RE: Això és una prova.

ABCDEABCDE

(Continuació de "Fibonacci i cia".)

Aquell cop m'agafà a la dutxa. De primer va sonar el telèfon de la saleta i, poc després, el mòbil que havia deixat al prestatge del quarto de bany. Així que vaig estirar el braç per prendre'l i vaig tornar-lo a deixar en veure que era en Lluís.
Deu minuts més tard, ja vestit i planxat, el trucà jo:

—Hola, maco. Sóc Joan...

—Sí, és clar. Espero no haver-te tret del llit...

—No, home; els diumenges em llevo una mica més tard, però no tant. No em diguis que encara estàs remenant allò del Fibonacci...

—Doncs sí, i és per això que et trucava. El cas és que no em vaig donar per vençut, després de l'última trobada, i mirant-me i remirant-me els papers, vaig adonar-me que les dues successions tipus Fibonacci1, 2, 3,5, 8, 13..., obtinguda primer escapçant la Successió de Fibonacci però també sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent, i 1, 3, 4, 7, 11, 18..., obtinguda sumant cada membre de Fibonacci amb el precedent del precedent, eren generalitzables... Vull dir que podien ser considerades com a casos particulars d'una família de successions...

—Eeep, para el carro, Lluís!!! Suposo que vols que miri les maravelles que has descobert i, de passada, voldràs fer-me unes preguntes, no? Doncs, si vols que vingui a casa teva, digues-li a la Carme que avui tindrà un convidat a dinar. El vi el porto jo.

—Espera un moment, que li ho dic... Joan? Sí, mira: em diu la Carme que els caps de setmana ho compra tot justet, per menjar, però això no és problema perquè anirem al restaurant. Tu, convidat, per descomptat...

Un cop a casa de Lluís, i abans que m'exposés les seves diguem-ne troballes, vaig insistir en què em deixés proposar un parell de qüestions de forma:

—En l'última trobada havies comentat, com de passada, que la improvisada denominació "successions tipus Fibonacci" no t'acabava de fer el pes, i me'n demanaves una de millor. Com que tampoc és el meu ofici, això d'inventar paraules, no se m'ha acudit res millor que "successions fibonaccianes" o simplement "fibonaccianes", a la manera de les suites bachianes d'Heitor Villa-Lobos. I quant a la notació, ja que havíem vist que els dos primers membres d'una successió tipus Fibonacci —perdó: successió fibonacciana—, determinaven tota la resta, una que comenci per a i b, la podríem anomenar Fa+b;i, com a cas particular, la Successió de Fibonacci seria la F0+1. Així, a més, podrem prescindir d'aquell equívoc adjectivat de "dependent primera, segona... i-ena", que volia il·lustrar el nombre de transformacions aplicades a la Successió de Fibonacci per tal d'obtenir una fibonacciana determinada, una perquè de segur que hi ha més d'un camí que porta a Roma, i dues perquè l'únic que ens pot interessar és la fibonacciana en si, perfectament identificada, com acabo de dir, pels dos primers membres. Et sembla bé?

—Del tot. I ara mira, això és el que he fet: generalitzar el que havia fet la setmana passada.

I, sense més preàmbul, em va passar un full quadriculat:


····1···2···3···4···n···6···7···8···9··10··11··12·

0···1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·


1···1···2···3···5···8··13··21··34··55··89·144·233·

2·······1···3···4···7··11··18··29··47··76·123·199·

3···········2···4···6··10··16··26··42··68·110·175·

4···············3···6···9··15··24··39··63·102·165·

5···················5···9··14··23··37··60··97·157·

6·······················8··14··22··36··58··94·152·

7··························13··22··35··57··92·149·

8······························21··35··56··91·147·

9··································34··56··90·146·

m······································55··90·145·

11·········································89·145·

12············································144·

—Com fèiem fa una setmana, dalt de tot tens la successió dels nombres naturals n seguida de la de Fibonacci, com si fos l'eix d'abscisses, i a l'esquerra, augmentant cap avall la dimensió m, l'eix d'ordenades. Començant per m = 1 i m = 2, que eren dues de les successions que ens havien sortit, i generalitzant el joc, cada línia horitzontal és l'inici d'una successió on cada membre d'ordre n s'obté de la Successió de Fibonacci, sumant l'homòleg amb el situat en primer, segon, ... m-èsim lloc a l'esquerra. Jo anomenava aquestes successions Fm,n = F0,n + F0,n-m, però després del que has proposat crec que hauria de ser Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m, no? Això, genèricament, perquè els noms específics serien F1+2, F1+3, F2+4, F3+6, etc. Ah, i com és lògic, la meitat de les posicions, en què n < m, queden buides. Dit això, què hi trobes de particular, Joan?

—Suposo que et refereixes a que totes aquestes successions són fibonaccianes...

—Efectivament, em referia a això: cada membre és suma dels dos precedents. Ho podem comprovar fins a m = 10, i amb els membres que figuren a la taula, però caldria demostrar-ho.

—I aquí és on entro jo, no? A veure... es tractaria de demostrar que
Fa+bm,n = Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2
a partir d'aquestes tres equacions:
Fa+bm,n = F0+1n + F0+1n-m
Fa+bm,n-1 = F0+1n-1 + F0+1n-1-m
Fa+bm,n-2 = F0+1n-2 + F0+1n-2-m
Si sumem la segona i tercera, tenint present que F0+1n-1-m = F0+1n-m-1 i F0+1n-2-m = F0+1n-m-2:
Fa+bm,n-1 + Fa+bm,n-2 = (F0+1n-1 + F0+1n-2) + (F0+1n-m-1 + F0+1n-m-2) = F0+1n + F0+1n-m = Fa+bm,n

Eeep!!! Per ser tu, qui t'has posat en aquest embolic i, de retop, a mi, et veig tot moix. Em segueixes?

—Doncs la veritat és que és tan gran la confiança que tinc dipositada en tu que la demostració em sobrava. El més fotut és que abans almenys tenia clara la mecànica: si no, no hauria fet la taula de valors; i ara... m'he perdut una mica. Me'n podries posar un exemple, sobre posicions i valors concrets?

—I tant! Mira, anant el límit del que dóna de si el full, podríem situar-nos en la intersecció m = 10, n = 12, amb Fa+bm,n = Fa+b10,12, F0+1n = F0+112 i F0+1n-m = F0+12:
Fa+b10,10 = F0+110 + F0+10 = 55 + 0 = 55
Fa+b10,11 = F0+111 + F0+11 = 89 + 1 = 90
Fa+b10,12 = F0+112 + F0+12 = 144 + 1 = 145
I, efectivament:
Fa+b10,10 + Fa+b10,11 = 55 + 90 = 145 = Fa+b10,12

—Bé, ara he recuperat el fil perquè ho anaves assenyalant amb el llapis; quan m'he de refiar dels subíndexs em perdo. Suposo que són massa anys de no practicar.

—En realitat, Lluís, si volies fer alguna aportació mínimament rellevant has triat un camp poc indicat, perquè els nombres de Fibonacci són un terreny tan fèrtil, per les moltes propietats que s'hi donen, que estic segur que ja no queda un metre quadrat per llaurar. Almenys és la impressió que n'he tret navegant per Internet. I, no ens enganyem, segur que això que acabes de descobrir sols és una de les moltíssimes maneres que hi deu haver de generar successions, basades en la de Fibonacci, que resulten ser fibonaccianes, i encara tractada de forma parcial: quan venia cap aquí, pensant en la generalització que m'havies anunciat per telèfon, suposava que tindria més volada; en veure el que havies preparat, m'ha semblat que t'havies quedat a mig camí. Però ara podem completar-ho: les teves successions partien del que anomenàvem membre homòleg en la de Fibonacci, sumant-n'hi un d'anterior; doncs bé, ara ho podem capgirar i sumar al membre homòleg un de posterior... Tens pressa? Vols que ens hi posem?

—Ès clar que sí. Tot el que sigui millorar és benvingut.

—Doncs som-hi: porta paper i posem-nos-hi... Com abans, començarem amb la Successió de Fibonacci i, anant cap avall, l'inici de les successions, que ara resulten de sumar el membre de la primera situat a la mateixa columna i el situat una, dues, tres, etc. posicions endavant, tot i que alguns d'aquests segons sumands se situarien a la dreta del full de paper i per tant no hi figuren escrits. Com abans, numerarem aquestes posicions n a dalt de tot i m a l'esquerra. Si t'hi fixes, aquesta segona numeració m coincideix amb el nombre de posicions, a la dreta de la columna, on se situa el segon sumand en la Successió de Fibonacci:

····1···2····3····4····n···6····7····8····9···10·


0···1···1····2····3····5···8···13···21···34···55·

1···2···3····5····8···13··21···34···55···89··144·

2···3···4····7···11···18··29···47···76··123··199·

3···4···6···10···16···26··42···68··110··178··288·

4···6···9···15···24···39··63··102··165··267··432·

m···9··14···23···37···60··97··157··254··411··665·

6··14··22···36···58···94·152··246··398··644·1042·

7··22··35···57···92··149·241··390··631·1021·1652·

8··35··56···91··147··238·385··623·1008·1631·2639·

9··56··90··146··236··382·618·1000·1618·2618·4236·