
    I
    12(2) = 0,00407412
    I
    365(1) = 0,000136986
    I
    365(2) = 0,000133681
    I
    milionèsima(1) = 0,00000005
    I
    milionèsima(2) = 0,0000000487902,

    no detectem res significatiu, a banda que els valors I
    n(2) són lleugerament menors que In(1), com havíem previst.

    Tornant al segon mètode i a diferència del primer, cal aclarir que no té massa sentit distingir entre aplicacions discretes i contínues: de fet, igual que en el primer
    P
    n = P0(1 + In)^n = P0(1 + Ia/n)^n = P0[(1 + Ia/n)^n/Ia]^Ia, i
    (1 + I
    a/n)^n/Ia tendia a la constant e quan n tendia a infinit, en el segon
    P
    in = P0(1 + In)^i = P0(1 + Ia)^i/n, i
    (1 + I
    a)^i/n tendeix a la constant (1 + Ia) quan i tendeix a n, amb independència dels valors n i per la pròpia definició dels rèdits In, i en aquest sentit podem parlar d'aplicacions contínues. Així doncs,
    P
    t = P0(1 + Ia)^t, si considerem t anys, i
    P
    in = P0(1 + Ia)^i/n o
    P
    im = P0(1 + Ia)^i/12
    P
    id = P0(1 + Ia)^i/365
    i
    P
    imilionèsima = P0(1 + Ia)^i/1.000.000.
    Resumint, en l'exemple serà
    P
    t = 20.000.000·1,05^t, considerant t anys en capitalització anual, o bé
    P
    im = 20.000.000·1,00407412^i, considerant i mesos en capitalització mensual,
    P
    id = 20.000.000·1,000133681^i, considerant i dies en capitalització diària,
    P
    imilionèsima = 20.000.000·1,0000000487902^i, considerant i milionèsimes en capitalització per milionèsimes d'any.

    Aquest segon model defineix un interès compost homogeni, on tant se val capitalitzar per fraccions milionèsimes d'any, dies, mesos o anys, perquè els rendiments obtinguts per un procediment o altre, en un mateix període de temps, són idèntics i sols depenen del capital inicial i d'aquest període. Però llavors un es pregunta: de què serveix capitalitzar per mesos, dies o milionèsimes d'any, podent-ho fer per anys? Doncs per calcular més còmodament els guanys quan el període impositiu, expressat en anys, mesos o dies no sigui enter, a banda que interessava fer-ho així per apreciar millor les diferències amb el primer mètode. També podríem adduir, a favor d'aquest model, que el tractament de les capitalitzacions, per fraccions d'any, per anys o per múltiples d'any, és únic. Així, si volguessin crear una imposició quinquennal a interès compost I
    q, tindríem que: Imilionèsim < Ia/1.000.000, Id < Ia/365, Im < Ia/12 i Ia < Iq/5. I tant és calcular el rèdit quinquennal Iq a partir del rèdit anual Ia (Iq > 5·Ia), com procedir al revés (Ia < Iq/5):
    Si volem conèixer el rèdit quinquennal I
    q a partir de Ia, farem
    P
    q = P0(1 + I) = P5a = P0(1 + Ia)^5
    1 + I
    q = (1 + Ia)^5
    I
    q = (1 + Ia)^5 – 1

    és a dir,
    I
    q = 1,05^5 – 1 = 1,276282 – 1 = 0,276282 i
    P
    q = P0(1 + Iq)^i = 20.000.000· 1,276282^i, considerant i quinquennis en capitalització quinquennal.
    Inversament, per conèixer I
    a a partir de Iq,
    1 + I
    q = (1 + Ia)^5
    (1 + I
    q)^1/5 = 1 + Ia
    I
    a = [(1 + Iq)^1/5] – 1

    és a dir
    I
    a = (1,276282^1/5) – 1 = 1,05.

    El primer model és aplicable a processos depenents de paràmetres fixats arbitràriament, com els del món de les finances, on tot és possible si és negoci, però no serveix per reproduir lleis físiques o demogràfiques de formulació inamovible. Si intentem aplicar-lo, per exemple, al problema que el professor del relat proposa als alumnes, on les dades numèriques són les mateixes però canvia allò representat (el capital és població, el rendiment és increment demogràfic i el rèdit anual és l'índex anual de creixement vegetatiu), tot trontollarà. Mentre ens limitem a usar l'índex de creixement anual I
    a = 0,05 anirem bé: al cap dels primers anys, la població inicial de P0 = 20.000.000 persones s'haurà transformat en
    P
    1a = P0 + P0·Ia = P0(1 + Ia)
    P
    2a = P0(1 + Ia) + P0·Ia(1 + Ia) = P0(1 + Ia)(1 + Ia) =
    P
    0(1 + Ia)^2
    P
    3a = P0(1 + Ia)^2 + P0·Ia(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)(1 + Ia)^2 = P0(1 + Ia)^3
    ·······················
    P
    ta = P0(1 + Ia)^t,

    és a dir,
    P
    1a = 20.000.000·1,05 = 21.000.000 persones
    P
    2a = 20.000.000·1,05^2 = 22.050.000 persones
    P
    3a = 20.000.000·1,05^3 = 23.152.500 persones
    ······································
    P
    ta = 20.000.000·1,05^t persones.
    Però no tindrà solta ni volta que, en comptar-la per mesos, aquesta població sigui més gran, que en comptar-la per dies encara sigui més gran ni que en comptar-la per milionèsimes d'any (i no diguem per parts infinitesimals!) encara ho sigui més: el creixement vegetatiu en un any és el que és, naixements menys defuncions, i el sistema de càlcul no pot modificar aquesta realitat objectiva. I, com que el segon mètode no presenta aquestes contradiccions, és el que cal adoptar.

    Llavors, per què el professor del relat explica el primer model, venent-lo com si fos el segon? Doncs perquè fa trampa, o més ben dit, jo, que sóc el titellaire que en mou els fils, faig trampa. I en faig perquè ja trobo prou agafat pels pèls explicar aquest model i el descobriment de e a xavals de dotze anys, però no em veig amb cor d'explicar el segon, que és el que realment caldria utilitzar. Si us val com a circumstància atenuant, us haig de confessar que m'he tornat mico provant de trobar a Internet la justificació de les expressions matemàtiques utilitzades per calcular el creixement exponencial continu de la població, però ha estat en va: de justificacions de l'ínterès compost continu, les que vulgueu; però en aplicacions demogràfiques, que fan servir les mateixes fórmules i que per això mateix m'interessaven, cap ni una. De manera que m'he hagut d'espavilar sol, reinventant un cop més la sopa d'all, i m'ha semblat que, endinyar als pobres vailets de segon d'ESO aquest plus de dificultat i transmetre'ls les meves inseguretats, encara que fos en la ficció, ja era massa. Si havia d'acabar explicant el que aquí he anomenat "primer mètode", també pensareu que hauria pogut escollir l'interès continu com aplicació a comentar, en lloc del creixement demogràfic d'una població sense migrants. Potser sí, però em repugnava influir ideològicament sobre angelets innocents (innocents si ens oblidem de la roba i el calçat de marca, del mòbil i dels videojocs), iniciant-los en les males arts del capitalisme financer.

    He parlat de les meves inseguretats, d'una banda, perquè no sé a què atribuir l'omissió demostrativa de P
    t = P0·e^Ia·t quan s'enuncia en el camp de la demografia: És per no repetir la demostració de la fórmula, realitzada ja en l'apartat capitalització contínua, donant per fet que són processos paral·lels quan no ho són en absolut? És que, igual que el profe del relat, els internautas divulgadors saben perfectament que els dos processos no ho són, de paral·lels, però no volen exposar a la crítica una argumentació poc consistent? O és que, en aquest últim supòsit, no es vol desvelar que la unificació només obeeix a raons de conveniència, atès que els resultats d'aplicar Pt = P0·e^Ia·t i Pt = P0(1 + Ia)^t són acceptablement pròxims en el domini habitual de valors Ia (divergències menors que el 2 per mil: 20.506.302,41/20.493.901,53 = 1,0006, 21.025.421,93/21.000.000 = 1,0012 i 21.557.683,02/21.518.596,61 = 1,0018, obtingudes dividint valors homòlegs en el recull de dades final)? Com veieu, quan un no troba una resposta satisfactòria a allò que li sembla un despropòsit, tendeix a admetre autèntiques bajanades com a explicació.

