Potser sí que, ara com ara, les PAU són necessàries (i SHS 115 al 120).

Un relat de: Joan Colom
Aquest és, si fa no fa, el tercer problema de l'examen de Matemàtiques II de les Proves d'Accés a la Universitat (PAU) d'enguany, realitzat el 4 de juny en el País Valencià y que ha estat objecte de protestes dels estudiants:

ENUNCIAT:
Expressant les distàncies en quilòmetres, el mòbil A se situa en les coordenades 0,0 i el mòbil B en les coordenades 250,0 del pla cartesià. A y B comencen a moure's simultàniament amb velocitat constant, que expressarem en quilòmetres per hora: A es mou a 30 km/h fins a la posició 0,187.5 i B es mou a 40 km/h fins a la posició 0,0. Es demana:
a) Que expresseu la distància Dt entre A i B en funció del temps t transcorregut des que han començat a moure's.
b) Que trobeu el temps Ta i Tb que triga cada mòbil en arribar al seu destí, i els intervals de distància creixent i decreixent al llarg del trajecte.
c) Que trobeu els temps Tmàx i Tmín per als quals la distància entre A i B esdevé màxima i mínima, i les corresponents distàncies Dmàx i Dmín.
RESOLUCIÓ:
La primera cosa és dibuixar a mà alçada els semieixos coordenats +X i +Y, situant-hi els punts de partença, Ai i Bi, els punts d'arribada, Af i Bf, les posicions intermèdies At i Bt corresponents a un temps t qualsevol, en què t > 0, t < Ta i t < Tb, i el segment distància Dt entre At i Bt. També convé dibuixar unes fletxes curtes, pròximes als eixos coordenats, que indiquin la direcció i sentit del desplaçament de cada mòbil.
En calcular els temps Ta = 187.5 km / 30 km/h = 6.25 h i Tb = 250 km / 40 km/h = 6.25 h, trobem que A i B arriben simultàniament als respectius punts d'arribada, Af i Bf.
Així doncs, igual que la distància inicial Di (per a t = 0 h) era 250 km, la distància final Df (per a t = 6.25 h) será 187.5 km. Per a valors de t intermedis (0 < t < Ta = Tb), les coordenades de les posicions At i Bt són
Atx = 0, Aty = 30t
Btx = 250-40t, Bty = 0
I, considerant que Dt és la hipotenusa d'un triangle rectangle definit per catets de longitud 250-40t km i 30t km,
Dt = √ ̅(̅2̅5̅0̅-̅4̅0̅t̅)̅²̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅²̅+̅4̅0̅²̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅3̅0̅²̅t̅²̅ = √ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅
La distància Dt es farà mínima i/o màxima en el/s punt/s on la derivada respecte a t sigui nul·la (tangent horitzontal a la corba t,Dt), per a valors de t 0 < t < 6.25:
D't = (5000t-20000) / 2√ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅= 0
Perquè s'acompleixi aquesta iigualtat ha de ser nul el numerador (5000t-20000 = 0), cosa que s'esdevé quan
t = 20000/5000 = 4 h, moment en què la distància entre A i B serà
D4 = √ ̅2̅5̅0̅0̅•̅1̅6̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅•̅4̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅ = √ ̅2̅2̅5̅0̅0̅ = 150 km
Com que D4 < Di < Df (150 < 187.5 < 250) i només hi ha aquesta solució, el punt 4,150 serà el mínim absolut en la funció Dt, que correspon a la posició 0,120 del mòbil A (A4y = 30•4) i a la posició 90,0 del mòbil B (B4x = 250-40•4). Dt es representaria gràficament mitjançant una paràbola penjada dels punts 0,250 i 6.25,187.5, amb vèrtex a 4,150 (l'eix de simetria seria la recta vertical t = 4). Òbviament, el màxim absolut en el domini de definició de la funció Dt serà el punt 0,250, que correspon a la posicions inicials (t = 0) 0,0 del mòbil A i 250,0 del mòbil B.
(Cal precisar que l'interval 0 < t < 6.25 és tancat i que, si tant aquí com a la resta de comparacions, s'ha emprat el signe "menor" en lloc de "menor o igual" és per evitar efectes no desitjats en el codi HTML.)
Cabria preguntar-se si en aquest domini no hi haurà alguna altra singularitat i el punt 4,150 només era un mínim relatiu. Això només podria esdevenir-se si el denominador de l'expressió D't fos nul: llavors D't quedaria indeterminada quan el numerador també fos nul o seria infinit en cas contrari. Però
2√ ̅2̅5̅0̅0̅t̅²̅-̅2̅0̅0̅0̅0̅t̅+̅6̅2̅5̅0̅0̅ = 0 implica que
2500t²-20000t+62500 = 0, i aquesta equació de segon grau no té solució real, per la presència de l'arrel quadrada d'un nombre negatiu:
t = (20000±√ ̅4̅0̅0̅0̅0̅0̅0̅0̅0̅-̅6̅2̅5̅0̅0̅0̅0̅0̅0̅) / 5000.