    N'he parlat, d'altra banda, perquè això de trobar arreu afirmacions no compartides condueix a la conclusió que qui s'enganya és un mateix. En què m'hauré equivocat?: no pot ser que tots errin i només jo estigui en possessió de la veritat, que a més té una formulació ben simple. Suposo que aquestes consideracions i un elemental sentit de la prudència m'han acabat d'ajudar a prendre la covarda decisió d'ensarronar els alumnes descrivint un fenomen i donant-li un tractament matemàtic que, en opinió meva, no li escau.

    Ja us he marejat prou. Agrairé qualsevol comentari assenyalant-me les relliscades que hagi pogut cometre en aquesta llarga nota, que pretenia ser aclaridora.

    Per acabar, tornarem als rendiments de l'interés compost (P
    0 = 20.000.000 € i rendiment Ia = 0,05, per € i any), continu o discret, per comparar els resultats d'aplicar els dos mètodes. Calcularem el capital final en tres períodes: 0,5 d'any (o 0,1 de quinquenni, o bé 6 mesos, 182,5 dies o 500.000 milionèsimes d'any), 1 any (o 0,2 de quinquenni, o bé 12 mesos, 356 dies o 1.000.000 milionèsimes d'any) i 1,5 anys (o 0,3 de quinquenni, o bé 18 mesos, 547,5 dies o 1.500.000 milionèsimes d'any).

    Mètode I amb capitalització contínua:
    Mig any: 20.506.302,41; un any: 21.025.421,93; un any i mig: 21.557.683,02.

    Mètode I amb capitalització quinquennal:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització anual:
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode I amb capitalització mensual:
    Mig any: 20.505.278,20; un any: 21.023.321,70; un any i mig: 21.554.453,01.

    Mètode I amb capitalització diaria:
    Mig any: 20.506.281,14; un any: 21.025.378,31; un any i mig: 21.557.615,93.

    Mètode I amb capitalització per milionèsimas d'any:
    Mig any: 20.506.302,40; un any: 21.025.421,90; un any i mig: 21.557.682,98.

    Mètode II amb capitalització quinquennal (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització anual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització mensual (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.

    Mètode II amb capitalització diaria (contínua):
    Mig any: 20.493.901,53; un any: 21.000.000; un any i mig: 21.518.596,61.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 28/06/2024 a les 13:41
    abcd abcd abcd
    • RE: RE: Això és una prova.
      Joan Colom | 01/07/2024 a les 17:26
      Ell li envià l'emoticona ;-) i ella contestà amb >:-(
      • RE: RE: RE: Això és una prova.
        Joan Colom | 03/07/2024 a les 11:40
        ABCD abcd ABCD abcd ABCD abcd
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 03/07/2024 a les 13:18
    ABCDEFGHIJKabcdefghijkABCDEFGHIJK
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 03/07/2024 a les 13:24
    ABCDEFGHIJKabcdefghijkABCDEFGHIJK
    • RE: RE: Això és una prova.
      Joan Colom | 05/07/2024 a les 16:03
      —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

      —D
      ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.

      —Potser sí, que els pals i els penjolls de les minúscules ajuden a evitar una imatge compacta del text, similar a una successió de caràcters numèrics: fixa't que "
      012345 678 90123 4 567 89012", si no fos per l'estretor s'assemblaria força a l'últim que acabes de dir, "PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL", enrasats tots dos per dalt i per baix.

      —I
      ARA QUE PARLEM D'AIXÒ PENSA QUE, QUAN ESCRIVIM A MÀ, SI NO HO FEM AMB CAL·LIGRAFIA LLIGADA HO FEM AMB LLETRA D'IMPREMTA, I GAIREBÉ SEMPRE AMB MAJÚSCULES EXCLUSIVAMENT. O SIGUI QUE POTSER HI HA UNA TENDÈNCIA NATURAL A L'ÚS DE LES MAJÚSCULES, I L'ESTIL VERSALETA EL QUE FA ÉS RESPECTAR AQUESTA TENDÈNCIA SENSE OBLIDAR LA JERARQUIA ENTRE ELS INICIS DE FRASE I DE NOMS PROPIS, I LA RESTA DE LLETRES: TOTES TENEN LA MATEIXA FORMA I NOMÉS ES DIFERENCIEN EN LA MIDA; ÉS ALLÒ QUE EN GEOMETRIA EN DIUEN FIGURES SEMBLANTS. I UNA ALTRA COSA. TU, JOAN, AMB AIXÒ D'ESCRIURE EN VERSALITA TOTES LES INTERVENCIONS MEVES, ESTÀS UTILITZANT-LA D'UNA MANERA LIBÈRRIMA QUE NO TÉ MASSA A VEURE AMB ELS USOS RECOMANATS, I LA VERITAT ÉS QUE HI HA UNS PROTOCOLS TIPOGRÀFICS QUE NORMALMENT SÓN DE SENTIT COMÚ: PER EXEMPLE, ACCEPTANT QUE ELS SEGLES ES REPRESENTEN EN NOMBRES ROMANS, PODEM ESCRIURE "Segle XXI" O "segle XXI", PERÒ NO "Segle XXI" O
      "segle XXI".

      —És ben curiós, això dels caràcters alfanumèrics. Recordo que fa més de dos anys, deixa que ho busqui... sí, el vint de maig del vint-i-dos, vaig escriure un relat de tres minuts que es deia "Divagació tipològica tipogràfica" i era una disquisició poca-solta sobre la "t" minúscula. Ho recordava perquè gràcies als comentaris de SrGarcia vaig assabentar-me que amb un simple tag HTML podia canviar la mida de lletra. Des del relat següent, "La xocolata no mata", fins ara, a la meva pàgina escric amb lletra més gran. El que passa és que sóc un perepunyetes i, com que em va semblar que el punt, la coma, els dos punts i el punt i coma sortien poc marcats en comparació als altres caràcters, em complico la vida passant-los a negreta abans d'enviar el relat perquè me'l publiquin. Teòricament sols és aplicar quatre vegades el procés d'edició "buscar i reemplaçar", un per a cadascun d'aquests signes de puntuació, però sempre hi ha excepcions que t'obliguen a intervenir-hi manualment. A més, l'estimació de temps de lectura amb què em surten publicats els relats està hipertrofiada per la presència dels tags strong (negreta), cosa que m'obliga a incloure, després dels títols, l'aclariment "[temps real de lectura: X minuts]".

      —DONCS, PEL QUE VEIG, EL MANIÀTIC ETS TU. JO NO TINDRIA PAS PACIÈNCIA DE FER TOT AIXÒ.

      —Doncs si et dic quina en tinc al cap... En el present relat he descobert una cosa: que entre la mida mínima font_size=1, la mida per defecte a Relats, font_size=2, la 3, que és la que he anat gastant els últims dos anys, i la 4, que és la de SrGarcia, hi ha la possibilitat de fer font_size=1,5, 2,5 i 3,5. Sense anar més lluny, la lletra versaleta amb què escric les teves intervencions l'he simulada amb majúscules de mida 1,5, enfront la resta de mida 2,5. Havia començat amb majúscules de mida 2,5 enfront la resta de mida 3, però no m'ha fet el pes: la proporció de mides de 2,5 a 3 ja m'anava bé, però no m'agradava que el traç de les versaletes sortís molt més fi que el de les minúscules ordinàries o les majúscules grans. Tanmateix, aquesta observació m'ha donat peu a pensar que, si en comptes de lletra font_size=3, d'ara endavant em conformés amb 2,5, segurament no hi hauria necessitat de tocar punts, comes, dos punts i punts i comes. He anat fent proves a pàgines antigues del Fòrum i l'aspecte l'he trobat prou satisfactori; em sembla que d'ara endavant ho faré així.

      —V
      ALGA'M DÉU, JOAN: AIXÒ JA ÉS LA REPERA!

      —Doncs això només pel que fa a la mida global de les lletres, referida a la seva alçada. Si entrem en el tema de l'amplada, t'hauria d'explicar com m'ho munto: per estalviar-me tabulador, determinació de marges, sagnats, etc. al Word, fa anys que els esborranys els escric amb lletres "Courier New", que a més d'agradar-me perquè em recorden els textos mecanografiats, tenen amplada constant i em permeten resoldre les alineacions verticals amb pocs recursos. En alguna ocasió havia pensat si fer-los servir, amb caràcter general, a la meva pàgina de Relats, però finalment m'he limitat als relats que ho requerien per exigències del guió, com "Verbs acabats en 'pondre' i 'posar'", "Fibonacci i cia", "Fibonacci, punt i seguit" i "Fibonacci, punt final". A "El nombre e i la mare que el va parir" vaig desistir de fer-ho, perquè malgrat ser senzilla l'adopció d'aquest tipus de lletra, amb el tag font_face=courier, conjuntament amb l'activació o desactivació de la negreta i els canvis de mida la cosa s'embolicava tant que era difícil no equivocar-se.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 03/07/2024 a les 13:32
    ABCDEFGHIJKabcdefghijk
    • RE: RE: Això és una prova.
      Joan Colom | 04/07/2024 a les 20:51
      —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

      —DONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 04/07/2024 a les 20:54
    • RE: RE: Això és una prova.
      Joan Colom | 05/07/2024 a les 08:06
      —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

      —DONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 05/07/2024 a les 08:20
    —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

    —DONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 05/07/2024 a les 08:24

    —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

    —DONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 05/07/2024 a les 08:31
    —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

    —DONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 05/07/2024 a les 12:29

    —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

    —D
    ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.

    —Potser sí, que els pals i els penjolls de les minúscules ajuden a evitar una imatge compacta del text, similar a una successió de caràcters numèrics: fixa't que "012345 678 90123 4 567 89012" s'assembla força a l'últim que acabes de dir, "
    PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL", amb la diferència que els nombres tenen alçada de majúscules i les teves són versaletes, més baixes.

    —I
    ARA QUE PARLEM D'AIXÒ PENSA QUE, QUAN ESCRIVIM A MÀ, SI NO HO FEM AMB CAL·LIGRAFIA LLIGADA HO FEM AMB LLETRA D'IMPREMTA, I GAIREBÉ SEMPRE AMB MAJÚSCULES EXCLUSIVAMENT. O SIGUI QUE POTSER HI HA UNA TENDÈNCIA NATURAL A L'ÚS DE LES MAJÚSCULES, I L'ESTIL VERSALETA EL QUE FA ÉS RESPECTAR AQUESTA TENDÈNCIA SENSE OBLIDAR LA JERARQUIA ENTRE ELS INICIS DE FRASE I DE NOMS PROPIS, I LA RESTA DE LLETRES: TOTES TENEN LA MATEIXA FORMA I NOMÉS ES DIFERENCIEN EN LA MIDA; ÉS ALLÒ QUE EN GEOMETRIA EN DIUEN FIGURES SEMBLANTS.

    —És ben curiós, això dels caràcters alfanumèrics. Recordo que fa més de dos anys, deixa que ho busqui... sí, el vint de maig del vint-i-dos, vaig escriure un relat de tres minuts que es deia "Divagació tipològica tipogràfica" i era una disquisició poca-solta sobre la "t" minúscula. Ho recordava perquè gràcies als comentaris de SrGarcia vaig assabentar-me que amb un simple tag HTML podia canviar la mida de lletra. Des del relat següent, "La xocolata no mata", fins ara, a la meva pàgina escric amb lletra més gran. El que passa és que sóc un perepunyetes i, com que em va semblar que el punt, la coma, els dos punts i el punt i coma sortien poc marcats en comparació als altres caràcters, em complico la vida passant-los a negreta abans d'enviar el relat perquè me'l publiquin. Teòricament sols és aplicar quatre vegades el procés d'edició "buscar i reemplaçar", un per a cadascun d'aquests signes de puntuació, però sempre hi ha excepcions que t'obliguen a intervenir-hi manualment. A més, l'estimació de temps de lectura amb què em surten publicats els relats està hipertrofiada per la presència dels tags strong (negreta), cosa que m'obliga a incloure, després dels títols, l'aclariment "[temps real de lectura: X minuts]".

    —D
    ONCS, PEL QUE VEIG, EL MANIÀTIC ETS TU. JO NO TINDRIA PAS PACIÈNCIA DE FER TOT AIXÒ.

    —Doncs si et dic quina en tinc al cap... En el present relat he descobert una cosa: que entre la mida mínima font_size=1, la mida per defecte a Relats, font_size=2, la 3, que és la que he anat gastant els últims dos anys, i la 4, que és la de SrGarcia, hi ha la possibilitat de fer font_size=1,5, 2,5 i 3,5. Sense anar més lluny, la lletra versaleta amb què escric les teves intervencions l'he simulada amb majúscules de mida 1,5, enfront la resta de mida 2,5. Havia començat amb majúscules de mida 2,5 enfront la resta de mida 3, però no m'ha fet el pes: la proporció de mides de 2,5 a 3 ja m'anava bé, però no m'agradava que el traç de les versaletes sortís molt més fi que el de les minúscules ordinàries o les majúscules grans. Tanmateix, aquesta observació m'ha donat peu a pensar que, si en comptes de lletra font_size=3, d'ara endavant em conformés amb 2,5, segurament no hi hauria necessitat de tocar punts, comes, dos punts i punts i comes. He anat fent proves a pàgines antigues del Fòrum i l'aspecte l'he trobat prou satisfactori; em sembla que d'ara endavant ho faré així.

    —V
    ALGA'M DÉU, JOAN: AIXÒ JA ÉS LA REPERA!

    —Doncs això només pel que fa a la mida global de les lletres, referida a la seva alçada. Si entrem en el tema de l'amplada, t'hauria d'explicar com m'ho munto: per estalviar-me tabulador, determinació de marges, sagnats, etc. al Word, fa anys que els esborranys els escric amb lletres "Courier New", que a més d'agradar-me perquè em recorden els textos mecanografiats, tenen amplada constant i em permeten resoldre les alineacions verticals amb pocs recursos. En alguna ocasió havia pensat si fer-los servir, amb caràcter general, a la meva pàgina de Relats, però finalment m'he limitat als relats que ho requerien per exigències del guió, com "Verbs acabats en 'pondre' i 'posar'", "Fibonacci i cia", "Fibonacci, punt i seguit" i "Fibonacci, punt final". A "El nombre e i la mare que el va parir" vaig desistir de fer-ho, perquè malgrat ser senzilla l'adopció d'aquest tipus de lletra, amb el tag font_face=courier, conjuntament amb l'activació o desactivació de la negreta i els canvis de mida, la cosa s'embolicava tant que era difícil no equivocar-se.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 05/07/2024 a les 12:48

    —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

    —D
    ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.

    —Potser sí, que els pals i els penjolls de les minúscules ajuden a evitar una imatge compacta del text, similar a una successió de caràcters numèrics: fixa't que "
    012345 678 90123 4 567 89012" s'assembla força a l'últim que acabes de dir, "PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL", enrasats tots dos per dalt i per baix.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 05/07/2024 a les 12:55
    —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

    —D
    ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.

    —Potser sí, que els pals i els penjolls de les minúscules ajuden a evitar una imatge compacta del text, similar a una successió de caràcters numèrics: fixa't que "012345 678 90123 4 567 89012" s'assembla força a l'últim que acabes de dir, "PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL", enrasats tots dos per dalt i per baix.

    —I
    ARA QUE PARLEM D'AIXÒ PENSA QUE, QUAN ESCRIVIM A MÀ, SI NO HO FEM AMB CAL·LIGRAFIA LLIGADA HO FEM AMB LLETRA D'IMPREMTA, I GAIREBÉ SEMPRE AMB MAJÚSCULES EXCLUSIVAMENT. O SIGUI QUE POTSER HI HA UNA TENDÈNCIA NATURAL A L'ÚS DE LES MAJÚSCULES, I L'ESTIL VERSALETA EL QUE FA ÉS RESPECTAR AQUESTA TENDÈNCIA SENSE OBLIDAR LA JERARQUIA ENTRE ELS INICIS DE FRASE I DE NOMS PROPIS, I LA RESTA DE LLETRES: TOTES TENEN LA MATEIXA FORMA I NOMÉS ES DIFERENCIEN EN LA MIDA; ÉS ALLÒ QUE EN GEOMETRIA EN DIUEN FIGURES SEMBLANTS.

    —És ben curiós, això dels caràcters alfanumèrics. Recordo que fa més de dos anys, deixa que ho busqui... sí, el vint de maig del vint-i-dos, vaig escriure un relat de tres minuts que es deia "Divagació tipològica tipogràfica" i era una disquisició poca-solta sobre la "t" minúscula. Ho recordava perquè gràcies als comentaris de SrGarcia vaig assabentar-me que amb un simple tag HTML podia canviar la mida de lletra. Des del relat següent, "La xocolata no mata", fins ara, a la meva pàgina escric amb lletra més gran. El que passa és que sóc un perepunyetes i, com que em va semblar que el punt, la coma, els dos punts i el punt i coma sortien poc marcats en comparació als altres caràcters, em complico la vida passant-los a negreta abans d'enviar el relat perquè me'l publiquin. Teòricament sols és aplicar quatre vegades el procés d'edició "buscar i reemplaçar", un per a cadascun d'aquests signes de puntuació, però sempre hi ha excepcions que t'obliguen a intervenir-hi manualment. A més, l'estimació de temps de lectura amb què em surten publicats els relats està hipertrofiada per la presència dels tags strong (negreta), cosa que m'obliga a incloure, després dels títols, l'aclariment "[temps real de lectura: X minuts]".

    —D
    ONCS, PEL QUE VEIG, EL MANIÀTIC ETS TU. JO NO TINDRIA PAS PACIÈNCIA DE FER TOT AIXÒ.

    —Doncs si et dic quina en tinc al cap... En el present relat he descobert una cosa: que entre la mida mínima font_size=1, la mida per defecte a Relats, font_size=2, la 3, que és la que he anat gastant els últims dos anys, i la 4, que és la de SrGarcia, hi ha la possibilitat de fer font_size=1,5, 2,5 i 3,5. Sense anar més lluny, la lletra versaleta amb què escric les teves intervencions l'he simulada amb majúscules de mida 1,5, enfront la resta de mida 2,5. Havia començat amb majúscules de mida 2,5 enfront la resta de mida 3, però no m'ha fet el pes: la proporció de mides de 2,5 a 3 ja m'anava bé, però no m'agradava que el traç de les versaletes sortís molt més fi que el de les minúscules ordinàries o les majúscules grans. Tanmateix, aquesta observació m'ha donat peu a pensar que, si en comptes de lletra font_size=3, d'ara endavant em conformés amb 2,5, segurament no hi hauria necessitat de tocar punts, comes, dos punts i punts i comes. He anat fent proves a pàgines antigues del Fòrum i l'aspecte l'he trobat prou satisfactori; em sembla que d'ara endavant ho faré així.

    —V
    ALGA'M DÉU, JOAN: AIXÒ JA ÉS LA REPERA!

    —Doncs això només pel que fa a la mida global de les lletres, referida a la seva alçada. Si entrem en el tema de l'amplada, t'hauria d'explicar com m'ho munto: per estalviar-me tabulador, determinació de marges, sagnats, etc. al Word, fa anys que els esborranys els escric amb lletres "Courier New", que a més d'agradar-me perquè em recorden els textos mecanografiats, tenen amplada constant i em permeten resoldre les alineacions verticals amb pocs recursos. En alguna ocasió havia pensat si fer-los servir, amb caràcter general, a la meva pàgina de Relats, però finalment m'he limitat als relats que ho requerien per exigències del guió, com "Verbs acabats en 'pondre' i 'posar'", "Fibonacci i cia", "Fibonacci, punt i seguit" i "Fibonacci, punt final". A "El nombre e i la mare que el va parir" vaig desistir de fer-ho, perquè malgrat ser senzilla l'adopció d'aquest tipus de lletra, amb el tag font_face=courier, conjuntament amb l'activació o desactivació de la negreta i els canvis de mida la cosa s'embolicava tant que era difícil no equivocar-se.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 05/07/2024 a les 13:06
    —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

    —D
    ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.

    —Potser sí, que els pals i els penjolls de les minúscules ajuden a evitar una imatge compacta del text, similar a una successió de caràcters numèrics: fixa't que "012345 678 90123 4 567 89012" s'assembla força a l'últim que acabes de dir, "PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL", enrasats tots dos per dalt i per baix.

    —I
    ARA QUE PARLEM D'AIXÒ PENSA QUE, QUAN ESCRIVIM A MÀ, SI NO HO FEM AMB CAL·LIGRAFIA LLIGADA HO FEM AMB LLETRA D'IMPREMTA, I GAIREBÉ SEMPRE AMB MAJÚSCULES EXCLUSIVAMENT. O SIGUI QUE POTSER HI HA UNA TENDÈNCIA NATURAL A L'ÚS DE LES MAJÚSCULES, I L'ESTIL VERSALETA EL QUE FA ÉS RESPECTAR AQUESTA TENDÈNCIA SENSE OBLIDAR LA JERARQUIA ENTRE ELS INICIS DE FRASE I DE NOMS PROPIS, I LA RESTA DE LLETRES: TOTES TENEN LA MATEIXA FORMA I NOMÉS ES DIFERENCIEN EN LA MIDA; ÉS ALLÒ QUE EN GEOMETRIA EN DIUEN FIGURES SEMBLANTS.

    —És ben curiós, això dels caràcters alfanumèrics. Recordo que fa més de dos anys, deixa que ho busqui... sí, el vint de maig del vint-i-dos, vaig escriure un relat de tres minuts que es deia "Divagació tipològica tipogràfica" i era una disquisició poca-solta sobre la "t" minúscula. Ho recordava perquè gràcies als comentaris de SrGarcia vaig assabentar-me que amb un simple tag HTML podia canviar la mida de lletra. Des del relat següent, "La xocolata no mata", fins ara, a la meva pàgina escric amb lletra més gran. El que passa és que sóc un perepunyetes i, com que em va semblar que el punt, la coma, els dos punts i el punt i coma sortien poc marcats en comparació als altres caràcters, em complico la vida passant-los a negreta abans d'enviar el relat perquè me'l publiquin. Teòricament sols és aplicar quatre vegades el procés d'edició "buscar i reemplaçar", un per a cadascun d'aquests signes de puntuació, però sempre hi ha excepcions que t'obliguen a intervenir-hi manualment. A més, l'estimació de temps de lectura amb què em surten publicats els relats està hipertrofiada per la presència dels tags strong (negreta), cosa que m'obliga a incloure, després dels títols, l'aclariment "[temps real de lectura: X minuts]".

    —D
    ONCS, PEL QUE VEIG, EL MANIÀTIC ETS TU. JO NO TINDRIA PAS PACIÈNCIA DE FER TOT AIXÒ.

    —Doncs si et dic quina en tinc al cap... En el present relat he descobert una cosa: que entre la mida mínima font_size=1, la mida per defecte a Relats, font_size=2, la 3, que és la que he anat gastant els últims dos anys, i la 4, que és la de SrGarcia, hi ha la possibilitat de fer font_size=1,5, 2,5 i 3,5. Sense anar més lluny, la lletra versaleta amb què escric les teves intervencions l'he simulada amb majúscules de mida 1,5, enfront la resta de mida 2,5. Havia començat amb majúscules de mida 2,5 enfront la resta de mida 3, però no m'ha fet el pes: la proporció de mides de 2,5 a 3 ja m'anava bé, però no m'agradava que el traç de les versaletes sortís molt més fi que el de les minúscules ordinàries o les majúscules grans. Tanmateix, aquesta observació m'ha donat peu a pensar que, si en comptes de lletra font_size=3, d'ara endavant em conformés amb 2,5, segurament no hi hauria necessitat de tocar punts, comes, dos punts i punts i comes. He anat fent proves a pàgines antigues del Fòrum i l'aspecte l'he trobat prou satisfactori; em sembla que d'ara endavant ho faré així.

    —V
    ALGA'M DÉU, JOAN: AIXÒ JA ÉS LA REPERA!

    —Doncs això només pel que fa a la mida global de les lletres, referida a la seva alçada. Si entrem en el tema de l'amplada, t'hauria d'explicar com m'ho munto: per estalviar-me tabulador, determinació de marges, sagnats, etc. al Word, fa anys que els esborranys els escric amb lletres "Courier New", que a més d'agradar-me perquè em recorden els textos mecanografiats, tenen amplada constant i em permeten resoldre les alineacions verticals amb pocs recursos. En alguna ocasió havia pensat si fer-los servir, amb caràcter general, a la meva pàgina de Relats, però finalment m'he limitat als relats que ho requerien per exigències del guió, com "Verbs acabats en 'pondre' i 'posar'", "Fibonacci i cia", "Fibonacci, punt i seguit" i "Fibonacci, punt final". A "El nombre e i la mare que el va parir" vaig desistir de fer-ho, perquè malgrat ser senzilla l'adopció d'aquest tipus de lletra, amb el tag font_face=courier, conjuntament amb l'activació o desactivació de la negreta i els canvis de mida la cosa s'embolicava tant que era difícil no equivocar-se.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 05/07/2024 a les 13:11

    —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

    —D
    ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.

    —Potser sí, que els pals i els penjolls de les minúscules ajuden a evitar una imatge compacta del text, similar a una successió de caràcters numèrics: fixa't que "012345 678 90123 4 567 89012" s'assembla força a l'últim que acabes de dir, "
    PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL", enrasats tots dos per dalt i per baix.

    —I
    ARA QUE PARLEM D'AIXÒ PENSA QUE, QUAN ESCRIVIM A MÀ, SI NO HO FEM AMB CAL·LIGRAFIA LLIGADA HO FEM AMB LLETRA D'IMPREMTA, I GAIREBÉ SEMPRE AMB MAJÚSCULES EXCLUSIVAMENT. O SIGUI QUE POTSER HI HA UNA TENDÈNCIA NATURAL A L'ÚS DE LES MAJÚSCULES, I L'ESTIL VERSALETA EL QUE FA ÉS RESPECTAR AQUESTA TENDÈNCIA SENSE OBLIDAR LA JERARQUIA ENTRE ELS INICIS DE FRASE I DE NOMS PROPIS, I LA RESTA DE LLETRES: TOTES TENEN LA MATEIXA FORMA I NOMÉS ES DIFERENCIEN EN LA MIDA; ÉS ALLÒ QUE EN GEOMETRIA EN DIUEN FIGURES SEMBLANTS.

    —És ben curiós, això dels caràcters alfanumèrics. Recordo que fa més de dos anys, deixa que ho busqui... sí, el vint de maig del vint-i-dos, vaig escriure un relat de tres minuts que es deia "Divagació tipològica tipogràfica" i era una disquisició poca-solta sobre la "t" minúscula. Ho recordava perquè gràcies als comentaris de SrGarcia vaig assabentar-me que amb un simple tag HTML podia canviar la mida de lletra. Des del relat següent, "La xocolata no mata", fins ara, a la meva pàgina escric amb lletra més gran. El que passa és que sóc un perepunyetes i, com que em va semblar que el punt, la coma, els dos punts i el punt i coma sortien poc marcats en comparació als altres caràcters, em complico la vida passant-los a negreta abans d'enviar el relat perquè me'l publiquin. Teòricament sols és aplicar quatre vegades el procés d'edició "buscar i reemplaçar", un per a cadascun d'aquests signes de puntuació, però sempre hi ha excepcions que t'obliguen a intervenir-hi manualment. A més, l'estimació de temps de lectura amb què em surten publicats els relats està hipertrofiada per la presència dels tags strong (negreta), cosa que m'obliga a incloure, després dels títols, l'aclariment "[temps real de lectura: X minuts]".

    —D
    ONCS, PEL QUE VEIG, EL MANIÀTIC ETS TU. JO NO TINDRIA PAS PACIÈNCIA DE FER TOT AIXÒ.

    —Doncs si et dic quina en tinc al cap... En el present relat he descobert una cosa: que entre la mida mínima font_size=1, la mida per defecte a Relats, font_size=2, la 3, que és la que he anat gastant els últims dos anys, i la 4, que és la de SrGarcia, hi ha la possibilitat de fer font_size=1,5, 2,5 i 3,5. Sense anar més lluny, la lletra versaleta amb què escric les teves intervencions l'he simulada amb majúscules de mida 1,5, enfront la resta de mida 2,5. Havia començat amb majúscules de mida 2,5 enfront la resta de mida 3, però no m'ha fet el pes: la proporció de mides de 2,5 a 3 ja m'anava bé, però no m'agradava que el traç de les versaletes sortís molt més fi que el de les minúscules ordinàries o les majúscules grans. Tanmateix, aquesta observació m'ha donat peu a pensar que, si en comptes de lletra font_size=3, d'ara endavant em conformés amb 2,5, segurament no hi hauria necessitat de tocar punts, comes, dos punts i punts i comes. He anat fent proves a pàgines antigues del Fòrum i l'aspecte l'he trobat prou satisfactori; em sembla que d'ara endavant ho faré així.

    —V
    ALGA'M DÉU, JOAN: AIXÒ JA ÉS LA REPERA!

    —Doncs això només pel que fa a la mida global de les lletres, referida a la seva alçada. Si entrem en el tema de l'amplada, t'hauria d'explicar com m'ho munto: per estalviar-me tabulador, determinació de marges, sagnats, etc. al Word, fa anys que els esborranys els escric amb lletres "Courier New", que a més d'agradar-me perquè em recorden els textos mecanografiats, tenen amplada constant i em permeten resoldre les alineacions verticals amb pocs recursos. En alguna ocasió havia pensat si fer-los servir, amb caràcter general, a la meva pàgina de Relats, però finalment m'he limitat als relats que ho requerien per exigències del guió, com "Verbs acabats en 'pondre' i 'posar'", "Fibonacci i cia", "Fibonacci, punt i seguit" i "Fibonacci, punt final". A "El nombre e i la mare que el va parir" vaig desistir de fer-ho, perquè malgrat ser senzilla l'adopció d'aquest tipus de lletra, amb el tag font_face=courier, conjuntament amb l'activació o desactivació de la negreta i els canvis de mida la cosa s'embolicava tant que era difícil no equivocar-se.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 05/07/2024 a les 13:14

    —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

    —D
    ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.

    —Potser sí, que els pals i els penjolls de les minúscules ajuden a evitar una imatge compacta del text, similar a una successió de caràcters numèrics: fixa't que "
    012345 678 90123 4 567 89012" s'assembla força a l'últim que acabes de dir, "PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL", enrasats tots dos per dalt i per baix.

    —I
    ARA QUE PARLEM D'AIXÒ PENSA QUE, QUAN ESCRIVIM A MÀ, SI NO HO FEM AMB CAL·LIGRAFIA LLIGADA HO FEM AMB LLETRA D'IMPREMTA, I GAIREBÉ SEMPRE AMB MAJÚSCULES EXCLUSIVAMENT. O SIGUI QUE POTSER HI HA UNA TENDÈNCIA NATURAL A L'ÚS DE LES MAJÚSCULES, I L'ESTIL VERSALETA EL QUE FA ÉS RESPECTAR AQUESTA TENDÈNCIA SENSE OBLIDAR LA JERARQUIA ENTRE ELS INICIS DE FRASE I DE NOMS PROPIS, I LA RESTA DE LLETRES: TOTES TENEN LA MATEIXA FORMA I NOMÉS ES DIFERENCIEN EN LA MIDA; ÉS ALLÒ QUE EN GEOMETRIA EN DIUEN FIGURES SEMBLANTS.

    —És ben curiós, això dels caràcters alfanumèrics. Recordo que fa més de dos anys, deixa que ho busqui... sí, el vint de maig del vint-i-dos, vaig escriure un relat de tres minuts que es deia "Divagació tipològica tipogràfica" i era una disquisició poca-solta sobre la "t" minúscula. Ho recordava perquè gràcies als comentaris de SrGarcia vaig assabentar-me que amb un simple tag HTML podia canviar la mida de lletra. Des del relat següent, "La xocolata no mata", fins ara, a la meva pàgina escric amb lletra més gran. El que passa és que sóc un perepunyetes i, com que em va semblar que el punt, la coma, els dos punts i el punt i coma sortien poc marcats en comparació als altres caràcters, em complico la vida passant-los a negreta abans d'enviar el relat perquè me'l publiquin. Teòricament sols és aplicar quatre vegades el procés d'edició "buscar i reemplaçar", un per a cadascun d'aquests signes de puntuació, però sempre hi ha excepcions que t'obliguen a intervenir-hi manualment. A més, l'estimació de temps de lectura amb què em surten publicats els relats està hipertrofiada per la presència dels tags strong (negreta), cosa que m'obliga a incloure, després dels títols, l'aclariment "[temps real de lectura: X minuts]".

    —D
    ONCS, PEL QUE VEIG, EL MANIÀTIC ETS TU. JO NO TINDRIA PAS PACIÈNCIA DE FER TOT AIXÒ.

    —Doncs si et dic quina en tinc al cap... En el present relat he descobert una cosa: que entre la mida mínima font_size=1, la mida per defecte a Relats, font_size=2, la 3, que és la que he anat gastant els últims dos anys, i la 4, que és la de SrGarcia, hi ha la possibilitat de fer font_size=1,5, 2,5 i 3,5. Sense anar més lluny, la lletra versaleta amb què escric les teves intervencions l'he simulada amb majúscules de mida 1,5, enfront la resta de mida 2,5. Havia començat amb majúscules de mida 2,5 enfront la resta de mida 3, però no m'ha fet el pes: la proporció de mides de 2,5 a 3 ja m'anava bé, però no m'agradava que el traç de les versaletes sortís molt més fi que el de les minúscules ordinàries o les majúscules grans. Tanmateix, aquesta observació m'ha donat peu a pensar que, si en comptes de lletra font_size=3, d'ara endavant em conformés amb 2,5, segurament no hi hauria necessitat de tocar punts, comes, dos punts i punts i comes. He anat fent proves a pàgines antigues del Fòrum i l'aspecte l'he trobat prou satisfactori; em sembla que d'ara endavant ho faré així.

    —V
    ALGA'M DÉU, JOAN: AIXÒ JA ÉS LA REPERA!

    —Doncs això només pel que fa a la mida global de les lletres, referida a la seva alçada. Si entrem en el tema de l'amplada, t'hauria d'explicar com m'ho munto: per estalviar-me tabulador, determinació de marges, sagnats, etc. al Word, fa anys que els esborranys els escric amb lletres "Courier New", que a més d'agradar-me perquè em recorden els textos mecanografiats, tenen amplada constant i em permeten resoldre les alineacions verticals amb pocs recursos. En alguna ocasió havia pensat si fer-los servir, amb caràcter general, a la meva pàgina de Relats, però finalment m'he limitat als relats que ho requerien per exigències del guió, com "Verbs acabats en 'pondre' i 'posar'", "Fibonacci i cia", "Fibonacci, punt i seguit" i "Fibonacci, punt final". A "El nombre e i la mare que el va parir" vaig desistir de fer-ho, perquè malgrat ser senzilla l'adopció d'aquest tipus de lletra, amb el tag font_face=courier, conjuntament amb l'activació o desactivació de la negreta i els canvis de mida la cosa s'embolicava tant que era difícil no equivocar-se.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 05/07/2024 a les 15:54

    —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

    —D
    ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.

    —Potser sí, que els pals i els penjolls de les minúscules ajuden a evitar una imatge compacta del text, similar a una successió de caràcters numèrics: fixa't que "
    012345 678 90123 4 567 89012", si no fos per l'estretor s'assembla força a l'últim que acabes de dir, "PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL", enrasats tots dos per dalt i per baix.

    —I
    ARA QUE PARLEM D'AIXÒ PENSA QUE, QUAN ESCRIVIM A MÀ, SI NO HO FEM AMB CAL·LIGRAFIA LLIGADA HO FEM AMB LLETRA D'IMPREMTA, I GAIREBÉ SEMPRE AMB MAJÚSCULES EXCLUSIVAMENT. O SIGUI QUE POTSER HI HA UNA TENDÈNCIA NATURAL A L'ÚS DE LES MAJÚSCULES, I L'ESTIL VERSALETA EL QUE FA ÉS RESPECTAR AQUESTA TENDÈNCIA SENSE OBLIDAR LA JERARQUIA ENTRE ELS INICIS DE FRASE I DE NOMS PROPIS, I LA RESTA DE LLETRES: TOTES TENEN LA MATEIXA FORMA I NOMÉS ES DIFERENCIEN EN LA MIDA; ÉS ALLÒ QUE EN GEOMETRIA EN DIUEN FIGURES SEMBLANTS. I UNA ALTRA COSA. TU, JOAN, AMB AIXÓ D'ESCRIURE EN VERSALITA TOTES LES INTERVENCIONS MEVES, ESTÀS UTILITZANT-LA D'UNA MANERA LIBÈRRIMA QUE NO TÉ MASSA A VEURE AMB ELS USOS RECOMANATS, I LA VERITAT ÉS QUE HI HA UNS PROTOCOLS TIPOGRÀFICS QUE NORMALMENT SÓN DE SENTIT COMÚ: PER EXEMPLE, ACCEPTANT QUE ELS SEGLES ES REPRESENTEN EN NOMBRES ROMANS, PODEM ESCRIURE "Segle XXI" O "segle XXI", PERÒ NO "Segle XXI" O
    "segle XXI".

    —És ben curiós, això dels caràcters alfanumèrics. Recordo que fa més de dos anys, deixa que ho busqui... sí, el vint de maig del vint-i-dos, vaig escriure un relat de tres minuts que es deia "Divagació tipològica tipogràfica" i era una disquisició poca-solta sobre la "t" minúscula. Ho recordava perquè gràcies als comentaris de SrGarcia vaig assabentar-me que amb un simple tag HTML podia canviar la mida de lletra. Des del relat següent, "La xocolata no mata", fins ara, a la meva pàgina escric amb lletra més gran. El que passa és que sóc un perepunyetes i, com que em va semblar que el punt, la coma, els dos punts i el punt i coma sortien poc marcats en comparació als altres caràcters, em complico la vida passant-los a negreta abans d'enviar el relat perquè me'l publiquin. Teòricament sols és aplicar quatre vegades el procés d'edició "buscar i reemplaçar", un per a cadascun d'aquests signes de puntuació, però sempre hi ha excepcions que t'obliguen a intervenir-hi manualment. A més, l'estimació de temps de lectura amb què em surten publicats els relats està hipertrofiada per la presència dels tags strong (negreta), cosa que m'obliga a incloure, després dels títols, l'aclariment "[temps real de lectura: X minuts]".

    —DONCS, PEL QUE VEIG, EL MANIÀTIC ETS TU. JO NO TINDRIA PAS PACIÈNCIA DE FER TOT AIXÒ.

    —Doncs si et dic quina en tinc al cap... En el present relat he descobert una cosa: que entre la mida mínima font_size=1, la mida per defecte a Relats, font_size=2, la 3, que és la que he anat gastant els últims dos anys, i la 4, que és la de SrGarcia, hi ha la possibilitat de fer font_size=1,5, 2,5 i 3,5. Sense anar més lluny, la lletra versaleta amb què escric les teves intervencions l'he simulada amb majúscules de mida 1,5, enfront la resta de mida 2,5. Havia començat amb majúscules de mida 2,5 enfront la resta de mida 3, però no m'ha fet el pes: la proporció de mides de 2,5 a 3 ja m'anava bé, però no m'agradava que el traç de les versaletes sortís molt més fi que el de les minúscules ordinàries o les majúscules grans. Tanmateix, aquesta observació m'ha donat peu a pensar que, si en comptes de lletra font_size=3, d'ara endavant em conformés amb 2,5, segurament no hi hauria necessitat de tocar punts, comes, dos punts i punts i comes. He anat fent proves a pàgines antigues del Fòrum i l'aspecte l'he trobat prou satisfactori; em sembla que d'ara endavant ho faré així.

    —V
    ALGA'M DÉU, JOAN: AIXÒ JA ÉS LA REPERA!

    —Doncs això només pel que fa a la mida global de les lletres, referida a la seva alçada. Si entrem en el tema de l'amplada, t'hauria d'explicar com m'ho munto: per estalviar-me tabulador, determinació de marges, sagnats, etc. al Word, fa anys que els esborranys els escric amb lletres "Courier New", que a més d'agradar-me perquè em recorden els textos mecanografiats, tenen amplada constant i em permeten resoldre les alineacions verticals amb pocs recursos. En alguna ocasió havia pensat si fer-los servir, amb caràcter general, a la meva pàgina de Relats, però finalment m'he limitat als relats que ho requerien per exigències del guió, com "Verbs acabats en 'pondre' i 'posar'", "Fibonacci i cia", "Fibonacci, punt i seguit" i "Fibonacci, punt final". A "El nombre e i la mare que el va parir" vaig desistir de fer-ho, perquè malgrat ser senzilla l'adopció d'aquest tipus de lletra, amb el tag font_face=courier, conjuntament amb l'activació o desactivació de la negreta i els canvis de mida la cosa s'embolicava tant que era difícil no equivocar-se.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 05/07/2024 a les 16:10
    —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

    —D
    ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.

    —Potser sí, que els pals i els penjolls de les minúscules ajuden a evitar una imatge compacta del text, similar a una successió de caràcters numèrics: fixa't que "
    012345 678 90123 4 567 89012", si no fos per l'estretor s'assembla força a l'últim que acabes de dir, "PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL", enrasats tots dos per dalt i per baix.

    —I
    ARA QUE PARLEM D'AIXÒ PENSA QUE, QUAN ESCRIVIM A MÀ, SI NO HO FEM AMB CAL·LIGRAFIA LLIGADA HO FEM AMB LLETRA D'IMPREMTA, I GAIREBÉ SEMPRE AMB MAJÚSCULES EXCLUSIVAMENT. O SIGUI QUE POTSER HI HA UNA TENDÈNCIA NATURAL A L'ÚS DE LES MAJÚSCULES, I L'ESTIL VERSALETA EL QUE FA ÉS RESPECTAR AQUESTA TENDÈNCIA SENSE OBLIDAR LA JERARQUIA ENTRE ELS INICIS DE FRASE I DE NOMS PROPIS, I LA RESTA DE LLETRES: TOTES TENEN LA MATEIXA FORMA I NOMÉS ES DIFERENCIEN EN LA MIDA; ÉS ALLÒ QUE EN GEOMETRIA EN DIUEN FIGURES SEMBLANTS. I UNA ALTRA COSA. TU, JOAN, AMB AIXÒ D'ESCRIURE EN VERSALITA TOTES LES INTERVENCIONS MEVES, ESTÀS UTILITZANT-LA D'UNA MANERA LIBÈRRIMA QUE NO TÉ MASSA A VEURE AMB ELS USOS RECOMANATS, I LA VERITAT ÉS QUE HI HA UNS PROTOCOLS TIPOGRÀFICS QUE NORMALMENT SÓN DE SENTIT COMÚ: PER EXEMPLE, ACCEPTANT QUE ELS SEGLES ES REPRESENTEN EN NOMBRES ROMANS, PODEM ESCRIURE "Segle XXI" O "segle XXI", PERÒ NO "Segle XXI" O "segle XXI".

    —És ben curiós, això dels caràcters alfanumèrics. Recordo que fa més de dos anys, deixa que ho busqui... sí, el vint de maig del vint-i-dos, vaig escriure un relat de tres minuts que es deia "Divagació tipològica tipogràfica" i era una disquisició poca-solta sobre la "t" minúscula. Ho recordava perquè gràcies als comentaris de SrGarcia vaig assabentar-me que amb un simple tag HTML podia canviar la mida de lletra. Des del relat següent, "La xocolata no mata", fins ara, a la meva pàgina escric amb lletra més gran. El que passa és que sóc un perepunyetes i, com que em va semblar que el punt, la coma, els dos punts i el punt i coma sortien poc marcats en comparació als altres caràcters, em complico la vida passant-los a negreta abans d'enviar el relat perquè me'l publiquin. Teòricament sols és aplicar quatre vegades el procés d'edició "buscar i reemplaçar", un per a cadascun d'aquests signes de puntuació, però sempre hi ha excepcions que t'obliguen a intervenir-hi manualment. A més, l'estimació de temps de lectura amb què em surten publicats els relats està hipertrofiada per la presència dels tags strong (negreta), cosa que m'obliga a incloure, després dels títols, l'aclariment "[temps real de lectura: X minuts]".

    —D
    ONCS, PEL QUE VEIG, EL MANIÀTIC ETS TU. JO NO TINDRIA PAS PACIÈNCIA DE FER TOT AIXÒ.

    —Doncs si et dic quina en tinc al cap... En el present relat he descobert una cosa: que entre la mida mínima font_size=1, la mida per defecte a Relats, font_size=2, la 3, que és la que he anat gastant els últims dos anys, i la 4, que és la de SrGarcia, hi ha la possibilitat de fer font_size=1,5, 2,5 i 3,5. Sense anar més lluny, la lletra versaleta amb què escric les teves intervencions l'he simulada amb majúscules de mida 1,5, enfront la resta de mida 2,5. Havia començat amb majúscules de mida 2,5 enfront la resta de mida 3, però no m'ha fet el pes: la proporció de mides de 2,5 a 3 ja m'anava bé, però no m'agradava que el traç de les versaletes sortís molt més fi que el de les minúscules ordinàries o les majúscules grans. Tanmateix, aquesta observació m'ha donat peu a pensar que, si en comptes de lletra font_size=3, d'ara endavant em conformés amb 2,5, segurament no hi hauria necessitat de tocar punts, comes, dos punts i punts i comes. He anat fent proves a pàgines antigues del Fòrum i l'aspecte l'he trobat prou satisfactori; em sembla que d'ara endavant ho faré així.

    —V
    ALGA'M DÉU, JOAN: AIXÒ JA ÉS LA REPERA!

    —Doncs això només pel que fa a la mida global de les lletres, referida a la seva alçada. Si entrem en el tema de l'amplada, t'hauria d'explicar com m'ho munto: per estalviar-me tabulador, determinació de marges, sagnats, etc. al Word, fa anys que els esborranys els escric amb lletres "Courier New", que a més d'agradar-me perquè em recorden els textos mecanografiats, tenen amplada constant i em permeten resoldre les alineacions verticals amb pocs recursos. En alguna ocasió havia pensat si fer-los servir, amb caràcter general, a la meva pàgina de Relats, però finalment m'he limitat als relats que ho requerien per exigències del guió, com "Verbs acabats en 'pondre' i 'posar'", "Fibonacci i cia", "Fibonacci, punt i seguit" i "Fibonacci, punt final". A "El nombre e i la mare que el va parir" vaig desistir de fer-ho, perquè malgrat ser senzilla l'adopció d'aquest tipus de lletra, amb el tag font_face=courier, conjuntament amb l'activació o desactivació de la negreta i els canvis de mida la cosa s'embolicava tant que era difícil no equivocar-se.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 05/07/2024 a les 16:12
    —Per què vas triar aquest àlies, Versaleta? No serà que ets una maníaca de l'ordre i que, dels altres estils de tipus de lletra, et molestaven les minúscules amb pal, com la "b", "d", "f", "h", "k" "l" i "t", o amb penjoll, com la "g", "j", "p", "q" i "y", per trencar la regularitat visual dels textos?

    —D
    ONCS MIRA, JOAN, NO T'HO SABRIA DIR. POTSER ÉS QUE EM VA FER GRÀCIA EL NOM D'AQUEST ESTIL, QUE LITERALMENT VOLDRIA DIR "MAJÚSCULA PETITA", PERQUÈ TÉ QUELCOM DE CONTRADICTORI. PEL QUE FA A L'ASPECTE DELS TEXTOS, NI EM MOLESTA NI EM DEIXA DE MOLESTAR QUE EL CONTORN DE LES TIRES DE MINÚSCULES ORDINÀRIES TINGUI AQUESTA PETITA IRREGULARITAT D'EXHIBIR, DE TANT EN TANT, PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL.

    —Potser sí, que els pals i els penjolls de les minúscules ajuden a evitar una imatge compacta del text, similar a una successió de caràcters numèrics: fixa't que "
    012345 678 90123 4 567 89012", si no fos per l'estretor s'assemblaria força a l'últim que acabes de dir, "PELETS CAP AMUNT I CAP AVALL", enrasats tots dos per dalt i per baix.

    —I
    ARA QUE PARLEM D'AIXÒ PENSA QUE, QUAN ESCRIVIM A MÀ, SI NO HO FEM AMB CAL·LIGRAFIA LLIGADA HO FEM AMB LLETRA D'IMPREMTA, I GAIREBÉ SEMPRE AMB MAJÚSCULES EXCLUSIVAMENT. O SIGUI QUE POTSER HI HA UNA TENDÈNCIA NATURAL A L'ÚS DE LES MAJÚSCULES, I L'ESTIL VERSALETA EL QUE FA ÉS RESPECTAR AQUESTA TENDÈNCIA SENSE OBLIDAR LA JERARQUIA ENTRE ELS INICIS DE FRASE I DE NOMS PROPIS, I LA RESTA DE LLETRES: TOTES TENEN LA MATEIXA FORMA I NOMÉS ES DIFERENCIEN EN LA MIDA; ÉS ALLÒ QUE EN GEOMETRIA EN DIUEN FIGURES SEMBLANTS. I UNA ALTRA COSA. TU, JOAN, AMB AIXÒ D'ESCRIURE EN VERSALITA TOTES LES INTERVENCIONS MEVES, ESTÀS UTILITZANT-LA D'UNA MANERA LIBÈRRIMA QUE NO TÉ MASSA A VEURE AMB ELS USOS RECOMANATS, I LA VERITAT ÉS QUE HI HA UNS PROTOCOLS TIPOGRÀFICS QUE NORMALMENT SÓN DE SENTIT COMÚ: PER EXEMPLE, ACCEPTANT QUE ELS SEGLES ES REPRESENTEN EN NOMBRES ROMANS, PODEM ESCRIURE "Segle XXI" O "segle XXI", PERÒ NO "Segle XXI" O "segle XXI".

    —És ben curiós, això dels caràcters alfanumèrics. Recordo que fa més de dos anys, deixa que ho busqui... sí, el vint de maig del vint-i-dos, vaig escriure un relat de tres minuts que es deia "Divagació tipològica tipogràfica" i era una disquisició poca-solta sobre la "t" minúscula. Ho recordava perquè gràcies als comentaris de SrGarcia vaig assabentar-me que amb un simple tag HTML podia canviar la mida de lletra. Des del relat següent, "La xocolata no mata", fins ara, a la meva pàgina escric amb lletra més gran. El que passa és que sóc un perepunyetes i, com que em va semblar que el punt, la coma, els dos punts i el punt i coma sortien poc marcats en comparació als altres caràcters, em complico la vida passant-los a negreta abans d'enviar el relat perquè me'l publiquin. Teòricament sols és aplicar quatre vegades el procés d'edició "buscar i reemplaçar", un per a cadascun d'aquests signes de puntuació, però sempre hi ha excepcions que t'obliguen a intervenir-hi manualment. A més, l'estimació de temps de lectura amb què em surten publicats els relats està hipertrofiada per la presència dels tags strong (negreta), cosa que m'obliga a incloure, després dels títols, l'aclariment "[temps real de lectura: X minuts]".

    —D
    ONCS, PEL QUE VEIG, EL MANIÀTIC ETS TU. JO NO TINDRIA PAS PACIÈNCIA DE FER TOT AIXÒ.

    —Doncs si et dic quina en tinc al cap... En el present relat he descobert una cosa: que entre la mida mínima font_size=1, la mida per defecte a Relats, font_size=2, la 3, que és la que he anat gastant els últims dos anys, i la 4, que és la de SrGarcia, hi ha la possibilitat de fer font_size=1,5, 2,5 i 3,5. Sense anar més lluny, la lletra versaleta amb què escric les teves intervencions l'he simulada amb majúscules de mida 1,5, enfront la resta de mida 2,5. Havia començat amb majúscules de mida 2,5 enfront la resta de mida 3, però no m'ha fet el pes: la proporció de mides de 2,5 a 3 ja m'anava bé, però no m'agradava que el traç de les versaletes sortís molt més fi que el de les minúscules ordinàries o les majúscules grans. Tanmateix, aquesta observació m'ha donat peu a pensar que, si en comptes de lletra font_size=3, d'ara endavant em conformés amb 2,5, segurament no hi hauria necessitat de tocar punts, comes, dos punts i punts i comes. He anat fent proves a pàgines antigues del Fòrum i l'aspecte l'he trobat prou satisfactori; em sembla que d'ara endavant ho faré així.

    —V
    ALGA'M DÉU, JOAN: AIXÒ JA ÉS LA REPERA!

    —Doncs això només pel que fa a la mida global de les lletres, referida a la seva alçada. Si entrem en el tema de l'amplada, t'hauria d'explicar com m'ho munto: per estalviar-me tabulador, determinació de marges, sagnats, etc. al Word, fa anys que els esborranys els escric amb lletres "Courier New", que a més d'agradar-me perquè em recorden els textos mecanografiats, tenen amplada constant i em permeten resoldre les alineacions verticals amb pocs recursos. En alguna ocasió havia pensat si fer-los servir, amb caràcter general, a la meva pàgina de Relats, però finalment m'he limitat als relats que ho requerien per exigències del guió, com "Verbs acabats en 'pondre' i 'posar'", "Fibonacci i cia", "Fibonacci, punt i seguit" i "Fibonacci, punt final". A "El nombre e i la mare que el va parir" vaig desistir de fer-ho, perquè malgrat ser senzilla l'adopció d'aquest tipus de lletra, amb el tag font_face=courier, conjuntament amb l'activació o desactivació de la negreta i els canvis de mida la cosa s'embolicava tant que era difícil no equivocar-se.
  • RE: Això és una prova.
    Joan Colom | 15/07/2024 a les 13:39
    DARLINS
    • RE: RE: Això és una prova.
      Joan Colom | 11/09/2024 a les 16:08
      Compositor i pianista, no estigué mai a Sant Celoni però hi mantenia certa relació. Juntament amb el saxo alt que morí a casa d'Ella i amb el trompeta que tocava un instrument amb la campana doblegada 45º cap amunt, se'l considera el creador d'un controvertit estil de jazz. Una de les composicions més conegudes donà títol a una pel·lícula de Bertrand Tavernier protagonitzada pel saxo tenor Dexter Gordon. Fent clic aquí, podreu escoltar la versió desconstruïda d'una altra composició seva, a càrrec del saxo tenor Joe Henderson. Ja gran i malalt, visqué els seus últims anys, amb la seva dona Nellie, a casa d'Ella.

Respon a aquesta intervenció

Omple les dades si vols respondre a la intervenció

Pots utilitzar els següents tags d'HTML: <a>, <img>, <em>, <strong>, <hr>, <object>, <embed>, <param>, <center>, <font>, <ul>, <li>.