El pensionista decrèpit que escriu això ha de confessar que en el plantejament algebraic no ha tingut cap problema, però en la mecànica de la derivació sí: la tenia tan rovellada per falta d'ús que ha hagut de burxar en els apartats "Derivades de funcions elementals" i "Regles per al càlcul de derivades" de l'article "Derivada" de la Viquipèdia. Dit això, el seu parer és que l'examen no era gens difícil i que, si als pares de la criatura els hagués guiat la mala llet, ho tenien senzill: haurien pogut augmentar la dificultat d'execució sense tocar-ne la conceptual, introduint petits canvis com, per exemple, que les trajectòries dels mòbils A i B no fossin perpendiculars, que ho fossin però sense que el punt de partença d'A coincidís amb el d'arribada de B o que aquestes posicions coincidissin però modificant les velocitats pet tal que les durades de les trajectòries deixessin de ser iguals.

Estic plenament d'acord amb Vicent Marzà, conseller d'Educació, Investigació, Cultura i Esports de la Generalitat Valenciana, en considerar que l'examen era del tot acceptable perquè els continguts es trobaven dins del currículum del curs. Potser li hauria procurat rèdits polítics accedir a les demandes i repetir l'examen, però crec que hauria fet un flac favor al progrés i a les persones que li ho reclamaven. I encara afegiré una opinió que em pot reportar ser titllat de reaccionari i, fins i tot, de fatxa: abans del present episodi la meva era una de les moltes veus que clamaven contra les PAU, però després d'haver comprovat que era possible anar aprovant, curs a curs, les matemàtiques de l'Ensenyament Secundari i tanmateix encallar en un problema com el comentat (ja mo em fico en les altres matèries), crec que aquestes proves s'han de preservar, fins i tot acceptant el fet vergonyós (que cal superar a curt termini) que molts dels qui hi arriven, procedents dels IES, es troben en inferioritat de condicions respecte als que s'han pogut permetre estudiar a l'escola privada. Amén!



Exclusiu per als aficionats als Sudokus Hexagonals Simètrics:

— Les opinions i suggeriments que creguis que poden interessar a tots els jugadors, envia'ls com a Comentaris al present Relat.

— Les demandes d'arxius i les consultes relatives a la resolució de SHS concrets, envia-les a l'adreça joancolom47@gmail.com.

— Si vols anar al primer relat de la sèrie amb enllaços als SHS, per assabentar-te de les regles del joc o del procediment de resolució aconsellat, fes clic aquí.

— Si vols l'arxiu PDF amb la Plantilla Hexagonal (full pautat per a 6 SHS), fes clic aquí.

— Si vols l'arxiu PDF amb els SHS 115 al 120 (enunciats i solucions), fes clic aquí.

Comentaris

No hi ha comentaris, comenta'l tu primer

Ajuda'ns amb un donatiu

Ajuda'ns a pagar el manteniment de relatsencatala.cat Qualsevol aportació és més que benvinguda: